Граничные условия перемещений

При решении статических задач задаются форма и размеры тела, его положение в пространстве, постоянные упругости, плотность, массовые силы. Задаются либо кинематические граничные условия (перемещение каждой точки поверхности тела), либо статические граничные условия (поверхностные напряжения в каждой точке поверхности тела), либо смешанные граничные условия (на части поверхности тела задаются перемещения, а на остальной части поверхности — напряжения). [c.186]

Разновидностью статического критерия является критерий энергетический. В основе этого критерия лежат два фундаментальных принципа механики сплошных сред принцип возможных перемещений и принцип возможных изменений напряженного состояния. Из принципа возможных перемещений непосредственно следует условие стационарности полной потенциальной энергии системы бП = О, согласно которому из всех перемещений, удовлетворяющих граничным условиям, перемещения, удовлетворяющие уравнениям равновесия, придают полной потенциальной энергии стационарное значение. Из принципа возможных изменений напряженного состояния следует условие стационарности дополнительной энергии, согласно которому из всех возможных напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям, напряжения, удовлетворяющие уравнениям неразрывности деформаций, придают дополнительной энергии стационарное значение. [c.53]

Особенность решения данной задачи заключается в формулировке граничных условий. Согласно заданным граничным условиям перемещения узлов стержней, примыкающих к верхнему шпангоуту, определяются шестью степенями свободы [c.162]

Из начала возможных изменений деформированного состояния следует, что сумма работ (или мощность) всех внешних и внутренних сил на кинематически возможных, удовлетворяющих граничным условиям, перемещениях (или скоростях) около состояния равновесия равна нулю. Исходя из этого можно показать, что пластическая деформация тела в действительности происходит таким образом, что полная энергия деформации принимает минимальное значение, т. е. [c.126]

Согласно началу возможных перемещений варьируются кинематически возможные, т. е. совместимые с граничными условиями перемещения Ьщ и деформации а внешние силы и. напряжения остаются фиксированными. Тогда [c.194]

Граничные условия (перемещения узлов и узловые нагрузки). Данные о граничных условиях используются при модификации разрешающей системы линейных алгебраических уравнений МКЭ. [c.53]

Модели для анализа напряжений и деформаций часто оказываются более удобными, если представлены в интегральной форме, вытекающей из вариационных принципов механики. Вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии) гласит, что потенциальная энергия системы получает стационарное значение на тех кинематически возможных перемещениях, отвечающих заданным граничным условиям, которые удовлетворяют условиям равновесия. Поэтому модель представляют в виде выражения потенциальной энергии П системы как разности энергии деформации Э и работы массовых и приложенных поверхностных сил А [c.158]

Чтобы применить граничное условие (19.25), вычислим производную от перемещения w [c.508]

Постоянные С1 и определяются из следующих граничных условий. При г = 0 осевое перемещение щ = 0. Следовательно, при г = 0 угол в = 0 что следует из формулы (11.11). Тогда [c.347]

После того как найдены значения 8, определяем перемещения у, также без учета граничных условий [c.491]

На границе тела должны быть заданы краевые (граничные) условия, наложенные на напряжения и перемещения, а также краевое начальное условие для температуры Т. Краевые задачи теории упругости классифицируют по типу этих краевых условий [c.118]

Таким образом, нулевым граничным условиям могут соответствовать только нулевые решения. Этим доказывается теорема единственности решения. Заметим, что перемещения определяются при этом не единственным образом, а с точностью до перемещения тела как жесткого целого. [c.120]

Прямой метод решения задач теории упругости, заключающийся в интегрировании основных уравнений при заданных граничных условиях, не всегда возможен. Обратный метод, примененный в гл. 7 для плоских задач, часто не соответствует практической постановке задачи. Сен-Венаном был предложен так называемый полуобратный метод решения задач теории упругости, который заключается в том, что часть перемещений и напряжений задается, а остальные неизвестные определяются из уравнений теории упругости при заданных граничных условиях. Полуобратный метод не является общим. Однако он оказался одним из самых эффективных методов решения задач теории упругости. [c.172]

Пусть прямоугольная в плане со сторонами а и й пологая оболочка подвергается действию поперечной равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q. Предположим, чо оболочка по криволинейным кромкам свободно оперта, а в плоскости Хи Х2 (рис. 10.20, б) перемещения свободны по направлениям, нормальным кромкам. Следовательно, граничные условия могут быть записаны в виде [c.246]

Найденные выражения для перемещений щ, щ удовлетворяют заданным граничным условиям (10,136). [c.247]

Заметим, что в большинстве практически важных задач Р можно задать лишь в виде функций пространственных координат, следовательно, при использовании переменных Лагранжа для решения таких задач в правой части условия (1.160) будут содержаться производные от вектора перемещений, заранее неизвестных вид этой зависимости можно конкретизировать, если задать форму начальной границы (в момент времени t = tn) So, очевидно, что динамическое граничное условие можно записать и через компоненты тензора Пиола — Кирхгоффа [c.34]

К этой системе следует присоединить начальные и граничные условия предположив, что вся граница тела состоит из двух частей 5ц + 5< причем на части заданы перемещения, на —поверхностные усилия, граничные условия можем записать в форме [c.40]

Очевидно, должно быть Рз = 0 на Граничные условия в перемещениях будут [c.57]

Пусть а решение задачи (5.241) — (5.243), отвечаюш,ее заданным внешним воздействиям, и пусть — кинематически допустимое поле перемещений [удовлетворяющее граничному условию [c.272]

Х х), Y(у) — функции, зависящие также только от одного переменного и выбираемого заранее так, чтобы удовлетворялись граничные условия, заданные на краях прямоугольного контура относительно функции перемещений w. [c.27]

При заданных граничных условиях нас будут интересовать лишь те значения частотного коэффициента при которых удовлетворяются поставленные условия. Для формулирования граничных условий надо определить перемещения и усилия в зависимости от общего решения (г). [c.303]

Получение решения общего уравнения (1.26), отвечающего граничным условиям для напряжений или перемещений — основная задача теории упругости. Однако найти такое рещение обще системы уравнений часто оказывается сложным. Это вынуждает вводить во многих практически важных задачах ряд упрощающих предположении распределения напряжений или деформаций. [c.25]

Функция кручения У ф(х у)=0 должна быть гармонической. Следовательно, если в основу решения положить перемещения (VI.З) и (VI.2), с учетом соотношения (VI.4), то уравнения равновесия и совместности деформации удовлетворяются. Установим, каким граничным условиям они соответствуют [c.80]

Как и в теории упругости, задачи теории пластичности реша-ются в перемещениях или в напряжениях. При решении задач в перемещениях за неизвестные принимаются три компонента перемещения и, и, т, которые вводятся в уравнения равновесия ( 111.20), и граничные условия с помощью зависимостей (1.9), ( 111.5), ( 111.6), 111.17), ( 111.19). [c.107]

Аналогично представляют в перемещениях и граничные условия. Для этого в граничные условия (1.3) подставим значения напряжений из (VI 11.22) [c.109]

У нас три константы А, В и Q. Они определяются из следуюш,их граничных условий при z = О функции у и у должны обращаться в нуль, а, креме того, при г = I в нуль обращается перемещение у. Поэтому получаем три следующих уравнения [c.132]

Если искомая деформация тела вызывается заданными принудительными смещениями какой-либо части его поверхности, то граничные условия для уравнений (2.44) формулируют, приравнивая функции и, V, W на границе заданным перемещениям. Сложнее, если [c.46]

Заметим, что если на контуре пластины или его части задана ие нагрузка, а фиксированы перемещения и и у, то формулировка граничных условий с помощью функции напряжений ф также значительно усложняется. [c.81]

После этого сами напряжения и перемещения определяются по формулам (4.41) и (4.47). С использованием ЭВМ подобные вычисления легко могут быть проделаны для очень большого числа членов ряда (при необходимости несколько сотен) так, что для указанных граничных условий можно получить практически точное решение задачи теории упругости. [c.97]

Эти выражения с точностью до значений постоянных и совпадают с (4.93). Используя (4.101) и граничные условия (4.94), найдем из них l и 6 2 и придем к формулам (4.95), выражающим решение этой задачи. Заметим попутно, что при известных напряжениях легко определяются и перемещения и с помощью формулы ев = = и/г = (ав — iar)lE, откуда [c.116]

Рассмотрим наиболее характерные граничные условия, которые накладываются на функцию Ф (или на перемещения в направлении осей X и у). [c.209]

Для каждого узла сетки с неизвестными перемещениями и и v в общем случае составляется пара уравнений (8.21). На границе пластины часть узлов могут быть закреплены или для них заданы перемещения. В таких точках формулируются кинематические граничные условия, т. е. узловые граничные п( ремещения приравниваются заданным. В точках, где на границе заданы напряжения, формулируются силовые граничные условия. Для этого используются операторы для напряжений [c.241]

Преимущество решения в перемещениях по сравнению с решением в напряжениях состоит в возможности учета как силовых, так и кинематических граничных условий. Недостатком является более высокий порядок уравнений при одной и той же сетке, так как в каждом узле имеем два неизвестных перемещения и вместо одного неизвестного значения функции напряжений ф . [c.241]

Если рассмотреть прямоугольную в плане пластину, то на каждой кромке па функцию напряжений и на функцию прогибов должны быть наложены по два условия. В частности, для жестко защемленных или шарнирно опертых кромок пластины при различных ограничениях на напряжения или перемещения в срединной поверхности граничные условия совпадают с аналогичными условиями, справедливыми для пологих оболочек (см. 7.7). [c.278]

Граничные условия (перемещения или силы) прикладываются только к узла (рис. 1.24). Максимальное число граничных условий, приложенных в узле, равно чисх его степеней свободы — 3 силы или 3 перемещения. [c.26]

Выбирая функцию, мы, естественно, должны следить за тем, чтобы она у,цовлетворяла 1 раничным условиям. В данном случае при 2 = 0 и z = l перемещение у обращается в нуль, и граничные условия, соблюдаются. Вместе с тем можно сказать, что выбранная функция не очень удачна, поскольку у" = onst. Это означает, что кривизна стержня при потере устойчивости постоянна, в то время как на самом деле она будет наибольшая посередине и равная нулю по концам стержня. [c.443]

Уравнение (6.44) выражает собой так называемый принцип потенциальной энергии при заданных внешних силах и граничных условиях действительные перемещения ui таковы, что для любых возможных перемещений первая вариация полной потенциальной энергии равна нулю, т. е. полная потенциальная энергия П имеет стационарное значение. Можно показать (теорема Лагранжа—Дирихле), что в положении устойчивого равновесия полная потенциальная энергия системы имеет минимальное значение, т. е. вторая вариация д П>0. [c.123]

Вариационный метод Рэлея-Ритца. Согласно этому методу перемещения щ представляются в виде рядов функций, каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям. Пусть, например, [c.127]

МДТТ и теории упругости, который в дальнейшем широко использовался для решения задач Б. Г. Галеркиным. Если функции в выражениях перемещений (6.57) выбраны так, чтобы заранее удовлетворялись не только геометрические, но и статические (2.88) граничные условия, то в уравнении (6.43) исчезает поверхностный интеграл и уравнение принимает вид [c.128]

Независимыми переменными задачи будут Xi, Х2, в случае, когда граница одного из тел плоская, придем к граничным условиям, построенным в предыдущей задаче. В рассматриваемой здесь задаче граничные условия сносятся на плоскость Oxix и из полученных выше результатов вытекает, что эти условия представляют собой первое приближение по перемещениям точек границы и величине начального зазора. [c.297]

Расчет Ki с приемлемой точностью без использования специальных элементов предполагает такие мелкие сетки, что становится очевидной необходимость лучшего моделирования напряженно-деформированного состояния в окрестности верпганы. На пачальиом этапе использования МКЭ в механике разрушения предпринимались попытки обойтись без специальных элементов в прямых методах (например, двухступенчатый расчет на грубой сетке определяются перемещения для всего тела, затем рассчитывается малая область у вершины трещипы с граничными условиями, полученными пз первого расчета). Однако это не нашло ши-р<5кого распространения из-за сложности достижения требуемой точности. [c.83]

Строгая математическая модель деформаций дЛя всей конструкции ЭМУ, состоящей из п тел, в соответствии с теорией упругости представляет совокупность п систем известных уравнений физических (закон Гука) для составляющих напряжений в точке, геометрических (условия совместности) для деформаций в точке от перемещений и статических (уравнения равновесия) для связи напряжений с проекциями объемных сил совместно со взаимосвязанными геометрическими и граничными условиями [3]. При этом предполагается, что нагрузки на элементы конструкции заданы. Это существенно, например, при рассмотрении температурных полей и деформаций и их взаимовлияршя. [c.120]

Для решения более сложных задач широкое применение находят вариационные методы, сущность которых заключается в том, что система уравнений равновесия, условий шастичности и граничных условий заменяется эквивалентным ей принципом возможных перемещений. Использование данного метода возможно лишь при наличии данных (экспериментальных, численных и т.п ) о скоростях деформаций в различных точках исследуемой конструкции, необходимых для нахождения функции распределения скоростей деформации по сечению, отвечающему минимальному значению энергии деформации. Изложенный метод, с связи с этим, по с ти своей является приближенным, гюскольк минимизирующие функции подбираются эмпирически. [c.99]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Пусть пластина имеет отверстие (неодносвязное тело), тогда в общем случае к каждому из контуров может быть приложена нагрузка, главный вектор или момент которой в общем случае не равны нулю. Такой пример показан на рис. 4.6, а. В этом случае использование функции ф усложняется, так как описанных уравнений и граничных условий оказывается недостаточно для решения задачи и необходимо использовать дополнительные условия однозначности перемещений (отсутствие разрывов в точках К я яа рис. 4.6, б), [c.81]

Граничные условия на кромках пластины х = О, х = а учитываются при выборе функций jj (х). На кромках у = О, у = Ь они должны быть учтены при решении системы (8.54). 4 N граничных условия формулируются с привлечением принципа возможных перемещений. Это приводит к понятиям обобщенных перемещений — прогибов Yjfj и углов поворота Yffj (/ = 1, 2,. . ., Л ) и соответствующих им обобщенных усилий в сечении. Последние представляют собой работу всех сил в сечении у = О, Ь на указанных обобщенных перемещениях. С помощью обобщенных перемещений и усилий и составляются упомянутые 4N граничных условия. [c.256]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...