Преобразование Лежандра

Преобразование Лежандра для функции и> определяется равенствами [c.180]

Прежде чем рассмотреть канонические преобразования, познакомимся с преобразованием Лежандра, имеющим в теории канонических преобразований существенное значение. Пусть дана какая-либо функция от п = = 2s-)-l переменных Xi,. .., Хп. [c.138]

Таким образом, соотношения (5.34), (5.36) и (5.39) определяют прямое и обратное преобразования (преобразования Лежандра). [c.140]

Аг — термодинамический потенциал, получающийся при г-кратном преобразовании Лежандра функции U (9.19) % — число частей деления системы ( 2), любой неотрицательный параметр (3.7) [c.8]

Так, величины, являющиеся термодинамическими силами имеют одинаковое значение во всех частях равновесной системы и могут, следовательно, измеряться при наличии соответствующего контакта измерительного прибора с системой и фиксироваться с помощью аналогичных свойств внешней среды. Поэтому цель преобразования характеристических функций S, и состоит в замене некоторых переменных на Zi. Основное условие, которое необходимо выполнить при такой замене, это сохранение характеристичности функции. Иначе говоря, надо ввести в качестве переменных в функцию некоторые из ее производных (9.3), так чтобы из получающейся при этом новой функции A Z q ) можно было бы однозначно восстановить исходную функцию t/(q). Только в этом случае Л(2, q ) сохранит в себе всю физическую информацию, заложенную в t/(q), и будет также характеристической. Этим требованиям удовлетворяют преобразования Лежандра. [c.80]

Преобразованием Лежандра из (9.25) получают следующие наиболее часто используемые характеристические функции энтальпию (ср. (5.34)), г=1, [c.82]

Характеристические функции, получающиеся при преобразованиях Лежандра внутренней энергии, и саму функцию (7(5, V, п) называют в целом термодинамическими потенциалами, поскольку они выполняют в термодинамике роль, аналогичную роли потенциальной энергии в классической механике. Особенно ясно эта аналогия проЯ Вляется при формулировке условий равновесия (см. гл. 4). Преобразованием естественных переменных энтропии получаются другие характеристические функции, не применяющиеся, однако, столь широко, как термодинамические потенциалы. [c.82]

Этот результат не является выражением особенностей рассмотренной системы (идеального газа), он следует из законов термодинамики. Для расчета всех овойств системы, как было показано, достаточно знать одно (фундаментальное) соотношение между ними, поэтому уравнения состояния не могут быть независимыми. Связь между ними выводится наиболее естественно- при помощи уравнений Гиббса—Гельмгольца, так называют соотношения между двумя любыми термодинамическими потенциалами, которые различаются друг от друга только одной независимой переменной, т. е. получаются один из другого при однократном преобразовании Лежандра [c.93]

Такое разнообразие выражений для элементарных работ вызвано принятыми в физике способами описания электрических и магнитных явлений, а не термодинамическими особенностями этих систем. Действительно, соотношение (19.7) показывает, что функцию и можно рассматривать не как внутреннюю энергию, а как термодинамический потенциал Ль являющийся преобразованием Лежандра функции V. Формальный смысл введения этой функции—замена переменной на сопряженную ей интенсивную переменную 6. Соотношение между V" ц. и ъ поляризованной системе подобно соотношению между Я и (У в рассмотренных выше механических системах. Так, если давление в цилиндре создается весом поршня mg, то потенциальная энергия поршня mgh = Pa)h = PV, где h — высота цилиндра, со — площадь поверхности поршня. Можно ограничить рассматриваемую систему телом, находящимся, внутри цилиндра, внутренняя энергия такой системы равна U. Но можно включить в систему и поршень, тогда внутренняя энергия равняется U + PV=H. Физический смысл слагаемых типа VdP, входящих в фундаментальное уравнение функции, Н Т, Р, п) [c.161]

Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якоби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. [c.626]

Но таким же соотношением связаны переменные р и х при преобразовании Лежандра. Кроме того, в силу выпуклости /(х) этот экстремум есть максимум. [c.628]

Теорема 9.1.3. Преобразование Лежандра выпуклую функцию /(х) переводит в выпуклую функцию (р). [c.628]

Эта функция выпукла вниз. Найдем ее преобразование Лежандра [c.629]

Доказательство. Преобразование Лежандра функции [c.631]

Найти преобразование Лежандра для функции /(х) = х /2. [c.700]

Произведем преобразование от независимых переменных х, у к независимым переменным Vx, Vy путем преобразования Лежандра. Для этого пишем [c.607]

Заметим также, что уравнение Эйлера — Трикоми можно получить и непосредственно из уравнения (119,1), переходя к независимым переменным 0, "п с помощью преобразования Лежандра, причем будет Ф = — ф - - хт) + уд, или [c.620]

Пусть Р — преобразование Лежандра функции К по переменным Pi (у = 2, 3, га). Тогда [c.247]

Такое преобразование дифференциальной формы называется преобразованием Лежандра. [c.103]

Если независимые переменные выбрать Т и р, то характеристической функцией будет функция G(T,p) = = U—TS+pV. Действительно, перейдем в уравнении (5.13) с помощью преобразования Лежандра к переменным Тир, прибавив к обеим частям дифференциал d pV), тогда d(F+/7K)= — [c.104]

С помощью преобразования Лежандра [прибавляя к обеим частям выражения (5.23) дифференциал d(—Г +р )] переходим от дифференциалов d5 и dF к дифференциалам независимых переменных Тир. Тогда [c.106]

Найдем этот потенциал и дифференциальное его выражение, для чего перейдем в формуле (5.42) с помощью преобразования Лежандра к дифференциалам переменных V, Т, Ц . Тогда [c.116]

Геометрически преобразования Лежандра объясняются возможностью двойственного олисания. поверхности в многомерном пространстве с одной стороны, такая (rf-f-1)-мерная поверхность может быть задана в виде зависимости (d-f-l)-ft координаты от остальных d координат, U=U tji,. .., да), т, е. набором точек в пространстве (U, qu. .., Qd), с другой стороны, в виде набора координат касательных плоскостей к поверхности lJ(qu qa) в каждой ее точке (сама поверхность является тогда огибающей семейства плоскостей), Если функция Ь ци. .., Qd) всюду строго"выпуклая (см. с. 185), то никакие две ее точки не могут иметь касательных плоскостей с одинаковыми координатами и оба способа представления являются однозначными и взаимообратимыми. [c.80]

Если характеристическая функция U (или S) определена на некотором конечном интервале значений переменных, то и новая функция Аг, где г—кратность преобразования Лежандра функции f/(q), должна существовать в том же интервале естественных переменных, поэтому. необходимое и достаточное для (преобразования Лежандра условие ненулевых значений (9.24) должно соблюдаться в каждой точке этого интервала. В дальнейшем (см. 12, 13) будет показано, что это имеет место для любой фазы в области ее термодиламической устойчивости, но не для большинства гетерогенных систем. [c.81]

Независимые переменные в уравнении Гиббса—Дюгвма только интенсивные величины — термодинамические силы, поэтому его можно рассматривать как результат последовательной замены всех q на Z в функции U (q) либо а других термодинамических потенциалах. При полном d-кратном преобразовании Лежандра функции L (q) получается характеристическая функция [c.84]

Определение 9.1.1. Преобразованием Лежандра функции /(х) Нс1зывается функция [c.627]

Теорема 9.1.1. Преобразование Лежандра инволютивно если при преобразовании Лежандра / переходит в д, то д при преобразовании Лежандра перейдет в /. [c.627]

Эти два уравнения задают параметрическое представление кривой f(a). Кривая f(a) характеризует меры, описываюплие распределение популяции и эквивалента последовательности показателей массы i(q). Пара уравнений (2.41) задает преобразование Лежандра от независимых переменных т и q к независимым переменным f и а. [c.115]

Преобразование Лежандра. Функция ГамильтО) а. В урав-пеииях Лагран)1 а второго рода d dL dL [c.240]

В курсах математического анализа показывается ), что нреобра-аование Лежандра имеет обратное, причем если X при преобразовании Лежандра переходит в Y, то преобразование Лежандра ог [c.241]

Основы термодинамики (1987) -- [ c.80 ]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.627 ]

Теоретическая механика Том 2 (1960) -- [ c.376 ]

Лекции по аналитической механике (1966) -- [ c.86 ]

Классическая механика (1975) -- [ c.240 ]

Механика (2001) -- [ c.300 ]

Вариационные принципы механики (1965) -- [ c.190 , c.192 , c.193 ]

Теоретическая механика (1999) -- [ c.283 , c.284 ]

Аэродинамика Часть 1 (1949) -- [ c.377 ]

Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике (1995) -- [ c.23 ]

Аналитическая механика (1961) -- [ c.499 , c.500 ]

Математические методы классической механики (0) -- [ c.59 , c.332 , c.452 ]

Динамика твёрдого тела (2001) -- [ c.35 , c.40 , c.51 , c.53 ]

Биллиарды Введение в динамику систем с ударами (1991) -- [ c.150 ]

Динамические системы-3 (1985) -- [ c.35 ]

Динамические системы - 8 (1989) -- [ c.98 ]

Современная термодинамика (2002) -- [ c.138 , c.139 , c.193 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...