Метод Чепмена—Энскога

Метод Чепмена—Энскога. В 1911—1920 гг. Чепмен и Энског разработали метод решения кинетического уравнения Больцмана, основанный на теории возмушений. По этому методу функция распределения разлагается в степенной ряд по малому параметру е, используя в качестве нулевого приближения локальное распределение Максвелла о [c.143]

Мера Винера — 92 Метод Чепмена—Энскога — 143, 144, 235 [c.240]

Метод Чепмена — Энскога решения уравнения Больцмана [c.103]

Наиболее часто для решения уравнения Больцмана с целью получения коэффициентов переноса применяют метод Чепмена— Энскога. [c.103]

В соответствии с методом Чепмена-Энскога, будем искать решение (4.2) в виде оо [c.445]

G помощью метода Чепмена — Энскога получено решение обобщенного уравнения Больцмана в первом и втором приближениях, т. е. аналоги уравнений Эйлера и Навье — Стокса. Проанализирован случай, когда в первом приближении релаксационные уравнения могут быть приведены к уравнениям типа Ландау — Теллера [2] (частным случаем такой моде- [c.105]

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА МЕТОДОМ ЧЕПМЕНА — ЭНСКОГА [c.41]

Решение уравнения (3-1) можно получить по методу Чепмена — Энскога.[Л. 2] в виде [c.69]

Кинетическое уравнение (3.1.72) может служить основой для построения групповых разложений коэффициентов переноса с помощью метода Чепмена-Энскога [78] [c.179]

Идея метода Чепмена — Энскога заключается в разложении оператора 8 в случае, когда величины рР не разложены. При этом предполагается, что хотя зависимость рР от 8, вообще говоря, неаналитическая, но оператор 8 аналитичен по 8 (или по крайней мере имеет асимптотическое разложение по степеням 8). Это предположение отнюдь не противоречиво, так как, например, в уравнение Навье — Стокса вязкость и теплопроводность входят аналитически (именно линейно), а средних решений есть, в общем случае, такие, которые нельзя разложить в ряды по этим параметрам. Чтобы формализовать эту идею в алгоритм, заметим, что уравнения (3.1) можно записать в виде [c.122]

В методе Чепмена — Энскога делается попытка преодолеть одну из многочисленных неоднородностей разложения Гильберта. В качестве исходной здесь используется макроскопическая информация о том, что, кроме кинетических слоев (порядка е), в окрестности границ суш ествуют и вязкие слои (порядка 8 /2), и дается единое описание как вязких слоев, так и нормальных областей. В то же время этот метод ликвидирует неоднородность финального слоя , так как в нем учитываются вклады различных порядков по 8 в производные по времени от пространственных производных. На самом деле факты существования вязких слоев и финального слоя взаимосвязаны, и в теории Чепмена — Энскога проста принимается во внимание существование и практическая важность режимов с, (еЛ 1 (где Т ж д. — характерные время и длина Т можно заменить другой характерной длиной, отличной от д). [c.130]

В методе Чепмена — Энскога оператор (рР) (существование которого доказано по крайней мере в асимптотическом смысле для 8 О при помощи разложения Гильберта) разлагается в ряд по дифференциальным операторам, несмотря на то, что о свойствах (рР) ничего не известно. Очевидно, что такой метод может вводить посторонние решения. Проиллюстрируем это на примере оператора Agi [c.131]

Предложенный метод Ы 1) идентичен методу Чепмена — Энскога вплоть до приближения Навье — Стокса. Дальнейшие приближения аналогичны разложению Гильберта существенными отличиями будут только следующие вместо линеаризованного оператора Эйлера входит линеаризованный оператор Навье — Стокса полная система уравнений сохранения выписывается на каждом втором (а не на каждом) шаге. [c.132]

Ситуация иная в случае пограничных слоев. Мы уже знаем, что разложение Гильберта полностью ие замечает не только кинетические пограничные слои, но также и вязкие пограничные слои последние выявляются при помощи метода Чепмена — Энскога и метода, кратко описанного в 4. В то же время кинетические слои порядка 8 опускаются всеми описанными до-сих пор разложениями по степеням е чтобы восстановить их, мы должны применить растянутую переменную X = х1 г, аналогичную переменной т, использованной выше для начального слоя. [c.136]

Метод Чепмена — Энскога изложен в работах [c.139]

Чтобы исследовать менее тривиальные примеры нормальных решений, примем экспоненциальную форму зависимости от пространственных и временной переменных тогда зависимость от скорости определяется членом g ( ), удовлетворяющим уравнению (6.1). Если вспомнить, что в методе Чепмена — Энскога [c.168]

Связь с методом Чепмена — Энскога [c.214]

Другая связь между методами элементарных решений и теорией Чепмена — Энскога прослеживается в двумерных течениях действительно, обычно в линеаризированном исследовании нельзя удовлетворить условиям на бесконечности ( 6 гл. 6), и приходится искать методом Чепмена — Энскога внешнее решение из уравнений сплошной среды, в то время как внутреннее решение выражается через элементарные решения. [c.214]

Как было указано в конце предыдущего раздела, большим преимуществом метода Чепмена — Энскога является то, что он приводит непосредственно к уравнениям Навье — Стокса — Фурье для вязкой сжимаемой жидкости. Но плохо то, что он ведет к уравнениям более высоких порядков, статус которых неясен, а практическая ценность ничтожна. Это происходит потому, что, согласно (3.6), допускаются режимы не только с но также и с (е т) 1 (/г 2). В результате финальный слой описывается слишком подробно (физически неуместно), и к тому же учитываются пограничные слои (возможно, несуществующие) порядка 8 + ) (я 2). Практически мы усложняем уравнения либо не относящимися к делу, либо несуществующими подробностями. [c.275]

Тот факт, что разложение Чепмена — Энскога может вносить решения, которые просто не существуют, не является странным. Действительно в методе Чепмена — Энскога оператор 5° (рР) (существование которого доказано, по крайней мере асимптотически при 8-> О с помощью разложения Гильберта) разлагается в ряд по дифференциальным операторам, несмотря на то что о свойствах 5 (рР) ничего не известно. Такая процедура не [c.275]

Эти два метода в своей основе различны, поскольку параметры разложения совершенно разные отклонение начальных и граничных распределений от однородного распределения в случае линеаризации и отношение средней длины или среднего времени свободного пробега к другим характерным длинам или временам в случае разложения Чепмена — Энскога. Таким образом, локальные градиенты в последнем случае и глобальные разности в первом должны быть малы. Ясно, что, если реализуются оба обстоятельства, то метод Чепмена — Энскога можно [c.278]

Для пограничных слоев возникает ситуация, в принципе аналогичная описанной выше, но практически существенно отличающаяся от нее. Мы уже знаем, что в разложении Гильберта совершенно не представлены не только кинетические, но также и вязкие пограничные слои последние учитываются методом Чепмена — Энскога и методом, кратко описанным в разд. 4. Но кинетические слои порядка г отсутствуют во всех существующих разложениях по степеням е чтобы учесть их, нужно использовать растянутую переменную X = х/г, аналогичную переменной т, использованной ранее для начального слоя. [c.283]

ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ ЧЕПМЕНА ЭНСКОГА 291 [c.291]

Дальнейшие замечания о методе Чепмена — Энскога [c.291]

Применение метода Чепмена — Энскога к линеаризованному уравнению Больцмана уже рассматривалось в конце разд. 4. Здесь мы только отметим, что упрощение по сравнению с полным уравнением обусловлено отсутствием 5п в уравнениях (2.6) и (ЗЛО). [c.291]

Использование в нулевом приближении локально максвелловского распределения имеет сходство с методом Чепмена—Энскога, [c.183]

Как и в случае простого газа, приближенное решение уравнений (8.46), (8.47) находится методами Чепмена—Энскога или Трэда. [c.150]

Математические модели физического явления 135 Метод Чепмена — Энскога 103 Модифицированные соотношения Ренкина — Гюгонко 397 Молекулярная масса смеси 53 Молекулярный признак 19 Молярная концентрация 53 Молярно-объемная концентрация 53 [c.459]

Известно, что решение уравнения Больцмана в первом приближении приводит уравнение (1-5-9) к форме уравнения Навье—Стокса. Второе приближение, найденное Барнеттом по методу Чепмена—Энскога, вводит в систему уравнений движения новые члены, которые уже в какой-то степени учитывают изменения градиентов скоростей и температур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно известно под названием супербарнеттовского решения. [c.37]

Представление о нормальных функциях распределения лежит в основе традиционных методов решения уравнения Больцмана (или других кинетических уравнений). Оно было введено Гильбертом в 1912 г. Для этого великого математика уравнение Больцмана явилось прекрасным примером нелинейного интегродиффе-ренциального уравнения, и Гильберт рассмотрел его с математической точки зрения. Предложенный им метод решения не очень удобен для физических приложений. Проблема была рассмотрена вновь с аналогичной точки зрения Чепменом и независимо Энско-гом. Их методы (незначительно различающееся в деталях) дали идентичные результаты и с тех пор были объединены в известный метод Чепмена — Энскога. Сущность этого метода заключается в систематическом построении нормального решения в виде разложения в ряд вблизи состояния локального равновесия. Параметром разложения фактически служит величина градиентов однако разложение не является тривиальным рядом Тейлора (что приводило бы к некоторым трудностям), а представляет собой более тонкую процедуру. В качестве окончательного результата в приближении первого порядка непосредственно получаются выражения для коэффшщентов переноса, которые можно вычислить в явном виде для различных межмолекулярных потенциалов. Численные значения этих коэффициентов во многих важных случаях прекрасно согласуются с экспериментом. [c.94]

Основной результат метода Чепмена — Энскога заключается в возвращении к макроскопическому описанию Навье — Стокса — Фурье путем соответствующего разложения определенных решений уравнения Больцмана. Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. С другой стороны, рассматривая высшие приближения метода Чепмена — Энскога, мы получаем дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнеттовские и супербарнеттовские уравнения), относительно которых ничего неизвестно, нет даже должных граничных условий. Эти уравнения более высокого порядка никогда не имели заметного успеха в описании отклонений от механики газа как континуума. Более того, предварительный анализ проблемы граничных слоев, по-видимому, дает одинаковое число граничных условий для приближений любого порядка (см. следующий параграф), в то время как порядок производных увеличивается. [c.130]

Метод элементарных решений связан с методом Чепмена — Энскога по крайней мере с двух точек зрения. Во-первых, разложение решения на дискретную и непрерывную части отражает (по крайней мере в простейших модельных уравнениях) отделение решения Чепмена — Энскога (справедливого вдали от твердых границ и некоторого начального состояния) от решения в переходной области, описываемой кинетическими слоями. Во-вторых, элементарные решения особенно эффективны при исследовании задач связи для методов Гильберта и Чепмена — Энскога (особенно для установления граничных условий). Это продемонстрировано нахождением коэффициента скольжения для модельного уравнения БГК. Для более общих модельных уравнений задачу определения граничных условий аналитически решить, вообще говоря, нельзя. Но всегда можно получить довольно точное описание решения, оценивая коэффициенты разложений или поправки к модельным уравнениям низшего порядка. В частности, отделяя нормальные и поперечные степени свободы, можно найти в квадратурах температурный скачок (Черчиньяни [10] гл. 6), результат оказывается очень близким к точному. [c.214]

Идея метода Чепмена — Энскога [6—8] состоит в том, чтобы разложить 8 , оставляя величины р1 неразложенными, т. е. предполагается, что, хотя зависимость р1 от е во многих случаях оказывается неаналитической при 8 = 0, оператор 5 аиа-литичен по 8 (или по крайней мере представляется асимптотическим разложением по степеням е) при 8 = 0. Это предположение отнюдь не противоречиво, так как, например, уравнения Навье — Стокса аналитически (линейно) зависят от коэффициентов вязкости и теплопроводности, но у них есть решения, которые в общем случае нельзя разложить по степеням этих параметров. Чтобы формализовать эту идею и превратить ее в алгоритм, заметим, что уравнение (3.1) можно записать в виде [c.270]

Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. Однако, если рассматривать высшие приближения метода Чепмена — Энскога, то будут получаться дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнетовские и супербарнетовские уравнения), относительно которых ничего не известно, нет даже надлежащих граничных условий. Эти уравнения никогда не приводили к сколько-нибудь заметным успехам при описании отклонений от модели Навье — Стокса. [c.275]

Другой подход предложил Даррозе [38], рассматривавший степенные разложения типа Гильберта, но не по е, а по V В результате он обнаружил два пограничных слоя внешний слой толщины 0(e ), который можно отождествить с прандт-левским вязким пограничным слоем, и внутренний слой толщины 0(е), соответствующий кнудсеновскому, или кинетическому, пограничному слою. В прандтлевском слое функция распределения не относится к гильбертовскому классу, но сохраняет свойства функциональной связи с макропараметрами течения (как это известно из успешного применения метода Чепмена— Энскога на уровне Навье — Стокса). Однако при таком разло женин уравнения Навье — Стокса не появляются вместо них по лучаются уравнения Прандтля для пограничного слоя. [c.287]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...