Равновесие тела упругого

Равновесие тела упругого 480 —, устойчивость 367 Размерности правило 27 Размерность физических величин 24 Ракета 532 Реакция струи 531 Резонанс 607, 611 [c.750]

Аналогично, спроектировав все силы на оси г/ и 2, получим дифференциальное уравнение равновесия элемента упругого тела в прямоугольных координатах [c.12]

При решении задач теории упругости для общего случая трехмерных тел встречаются большие математические затруднения это обстоятельство вынуждает переходить к решению более или менее широких классов частных задач, одним из которых является плоская задача теории упругости. В плоской задаче теории упругости рассматриваются три случая упругого равновесия тела, имеющих большое значение для практики плоская деформация, плоское напряженное состояние и обобщенное плоское напряженное состояние. [c.99]

Так как большинство приближенных методов решения различных задач теории упругости, пластичности и ползучести основывается на классическом вариационном принципе, согласно которому действительная форма равновесия тела отличается от всех возможных форм тем, что для нее полная энергия системы [c.58]

При изотермическом деформировании тела упругий потенциал W определяется свободной энергией F — U — Т , которая в состоянии термодинамического равновесия, как известно, минимальна. Если к телу не приложены внешние силы, то свободная энергия F, как функ- [c.61]

При внедрении в преграде можно выделить три области область внедрения, область возмущенного состояния и область покоя (рис. 49), размеры и конфигурация которых зависят от скорости внедрения, массы и геометрической формы внедряющегося тела, свойств преграды и других факторов. Большая часть кинетической энергии внедряющегося тела переходит в тепловую, при этом в области внедрения развиваются высокие температура и давление, материал преграды сильно разогревается и при наличии большого давления находится в жидком или газообразном состоянии в условиях ударного сжатия. Ударное сжатие характеризуется ударной адиабатой р = р (р), которая предполагается известной. Покажем, каким образом по известной ударной адиабате материала среды можно определить ру (У), Г и Г, знание которых важно при изучении процесса внедрения тела в преграду. При ударном сжатии состоянию среды соответствуют давление р и объем V, его начальному состоянию — давление Ро и объем Уд причем для сильных ударных волн (что имеет место при внедрении) давлением Ро Р можно пренебречь. Единице массы среды сообщается работа р (Уд — У), половина которой превращается в кинетическую энергию (1/2) р (Уд — У) = где V — скорость частиц на фронте ударной волны. Остальная работа идет на повышение удельной внутренней энергии (1/2) р (Уд — V) = Е—Ед. Приращение внутренней энергии Е — Ед складывается из тепловой составляющей (/1, характеризующей энергию колебания частиц около их положения равновесия, и упругой составляющей Цд, которая ха- [c.158]

Силовой критерий Ирвина и эквивалентный ему энергетический критерий Гриффитса в линейной механике разрушения полностью исчерпывают вопрос о предельном состоянии равновесия континуального упругого тела с трещиной. В нелинейной механике разрушения существует ряд формулировок, также устанавливающих предельное состояние равновесия упругого тела с трещиной. Среди них наиболее известной является б -модель [31, 116, 118, 209]. Суть этой модели состоит в том, что перед концом существующего разреза вводится зона ослабленных связей в виде тонкого слоя. При этом тело обладает следующими [c.55]

Начальное невозмущенное состояние равновесия тела описывается уравнениями линейной теории упругости, [c.47]

М. механических свойств конструкций и сооружений. Для твёрдых деформируемых тел особенности М. зависят от свойств этих тел и характера рассматриваемых задач. Так, при моделировании равновесия однородных упругих систем (конструкций), механич. свойства к-рых определяются модулем упругости Е (модулем Юнга) и безразмерным коэффициентом Пуассона V, должны выполняться 3 условия подобия [c.173]

Обычно задачу о магистральных трещинах, развивающихся, в твердых телах, решают для прямолинейных трещин в предположении, что линия распространения трещины задана. Можно отказаться от этого ограничения, если рассматривать последовательность решений задачи теории упругости для одинаковых тел, каждое из которых содержит некоторый разрез (трещину), произвольной конфигурации. Эта последовательность составляет класс допустимых функций, из которых частное решение, отвечающее равновесию тела с трещиной, выбирается с помощью излагаемого здесь вариационного принципа. [c.31]

Итак, состояние равновесия линейно-упругого тела отличается от всех статически возможных при заданных внешних силах состояний тем, что для него функционал Ч над тензором напряжений Т, называемый дополнительной работой , имеет минимум. [c.157]

Формулировка и доказательство теоремы взаимности (Бетти, 1872). Рассматриваются два состояния равновесия линейно-упругого тела, называемые далее первым и вторым. По векторам перемещений и, и", задающих эти состояния, определяются тензоры деформации [c.167]

Первое осредненное уравнение равновесия (2.13.9) получено в результате интегрирования по толщине оболочки дифференциального уравнения равновесия теории упругости. Это значит, что, если выделить показанный на рис. 8 элемент тела оболочки V с помощью поперечных сечений, проведенных через стороны сколь угодно малого координатного четырехугольника, то равенство (2.13.9) будет представлять собой условие уравновешенности всех сил, приложенных к У (в направлении элемент V имеет конечное, хотя и малое протяжение, а в направлении а , он сколь угодно мал). Основываясь на этом, будем называть первое осредненное уравнение равновесия теории упругости, т. е. равенство [c.40]

В общей теории упругости используются два пути решения задач. Первый путь состоит в подстановке в уравнения равновесия элемента упругого тела вместо напряжений их выражений через смещения. Тогда для смещений однородного упругого тела получается система из трех уравнений, именуемая уравнениями Ламе. Второй путь заключается в выражении соотношений неразрывности Сен-Венана через напряжения и упрощении полученных равенств с помощью уравнений равновесия элемента тела. Полученные шесть соотношений позволяют решать задачу непосредственно в напряжениях и называются уравнениями Бельтрами— Митчелла. [c.52]

Если на поверхности тела S заданы условия (1.12), то определение упругого равновесия тела составляет первую основную граничную задачу. Кроме первой основной задачи в теории упругости значительный интерес представляет и вторая основная граничная задача, т. е. определение упругого равновесия тела, когда на его поверхности S заданы условия (1.13). Наконец, во многих случаях (контактные задачи, задачи теории трещин и т, д.) большое [c.19]

Возвратимся к нашей задаче. Устойчивость оболочки (так же, как и устойчивость любого упругого тела) можно рассматривать только исходя из первоначально нелинейной постановки задачи. Действительно, в силу теоремы Кирхгофа [51] задача о равновесии любого упругого тела в линейной постановке имеет единственное решение с точностью до перемещений тела как абсолютно твердого. Это решение непрерывно зависит от внешних возмущений (внешние силы и заданные перемещения на границе тела), т. е. является устойчивым. Для справедливости теоремы Кирхгофа достаточно, чтобы потенциальная энергия, накопленная в теле в результате деформаций, была положительно определенной функцией деформаций. Для оболочек это условие выполнено (см. 1.10). [c.38]

Задача об устойчивости равновесия тонкостенных упругих систем — одна из важнейших в механике твердого деформируемого тела. Актуальность этой задачи, выросшей из запросов практики, сохраняется и возрастает и в настоящее время, в условиях появления новых высокопрочных композитных материалов и расширения технологических возможностей создания рациональных облегченных тонкостенных конструкций из них. По мере их облегчения проблеме устойчивости должно уделяться все большее внимание, поскольку во многих случаях к исчерпанию несущей способности высокопрочных композитных тонкостенных элементов конструкций приводит именно их выпучивание, а не превышение внутренними напряжениями предела прочности материала. [c.59]

Прослеживая историю развития науки о прочности материалов и элементов конструкций можно обратить внимание на некоторое соответствие между этапами аналитически-расчетного познания явления деформирования твердых тел и этапами деформирования гладкого образца при его растяжении. В самом деле, начала учения о прочности связаны с исследованиями упругих воздействий, сопротивление которым определялось экспериментально и при этом полагалось, что этим сопротивлением и заканчивается упругое деформирование одного из контактирующих тел с ограничением соответствующих нагрузок. Процесс разрушения не выявлялся вместо него фиксировалась точка завершения стадии упругого деформирования. Нечто аналогичное мы наблюдаем и в линейной механике разрушения, в которой критериальная основа (в энергетической постановке Гриффитса или в силовой Ирвина) исходит не из процесса, а из состояния, предельного состояния равновесия, которое и ограничивает действующие на тело с трещиной нагрузки, оставляя само тело упругим вплоть до этого состояния. [c.74]

Уравнения, аналогичные уравнениям (3.4.2) и (3.4.3), получены в заботах [392, 393]. Отметим, что решение задач о предельном равновесии линейных упруго-вязких тел с трещинами в обсуждаемой постановке можно получить из упругого решения для предельной (критической) нагрузки простой заменой упругих характеристик материала соответствуюш,ими временными операторами. [c.202]

Одним из необходимых этапов расчета на прочность элементов конструкций с позиций механики разрушения является определение напряжений и смещений в телах с трещинами. К настоящему времени разными методами решено довольно много различных задач об упругом равновесии тел с трещинами. Особого внимания заслуживают общие методы решения таких задач. Их значение еще более возросло в последние годы в связи с разработкой различных автоматизированных программно-информационных систем, предназначенных для проведения расчетных исследований прочности элементов конструкций. Одним из наиболее универсальных и удобных для реализации на ЭВМ является метод сингулярных интегральных уравнений, нашедший особенно широкое применение при решении двухмерных задач теории упругости для тел с трещинами. [c.3]

В восьмой главе рассмотрены плоские задачи об упругопластическом равновесии тел с трещинами при локализации зон пластичности в тонких слоях. При моделировании полос пластичности скачками смещений на прямолинейных отрезках упругопластические задачи сводятся к решению задач теории упругости для тел с разрезами неизвестной заранее длины. [c.4]

Тело Е, масса которого равна т, находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру Оь Длина иедеформнрованной пружины равна /о в полонсении равновесия тела пружина имеет конечный предварительный натяг, равный / о = с(/- /о), где / = ООь Учитывая в горизонтальной составляющей упругой силы пружины лишь линейные члены относительно отклонения тела от положения равновесия, определить период малых колебаний тела. [c.238]

Равновесие тел, шнеющях ось вращения. В повседневной жизни и технике часто встречаются тела, которые не могут двигаться поступательно, но могут вращаться вокруг оси. Примерами таких тел могут служить двери и окна, колеса автомобиля, качели и т. д. Если вектор силы Р лежит на прямой, пересекающей ось вращения, то эта сила уравновешивается силой упругости Fy со стороны оси вращения (рис. 42). [c.32]

Критерий начала распространения трещины (иногда называемый критерием разрушения), составляющий основу механики раз-рунгения, не следует из уравнений равновесия и движения механики сплошной среды. Он является дополнительным (по отношению к уравнениям теории упругости) краевым условием при решении вопроса о предельном равновесии тела с трещиной. Преде [ьное состояние равновесия считается достигнутым, еаии трещинонодобньп разрез получил возможность распространяться. При этом разрез становится трещиной. Из последнего определения видно, что трещина — это есть топкий разрез (щель), который способен распространяться (увеличивая свою поверх- [c.21]

В плоской задаче теории упругости рассматриваются три случая упругого равновесия тела, имеющих больщое значение для практики плоская деформация, плоское напряженное состояние и обобщенное плоское напряженное состояние. [c.25]

Теми же методами статики можно решать задачи об упругом равновесии тел, если внешние силы, вызывающие деформации тел, а вместе с ними и сами дес1юрыации меняются настолько медленно, что работой сил, вызывающих ускорения тел или частей тел н изменяющих их кинетическую энергию, можно пренебречь. В таких случаях каждое из состояний тел, которому соответствует определенная деформация, можно рассматривать как состояние равновесия и решать задачу об этой деформации как задачу статики. Весь же медленный процесс изменения деформации при этом рассматривается как непрерывный ряд состояний равновесия, носледовательно сменяющих друг друга, так что каждому состоя н Ю равновесия соответствует определенная стационарная деформация. [c.482]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Таким образом, задача определения функций соответотвующих равновесию линейно-упругого тела при заданных-внешних силах и ti, сведена к вариационной задаче. [c.100]

В связи с этим важное значение приобретают задачи равновесия упругих тел с трещинами. Однако решения этих задач, зачастую связанные с большими математическими трудностями, содержат гораздо больше информации, чем требуется. Главным здесь является вопрос о том, обладает ли тело при рассматриваемой нагрузке несущей способностью или нет, т. е. представляет основной интерес не само решение сложной задачи равновесия тела с трещинами, а существование или несуществование этого решения при рассматриваемой нагрузке. Поэтому с математической точки зрения разрушение наступает при реализации такой ситуации, которая приводит к выполнению некоторых предельных условий, о беспечивающдх несуществование решений соответствующей задачи равновесия тела с трещинами. Этп условия являются интегральными характеристиками процесса разрушения, что созвучно с общей г.лобальной концепцией разрушения твердых тел [243]. [c.6]

Выведите дифференциальные уравнения равновесия элемента упругого тела (уравнения Иавье — Коши). [c.34]

Начало возможных перемещений Лагранжа. Применительно к твердым телам начало возможных перемещений сформулировано Лаграюкем в его Аналитической механике (1788 г.). К упругим телам (стержневой системе) этот принцип впервые был применен Пуассоном в 1833 г. Подобно тому, как для твердых тел начало возможных перемещений позволяет получить уравнения равновесия твердого тела, так и для упругих тел начало возмояшых перемещений MOJiieT заменить уравнения равновесия тела. [c.45]

Для решения задач упруго-пластического деформирования тела в перемещениях необходимо представить уравнения равновесия тела (уравнения Иавье — Коши) в перемещениях. [c.287]

Оценим порядок значений начальных напряжений и деформаций, при которых это может произойти. Сравнивая формулы (2.26) и (2.27), видим, что порядок е" равен порядку е . Тогда из зависимости (2.45) следует, что для того чтобы АЭ могло обратиться в нуль, порядок значений начальных напряжений Ох = Pai,. .., %°ху == Р ху должен быть такой же, как у модуля упругости. Другими словами, для того чтобы начальное состояние равновесия изотропного упругого тела перестало быть устойчи- [c.53]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Одинаковость коэффициентов при (ei) , ( 2) и (eg)2 в формуле (4.31) достигнута в теории Джемса за счет дополнительного допущения об изотропности в среднем ненапряженного состояния Это допущение, однако, не является необходимым, Лoдж[ ] показал, что материал со структурой гауссовой сетки обязательно окажется изотропным упругим твердым телом. Упругость такого тела будет идеальной в силу того допущения, что тепловое движение цепи в сетке происходит настолько быстро по сравнению со скоростью формоизменения материала в опыте, что время достижения термодинамического равновесия для заданной формы будет пренебрежимо мало. [c.117]

Рассмотрим твердое деформируемое тело, находящееся в статическом равновесии под действием совокупности поверхностных нагрузок S и объемных сил F. Предположим, что при приложении добавочных сил AS и AF равновесие тела сохранится, а напряжения, деформации и перемещения в теле получат приращения А<т, Ае, Аи соответственно. В случгье, когда добавочные нагрузки вызывают необратимые деформации, при снятии дополнительных сил точки тела не возвращаются в исходное деформированное состояние. Обозначим соответствующие отклонения перемещений, которые состоят из упругих и пластических компонент, через Аи. Если для любых систем дополнительных сил конечной или бесконечно малой величины внешний источник совершает положительную работу на производимых им смещениях, то состояние равновесия тела является полностью устойчивым в большом или, соответственно, в малом. Существует энергетический барьер, препятствующий передвижению системы в любую соседнюю конфигурацию. [c.204]

Отметим крайне важное свойство решений задач о движении или равновесии линейно-упругих тел. Для того чтобы найти напряжеппо-деформироваппое состояние [c.57]

В дайьдайшем, при рассмотрении предельного равновесия тел с трещинами, будут необходимы решения только основной смешанной граничной задачи теории упругости. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...