Значение функционала стационарно

Коль скоро параметр а вы бран, функции (40) зависят только от одного аргумента — времени, их можно продифференцировать по времени и подставить полученные выражения и в функционал (41). Тогда функция Ф, стоящая под знаком интеграла, будет функцией только от времени, так что можно вычислить интеграл (41) и после подстановки пределов определить число— значение ф. Таким образом, каждой кривой рассматриваемого пучка (40) функционал (41) ставит в соответствие некоторое определенное число, и в этом смысле на однопараметрическом пучке кривых значение функционала является просто функцией параметра а. Эта функция может при некоторых значениях сс принимать стационарные значения кривые, которые получаются при подстановке в (40) этих значений а, носят название экстремалей. [c.273]

В рассматриваемом нами простейшем случае однопараметрического пучка по самому определению понятия стационарное значение функционала условие стационарности функционала сводится к виду [c.274]

Обычным способом доказывается, что стационарное значение функционала (4.235) есть максимум и этот максимум единствен. [c.203]

Задача III. Найти стационарное значение функционала [c.205]

Предположим теперь, что v может претерпевать разрыв при переходе через границы подобластей Тi, но нормальные производные dv/dv для смежных элементов совпадают, тогда, просуммировав равенство (4.263) по всем подобластям Ti (и внося краевое условие в функционал с помощью метода множителей Лагранжа), придем к задаче нахождения стационарного значения функционала [c.209]

Полученная проблема нахождения стационарного значения функционала (4.264) является все еще континуальной, для ее дискретизации необходимо выбрать неизвестные параметры в заранее намеченных точках на Ti и дТi, произвести соответствующую интерполяцию ц на Т и dv/dv на dTi, после чего алгоритм решения, в принципе, будет тем же, что и во всех рассмотренных ранее примерах. [c.209]

Проводя аналогичные рассуждения для случая, когда в качестве исходного используется функционал (4.235), и предполагая, что V является непрерывной функцией при переходе через границы конечных элементов, а 5o/<3v — разрывной, получим еще один вариант метода гибридных конечных элементов найти стационарное значение функционала [c.210]

Если в качестве исходного взять функционал Кастильяно и предположить, что вектор перемещений непрерывен всюду в Q, а вектор плотности поверхностных усилий может претерпевать разрывы при переходе через границы конечных элементов, то, повторяя проведенные выше рассуждения, придем к следующему варианту метода гибридных конечных элементов найти стационарное значение функционала [c.211]

Вариационная теорема формулируется следующим образом [87]. Определение решения уравнений движения, включающих функции Од (х), которые являются периодическими по отношению к вектору решетки и удовлетворяют условиям непрерывности перемещений и напряжений как внутри элементов, так и по их границам, равносильно отысканию стационарного значения функционала [c.296]

Представление искомой функции в виде ряда далеко не единственный способ перехода от задачи определения стационарных значений функционала к задаче определения стационарных значений функции нескольких переменных. Для этой цели функцию [c.67]

Переход от задачи определения стационарных значений функционала к задаче определения стационарных значений функции нескольких переменных можно выполнить, минуя аналитическое представление искомой функции v (х). [c.67]

Применив метод множителей Лагранжа (см. приложение II), сведем задачу определения стационарных значений функционала (3.34) с дополнительным условием связи (3.35) к задаче определения стационарных значений вспомогательного функционала [c.110]

Условие стационарности является необходимым условием максимума или минимума функционала. Стационарное значение функционала соответствует минимуму (или максимуму), если вторая вариация функционала 6 Ф является положительно (отрицательно) определенной, т. е. при любых допустимых по условиям задачи вариациях выполняется условие [c.306]

При силе тока = l/Rj + oFo)/(2e) имеем Гг Это означает, что выделяющаяся благодаря эффекту Пельтье тепловая мощность уже не может быть отведена в окружающую среду или к пластине 1 и поэтому температура пластины 2 неограниченно возрастает. Если I = то множитель при в выражении для J (Т) обращается в нуль, т.е. функционал не имеет экстремума. Для I > If этот множитель становится отрицательным, так что стационарное значение функционала оказывается максимумом и соответствующее ему значение Т2 теряет физический смысл. [c.81]

Иногда, о чем уже упоминалось выше, можно говорить не о стационарном, а об экстремальном значении функционала. [c.41]

Зги отличия приводят к тому, что в соотношениях (4.3.30), (4.3.33) и последующих условиях ортогона-льности собственных функций следует положить с(Л/)=1, но спектр собственных значений v стационарной задачи по прежнему можно найти, минимизируя функционал (4.3.32). [c.206]

Условие бФ = О называют условием стационарности функционала. Это условие, как и равенство (2) для функции нескольких переменных, является необходимым условием максимума или минимума функционала, Как видно из выражения (6), стационарное значение функционала будет минимумом, если вторая вариация функционала является положительно определенной, т. е. если при любых допустимых по условиям задачи вариациях выполняется условие [c.383]

НЫх значений jj, стационарной задачи по-прежнему можно найти, минимизируя функционал (4.35). [c.167]

Теперь будет доказано, что стационарное значение функционала Ф в положении равновесия является его минимальным значением. [c.150]

Напомним, что стационарным значением функционала назы-. вается такое его значение, которое при задании вектору и вариации би приобретает приращение ЛП порядка более высокого, чем 6и. В линейной теории упругости доказывалось (п. 2.2 гл. IV), что [c.677]

Задачу об условной стационарности функционала F теперь можно заменить задачей о безусловной стационарности среди всех элементов и пространства Е2 найти такой, что функционал (18) имеет стационарное значение. Условия стационарности этой задачи выводятся так же, как в 2.1. [c.21]

Из шести констант а, Ь, с, ai, 62, i три можно выбрать произвольно и не варьировать, так как изменение трех констант соответствует прибавлению к функции ф полинома первой степени ах су Ь, а это не влияет на напряжения и, следовательно, на значения функционала. Например, выберем а — Ь = = l = 0 тогда а , Ь , С2 нужно находить из условий стационарности функционала (18), среди которых есть уравнения [c.160]

Отсюда следует линейный закон распределения функции напряжений вдоль контурных кромок, который может быть представлен с помощью четырех параметров— значений (рд, (р , (р функции напряжений в углах. Три из этих параметров можно зафиксировать, так как функции напряжений, отличающиеся друг от друга на полином первой степени а + Ьх су, дают одни и те же усилия Тар, а значит, одно и то же значение функционала Эс(ш, ф). Другими словами, стационарное значение функционала Эс(ш, ф) достигается на любом элементе из множества функций напряжений, отличающихся друг от друга слагаемыми вида а Ьх су, и поэтому, чтобы найти один какой-либо представитель этого множества, параметры а, Ь, с следует зафиксировать. [c.162]

Оценку снизу для минимального значения функционала можно получить, если приближенно решить данную задачу с помощью какого-либо максимального функционала, приведенного в гл. 3 или 4, так как все функционалы в гл. 3 или 4, кроме Эф, имеют одно и то же стационарное значение минимальные функционалы дают оценку сверху для этого значения, а максимальные —оценку снизу. [c.196]

Это истинное решение необязательно единственное. Но при выполнении достаточного критерия единственности решения системы (3.6) (гл. 4) стационарное значение функционала о1е ) минимальное [47]. [c.118]

Уравнения равновесия и статические граничные условия в (3.9) при выполнении кинематических связей и определяющих соотношений (четвертая и пятая формулы (3.9)) соответствуют вариационному уравнению (3.22). Стационарное значение функционала дается формулой (3.21). Это значение минимально при выполнении достаточного критерия единственности решения задачи (3.9). Отметим, что функционалы (3.19) и (3.23) эквивалентны вследствие связи потенциальных функций (2.38). [c.118]

Проблему определения момента бифуркации стержня можно свести к вариационной проблеме, состоящей в отыскании стационарного значения функционала [c.50]

Величина АЭ определяется формой функции v x) и математически является функционалом. Для решения вопроса об устойчивости состояния необходимо рассмотреть всевозможные формы v x), т.е. всевозможные смежные (возмущенные) состояния стойки. Ясно, что АЭ больше нуля, когда больше нуля его минимальное значение. Так как минимум необходимо искать на множестве всевозможных функций г (ж), то мы приходим к стандартной задаче вариационного исчисления о поиске стационарного значения функционала АЭ, которая сводится к условию (5(АЭ) = О, где означает вариацию. [c.386]

Действительно, из принципа взаимности вариационных задач на условный экстремум следует, что экстремали в задаче на минимум функционала (27) при фиксированном времени движения совпадают с экстремалями задачи на минимальное время движения при фиксированном (или стационарном) действии I (27). Поэтому из (29) непосредственно получаем, что стационарному значению действия I соответствует стационарное значение функционала быстродействия. Таким образом, движение с ударами, имеющими потенциал ударных импульсов, в случае обобщённо-консервативных систем имеет аналогию с оптическим принципом Ферма. [c.141]

Стационарные значения функционала (15.4) являются квадратами собственных значений [c.149]

Задачу о стационарности (15.4) можно заменить задачей о стационарности числителя при равенстве знаменателя единице. К получающейся задаче об условной стационарности можно применить метод множителей Лагранжа, состоящий в том, что строится новый функционал, равный сумме числителя (15.4) и знаменателя, умноженного на некоторый множитель. Новый функционал может достигать стационарности лишь при некоторых значениях этого множителя, и эти значения совпадают со значениями функционала (15.4) в стационарных точках. Так как стационарные значения (15.4) равны к п, то в новом функционале мы сразу обозначим множитель Лагранжа через к . [c.149]

Выписав первую вариацию (15.17), можно, аналогично п. 2, проверить непосредственным вычислением, что этот функционал стационарен на собственных функциях независимо от того, какой из параметров к или ст) считается собственным значением, В стационарных точках [c.154]

Оба функционала стационарны на собственных функциях рассматриваемой задачи стационарность (15.20) имеет место лишь при к, равном собственному значению kn. В стационарных точках (15.20) принимает нулевые значения, а (15.2 ) — значения, равные соответствуюш,им kn. Допустимые функции должны удовлетворять всем граничным условиям (для внешних задач — и условию излучения). Может нарушаться лишь условие непрерывности нормальных производных на границах разрыва е(г). [c.156]

Возникает вопрос, можно ли принцип Гамильтона—Остро-градского при наличии неголономных связей трактовать как связанную задачу вариационного исчисления — изопериметрическую задачу Лагранжа о разыскании стационарного значения функционала ) [c.669]

Сформулированный выше вариационный принцип мало пригоден для численного отыскания формы свободной поверхности. Это связано с тем, что искомое стационарное значение функционала (2.2.1) не обязательно должно быть экстремумом. В настоящее время не известно эффективных численных процедур исследования не экстремальных стационарных значений функционалов. [c.85]

Треффца на примере задачи о стационарном значении функционала (5.30), зависящего от функции и (Xi), для которого уравнением с)йле-ра—Остроградского является уравнение Лапласа (5.31), а функция и (xi) должна удовлетворять заданному граничному условию [c.112]

Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с большими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих уравнений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, зшторый был описан в 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба w или функции напряжений F теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений. Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12,10,6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом. [c.413]

Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть пспользованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 б и гл. 4 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами. [c.172]

Метод Трефтца (см., например, [0.11]) отличается тем, что координатные функции в (1) выбирают таким образом, чтобы они удовлетворяли всем уравнениям данной задачи в области задача о стационарном значении функционала используется для приближенного выполнения граничных условий. Другими словами, этот способ заключается в использовании функционала граничных условий, так что с точки зрения системы функционалов, представленной в гл. 3 и 4, метод Трефтца можно трактовать как метод Ритца по отношению к функционалу граничных условий. [c.174]

Л.М. Куршин [9] рассмотрел задачу об определении формы сечения призматического стержня, имеющего максимальную крутильную жесткость при заданной площади сечения. Задача сформулирована как вариационная задача о стационарном значении функционала в области с подвижной границей при дополнительном условии. В работе [10] Л.М. Куршин и П.Н. Оноприенко рассмотрели задачу нахождения формы поперечного сечения призматического стержня с призматической продольной полостью заданной формы, работающего на кручение, из условия, чтобы при заданной площади поперечного сечения жесткость кручения была бы наибольшей. Приведены расчеты очертаний сечений при отверстиях различной формы. Задачи оптимизации границ исследовал Н.В. Баничук [11,12] в связи с определением форм скручиваемых стержней, обладающих максимальной крутильной жесткостью. [c.193]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...