Уравнение полные сложных функций

Степени Xi я х я их произведения образуют полную систему функций, которая позволяет при бесконечно большом числе членов ряда получить истинное распределение температуры (см. 4.3). Умножение ряда на Г хх, х ) обеспечивает равенство нулю температуры по контуру поперечного сечения стержня, т. е. Т" (Л4) является допустимым для (5.28) при любых значениях коэффициентов о, 61, 63 и т. д. Для поперечных сечений более сложной формы уравнение контура удобно строить с помощью методов алгебры логики [42]. [c.204]

В уравнение (9.2) входят коэффициент теплопередачи и температура пограничного слоя, которые сами, в свою очередь, являются сложными функциями параметров потока, граничных условий и времени. Для того чтобы система уравнений, описывающая тепловое состояние тела, стала замкнутой, необходимо присоединить к зависимостям (9.1) (9.3) основные соотношения газовой динамики G учетом конвективного теплообмена на границе тела и сверхзвукового потока. Однако составленная таким образом полная система дифференциальных уравнений оказывается весьма громоздкой и неудобной для анализа условий подобия и моделирования. [c.203]

Выписывая в развернутом виде проекции полного ускорения по правилу вычисления производной от сложной функции Цх, у, г. /), в которой, в свою очередь, х. у. г являются функциями времени I, можно получить с учетом найденных выражений для Рх. Ру, Рг уравнения движения (3.1.1 )- (3.1.3) в следующей форме [c.105]

Первый путь. Неинерциальный наблюдатель мог бы и в более сложном случае (например, при наличии механических связей) рассуждать так, как это делали мы выше в разобранном примере. Именно, он мог бы, составив полную кинетическую энергию (в абсолютном движении ), выразить ее через свои относительные координаты и скорости (рассматривая переносные скорости своей системы как заданные функции времени ) и воспользоваться затем уравнениями Лагранжа в их обычной записи. На [c.163]

Формальный смысл введения электрохимических и других полных потенциалов — исключение из фундаментальных уравнений зависимых переменных. В сложных системах целесообразнее, однако, пользоваться более общим методом решения, сводя расчет равновесия, как и ранее (см. 16), к задаче на условный экстремум какой-либо характеристической функции, а любые соотношения (уравнения и неравенства), существующие между термодинамическими величинами, рассматривать как дополнительные условия и ограничения, которым должны удовлетворять условно независимые переменные. Покажем еще раз возможности этого подхода на примере расчета электрохимических равновесий, хотя в данном случае он не является кратчайшим путем к решению задачи. [c.148]

Уравнения (139,3—6) с определениями j и П, согласно (139,1), (139,12) представляют собой искомую полную систему гидродинамических уравнений. Эта система очень сложна прежде всего тем, что входящие в уравнения величины р , р , л, s являются функциями не только термодинамических переменных р и Т, но квадрата относительной скорости обоих движений w = Vn — Vs)2. Последний представляет собой скаляр, инвариантный относительно галилеевых преобразований системы отсчета и относительно вращения жидкости как целого эта величина специфична для сверхтекучей жидкости, отнюдь не должна обращаться в ноль в термодинамическом равновесии, и должна фигурировать в уравнении состояния жидкости наряду с р и Т. [c.716]

Характеристические функции обладают еще одним замечательным свойством, которое в полной мере проявляется лишь при анализе сложных термодинамических систем. Применяя преобразование Лежандра к уравнению (38). т. е. вычитая из левой и правой частей уравнения дифференциалы произведения сопряженных термодинамически- [c.67]

Пока я с достоверностью не могу судить о том, получится ли подобным образом аналитическое объяснение и более сложных случаев. Я могу это только предполагать. Большинству исследователей, конечно, кажется, что при описанном выше делящемся на этапы методе первый этап дает решение более сложной проблемы, чем это собственно требуется для получения окончательного результата получения выражения для энергии, имеющего обычно вид очень простой рациональной функции от квантовых чисел. Уже применение метода Гамильтона—Якоби приводит, как известно, к большим упрощениям р ], причем отпадает необходимость в фактическом решении механических уравнений. Вместо того чтобы брать интегралы, представляющие импульсы с переменным верхним пределом, достаточно их интегрировать по замкнутому в комплексной плоскости пути, что представляет значительно меньше труда. Кроме того, если действительно известен полный [c.693]

При вариационной формулировке любой сложной задачи нужно уделять особое внимание обеспечению полного набора независимых вариаций разрешающих функций. Тогда совокупность условий стационарности вместе с дополнительными условиями для используемого функционала представляют все уравнения, необходимые для правильной формулировки задачи, в том числе и граничных условий. [c.147]

Пусть срединная поверхность задается одним из трех векторных уравнений (13.6.2). Тогда решение однородных статических безмоментных уравнений, как было показано в 13.6, выражается через аналитическую функцию г(5 (S). Точкам полного эллипсоида, двухполостного гиперболоида или эллиптического параболоида соответствует вся плоскость комплексного переменного Полюсы комплексной функции напряжения имеют такой же смысл, что и для сферы в точке = So (So отлично от нуля и бесконечности) полюс не выше третьего порядка соответствует сосредоточенным силам и моментам, а полюсы выше третьего порядка дают сосредоточенные воздействия более сложной структуры в точках S = О и S такой же смысл имеют полюсы функций (S) и (S) соответственно. Интенсивность и направление силы и момента, входящих в состав сосредоточенного силового воздействия, можно определить с помощью комплексных интегральных уравнений равновесия. Для оболочек второго порядка они выводятся так же, как для сферы, при помощи равенств (16.26.1), (16.26.2). Опуская подробности, приведем эти уравнения [c.242]

Успех метода Галеркина и его вариантов связан с удачным выбором полной систе мы функций ifk и применением достаточно точного (при больших N) способа решения уравнений (11). Широкое применение метода Бубнова — Галеркина еще в начале нашего века без использования каких-либо счетных машин при небольших N 2 3 для решения задач в относительно простых областях, в частности на основе уравнения Пуассона, было обусловлено как раз хорошим выбором базисных функций (fi и явным аналитическим способом решения (11). Дальнейшее развитие этих методов сдерживалось как трудностя ми построения полных систем базисных функций для сложных областей, так и большими трудностями решения систем (11) уже при N Б из-за очень плохой обусловленности матриц этих систем, которые усугубляются при приближенном расчете интегралов в (11), являющихся элементами этих матриц. Если первую трудность можно снять, используя, например, аппарат 1 функций [17], с помощью которого достаточно легко можно строить полные системы базисных функций (хотя и достаточно сложных) для многомерных обла стей с кусочно-гладкими аналитическими границами, то преодолеть вторую трудность значительно сложнее. Ряд рекомендаций по этому поводу дан в [18]. [c.21]

Уравнение (10.7) можно стандартным способом свести к системе алгебраических уравнений. В результате в момент времени t = t решается обычная задача теории упругости, что приводит к полному решению с момента времени / = 0. Вязкоупругий характер рассматриваемой системы особенно ясен в содержащем сумму члене в R j , / ), входящем в правую часть уравнения (10.7) и, очевидно, включающем всю предысторию до момента времени t = Необходимо, следовательно, очень большое количество вычислений, относящихся ко всем шагам по времени (см. гл. 9). Можно, однако, воспользоваться экспоненциальной природой функций X(t) и я(/) [41], характеризующих свойства материала, и использовать только ближайшую к моменту предысторию для аппроксимации силового члена R /( , (т)- Описанный выше метод был использован рядом авторов [40, 42] для решения весьма сложных задач вязкоупругости. [c.278]

При решении рассматриваемых задач можно было бы, не применяя теорем сложения, получить бесконечные системы алгебраических уравнений, если разложить левые части граничных условий на каждой из полостей по полной ортогональной системе функций [35]. Полученные при этом коэффициенты бесконечных систем выражаются через определенные интегралы сложной структуры, что вызвало бы затруднение не только при получении конкретных результатов, но и при исследовании бесконечных систем. При использовании теорем сложения соответствующие коэффициенты выражаются в явной форме через специальные функции, свойства которых известны, поэтому применение теорем сложения является предпочтительным. [c.55]

Рассмотрим простой пример. Пусть 1 = 1 и = 8п(2Ка /7г, х), где К — полный эллиптический интеграл с модулем х > 0. Так как / имеет простые полюсы, то применимы теоремы 1 и 2. Следовательно, общее решение многозначно, и уравнения движения не имеют однозначного полиномиального интеграла. Интересно отметить, что в вещественной области имеется однозначный полиномиальный интеграл—интеграл энергии, однако в комплексном фазовом пространстве эта функция имеет логарифмические особые точки. Задача о несуществовании полиномиальных интегралов уравнений (2.1) при вещественных значениях х значительно сложнее для потенциальных полей с потенциалом в виде тригонометрического многочлена она решена в 5 гл. IV. [c.336]

Функциональное уравнение Беллмана для такой задачи в общих чертах строится следующим образом. Минимизируемая величина /[т, п (т)] и согласно сказанному трактуется как функция от реализующихся значений величины Т) (т) (которая в свою очередь, вообще говоря, является сложным образованием в простейшем случае полной информации об объекте имеем Т] (т) = х (т)). При выбранном управлении и (t) (r[c.232]

Вышеприведенные формулы, которые составляют полную систему уравнений для определения характеристик турбулентности, еще довольно сложны, с одной стороны, вследствие большого числа неизвестных функций, а с другой,— из-за двойного числа независимых переменных. [c.56]

Решение интегрального уравнения (5.16) может быть найдено методом Винера — Хопфа [184]. Для возможности доведения задачи до числа целесообразно, как впервые показал Койтер [328], прибегнуть к приближенной факторизации. Для этого им было предложено аппроксимировать трансформанту Фурье ядра интегрального уравнения некоторым выражением, правильно описывающим поведение трансформанты при ы->оо и м->0. Однако аппроксимация, предложенная Койтером, и позднее более общая аппроксимация, предложенная в работе В. М. Александрова и В. А. Бабешко [24], не полно отражают поведение трансформанты, встречающейся при изучении контактных задач для цилиндрических тел [27]. Поэтому в работе В. М. Александрова и А. В. Белоконя [28] была предложена более сложная аппроксимация, полнее отражающая свойства трансформанты. Именно, учитывая, что трансформанта ЬГп (и)В и) может быть представлена в виде суммы двух функций [c.228]

Для описания работы усилительного модуля лазерной системы, в котором существен эффект распространения усиливаемого импульса от входного торца к выходному, кинетические уравнения (1.1.24), (1.2.2) должны быть соответствующим образом модифицированы. Прежде всего следует учесть, что и разность населенностей N рабочих уровней, и плотность фотонов и в усиливаемом импульсе (последняя связана с интенсивностью импульса соотношением / = сН 1Ц) являются теперь функцией двух переменных координаты г, отсчитываемой от входной грани усиливающей среды (рис. 1.11), и времени Г. (Здесь и далее мы, как и ранее, будем пренебрегать поперечным распределением N и II.) Еще нужно принять во внимание эффект распространения усиливаемого импульса и заменить ) полную производную по времени // /Г в уравнении (1.1.246) на оператор распространения Э/Эг + сд/дг. Кроме того, с целью упрощения и без того сложных нелинейных уравнений в частных производных, но без существенного ограничения общности следует пренебречь в уравнении для II членом, описывающем затухание за счет нерезонансных потерь. [c.36]

Расчет энергетических зон в любом данном кристалле, коль скоро мы выбрали подходящую аппроксимацию для обменного взаимодействия, представляет собой довольно прозрачную, хотя и исключительно сложную процедуру. Прежде всего мы должны построить затравочный потенциал и, решая уравнение на собственные значения, найти собственные функции и отвечающие им энергии. Можно затратить некоторые усилия, добиваясь путем итераций самосогласования, хотя с самого начала потенциал все-таки надо постулировать. Было детально разработано довольно много методов самих расчетов, но мы остановимся только на тех их аспектах, которые позволяют глубже понять природу твердых тел или могут послужить для нас отправными пунктами при дальнейшем изучении их свойств. Более полный обзор различных методов читатель найдет в книге [61. [c.95]

XIX столетие, в особенности его вторая половина, было эпохой замечательных успехов математической физики, Пуассон, Коши, Грин, Кирхгоф и особенно Стокс и Релей — вот очень неполный перечень имен, если его можно считать достаточным. Однако, за исключением обсуждения Стоксом вопроса о природе естественного и частично поляризованного света как суперпозиции многих поляризованных волн (разд. 5.13 этой книги), основные проблемы оптики не были решены. Поиски направлялись скорее на умение математически формулировать сложные явления, чем на проникновение в физическую сущность простых явлений. Были найдены координатные системы, в которых волновое уравнение допускает разделение переменных. Толкование Френелем принципа Гюйгенса было математически обосновано Кирхгофом. Бесселевы и родственные им функции стали могущественным оружием. Проблемой, типичной для той эпохи, было рассеяние света однородным шаром, что является одной из главных тем этой книги. Она оказалась одной из весьма трудных проблем, и, хотя многие частные случаи были рассмотрены ранее, ее полное решение было сформулировано Ми только в 1908 г. [c.17]

Воспользуемся теперь введенным выше принципом суперпозиции триплетов для построения более сложных систем, моделирующих каскадный процесс преобразования энергии в турбулентном потоке и проясняющих роль нелинейных взаимодействий различных масштабов в этом процессе. Естественно, что при таком подходе хорошо известны только свойства триплетов, составляющих всю систему, а характер решений получаемых динамических систем может быть довольно сложным и охватывать лишь некоторые черты рассматриваемого явления. Вообще говоря, разложение уравнений гидродинамики по любому полному набору ортогональных опорных векторных функций приводит к СГТ, которые можно представить в виде суперпозиции триплетов. Однако характер их зацепления может оказаться слишком сложным для анализа. Поэтому построение путем указанной суперпозиции систем, обла- [c.182]

Системы уравнений, рассмотренные ранее, конструировались с помощью суперпозиции триплетов. При этом, кроме хорошо изученных свойств отдельных звеньев этих систем, использовался принцип подобия элементов, составляющих моделируемую систему. Представляет интерес рассмотреть вопрос об интерпретации построенных уравнений с помощью каких-либо систем гидродинамического типа, получающихся при разложении уравнений гидродинамики по полному набору ортогональных функций. Такое разложение приводит к уравнениям, характер зацепления отдельных триплетов в которых, как уже отмечалось ранее, оказывается довольно сложным. Поэтом) выделение из них подсистем, описываемых наиболее активными модами (для конкретных систем с заданным способом возбуждения), с отбрасыванием ряда малоэффективных взаимодействий, позволяет исследовать свойства получаемых уравнений, которые моделируют реальные нелинейные процессы. [c.193]

Возвращаясь теперь к историческому изложению основных этапов развития теории турбулентности, упомянем прежде всего интересную работу Джеффри Тэйлора (1921) о турбулентной диффузии, в которой впервые выявилась важная роль корреляционных функций (т. е. смешанных вторых моментов) поля скорости (правда, не для обычной эйлеровой скорости течения в фиксированной точке, а для более сложной лагранжевой скорости фиксированной жидкой частицы). Однако в общем виде идея о том, что корреляционные функции и другие статистические моменты гидродинамических полей должны быть признаны основными характеристиками турбулентного движения, была впервые высказана Л. В. Келлером и А. А. Фридманом (1924), предложившими общий метод построения (с помощью уравнений движения реальной жидкости) дифференциальных уравнений для моментов произвольного порядка гидродинамических полей турбулентных течений. Определение всех таких моментов при некоторых общих предположениях эквивалентно определению соответствующего распределения вероятности в функциональном пространстве P(d o) или Pt d(u), т. е. решению, проблемы турбулентности. Поэтому полная бесконечная система уравнений Фридмана — Келлера [c.17]

До сих пор нами рассматривались лишь чисто пространственные корреляционные функции, относящиеся к одному моменту времени. Более полными статистическими характеристиками турбулентности будут пространственно-временные корреляционные функции, описывающие связь гидродинамических элементов потока в различных точках и в разные моменты времени. Динамические уравнения для пространственно-временных корреляционных функций выводятся даже проще, чем аналогичные уравнения для чисто пространственных статистических характеристик. Однако такие. корреляционные функции зависят от большего числа переменных, вследствие чего их изучение оказывается гораздо более сложным. [c.265]

Система основных уравнений (1.70)—(1.73), даже если исключить с помощью (1.73) одну переменную (например, S), все же содержит пять неизвестных и потому весьма сложна. Тем не менее, если мы хотим получить полную волновую картину распространения звука, то нельзя избегнуть этих уравнений. Основное осложнение заключается в том, что коль скоро давление в среде является функцией двух переменных (р и Г или, как мы предпочитаем, р и S), то даже в покоящейся среде, где не только отсутствуют вихри потока, но и вообще нет никакого потока, все же правая часть уравнения (1.70) не будет градиентом какой-либо функции, а в силу этого звук будет завихренным (rot = 0). Значительные упрощения получаются в том случае, когда изменения р, р, S малы на протяжении длины звуковой волны. Этот случай геометрической акустики будет рассмотрен нами подробнее в следующей главе. [c.32]

Di), где /,, /г — компоненты смещения твердой фазы по радиусу по оси л цилиндра. Функции / , 1% выражаются через функции Бесселя /о (/г,г), i = 1,2, JI (h r), где vi hg — константы, определяемые волновым числом и скоростями распространения соответственно продольных волн I и II рода и поперечных волн. При этом условия обращения в нуль нормальной и касательной нагрузок, а также порового давления, приложенных к боковой поверхности цилиндра, определяют дисперсионное уравнение, которое при незначительном влиянии жидкости в поровом пространстве сводится к известному частотному уравнению Похгаммера [101]. Полное дисперсионное уравнение весьма сложно, в связи с чем подробно исследуются частные случаи низкочастотные и высокочастотные волны в тонких стержнях. [c.142]

В отличие от обычного применяемого препаративного пути физико-химический анализ изучает не отдельные тела, а свойства полной равновесной системы, составленной из определенного числа компонентов. Получаемая при этом диаграмма состав—свойство представляет графическое изображение той сложной функции, которая определяет отношение между составом и свойствами однородных тел или фаз, образующихся в системе. Не зная в большинстве случаев алгебраического уравнения этой функции, мы можем выразить точно, графическим путем, взаимные соотношения состава и свойств, и притом не только качественно, но и количественно [1, стр. 64]. [c.20]

Теоретический анализ взаимосвязанных физико-химических, динамических и радиационных процессов и явлений в средней и верхней атмосфере представляет чрезвычайно сложную задачу. Наиболее полное и строгое исследование подобной среды может быть проведено в рамках кинетической теории многокомпонентных смесей многоатомных ионизованных газов, исходя из системы обобщенных интегро-дифференциальных уравнений Больцмана для функций распределения частиц каждого сорта смеси (с правыми частями, содержащими интегралы столкновений и интегралы реакций), дополненной уравнением переноса радиации и уравнениями Максвелла для электромагнитного поля. Такой подход развит, в частности, в монографии авторов Маров, Колесниченко, 1987), где для решения системы газокинетических уравнений реагирующей смеси применен обобщенный метод Чепмена-Энскога. Однако ряд упрощений, часто вводимых при решении сложных аэрономических задач (например, учет только парных столкновений взаимодействующих молекул, предположение об отсутствии внутренней структуры сталкивающихся частиц вещества при определении коэффициентов молекулярного обмена и т.п.), существенно уменьшает преимущества, заложенные изначально в кинетических уравнениях. [c.68]

Например, параметры, уравнение состояния, уравнение теплоемкостей Ср и j, 3(1ачение характеристической функции для сложной системы равно сумме ее значений для отдельных частей она имеет полный дифференциал. [c.81]

Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть пспользованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 б и гл. 4 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами. [c.172]

Заметим, что найденные здесь собственные значения получаются при сделанном нами предположении о ведущей, роли столкновений. Рассуждения, проведенные в конце разд. 13.3, в равной мере применимы и здесь. Если бы решали задачу на собственные значения для уравнения Власова в отсутствие столкновений, то у нас получился бы совершенно другой спектр. Из-за недостатка места здесь не можем вникать в эту задачу. Ее решение хорошо известно полное рассмотрение этой задачи читатель может найти в классических работах Ван-Кампена и Кейса. Укажем лишь на то, что в этом случае собственные значения, так же как и в (13.3.36), обладают непрерывным спектром, а собственные функции также являются обобщенными функциями (хотя и имеют более сложный вид). Тем не менее между бесстолкновительной плазмой, описываемой уравнением Власова, и системой свободных частиц существует важное различие — в первой из них могут поддерживаться коллективные плазменные колебания. Причиной столь высокой когерентности системы является кулоновское взаимодействие. [c.119]

Простота уравнения (4.5.80) обманчива, поскольку интеграл столкновений и корреляционные функции являются сложными функционалами от одночастичной функции распределения, а также зависят от самой квазитемнературы. Однако в борновском приближении уравнение (4.5.80) можно действительно записать в очень простой форме. Во-первых, в корреляционной функции (Я, Д) полный гамильтониан можно заменить на оператор так как интеграл столкновений уже имеет второй порядок по взаи- [c.324]

Это заключение подтверждается довольно сложным анализом уравнений Каданова-Вейма в нервом приближении по запаздыванию [48, 9, 130, 154]. Кинетическое уравнение, получаемое в этом приближении, сохраняет полную энергию системы с точностью до первой вириальной поправки, в то время как уравнение (6.3.81) сохраняет лишь кинетическую энергию. Другой важный результат (см. [48]) состоит в том, что с учетом эффектов памяти функция Вигнера представляется в виде суммы двух функций одна из них имеет смысл функции распределения квазичастиц, а другая описывает корреляции. [c.60]

Уравнение (8.2) является довольно сложным иитегро-дифферен-циальным уравнением, но оно в силу линейности много проще полного уравнения Больцмана. Этим уравнением, в частности, описываются малые звуковые и ультразвуковые колебания (см. 4.5), а также очень медленные движения газа. Однако в большинстве практически интересных случаев течения не являются слабо возмущенными. Например, обтекание тонких тел или даже плоской пластины, установленной параллельно потоку, сопровождается сильным возмущением функции распределения. Тем не менее исследование решений линейного уравнения позволяет выяснить ряд особенностей, свойственных и полному уравнению Больцмана (см. 4.2), [c.71]

Теплопроводность. Для того чтобы система уравнений классической механики жидкости была полной, необходимо выразить вектор потока тепла q через механические и термодинамические переменные. Мы будем исходить из обычного предположения, что q является изотропной функцией от градиента температуры и термодинамических переменных. Возможны, конечно, и более сложные ситуации, в которых процессы теплопроводности вызываются деформациями (и наоборот) 2). Однако во всех рассмотренных до настоящего времени случаях принятое нами предположение не нуждалось в уточнении. [c.209]

Описанные выше постановки контактных задач с постоянной областью контакта предполагают полное сцепление контактирующих тел. Более сложная постановка допускает наличие в пределах области контакта дополнительных участков проскальзывания. Впервые такая задача была рассмотрена в [14, 40] для полуплоскости в предположении, что участок сцепления располагается в центральной части области контакта, а по бокам от него лежат два участка проскальзывания. В работе [40] пренебре-галось трением на участках проскальзывания и решение было получено в замкнутом виде путем составления и последующего решения уравнения класса Фукса для двух аналитических функций и)2 г), описыва- [c.245]

Уравнение переноса. В этом параграфе кратко рассмот. рим эффекты, которые вызывает р сеяние не с полным пере, распределением по частоте, а с функциями, выведенными в 4.2 Перераспределение, отличное от полного, называют по-разному но чаще всего частичным перераспределением (ЧПЧ). Найтя решения уравнения переноса с этими функциями, даже численные, существенно сложнее, и они были получены позже, чем для ППЧ. Точных аналитических результатов для ЧПЧ известно совсем немного [53]. Это объясняется сложностью функций перераспределения (ФП) и тем обстоятельством, чЧто при ЧПЧ функция источников зависит от частоты. [c.212]

В настоящее время накоплен ряд сведений о том, что сложные эфиры в водных растворах минеральных кислот образуют продукт присоединения. В разбавленных растворах, в которых показатель кислотности pH совпадает с функцией кислотности по Гаммету Нц, величина pH действительно является мерой активности гидратированных протонов, и активность воды не зависит от кислотности среды. В таких растворах, где активность воды еще достаточно высока, электронейтральное органическое основание (смола), протонизируясь по атому кислорода, образует продукт присоединения с ионом гидроксония Н3О. Полный переход протона к макромолекуле происходит путем дегидратации продукта присоединения в концентрированных растворах кислот, где активность воды незначительна. Для мономолеку-лярных процессов гидролиза известно кинетическое уравнение [c.134]

Для систем дифференциальных уравнений общего вида такая нейтральная устойчивость может быть разрушена сколь угодно малыми нелинейными добавками. Для систем Гамильтона дело обстоит сложнее. Предположим, например, что квадратичная часть функции Гамильтона в положении равновесия (которая и определяет линейную часть векторного поля) знакоопределена. Тогда функция Гамильтона имеет максимум или минимум в положении равновесия. Следовательно, это положение равновесия устойчиво (по Ляпунову, но не асимптотически) не только для линеаризованной системы, но и для полной нелинейной системы. [c.351]

Перечисленные выше исследования связали два крайних случая, а именно случаи полной когерентности или полной некогерентносги. Однако полученные результаты страдали некоторой ограниченностью, так как они относились главным образом к квазимонохроматическому свету и к случаям с достаточно ма.)юй разностью хода интерферирующих пучков. Для рассмотрения более сложных ситуаций и формулировки теории на строгой основе было необходимо дальнейшее обобщение. Оно было выполнено Вольфом [15, 16] и независимо Блап-Лапьерром и Дюмонте [17] в этих работах были введены более общие корреляционные функции. Оказалось, что такие функции строго удовлетворяют двум волновым уравнениям отсюда следует, что не только оптическое возмущение, но и корреляция между возмущениями распространяются в форме волн. В свете этого вывода многие из ранее выведенных теорем получают относительно простое истолкование. [c.452]

Другой метод для определения напряжений в теле развился на основе одной заметки Эри (Airy) °). Он заметил, что в случае системы двух измерений fi3 уравнений равновесия тела под действием поверхностных сил вытекает, что компоненты напряжения могут быть представлены как частные производные второго порядка одной единственной функции. Максвелл (Maxwell) ) обобщил этот результат на случай трех измерений, для которого пришлось ввести три функции напряжений . В дальнейшем было обнаружено, что эти функции связаны между собой довольно сложной системой диференциальных уравнений ). В самом деле компоненты напряжений могут быть выражены через компоненты деформации но эти последние,не неза-] висимы вторые производные от компонентов деформации по координатам связаны системой линейных уравнений, которые выражают условия, необходимые для того, чтобы компоненты деформации могли быть выражены, согласно обычным формулам, через производные от трех проекций смещения ), Принимая во внимание эти линейные соотношения, можно составить полную систему уравнений, которым должны удовлетворять компоненты напряжения, и таким образом получить возможность непосредственного определения напряжений без предварительного состааления и разрешения диференциальных уравнений для проекций смещения ). В случае системы двух измерений, получающиеся уравнения имеют довольно простой вид, и мы можем получить много интересных решений. [c.30]

Смотреть страницы где упоминается термин Уравнение полные сложных функций : [c.289] [c.339] [c.156] [c.111] [c.235] [c.65] [c.260] [c.273] [c.543] [c.151]

Машиностроение Энциклопедический справочник Раздел 1 Том 1 (1947) -- [ c.155 ]

ПОИСК

Сложные функции —

Сложные функции—см. Функции

Сложные функции—см. Функции сложные

Уравнение сложных функций

Уравнения для функции

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...