Функция определенно-положительная

Видим, что если Ту является определенно положительной функцией, то должна также быть функцией определенно положительной, [c.355]

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

Примером прямолинейного движения является равнопеременное движение, заключающее в себе как частный случай равномерное прямолинейное движение. Направим ось Ох так, чтобы она совпала с направлением движения точки в начальный момент, и пусть начальная абсцисса Хо для определенности положительна. В отличие от равномерного движения, которое описывается линейной функцией [c.145]

Вспоминая 75 т. I, где вектор градиента скалярной функции по направлению определен перпендикуляром (нормалью) к поверхности уровня скалярной функции, отложенным в сторону возрастания скалярной функции, а по величине — произ водной скалярной функции по положительному направлению нормали ( внешней нормали), и принимая во внимание определяющее силу равенство (59), можем заключить, что [c.223]

Отсюда следует, что условие Сильвестра выполнено (все А > 0) и поэтому рассматриваемая функция V в окрестности нуля определенно-положительна. Заметим, что на всей плоскости х х функция [c.33]

Если изображающая точка М перемещается в сторону возрастания определенно-положительной функции V, то траектория этой точки пересекает поверхности [c.35]

V определенно-положительна (рис. 2.3, а), и внутрь поверхности V — с, если функция V определенно-отрица-тельна (рис. 2.3, б). [c.35]

Знание производной функции V позволяет наглядно проследить за движением изображающей точки. Действительно, пусть в данный момент времени t изображающая точка М занимает некоторое положение. Выберем какую-нибудь определенно-положительную функцию У и построим поверхность V = с, проходящую через точку М. Затем по формуле (2.12) вычислим в этой точке производную V" функции V. Рассмотрим три возможных случая. [c.36]

Возьмем определенно-положительную функцию [c.39]

Определенно-положительная функция [c.45]

Если функция V определенно-положительна, то областью V О будет вся окрестность нуля. Для отрицательных функций V область F О не существует. [c.49]

Действительно, по условию теоремы Ляпунова производная определенно-положительна во всех точках окрестности нуля (не нарушая общности, можно считать, что > 0) и, следовательно, она определенно-положительна и в той области, в которой функция V принимает положительные значения (область V 0). Таким образом, выполнены все условия теоремы Четаева, что служит доказательством теоремы Ляпунова. [c.51]

Функция Vi определенно-положительна относительно величин [c.61]

Если параметры системы удовлетворяют неравенству (2.59), то будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского об асимптотической устойчивости 2.3. Действительно, функция V определенно-положительна, а ее производная согласно равенству (2.58) и соотношению (2.59), отрицательна вне К и равна нулю я К i = О, и ф 0). Поэтому равновесное состояние системы i — = 0, U = О будет асимптотически устойчиво относительно тока [c.74]

Тогда будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского о неустойчивости движения 2.4. Действительно, функция V может принимать положительные значения (она определенно-положительна), а ее производная V", согласно (2.58) и (2.60), положительна вне К и равна нулю на К. Следовательно, равновесное состояние системы г = О, U = О неустойчиво. [c.74]

Из равенства (6.37) видно, что однородным силам положительного сопротивления с полной диссипацией отвечает определенно-положительная диссипативная функция F, а при неполной (частичной) диссипации — просто положительная функция F. [c.161]

Доказательство. Функция V (q, () = Г П определенно-положительна относительно совокупности координат Qk и скоростей ( I (см. теорему 2). Ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения определяется равенством (б. ) [c.173]

Функция F — — s -s удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (она определенно-положительна и ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения тождественно равна нулю (см. 2.2)), что доказывает теорему. [c.183]

Определение. Функция К(х) назьшается знакоопределенной (определенно-положительной или определенноютрицательной), еаш она в области (2.7) может принимать значения только одного знака и обращается в нуль только при X = 0. [c.85]

Условия знакоопределенности Пг получим с помощью процедуры 8[ЬУЯТЯ. Для получения условий, при которых функция П2 будет определенно-положительной, выполним команду [c.114]

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (см. 49) и этим обстоятельством следует воспользоваться так, чтобы в. положении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потенциальная энергия также равнялась нулю. По теореме Дирихле, равновесие устойчиво, если около этого положения имеется область, н которой потеициаль-ная энергия является определенно-положительной функцией обобщенных координат. Это имеет место в нашем случае [c.438]

При = ф = 0 величина П равна нулю, при остальных значениях П > О, т. е. П является определенно положительной функцие й обобщенных координат. [c.443]

Эту функцию, в соответствии с 206 первого тома, назовем функцией рассеяния, или диссипативной функцией. Как видно из формулы (II. 198а), функция рассеяния построена аналогично кинетической энергии. Выражая скорости точек системы через обобщенные скорости, найдем, что функция рассеяния — положительно определенная квадратичная форма обобщенных скоростей [c.255]

Жц равны нулю, то функция V наз1.гвастся знакоопределенной (соответственно определенно-положительной или определенно-отрицательной). Функции, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются знакопеременными функциял1и. Введенные таким образом функции V, используемые для исследования устойчивости движения, называются функциями Ляпунова. [c.29]

О экстремум минимум для определенно-положительной функции и максимум для определенпо-отрицатель ной функции). Знаконостоя1гпая я е функция в начале координат экстрему 1ма не имеет, так как в окрестности начала координат имеются точки, в которых функция V принимает значения, рапные V (0) О (во втором примере эти точки расположены па прямой х х ,, V С). [c.30]

И. ск iriamioro следует, что критерий Си гы1естра (2.S)) для квадратичной части функции V является достаточным (по не необходимым) условием определенной положительности самой функции V. [c.32]

Если функция V определенно-отрицательна, то функция — V будет определенно положительной. Поэтому достаточным условием онределенной отрицательности функции V будет критерий Сильвестра (2.9) для матрицы —С. Этот критерий имеет вид [c.32]

V = j снаружи внутрь. Действительно, по условию теоремы функция V определенно-положительна, а вне К производная f С О (рис. 2.7 )). Предполо ким теперь, что при своем движении изображаюш,ая точка М попала на многообразие К. Очевидно, что на этом многообразии [c.42]

Теорема Барбащипа — Красовского. Есла для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти определенно-положительную функцию V (х), удовлетворяющую условию [c.45]

Если постоянные А, и Xj удастся подобрать таким образом, что функция V будет определенно-положительной, то она будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (так как V = onst является также интегралом уравнений возмущенного движения). [c.56]

Из этих выражений видно, что при х > 3/ оба условия будут выполнены и, следовательно, функция будет определенно-положительной относительно х ,. Гг,, а с )ункция V — определепно-поло-нштельной относительно х , Х2, жд, х , х , что и доказывает устойчивость стационарного движеиия искусственного спутника Земли относительно величин г, г, 0, 0, ф 1). [c.61]

Функция F, опроделенно-иоложптельна относительно ж,, а функции Fj и Fj имеют одинаковую структуру. Поэтому, согласно общей теории для определения условия устойчивости невозмущенного движения волчка относительно величин а, а, Р, Р п ф, достаточно определить условие, при котором функция Fj будет определенно-положительной относительно величин x и а-4 (при этом же условии функция Fj будет опре-деленно-ноложительной относительно величин жз и х ). [c.65]

В этих равенствах кооффициеиты ai j == aj ., aj, a также Rfi — функции позиционных координат t/j,. . ., g, и постоянных интегрирования j,. . ., с, . Не останавливаясь на доказательстве (см., иаирпмер, [381), отметим, что квадратичная форма Н2 является определенно-положительной. [c.84]

Если эта функция не отрицательна, то она называется функцией рассеивания или диссипативной функцией Ре-лея-, соответствующие силы Х> = —Bq называются диссипативными силами с положительным сопротивлением (или просто диссипативными силами). Если квадратичная форма F определенно-положительна, то диссипация называется полной, в противном случае — неполной. Наконец, если функция F может принимать отрицательные значения, то среди составляющих силы D = —Bq имеются ускоряющие силы силы отрицательного сопротивления). Обычно диссипативные силы с положительным сопротивлением возникают естественным обралом при движении тел в сопротивляющейся среде, в электрических цепях при наличии омического сопротивления и т. п. Ускоряющие силы (силы отрицательного сопротивления), как правило, создаются с помощью специальных устройств (см. пример 3 6.6). [c.152]

Учтем теперь, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия П имеет минимум (см. замечания в конце 3.2). Поэтому функция Г -f- П будет определенно-положительной относительно совокупности координат д - и скоростей (см. дока.штельство теоремы Лагранжа 3.1). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова об устойчивости движения ( 2.2). [c.173]

Здесь R (д) — произвольная неконсервативная позиционная сила, В — постоянная ршотрицательная, а А д) — определенно-положительная матрип,а (см. 5.2, б). Рассмотрим функцию [c.193]

Первое слагаемое в этом выражении представляет опре-деленно-полонситольную функцию fскоростей, а второе слагаемое — mWm (q) — определенно-положительную функцию координат. Поэтому в окрестности нуля q = Q, [c.199]

Функция V, зависящая явно от t, называется опреде-ленночюложителыюй, если существует такая не зави-сяи ая от t определенно-положительная функция W (х), что в области (7.1) при достаточно малом р, и достаточно большом tf) будет [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...