Первый интеграл полиномиальный

Уиттекер и Биркгоф исследовали задачу о наличии полиномиальных интегралов первой и второй степени [18, 163]. Отметим, что задача о полиномиальных интегралах невысокой фиксированной степени может быть решена вполне элементарными средствами. Однако если степень интеграла заранее не фиксирована, то эта задача существенно усложняется [c.66]

Обсудим теперь задачу о наличии у системы (4.17) дополнительных первых интегралов, полиномиальных по и и г . Легко видеть, что каждый такой интеграл является конечной суммой квазиоднородных полиномиальных интегралов, степени квазиоднородности которых по переменным ик. V равны соответственно 1 и 2. Итак, пусть Г и,ь) — квазиоднородный интеграл системы (4.15) степени т. Согласно теореме 1 3, если точка щ = [/ , Vi = Vi, где /7 , Vi определяются из (4,17), не является критической точкой функции Г, то число т совпадает с одним из указанных выше характеристических корней р. Следует отметить, что не все интегралы удовлетворяют этому условию исключение составляют тривиальные интегралы Ф из серии (4.16). Екли имеются к квазиоднородных интегралов одной и той же степени т, независимых в точке и, ь) = и, V), то корень р = т имеет кратность не менее к. [c.356]

В ограниченной задаче трех тел известны более слабые результаты о неинтегрируемости. Пуанкаре доказал отсутствие дополнительных интегралов, аналитических по массам / 1 и / г тяжелых точек [225]. Либре и Симо [216], используя метод квазислучайных движений по В. М. Алексееву, доказали несуществование нового аналитического интеграла при условии, что масса одного из тел мала. Кроме этого, известен результат К. Зигеля [229] об отсутствии новых алгебраических первых интегралов это утверждение доказывается методом Брунса. По-видимому, ограниченная задача трех тел не допускает полиномиальных по импульсам первых интегралов, независимых от интеграла энергии. [c.147]

Действительно, если уравнение (3.1) допускает интеграл нечетной степени, то имеется линейный интеграл (см. первое утверждение теоремы 1). Екли же степень полиномиального интеграла четная, то из второго утверждения теоремы легко выводится, что [c.383]

Зафиксируем трехмерную поверхность уровня Н=к)с1ТМ интеграла энергии. Локально непостоянная измеримая функция Р на уровне [Н—Ь) называется условным по Биркгофу первым интегралом системы, если она постоянна вдоль почти всех траекторий энергии /г [32, гл. И]. В этом параграфе рассматриваются условные интегралы, полиномиальные по скорости (импульсу) и гладкие класса С" по координате. [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...