Комплексная функция напряжений

Для треш ины длины 2а, расположенной по границе раздела двух сред, как показано на рис. 28, комплексные функции напряжений легко получить при помощи формулы обращения Гильберта. Например, при условиях нагружения, показанных на рис. 28, для комплексной функции Ф получим [11, 52] [c.257]

Комплексная функция напряжений и отображение Шварца-Кристоффеля [40], точное решение. [c.702]

Функция ф (у) в дальнейшем будет называться комплексной функцией напряжений, так как через нее выражаются тангенциальные усилия 5(6) и 7 6) безмоментной сферической оболочки, не загруженной в рассма- [c.181]

Таким образом, общий интеграл безмоментных уравнений сферической оболочки содержит две произвольные аналитические функции комплексного переменного комплексную функцию напряжений ф (у) и комплексную функцию перемещений / (7). Этот результат был получен в работе [37]. [c.183]

Полюсы комплексной функции напряжений [c.230]

Вместе с тем не представляет труда построить отличную от нуля комплексную функцию напряжений з (С), обладаюш,ую перечисленными выше свойствами всюду, кроме некоторой точки С = о. в которой для г (С) допускается полюс. Примером служит функция [c.230]

ПОЛЮСЫ КОМПЛЕКСНОЙ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ [c.231]

Рассмотрим теперь случай, когда комплексная функция напряжения имеет полюс в произвольной точке S = So (So отлично от нуля и бесконечности). Пусть в некоторой односвязной достаточно малой области G, содержащей точку S = So. функция г[5 (g) имеет вид [c.236]

Пусть к замкнутой сферической оболочке в точках С = О и С = Со и только в них приложены сосредоточенные силы и моменты. Примем пока, что So оо. и будем искать соответствующую комплексную функцию напряжений г 5 (С). Эта функция должна быть аналитической во всей плоскости Z, за исключением точек = Ои = Со-В общем случае функция (С) имеет полюс третьего порядка при а функция (S) имеет полюс третьего [c.237]

Не Представляет труда обобщить полученный результат на случай, когда оболочка загружена сосредоточенными силами и моментами в п + 1 точках S = Ср (Sp = оо, р = 1, 2,. . ., п) и S = 0. Комплексная функция напряжений, соответствующая этому случаю, имеет вид [c.237]

Формула (16.27.2) составлена в предположении, что в верхнем полюсе географической системы координат, т. е. в точке S = О, оболочка, вообще говоря, будет испытывать действие силы и момента. Однако (16.27.2) остается в силе и в случае, когда точка S = О не загружена. Для этого надо только выбирать силы и моменты, приложенные в точках = р, так, чтобы они были в совокупности уравновешены. При этом в точке S = О сосредоточенные силы и моменты будут отсутствовать. Более существенно принятое выше предположение, что ни одна из точек приложения сосредоточенных сил и моментов не совпадает с нижним полюсом географической системы координат ( р = оо). Поэтому задачу о построении комплексной функции напряжения для случая, когда сосредоточенная нагрузка действует в точке = оо, надо рассмотреть отдельно. [c.237]

В (13.4.5) под 1]5 (Q надо подразумевать комплексную функцию напряжений, соответствующую действию на оболочку заданной системы сосредоточенных сил и моментов ( 16.26, 16.27). Задача, таким образом, сводится к такому подбору аналитической функции Н ( ), при котором будет на всей плоскости S однозначной функцией точек срединной поверхности. [c.238]

Ry, и сосредоточенный момент с компонентами Q%, QJ, Q , а в нижнем полюсе возникает уравновешивающая реакция. Тогда комплексную функцию напряжений надо брать в виде (16.27.3), а входящие в это соотношение комплексные константы вычислять по формулам (16.26.13). Это дает [c.240]

Вычислим для этой комплексной функции напряжений интегралы, входящие в правую часть равенства (13.4.5) [c.240]

Пусть срединная поверхность задается одним из трех векторных уравнений (13.6.2). Тогда решение однородных статических безмоментных уравнений, как было показано в 13.6, выражается через аналитическую функцию г(5 (S). Точкам полного эллипсоида, двухполостного гиперболоида или эллиптического параболоида соответствует вся плоскость комплексного переменного Полюсы комплексной функции напряжения имеют такой же смысл, что и для сферы в точке = So (So отлично от нуля и бесконечности) полюс не выше третьего порядка соответствует сосредоточенным силам и моментам, а полюсы выше третьего порядка дают сосредоточенные воздействия более сложной структуры в точках S = О и S такой же смысл имеют полюсы функций (S) и (S) соответственно. Интенсивность и направление силы и момента, входящих в состав сосредоточенного силового воздействия, можно определить с помощью комплексных интегральных уравнений равновесия. Для оболочек второго порядка они выводятся так же, как для сферы, при помощи равенств (16.26.1), (16.26.2). Опуская подробности, приведем эти уравнения [c.242]

Таким образом, для оболочек второго порядка полностью сохраняется описанный в 16.27 метод подбора комплексной функции напряжений (О, соответствующей действию на оболочку произвольной системы сосредоточенных сил и моментов. Формула (16.27.2) остается в силе, но в ней при определении констант pj надо вместо (16.26.8) пользоваться формулами (16.29.1), [c.243]

Заканчивая главу о сосредоточенных воздействиях, обсудим, в какой мере полученные результаты можно считать правильными, если учесть, что они получены по безмоментной теории. Физически ясно, что вблизи точки приложения сосредоточенной нагрузки соответствующее напряженно-деформированное состояние имеет большую изменяемость (и расчет по безмоментной теории не вызывает доверия), но при удалении от этой точки изменяемость делается малой (и можно надеяться, что безмоментная теория станет достаточно точной). Для сферической оболочки это можно подкрепить и математически. Комплексная функция напряжений, соо ветствующая приложению сосредоточенных сил в точке = Со> имеет вид [c.243]

По предположению распределенная поверхностная нагрузка отсутствует. Поэтому искомое напряженное состояние определяется некоторой комплексной функцией напряжения которую надо построить в области G, соответствующей срединной поверхности оболочки. На контуре области G функция ij) ( ) должна удовлетворять граничному условию, вытекающему из (17.30.3), а в точке приложения сосредоточенной нагрузки = О функция [c.246]

Усилия связаны с комплексной функцией напряжения формулами (13.4.2). Поэтому на окружности [ 1 = р должно выполняться граничное условие [c.246]

Чтобы комплексная функция напряжения if ( ) соответствовала случаю, когда к оболочке в точке = О и только в ней приложены сосредоточенные сила и момент, положим [c.246]

Таким образом, по форме (Q не отличается от комплексной функции напряжения (16.27.3), решающей задачу о замкнутой оболочке, загруженной сосредоточенными силами и моментами в противоположных полюсах географической системы координат. Поэтому в (17.30.8) константы а , Oq, Д 1 надо определить формулами (16.26.13). Однако из (17.30.8) вытекает, что константы а , Оо, a i должны удовлетворять двум равенствам [c.247]

Здесь, как и в задаче 1, комплексная функция напряжения ij) (Q должна быть определена в области ро- Граничное условие (17.30.4) означает, что при С = Ро надо требовать выполнения равенства [c.247]

Для нагрузки, удовлетворяющей требованиям (17.30.14), задача 2 решается комплексной функцией напряжений (17.30.11)—(17.30.13), в которой константы а , ар. надо выбирать по формулам (16.26.14). [c.248]

Здесь, как и в задаче 1, расчет сводится к построению комплексной функции напряжения i ) (Z), которую надо определить в области [ р ,. [c.248]

Условие на контуре = ро будет выражаться равенством (17.30.5). Поэтому комплексную функцию напряжения мы снова зададим в виде [c.248]

Здесь ins — действительная часть и коэффициент при мнимой части комплексной функции напряжения ij) ( ). Эту функцию, как и в 17.30, надо определить в круге < ро = так, чтобы на окружности = ро выполнялось соотношение (17.31.3). В круге <]рд функция i ) (Q должна быть аналитической, а в точке = О иметь нуль по меньшей мере второго порядка ( 13.4). [c.250]

При этом ij) ( ) в круге [ <] ро будет удовлетворять требованиям, предъявляемым к комплексным функциям напряжения ( 13.4), всюду, за исключением, быть может, точки = О, где надо выполнить условие аналитичности функции ( ). Этого можно достичь, только подчинив в равенстве (17.31.2) число п неравенству п 2 (конечно, исключается тривиальная возможность положить все Л и 5 равными нулю). При таком п цель будет достигнута, если в (17.31.5) положить т = п — 2. В результате получим формулу [c.251]

Метод граничной коллокацин [1], точность меньше 0.1% метод конечных элементов [27], точность меньше 1% метод комплексных функций напряжения [28], точность меньше нескольких процентов. [c.226]

В литературе в настоящее время достаточно подробно освещены основные результаты решений краевых задач для линейно-упругих тел [79, 90, 191]. Наиболее эффективным способом решения краевых задач для линейно-упругих тел с трещинами явилось использование комплексных функций напряжений, развитых в работах Мусхелишви-ли и Вестергарда (79, 341]. [c.7]

Отсюда вытекает, что во всякой точке, кроме S = О и = оо ), величины Т б), и будут непрерывны и однозначны тогда и только тогда, когда комплексная функция напряжений аналитична. В полюсах географической системы координат, т. е. при С = О ы С=оо, эти величины будут удовлетворять условиям ограниченности лишь при дополнительном требо- [c.184]

Пусть срединная поверхность оболочки представляет собой полную (замкнутую) сферу и поверхностная нагрузка отсутствует (Xj = Xj = Z = = 0). Из теоремы единственности ( 5.32) вытекает, что для такой оболочки моментные уравнения будут иметь лишь тривиальные (нулевые) решения. Это утверждение остается верным (хотя и не таким очевидным) и для безмо-ментных статических уравнений. Действительно, решение последних в рассматриваемом случае определяется комплексной функцией напряжения г (Z), которая ( 13.4) должна быть аналитической во всей плоскости и иметь нули в точках t = О, = оо. По теореме Лиувилля она тождественно равняется нулю, что согласно формулам (13.4.2) и означает обращение в нуль напряженного состояния оболочки. [c.230]

Если задан полюс комплексной функции напряжений г) (С), то можно подсчитать интенсивность несамоуравновешенной части соответствующего сосредоточенного воздействия, т. е. найти входящие в него силу и момент, при помощи интегральных уравнений равновесия. В 14.13 они были получены для произвольной оболочки. Перепишем их в виде равенств [c.231]

Эти результаты полностью подтверждают общие рассуждения, приведенные в начале настоящего параграфа. Дополнительно выяснилось, что в сферической оболочке простейшему силовому воздействию — тангециаль-ной сосредоточенной силе — соответствует простейшая особенность комплексной функции напряжения — полюс первого порядка. Учитывая это, назовем тангенциальной сосредоточенной силой такое сосредоточенное воз действие, которое статически эквивалентно этой силе и соответствует наи меньшей из всех возможных особенностей комплексной функции напряжения Можно показать (на чем мы не будем останавливаться), что такое формаль ное определение, во-первых, остается в силе не только для сферической обо лочки, но и для любой оболочки положительной кривизны, и во-вторых оно по смыслу совпадает с обычным представлением о сосредоточенной силе как о пределе, к которому стремится равномерно распределенная нагрузка лри беспредельном уменьшении области ее приложения и беспредельном увеличении ее интенсивности. [c.235]

Она и решает рассматриваемую безмоментную статическую задачу для случая, когда отсутствуют поверхностные силы (в том числе и сосредоточенные). Это значит, что однородная безможНтная статическая задача, соответствующая условию (17.31.2), при п 2 имеет нетривиальное решение, зависящее от 2п — 3 действительных констант Лр, 5 (й == 1, 2,. . . . .., п — 2). Можно показать (на этом мы не будем останавливаться), что при рассматриваемых условиях формула (17.31.6) дает самое общее выражение комплексной функции напряжения и что множители при Л и 5 линейно независимы. [c.251]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...