Выбор базисных функций

Это уравнение инвариантно относительно выбора базисных функций 2(0- [c.239]

Методом Галер кина могут быть решены (и решены) многие другие задачи устойчивости прямоугольных и круглых пластин. Но при всех достоинствах этот метод нельзя считать универсальным методом решения задач устойчивости пластин. Основной недостаток метода Галеркина связан с необходимостью удовлетворения всех граничных условий при выборе базисных функций. Геометрические граничные условия можно выполнить сравнительно легко, но даже для пластин простой формы трудно выбрать базисные функции, удобные для математической обработки и удовлетворяющих всем силовым граничным условиям. Например, в задачах устойчивости прямоугольных пластин с одним свободным краем чрезвычайно трудно подобрать удобную систему базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям на свободном краю. Это замечание относится и к пластинам с упруго закрепленным краем или пластинам с отверстиями. Во всех такого рода задачах приближенное решение удобнее получать энергетическим методом. [c.177]

Построение ПД с учетом динамики робота сводится к решению двухточечной краевой задачи с граничными условиями (2.43) и ограничениями (2.44)—(2.46). Многие известные методы решения краевых задач здесь малоэффективны или даже непригодны. Трудности усугубляются высокой размерностью и нелинейностью уравнений динамики (2.2), а также сложным характером ограничений (2.44)—(2.46). Эффективным методом динамического синтеза ПД является метод параметризации ПД с учетом граничных условий (2.43), накладываемых на начальное и конечное состояния робота [107, ИЗ], В этом методе воплощена идея априорного выполнения граничных условий (2.43) и учета структурного ограничения (2.46). Это достигается за счет специального выбора базисных функций. В таком подходе заложен глубокий смысл при отыскании приемлемых параметров ПД уже не нужно за- [c.52]

Первая и важнейшая задача в рамках параметрического метода построения ПД заключается в рациональном выборе базисных функций. Рассмотрим некоторые примеры и общие рекомендации по конструированию базисных функций. Примером базисных функций, удовлетворяющих сформулированным требованиям, могут служить полиномы [c.53]

В самом деле, при таком выборе базисных функций и при любых [c.53]

Другим примером рационального выбора базисных функций могут служить тригонометрические многочлены [c.54]

В современной вычислительной практике нормальная система, как правило, не используется. Одна из проблем состоит в том, что при отсутствии специального выбора базисных функций фд, ф[,.... .., уже при т > 5 нормальная система обычно оказывается очень плохо обусловленной. Для решения линейной задачи метода наименьших квадратов применяются другие, более надежные методы, учитывающие, например, информацию о погрешности данных и относительной точности используемой ЭВМ (об одном из таких методов см. [33, 74]). Есть и методы, предваряющие решение нормальной системы численной ортогонализацией системы базисных функций [34]. [c.136]

В каждом из этих вариантов почти такая же, как и в методе взвешенных невязок. Точность вычислений почти не зависит от положения контрольных точек при выборе базисных функций по формулам (18.65) или (18.66). [c.443]

Успех метода Галеркина и его вариантов связан с удачным выбором полной систе мы функций ifk и применением достаточно точного (при больших N) способа решения уравнений (11). Широкое применение метода Бубнова — Галеркина еще в начале нашего века без использования каких-либо счетных машин при небольших N 2 3 для решения задач в относительно простых областях, в частности на основе уравнения Пуассона, было обусловлено как раз хорошим выбором базисных функций (fi и явным аналитическим способом решения (11). Дальнейшее развитие этих методов сдерживалось как трудностя ми построения полных систем базисных функций для сложных областей, так и большими трудностями решения систем (11) уже при N Б из-за очень плохой обусловленности матриц этих систем, которые усугубляются при приближенном расчете интегралов в (11), являющихся элементами этих матриц. Если первую трудность можно снять, используя, например, аппарат 1 функций [17], с помощью которого достаточно легко можно строить полные системы базисных функций (хотя и достаточно сложных) для многомерных обла стей с кусочно-гладкими аналитическими границами, то преодолеть вторую трудность значительно сложнее. Ряд рекомендаций по этому поводу дан в [18]. [c.21]

О выборе базисных функций Р(ж, t) [c.218]

Выбор базисных функций [c.16]

Для подтверждения этих положений составлены три варианта разрешающих уравнений теплопроводности, отличающиеся выбором базисных функций и неизвестных. На рис. 3.9 показано изменение во времени температуры в центральной точке поверхности г = Л/2 пластины при решении задачи о тепловом ударе, сформулированной относительно коэффициентов разложения температурной функции в ряд по нормированным полиномам Лежандра (рис. 3.9, а) [c.123]

Процедура сглаживания может быть построена на основании использования параметрической (физической или формальной) либо непараметрической моделей сигнала y (i) в (1.44). В первом случае она фактически сводится к процедуре оценивания неизвестных параметров модели, которая рассмотрена в гл. 2. При этом в качестве формальных моделей используются полиномы или ряды типа (1.21) и проводится оценка их коэффициентов Yi. Сглаживание значений г/(if) рядами целесообразно при таком выборе базисных функций, при котором малая погрешность аппроксимации достигается при не слишком большом числе членов. При сглаживании сложных сигналов целесообразно разбить интервал аппроксимации на участки, позволяющие использовать семейство простых функций, в частности многочленов невысоких порядков (<3) —сплайн-функций, которые состыкованы так, чтобы на граничных участках не было разрывов сигнала y (t) и нескольких его производных [c.28]

Основная идея метода Бубнова — Галеркина состоит в том, что приближенное решение однородной краевой задачи ищется в виде линейной суперпозиции конечного числа некоторых базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Коэффициенты разложения определяются из интегральных условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базисной функции. Таким образом, задача сводится к решению системы алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. В качестве базиса обычно выбираются первые функции какой-либо полной системы. Успех в применении метода определяется выбором базисных функций и числом этих функций, входящих в разложение. При удачном выборе базиса достаточно точные результаты получаются уже при аппроксимации решения сравнительно небольшим числом функций. [c.28]

Несмотря на последнее замечание, предложение 4 дает ясные но смыслу и легко выполнимые достаточные условия для выбора базисных функций К тому же в практически интересном случае N т эти условия будут похоже близки к необходимым. [c.157]

Из каких соображений выбирается система базисных функций <Рк(0, к— П При выборе базисных функций принимаются во внимание следующие два обстоятельства во-первых, обеспечить максимально точное в определенном смысле приближение к истинной величине х 1) и, во-вторых, способствовать, по возможности, снижению Рис. зл [c.49]

Таким образом, решение уравнения переноса энергии свелось к решению системы линейных уравнений (13.101) с учетом дополнительных условий, получаемых подстановкой (13.100) в граничные условия для температуры. Для решения этой системы следует сделать выбор базисных функций и определить метод ее решения. Базисные функции, построенные на основе метода [c.571]

Вернемся теперь к расчету функции корреляции первого порядка для стационарных полей. Из равенств (14.12) и (14.9) мы видим, что при подходящем выборе базисных функций всегда можно записать функцию корреляции в форме разложения вида [c.136]

Выбор базисных функций < и -> для получения оператора [c.164]

Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли С в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления О играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы для классической задачи (см. IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан-том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций [c.230]

Проекционные методы имеют более широкое применение по сравнению с вариационными, которые могут быть сведены к адекватному выбору базисных функций. Однако, когда это возможно, представляется интересным использовать принцип виртуальных перемещений, поскольку он дает физическую интерпретацию, помогающую определить некоторое число глобальных величин с минимумом дополнительных расчетов и, что особенно важно, с высокой точностью, достигаемой за счет соответствия между физической сущностью этих величин и вариационным аспектом (часто энергетическим) метода расчета. Рассмотрим вариационные формулировки, а затем проекционный метод, называемый методом Галеркина, и проведем параллель между этими представлениями [c.14]

Очевидное преимущество использования моделирующей непрерывной однородной среды состоит в том, что оно сразу дает определяющие уравнения вместе с граничными и начальными условиями. Как только такая модель построена, ее можно применять к изготовленным из композита телам конечных размеров и произвольной формы. В то же время в подходах, использующих уравнения теории упругости для отдельных компонентов композита в сочетании с прямыми методами вариационного исчисления или асимптотическими разложениями, требуется разумный выбор множества базисных функций для каждого конкретного тела. [c.375]

Погрешность в вычислении интегральной интенсивности фона в основном зависит от правильности выбора базисных линий. Поскольку рентгеновские пики на рентгенограммах наноструктурной Си преимущественно описываются функцией Лоренца, т. е. имеют длинные хвосты, то оказалось очень трудно достаточно точно определить место, где кончается рентгеновский пик и начинается фон 79-82]. Для уменьшения погрешности базисные линии выбирали таким образом, чтобы их концы совпадали с концами широких интервалов углов дифракции, в которых производилась съемка рентгеновских пиков [79-82]. Как показано в работах [80, 81], ИПД Си приводит к росту интегральной интенсивности диффузного фона рассеяния рентгеновских лучей на 6 3 %. [c.79]

Соотношения (8.2), (8.3), связывающие Ji, J2, J3 и Yij. У Ч о) с главными значениями Ха, Хь, Кс, выводятся в Упражнениях к главе 2, задачи Яэ 7—9. Базис, используемый для определения величин уг , y Hio), произвольный, поэтому соотношения напряжение — деформация, которые будут получены из скалярной функции (8.11) с помощью (8.2), имеют форму, существенно не зависящую от выбора базисных векторов. [c.208]

Для того чтобы численно решить уравнения (18,52) и (18.55), в расчетах пространственных полей используется МКЭ, а для определения временных зависимостей — МКР. Для начала вся граница С условно разбивается на отрезки конечной длины — конечные элементы (рис. 18.5). В каждом элементе функции ф, т , В и D приближаются комбинацией значений этих величин в узловых точках и интерполяцией. Базисная функция линейна по S, причем S измеряется вдоль элемента. Далее, для выбора значений в контрольных точках, которыми считаются узловые точки, к уравнению (18.52) применяется метод коллокации. Таким образом, при дискретизации уравнение (18.52) заменяется системой алгебраических уравнений относительно Ф , т] и Л , причем индекс i означает, что величина относится к узловой точке i, а точка означает дифференцирование по времени. С другой стороны, при дискретизации уравнения (18.55), принимая во внимание произвольность величин получаем другую систему уравнений относительно фг, ф , T)i, т и bi ). Поскольку эти системы уравнений нелинейны относительно неизвестных величин, для численного решения используется метод возмущений. Пусть [c.437]

Цель настоящего параграфа —показать, что сформулированные в предыдущей главе методы решения задач теории упругости по существу совпадают с описанным в 2 приложения II методом Ритца при специальном выборе базисных функций ф,-, и наметить путь к обоснованию, состоящему в доказательстве теорем о сходимости и оценке погрешности. [c.157]

Таким образом, описанный в предыдущей главе метод решения краевых задач теории упругости может быть сведен к методу Ритца при специальном выборе базисных функций в последнем [c.160]

Основные преимущества МКЭ проистекают из его сеточного (разбивка на конечные элементы) и вариационного (использование вариационных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный подход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЭ облегчает известные трудности, связанные с выбором базисных функций в вариационньк методах. В классических вариационных методах, изложенных в гл. 1.4, этот выбор сильно усложняется их зависимостью от конфигурации рассматриваемой области. В МКЭ такой зависимости нет. Влияние сеточных методов на МКЭ приводит к тому, что разрешающие системы алгебраических уравнений оказываются хорошо обусловленными, с редко заполненными матрицами, и, что очень важно, формирование таких матриц оказывается сравнительно простым. [c.54]

Из вьппеизложенного следует, что МКЭ можно трактовать как специфический вариационный метод. Специфика состоит в выборе базисных функций, которые отличны от нуля в ограниченном числе смеящых конечных элементов и, следовательно, носят локальный характер. Именно это и обеспечивает решающее преимущество МКЭ перед классическими вариационными методами. Каждый из методов гл. 1.4 можно рассматривать как частный случай МКЭ, при котором вся область рассматривается как один конечный элемент. [c.54]

Обоим требованиям можно удовлетворить, задав dim(p) = = dim(q)—г, а также путем соответствующего выбора базисных функций Or из (3.23). Подобный выбор Or В ранни.х разработках осуществлялся методом проб и ошибок, а также на основе интуиции, однако в последнее время была разработана рациональная теория [33—37] выбора а при заданном и. Таким образом, теперь разработка устойчивых матриц жесткости гибридных трещинных элементов в напряжениях, имеющих необходимый ранг и т. п., может быть осуществлена рутинным способом. [c.202]

Метод конечных элементов с использованием перемещений в качестве основных неизвестных представляет одну из наиболее удобных модификаций метода Ритца. Легко показать, что при определенном выборе базисных функций в векторном методе мож1Ю получить обычный метод конечных элементов. Как уже было отмечено, недостатком МКЭ является жесткая связь между числом представительных точек и числом базисных функций для перемещений (последнее непосредственно связано с числом КЭ). Поэтому для многих прикладных задач при использовании имеющейся вычислительной техники расчет кинетики неупругого деформирования с помощью МКЭ оказывается практически невозможным из-за чрезмерной трудоемкости (большая величина произведения m (2п + fn), характеризующего не только требуемую оперативную память, но и число операций в одном упругом решении). При этом в ряде случаев большое число т не дает существенного уточнения и потому является излишним, расчет с тремя—десятью базисными функциями был бы вполне адекватен. Таким образом, использование векторного метода дает преимущества, но по сравнению с МКЭ он проигрывает из-за необходимости подбора базисных функций, который может представлять серьезную проблему. В МКЭ задание базисных функций является наиболее ёстественным и унифицировано для любых задач. [c.222]

Выше было показано, что в процессе ортонормализации базиса из большого числа базисных функций можно отобрать меньшее, отбрасывая близкие к линейно зависимым. Это наталкивает на мысль, нельзя ли, задав набор базисных функций так же, как это принято в МКЭ, затем его сократить, выбрав наилучшие комбинации из задаваемых Это позволило бы решить проблему выбора базисных функций, и в то же время число т можно было бы принимать произвольно, соизмеряя желаемую точность с располагаемым временем счета. Не будем останавливаться на выводе формул МКЭ, он хорошо известен [26, 75]. Так и иначе, при решении неупругой задачи методом дополнительных деформаций с использованием МКЭ получаем матрицы, необходимые для реализации обычного процесса упругого решения [c.222]

Широко известный метод конечных элементов (МКЭ) позволяет преодолеть вторую трудность за счет очень специфического способа выбора базисных функций (fi — конеч ных элементов, отличных от нуля лишь в малых подобластях области D, но приводит к необходимости брать достаточно большое число таких элементов. Фактически МКЭ уже не имеет ярко выраженной в классических методах Ритца и Бубнова-Галеркина аналити ческой природы и в некотором смысле более близок к проекционно-разностным подходам. [c.21]

В работе [420] при вычислении IP кластеров методом S F L AO хорошее согласие с экспериментом [721, 722] (табл. 19) достигнуто путем оптимального выбора базисных функций. [c.232]

За счет выбора базисных функций Фзтп должны удо- [c.488]

Выражение (1.21) в этом случае назовем спектральной моделью сигнала с дискретным спектром [14]. Число слагаемых в (1.21) характеризует размерность модели. Очевидно, что выбор базисных функций существено влияет на качество дальнейшего оценивания параметров сигнала. Помимо указанных выше свойств базис должен обеспечивать как можно меньшую размерность модели сигнала. Чрезмерное увеличение размерности, хотя и может повысить точность аппроксимации, но значительно усложнит алгоритм оценивания. Влияние внешних шумов и шумов , определяемых точностью реализации процедуры оценивания, также способствует тому, что более точные спектральные модели сигнала высокой размерности могут оказаться нецелесообразными. [c.22]

В принципе, уравнения движения и схема метода для этой задачи в трехмерном случае ничем не отличаются от уравнений (1)-(3) 7.1. Однако, с точки зрения реальных вычислений, выбор базисных функций здесь очень сугцественен. Онисанный в 5 7.1 алгоритм вычисления матрицы линейной системы (8) (скалярных произведений (9)) содержит порядка Мт /2 операций, где N — обгцее число частиц, а т — число базисных функций, не-эесечение носителей которых содержит данную частицу. При использовании квадратичных Д-сплайнов, в двумерном случае т = 9. В трехмерной задаче для построения соленоидальных базисных функций удобно аппроксимировать сплайнами векторный потенциал, при этом т возрастает до 81. В результате, число операций при вычислении матрицы увеличивается на два порядка. При использовании хорогаих итерационных методов регаения [c.184]

Таким образом, решение уравнения переноса энергии сводится к поиску решения системы дифференциальных равнений относительно неизвестных функций д ), которые совместно с начальными условиями образуют задачу Коши. При этом необходимо учесть граничные условия для г. Для решения такой системы уравнений необходимо осуществить выбор базисных функций с учетом требуемой точности расчетов и особеннос- [c.553]

Число учитываемых членов разложения и сам выбор базисных функций fj для различных вибраторов могут быть неодинаковыми в зависимости от размеров и формы каждого вибратора. Результирующее электрическое поле у поверхности каждого из вибраторов слагается из стороннего поля собственного источника ЭДС, поля, создаваемого током в самом нибраторе, и полей, создаваемых у поверхности этого вибратора токами во всех остальных вибраторах. Тангенциальное электрическое поле у по-вмхности т-то вибратора, создаваемое составляющей тока зиНк) В к-м вибраторе, можно записать в виде [c.109]

При выборе базисных функций можно ограничиться вьшoлнeнИf ем лишь геометрических условий. Выбранные в соответствии с этими последними условиями базисные функции, будучи подчи-нены затем уравнению (9.46), удовлетворяют и динамическим ловиям, что можно видеть из вариационного уравнения, записав ного в форме (9.27) [c.358]

Эти выражения показывают, что коэффициенты hjk связывают входной вектор х и выходной у и, следовательно, полностью характеризуют систему датчик — испытуемый объект. Поскольку составляющие кь можно получить точно так же, как и компоненты х(0 в схеме на фиг. 7.21, коэффициенты можно найти непосредственно, подавая на вход датчика базисные сигналы и фильтруя результат, как показано на фиг. 7.22. Литман и Хаггинс [21] предложили этот метод, а также способ оптимального выбора базисных функций, (т. е. в данном случае испытательных сигналов) для обнаружения малых изменений параметров. [c.257]

Пример 4.6. Возьмем в качестве 2 множество точек, показанных на рис. 4.7 ( 5, в, 07, йа —середины сторон, ад —центр тяжести), подобный выбор Miro-жества 2 обусловлен, как и ранее, тем, что середины сторон, так же как и центр тяжести, являются инвариантами аффинного преобразовании. Утверждается, что 2 является Q2 Pa3pemHMbiM, причем базисные функции даются формулами [c.168]

В-третьих, повторим, что в МРР используются обычно глобальные базисные функции, тогда как в МКЭ применяют локальные базисные функции (см. задачи 1—3 в конце этой главы) Известно, что разумный выбор глобальных базисных функций является зачастую залогом успешного применения МРР (см. 1.5). Однако, вообще говоря, это непростой вопрос, особенно в двух- и трехмерных задачах со сложиы.ми граничными условиями. С другой стороны, МКЭ использует локальные базисные функции, которые выбирать зачастую проще, чем глобальные. Не будет преувеличением сказать, что до появления МКЭ метод Релея—Ритца не считался эффективным методом решения практических задач. [c.431]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...