Уравнения геометрические нелинейные

Условие стационарности функционала (12.2.8) эквивалентно выполнению всех уравнений геометрически нелинейной теории упругости, этот функционал вполне аналогичен функционалу [c.392]

Уравнения геометрически нелинейной теории тонких оболочек служат основой для изучения деформирования, потери устойчивости и закритического поведения гибких тонкостенных конструкций. В отличие от классической линейной теории малых деформаций и перемещений нелинейная теория рассматривает нагружение оболочек, сопровождаемое конечными перемещениями и поворотами материальных элементов. [c.134]

Реализация данных гипотез применительно к зависимостям (9.4.24), (9.4.25) приводит к уравнениям геометрически нелинейной теории пологих оболочек [12] [c.143]

Общая постановка плоских контактных задач для полупространства и слоя, подверженных одновременному воздействию сил тяжести и однородных, ориентированных вдоль границы, начальных напряжений дана в работе В. М. Александрова и Н. X. Арутюняна [1]. Предполагалось, что материал среды является несжимаемым и описывается либо уравнениями физически нелинейной (геометрически линейной) теории установившейся ползучести, либо уравнениями геометрически нелинейной (физически линейной) теории упругости. В предположении, что силы трения в области контакта отсутствуют, изучена проблема эллиптичности линеаризованных уравнений (внутренней устойчивости среды), исследованы явления поверхностной неустойчивости среды. В качестве иллюстрации проведен анализ влияния механических свойств и начального напряженного состояния среды на контактную жесткость. Для потенциала Муни обнаружены значения начальных напряжений, при которых упругий континуум начинает работать как основание Винклера. [c.236]

Приведем некоторые упрощенные варианты уравнений геометрически нелинейной теории. Представленные выше соотношения содержат нелинейные члены, включающие углы поворота элемента базовой поверхности, показанного иа рис. 1.11, а также производные этих углов, характеризующие изменение кривизны этого элемента. Как правило, ограничения по жесткости, накладываемые на перемещения несущих элементов конструкций, исключают большие углы поворота и величины Ша. р можно считать малыми по сравнению с единицей. Однако производные этих величин, связанные с местным изгибом поверхности в зонах закрепления или нагружения элемента, могут оказаться значительными и должны быть учтены. Таким образом, упростим приведенные выше нелинейные уравнения, оставив из нелинейных членов только те. которые включают произ [c.326]

Для решения нелинейных задач могут быть использованы геометрически нелинейные уравнения В. 3. Власова [68] [c.259]

Для исследования симметричных нелинейных задач устойчивости пологих или локальной устойчивости подъемистых сферических оболочек могут быть использованы геометрически нелинейные уравнения В. 3. Власова [68] [c.262]

Для интегрирования системы геометрически нелинейных дифференциальных уравнений устойчивости используют метод возмущений [105], метод разложения в степенные ряды [106] и [107], метод Бубнова — Галеркина и энергетические методы. [c.262]

Уравнения равновесия и граничные условия для геометрически нелинейного [c.221]

При выводе уравнений (1.5.2) не сделано различия между величиной и положением до и после деформации тех площадок, напряжения на которых рассматриваются. В случае больших деформаций (круг задач геометрически нелинейной теории упругости) необходимо учитывать различие между первоначальной и деформированной формами параллелепипеда. Однако заметим, что по внешнему виду уравнения (1.5.2) сохраняются и в таком случае, если под координатами х, у, г, по которым выполняется дифференцирование в уравнениях (1.5.2), понимать координаты точек не до деформации, а их окончательного положения. [c.18]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Если задача решается в геометрически нелинейной постановке (при этом пластина считается гибкой, а ее прогибы достаточно велики, и необходимо учитывать взаимное влияние прогибов и усилии в срединной поверхности), то в уравнении энергии следует учитывать не только энергию изгиба, но и энергию срединной поверхности. Энергия срединной поверхности ТУ<, вычисляется по уравнению (6.35). Однако для вычисления ее необходимо знать выражение функции напряжений ср. [c.196]

Для некоторых материалов распределение напряжений вблизи концов щели существенно связано с эффектами, описываемыми в рамках нелинейной теории упругости ). Используя уравнения геометрически и динамически нелинейной теории упругости, можно получить конечные значения напряжений вблизи конца щели. Даже в рамках линейной теории упругости с ис- [c.513]

Если зависимости (7.1) в конкретной задаче нелинейны, ее называют физически нелинейной. Термин физическая нелинейность отражает то, что нелинейность заключена в физических уравнениях, дающих связь между напряжениями и деформациями. В отличие от этого, как уже было показано в главе VI ( 6.9), нелинейность может возникнуть и из уточненного рассмотрения геометрической стороны деформации тела. Такого рода нелинейность носит название геометрической нелинейности. [c.495]

Систему уравнений Кармана можно получить с помощью приведенных в 19 геометрически нелинейных зависимостей для е,у, 7, если поперечный прогиб пластины w считать малой, но конечной величиной [12, 19]. Для решения системы уравнений (5.95) должны быть заданы граничные условия относительно поперечного прогиба W, усилий и перемещений в срединной плоскости пластины (подробнее см. [12]). Систему уравнений Кармана для практически интересных случаев удается проинтегрировать только приближенным методом результаты таких решений можно найти в работах [19, 33). [c.219]

Таким образом, приближенные соотношения между перемещениями и усилиями для разрывных сопряжений, переходящих при нагружении в геометрически нелинейное состояние, могут быть нелинейными в отличие от дополнительных линейных соотношений, приведенных в табл. 3.4. В этом случае система уравнений (3.1) для определения неизвестных разрывов перемещений и усилий также становится нелинейной [c.54]

Геометрическую нелинейность интегрируемой системы дифференциальных уравнений характеризуют малые величины высших порядков [c.352]

Изгиб и устойчивость пологих сферических оболочек, ползучесть материала которых описана нелинейными соотношениями, рассмотрен в работе [76]. Теории ползучести сформулированы с использованием законов течения и старения. Исследования проводятся на основе вариационных уравнений, учитывающих геометрическую нелинейность, в которых варьированию, кроме напряжений и перемещений (или их скоростей), подлежат также их интенсивности. Соотношения ползучести для оболочки упрощаются за счет осреднения интенсивностей деформаций и напряжений по толщине. При исследовании устойчивости применяется следующий подход. Полагается, что под действием внешнего давления в процессе ползучести оболочка изменят свою форму и вы- [c.9]

Для описания физически и геометрически нелинейного поведения оболочки используем уравнения Рейсснера [7] с дополнительными членами в правых частях, моделирующими в общем случае эффект пластичности, ползучести, неизотермичности нагружения [2, 3, 8]. Эти уравнения могут быть записаны через функцию напряжений ц = ГдН Н — радиальная составляющая усилий, приложенных к оболочке) и изменение угла наклона меридиана Р (рис. 8.1) в виде [c.152]

Вторая причина связана с изменением геометрии (геометрическая нелинейность). При расчете с учетом линейности всегда предполагается, что деформации элемента или конструкции относительно малы . Другими словами, считается справедливым представление всех уравнений равновесия посредством длин н углов недеформиро-ванной конструкции, тогда как эти уравнения должны быть справедливы для деформированной конструкции. Уравнения равновесия будут нелинейными, если в них учитываются деформации конструкции как функции нагрузок. Нелинейное поведение конструкции из-за изменения геометрии, как правило, вызывается значительным искажением ее формы. Однако некоторые элементы конструкций могут оказаться нелинейными, даже если они изготовлены из линейно-упругого материала. Например, [c.63]

Как показано в гл,1, статический расчет геометрически нелинейной конструкции МКЭ сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений [c.134]

Для решения с помощью МКЭ физически и геометрически нелинейных задач статики можно воспользоваться линеаризованной формулировкой задачи (3.90) и получить систему уравнений относительно приращений обобщенных узловых перемещений на /п-й итерации [c.112]

К категории гибких пластин относятся пластины, у которых прогибы соизмеримы с толщиной (w>h/4). Такие пластины применяются в приборостроении, авиастроении (элементы обшивки самолетов и ракет) и т. п. Расчет гибких пластин производится с помощью уравнений, учитывающих геометрическую нелинейность задачи. [c.417]

Линеаризация геометрически нелинейных уравнений основана на пренебрежении удлинениями, сдвигами и углами поворота по сравнению с единицей. [c.38]

ИМЯ задач в геометрически нелинейной постановке суммирование напряжений выполняют с учетом поворо шв конечных элементов. Для уточнения решения в конце каждого шага нагружения координаты узлов сетки конечных элементов корректируют с учетом полученных приращений узловых перемещений, и расчет продолжают далее для нового положения конечных элементов. При этом необходимо следить за тем, чтобы полные напряжения удовлетворяли уравнениям равновесия в каждый момент нагружения во всех конечных элементах. [c.102]

Метод асимптотического интегрирования обобш ен также для вывода уравнений динамики пластинок при больших перемещениях (Л. Я. Айнола, 1965, 1966). Результаты показывают, что известные уравнения мембранной теории Кармана, линейной теории изгиба с плоским напряженным состоянием и чисто линейной теории являются при определенных условиях нагрузки асимптотическими приближениями уравнений геометрически нелинейной теории упругости. Указанные выше исследования должны представлять интерес в отношении методики — уравнения движения и граничные условия выводятся из требования, чтобы вариация соответствующего функционала равнялась нулю с требуемой асимптотической точностью. [c.264]

В то же время учет геометрической нелинейности показывает, что максимальные нормальные напряжения, входящие в усталостное уравнение (2.111), имеют одно и то же для всех структурных элементов ограничение сверху. Такой вывод следует из полученного в разделе 4.2.2 решения упругопластической задачи при статическом нагружении тела с трещ иной (к сожалению, при циклическом решении идентичного решения тюлучить не удалось). Выходом из создавшейся ситуации может служить ограничение максимальных нормальных напряжений, полученных в результате решения циклической задачи, величиной, соответствующей наибольшим напряжениям, которые получены при решении статической задачи в геометрически нелинейной постановке. [c.216]

Отметим один характерный частный случай упрощенных геометрически нелинейных уравнений деформаций. Представим себе мембрану в плоскости ху. При действии на нее поперечной нагрузки она получает прогибы w, во много раз превосходящие перемещения и, V в плоскости ху. В подобных задачах, решаемых в геометрически нелинейной постановке, можно учитывать лишь нелинейные слагаемые относительно больших перемещений wvivix производных по х и и Z/. В этом случае с учетом допущения е 1 и sin 7 л 7 (из 2.17), (2.18) получим [c.33]

Полученное здесь решение обладает той особенностью, что амплитуда А отклонения стержня от прямолинейной формы при F = Fkp,5 осталась неопределенной,однако онадолж-на быть достаточно малой для того, чтобы были справедливы использованные нами уравнения. Если рассмотреть задачу в более точной постановке, где учитываются геометрические нелинейности и более точное значение кривизны в деформированном состоянии, то амплитуда отклонения оказывается зависящей от значения силы и график этой зависимости имеет вид ветвящейся линии ОАВ и ОАС (рис. 15.11). Пока F < fкр,а. у = 0 как только F>fKp,3. так появляется отличный от нуля прогиб, который определяется положением точки D, соответствующей значению F>F p,. Равновесные состояния при F > f кр-э- называются закритическими, и [c.348]

Здесь ввиду принятого ранее предположения о малости перемещений не проводятся различия между деформированным и недефор-мированным состояниями и поэтому уравнения равновесия не содержат геометрически нелинейных членов. Однако, воспользовав- [c.430]

Тогда компоненты тензоров деформаций, напряжений и вектора перемещений (г, ) в упругоползучем теле в рассматриваемом случае геометрической нелинейности должны удовлетворять уравнениям равновесия (для простоты записи в уравнениях аргументы г и t опущены), которые при отсутствии массовых сил и пренебрежении инерционными членами имеют вид [290, 349] [c.297]

Матричная формулировка предполагает решение систем линейных уравнений. Однако мрогие системы вследствие больших перемещений или наличия искривленных элементов являются геометрически нелинейными и могут также быть изготовлены из материалов с нелинейной диаграммой деформирования или с нелинейно изменяющимися во времени свойствами. Трудности, связанные с расчетом таких систем, обычно преодолеваются в результате использования метода приращений, согласно которому рас- [c.118]

Геометрическая нелинейность, вызванная большими нормальным прогибом, была введена в теорию тонких пластин Карманом [175], который рассматривал однородные изотропные пластины и получил в результате связанную систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в ч астных производных относительно прогиба W и функции напряжений Эри F. [c.189]

Деформированное состояние оболочки компенсатора определялось на основе метода [140] решения задачи о длительном циклическом нагружении данной конструкции. Задача решалась в ква-зистациоиарной несвязанной постановке путем численного интегрирования на ЭВМ Минск-32 системы нелинейных дифференциальных уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние неупругих осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Решение линейной краевой задачи производилось на основе метода ортогональной прогонки [52]. Рассматривалась только физическая нелинейность. Учет геометрической нелинейности при расчетах сильфонов, работающих как компенсаторы тепловых расширений в отличие от сильфонов измерительных приборов [193], обычно не производится [32, 150, 222], как не дающий существенного уточнения при умеренных перемещениях. Предполагалось, что все гофры сильфона деформируются одинаково. Поэтому расчет производился только для одного полугофра. Эквивалентный размах осевого перемещения полугофра, вызывающий те же деформации, что и полное смещение концов сильфона, определялся по формуле [c.200]

Приведенные выше зависимости относятся к линейной теории изгиба пластин. Как показано в следующем параграфе, используя эти зависимости, можно получить линеаризованное уравнение, дающее возможность найти точки бифуркации начального неискривленно-го состояния равновесия пластины и определить изгибные формы равновесия пластины в окрестностях точек бифуркации. Но этих зависимостей недостаточно для того, чтобы исследовать поведение пластины в закритической области при конечных поперечных прогибах. Недостаточно их и для исследования устойчивости пластин энергетическим методом. Для этих целей кроме приведенных линейных зависимостей необходимо использовать геометрически нелинейные соотношения теории гибких пластин. Выведем эти соотношения. [c.140]

Наиболее очевидный путь заключается в линеаризации исходных уравнений, которая в настоящее время идет по двум направлениям. Первое является физической линеаризацией, лежащей в основе обобщенного закона Гука, что приводит к физически линейным и геометрически нелинейным задачам, подробно рассмотренным в монографии В. В. Новожилова 103]. Второе направление заключается в геометрической линеаризации, обоснование которой дано в книге Г. Каудерера [43] (см. также [198]). [c.11]

Остановимся на методах решения задач неустановив-шейся ползучести гибких оболочек. Трудность решения таких задач заключается в том, что они физически и геометрически нелинейны. Наиболее распространенный подход к решению физически нелинейных задач неуста-новившейся ползучести основан на методе шагов по времени [4, 9, 19, 39, 63], который реализуется в сочетании с одним из методов решения краевой задачи. Среди последних широкое применение в практике расчета гибких пологих оболочек нашли методы, использующие в качестве основы дифференциальные уравнения краевой задачи — методы конечных разностей [36], численного интегрирования дифференциальных уравнений [10] и вариационные. [c.11]

Следует отметить, что при использовании деформационной теории в форме метода дополнительных напряжений одновременный учет геометрической и физической нелинейности затруднен, так как из уравнения (1.71) не может быть найден вектор невязки, обусловленный одновременным влиянием нелинейности того и другого типа. Можно, однако, построить приближенный способ учета геометрической нелинейности. Рассмотфим этот способ. [c.92]

Предложенный в 3.1 метод нелинейного статического расчета прост в реализации и может использоваться на практике при исследовании напряженно-деформированного состояния пространственных тонкостенных конструкций со слабо выраженной геометрической нелинейностью. В этом случае ошибки, обусловленные использованием линеаризованных уравнений равновесия, сравнительно малы и не оказывают существенного влияния на результаты расчета. Для существенно геометрически нелинейных конструкций применение линеаризованных уравнений становится неоправданным ни с точки зрения точности результатов, так как возникающая вследствие линеаризации невязка не поддается контролю, ни с точки зрения вычислительной эффективности, так как для достижения заданной точности может потребоваться очень большое количество шагов. Ниже описывается шагово-интерационный метод расчета, основанный на использовании нелинейных уравнений (1.71). [c.95]

Анализ закритического поведения аэроуп-ругих систем важен, так как во многих случаях превышение критической скорости флаттера не вызывает мгновенного разрушения конструкции, а приводит к установившимся колебаниям. Характеристики этих колебаний (амплитуды, и частоты) используют для оценки времени функционирования конструкции до разрушения. Необходимо рассматривать конечные деформации и геометрическую нелинейность. Наряду с геометрическими нелинейностями для расчета критических параметров потери устойчивости и поведения конструкции при флаттере в ряде случаев важен учет неупругих свойств материалов и аэродинамических нелинейностей. Учет нелинейных факторов позволяет, в частности, обнаружить статические и динамические формы потери устойчивости при немалых возмущениях, которые могут реализоваться при меньших значениях сжимающих нагрузок и скоростей потока, чем те, которые получаются на основе линейной теории. В тонкостенных конструкциях конечные прогибы вызывают растягивающие усилия в срединной плоскости. Так, рассматривая в качестве модели обшивки бесконечно длинную пластину, лежащую на упругом основании и обтекаемую газом, приходим к уравнению [c.523]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...