Методы численные (см. Численные методы)

Ввиду сложного нелинейного характера системы уравнений, описывающей процессы тепло- и массообмена (см. гл. 1), случаи точного решения этой системы довольно редки. Точные решения важны сами по себе, поскольку позволяют описать отдельные физические явления. Кроме того, они могут быть использованы для апробации различных приближенных и численных методов, являясь тестовыми задачами. [c.267]

Система уравнений теории старения не содержит производных по времени время 1 входит в качестве параметра. Для всякого фиксированного момента времени имеем задачу, вполне аналогичную соответствующей задаче теории упруго-пластических деформаций (гл. 3). Для решения последней применимы методы последовательных приближений, численные методы, вариационные методы (см. гл. 3). [c.99]

Данные, подтверждающие правильность критерия (6.3.3), приведены на рис. 6.26 (см., например, работу Муна и Ли [144]). Они включают в себя результаты многих расчетов границ областей при тяжения, аналогичных представленным на рис. 6.23—6.25. Ниже кривой, соответствующей критерию Холмса—Мельникова, найденные численными методами границы областей представления гладкие, выше — фрактальные (по крайней мере, если судить по внешнему виду). [c.256]

В данном разделе предложена методика численного расчета субкритического и закритического вязкого роста трещины при статическом и импульсном нагружениях. Методика основана на применении МКЭ в квазистатической и динамической упруго-пластической постановке с использованием теории пластического течения и параметра нелинейной механики разрушения — интеграла Т. Она позволяет контролировать развитие трещины при вязком разрушении с учетом неоднородных полей ОН, разнородности материала конструкции по механическим свойствам, реальной геометрии конструкции и ее формоизменения в процессе деформирования. Моделирование трещины осуществляли путем дискретизации полости трещины специальными КЭ (см. подразделы 4.1.3 и 4.3.1). Также излагается предложенный экспериментально-численный метод определения параметра /i материала, отвечающего страгиванию трещины. [c.254]

Рейнольдса получают численными методами. На рис. 76 показаны профили концентраций целевого компонента внутри газового пузырька, найденные в результате решения задачи (6. 1. 1)— (6.1.6) численным интегрированием при / = 1-10 см, [c.243]

В последнем варианте используется последовательное уточнение некоторого начального приближения и задача сводится к решению бесконечной последовательности линейных уравнений типа итерационной формулы Ньютона, формулы Ньютона— Рафсона и др. Математические основы таких вычислений подробно рассматриваются в руководствах по численным методам и математическому программированию (см., например, [19]). [c.187]

Число 2 в функции (15.34) свидетельствует, что при численном интегрировании применяется метод трапеций (см. гл. 5). Аналогично для перемещений [c.187]

Применение чувствительных методов исследования показало, что явление вращения плоскости поляризации весьма распространено и обнаруживается в большей или меньшей степени также весьма многими некристаллическими телами. К числу их принадлежат и чистые жидкости, например, скипидар, и растворы многих веществ в неактивных растворителях (например, водные растворы сахара). В настоящее время известны тысячи активных веществ, обладающих весьма различной вращательной способностью, от едва заметной до очень большой (например, никотин в слое толщиной 10 см поворачивает плоскость поляризации желтого излучения на 164°). Чрезвычайно важным фактом, установленным впервые Пастером (1848 г. на примере солей виннокаменной кислоты, является существование активных веществ в двух модификациях, правых и левых. В настоящее время известны обе модификации для большинства активных тел, и есть все основания полагать, что все активные вещества могут существовать в двух таких видах, причем численные значения вращательной способности для обеих модификаций всегда равны между собой и отличаются только знаком. [c.612]

При потере устойчивости относительно деформированного состояния (например, потеря плоской формы изгиба спиральной пружины см. рис. 3.4) необходимо предварительно определить критическую равновесную форму стержня [уравнения (3.10) — (3.14)], от параметров которой (и, Q, М ) зависят линейные уравнения равновесия стержня [уравнения (3.24) — (3.27) или уравнение (3.28)] после потери устойчивости. Так как критическая форма стержня заранее не известна, то требует проверки устойчивость всех состояний равновесия при непрерывном увеличении нагрузки. При решении нелинейных уравнений равновесия, рассмотренных в гл. 2, нагрузки, приложенные к стержню, были известны, поэтому, воспользовавшись одним из возможных методов численного решения уравнений равновесия (например, методом, использующим поэтапное нагружение), можно получить векторы, характеризующие напряженно-деформированное состояние стержня, соответствующее заданным нагрузкам. [c.123]

Метод, использующий обобщенные функции. Метод начальных параметров, изложенный выше, при наличии сосредоточенных масс, промежуточных опор, участков с разными жесткостными характеристиками требует перемножения матриц перехода, что при большом числе участков вызывает определенные вычислительные трудности. Рассмотрим метод численного определения частот стержней с промежуточными опорами и сосредоточенными массами, не требующий перемножения матриц перехода. Этот метод уже был использован при решении задач статики стержней (см. [c.89]

Метод численного определения матрицы К(е, Х ) см. в гл. 2 ч. 1 и в 4.1. Например, для консольного стержня . [c.101]

Система уравнения (4.130) — (4.133) решается численным методом (см. 4.1), в результате определяются векторные функции [c.108]

Уравнения (8.4)—(8.6) оказываются эффективными при построении численных методов расчета плоских течений вязкой жидкости (см. п. 8.10). [c.291]

Поскольку 1, Pi, Pi и 2, P2. P2 заданы, решая нелинейное уравнение (2.90) каким-либо численным методом (обычно методом Ньютона), можно определить величину Р. Далее, из (2.81) или (2.84) [либо из (2.87) или (2.88)] определяют LJ. Значения Ri за левой ударной волной и / 2 перед правой ударной волной находят, используя адиабату Гюгонио [см. (2.78)], которая в принятых в этом пункте обозначениях имеет вид [c.65]

Гл. 5. Численные методы 5.2, 5.3 основаны на модификациях разностной схемы работы [2]. По поводу метода 5.2 см. статью Киреев В. И., Лиф-шиц Ю. В., Михайлов Ю. Я- О решении прямой задачи сопла Лаваля. — См. Учен. зап. ЦАГИ, 1970, т. 1. № 1. Метод 5.3 детально изложен в [13]. [c.227]

При заданном законе изменения возмущающей силы F (t) уравнение (1,2.40) решают численными методами на ЭВМ при заданных начальных условиях. Применяя описанный выше прием [см. (1.2.20)1, можно получить первый интеграл дифференциального уравнения (1.2.40). [c.33]

Более точные и полные результаты можно получить численно, основываясь на методе конечных разностей (см. Приложение I). Кривая как функция от [c.330]

Рассмотрим один из методов численного решения линейных дифференциальных уравнений - метод начальных параметров. Изложенный ниже метод справедлив не только для стержня, нагруженного по всей длине распределенной нагрузкой, но и для общего случая нагружения, когда распределенная нагрузка приложена к части стержня и, кроме того, действуют сосредоточенные силы и моменты (см. рис. В.11) [c.196]

Система уравнений, описывающая термодинамическое равновесие с внутренними превращениями, как правило, решается численно, методами последовательных приближений. Для расчета состояний гетерогенных систем произвольной сложности разработаны специальные алгоритмы, на основе которых составлены вычислительные программы для ЭВМ (см., например, [50]). [c.167]

Нестационарное уравнение теплопроводности для тел сложной формы не всегда возможно решить аналитически даже в случае одномерного поля. В тех случаях, когда задачу нельзя решить аналитически, применяют численные или графические методы и метод аналогии (см. 20.4), которые дают приближенные решения. [c.233]

В тех случаях, когда аналитическое решение задачи теплопроводности невозможно, а численное решение оказывается очень громоздким, можно применить метод аналогии (см 20.4). [c.248]

Точки Pi, Р, 1, Я,- соответствуют точкам исследуемого тела х = Ах,. .., x = (i—1)Ах, x iAx. Эти же точки наносятся на сетку (см. рис. 23.8) при решении задачи численным методом. [c.250]

Приведем теперь результаты решения задач по определению коэффициента интенсивности напряжений экстраполяционным методом ГИУ (см. 14). Для численной реализации были написаны программы решения плоских и пространственных задач теории упругости методом интегральных уравнений (14.9), полученных на основе решения Кельвина [77]. Решение уравнения осуществлялось методом последовательных приближений с предварительной регуляризацией сингулярного интеграла по формуле (14.14). [c.112]

Более точный расчет и х 2 может быть осуществлен с помощью разбиения столба заготовок на зоны с различными свойствами [35]. Расчет параметров всей системы с учетом краевого эффекта и нелинейной зависимости В = f (Н) можно выполнить численными методами (см. 8-2 и 8-3). [c.198]

Существующие теории армирования, как правило, базируются на ряде допущений (см. с. 64). Отказ от некоторых из них, в частности переход от плоского напряженного состояния к объемному, приводит к усложнению расчетных выражений, но позволяет оценить соответствующие поправки. Отсутствие допущения об однородности напряженного состояния в пределах объема каждой из компонент материала повышает степень сложности расчета вследствие необходимости решения задачи теории упругости для многосвязной области. В этом случае возможен учет влияния расположения волокон в материале на расчетные значения его упругих характеристик. Однако для трехмерных структур такой анализ выполняется только с использованием численных методов решения краевых задач. [c.127]

В реальных конструкциях конфигурация детали предопределяет более сложную (двухмерную или трехмерную) картину температурного поля. Для некоторых случаев оно исследовано численным методом с помощью ЭВМ в [32]. Для медной стенки с размерами, показанными на рис. 14, д (5 = 20 мм), тл q = 1,5-10 Вт/м получено At = 143 °С. При уменьшении густоты расположения или относительной щирины каналов охлаждения перепады температуры резко увеличиваются (см. рис. 14, б, где при том же q At . = 379 °С). Для стенки холодного тигля при высокой температуре расплава, например при плавке ниобия, когда q может доходить до 3,4-10 Вт/м ,в конструкции по рис. 14, а At = 325 °С. С учетом выделения джоулевого тепла в стенке тигля от [c.39]

ЧТО тоже меняет внешний вид всех соотношений. Для таких ситуаций обычно прибегают к прямым численным методам решения (см., например, [76]). [c.144]

Использование численных методов в расчетах зубчатых передач оказывается эффективным. Эти методы по сравнению с аналитическими позволяют достаточно просто учесть влияние на напряженное состояние в зубьях конструкции колеса. Точность этих методов даже при ограниченном количестве узлов (см. рис. 10.7) достаточно высока. Об этом свидетельствуют данные табл. 10.3, в которой приведены рез льтаты теоретического и экслерименталь-ного определения напряжений в зубьях колес. Значения У , полученные численным методом, несколько ниже (на 3—4%), чем в работах [39, 59]. Это, по-видимому, объясняется разгружающим эффектом соседних зубьев, который не был учтен при решении с использованием конформного преобразо ваиия. [c.190]

Большое место среди вычислительных методов занимают процедуры, связанные с постепенным уменьшением минимизируемой величины / за счет направленной деформации допустимых траекторий х ( ), вызванных подходяш,им изменением допустимых управлений и 1). Эти методы обычно так или иначе связаны с известными прямыми методами вариационного исчисления, а также с новыми методами нелинейного программирования. В частности, к числу таких методов относится процедура, связанная с последовательностью элементарных операций, позволяющих определять эффективно отрезки оптимальных траекторий, связывающих близкие точки, и таким путем строить из этих отрезков последовательность траекторий, сходящихся к оптимальному движению. Наконец, эффективным методом численного решения задач об оптимальном управлении являются градиентные методы, опирающиеся на непосредственное вычисление и оценку вариации Ы и восходящие, таким образом, к работе Д. Е. Охоцимского (см. 3, стр. 183). Этот метод оказывается работоспособным в тех, например, случаях, когда удается эффективно выразить зариацию Ы минимизируемой величины I в виде [c.200]

Следует заметить, что уравнения (5.6) имеют тот же вид, что и основные уравнения поля линий скольжения в случае плоского течения жестко-идеально-пластических тел (см., например, [36]). Таким образом, стержни оптимальной фермы образуют сетку Генки — П ранд тля численные и графические методы, развитые для построения сеток этого типа, могут использоваться и для данных задач (см., например, книгу Хилла [38] и работу Прагера [39]). Отметим лишь одно из многих замечательных свойств сеток Генки — Прандтля. Касательные к двум произвольным линиям одного и того же семейства линий Генки — Прандтля в точках их пересечения с линией другого семейства образуют друг с другом угол, который не [c.51]

Учет специфики ММ объектов проектирования на макроуровне делает во многих случаях эффективным с точки зрения затрат машинного времени применение декомпозиционных методов анализа, сводящих решение задачи большой размерности к решению подзадач меньшей размерности. Например, свойство пространственной разреженности ИС позволяет использовать при их электрическом анализе различные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений для ММ различных фрагментов ИС, выбирая для каждого фрагмента наиболее подходящий метод. Ряд методов использует свойство временной разреженности ИС, осуществляя обнаружение неактивных в текущий момент времени участков схемы и исключение соответствующих нм переменных и уравнений из общей ММ системы. Учет однонаправленности ММ МДП-тран-зисторов позволяет приблизительно на два порядка поднять быстродействие программ анализа путем замены классических методов анализа (см. рис. 5.1) на релаксационные, в основе которых лежат итерационные алгоритмы Гаусса—Якоби и Гаусса—Зейделя. [c.152]

Из (5.25) следует, что величина искомого момента М4 опреде- ляется BHeuiHHM активным моментом Ali, приложенным к валу машины (т. е. к. чвену / механизма), а также влиянием ускоренного движения звеньев. Это влияние численно оценивается посредством момента главного вектора и главных моментов сил инерции, поскольку силовой расчет проводится методом кинетостатики (см. 5.1). [c.197]

Существует и используется большое число математических методов численного решения задач условной оптимизации (см., например, [18]). Эти методы, так же как ih разработанные на их основе алгаритмы и программы, различаются требованиями к начальному приближению решения, скоростью сходимости процесса, чувствительностью к погрешностям в задаваемых параметрах, точностью локализации координат экстремума, объемом необходимой оперативной памяти и требованиями к быстродействию ЭВМ, удобством работы и другими характеристиками. В некоторых случаях экстремум функции (22.8) иш ется непосредственно в заданной допустимой области, другие методы основаны на решении с + с( > +... +нелинейных уравнений [c.187]

И 1 соотношения (40.3) для полиуретана Solithane-113 (см. табл. 39.1) численным методом получена зависимость безразмерной длины Z(f)//o от безразмерного лремепи Q-=t/T (Т— = 0,369 с — время релаксации рассматриваемого полимера). [c.316]

Рассмотрим численный метод решения обратной задачи теории сопла для случая идеального нереагирующего газа при у = = onst. Примем также, что кривая y—fo x) (см. рис. 2.1) совпадает с осью симметрии, так что радиус кривизны ее / = оо и соответствующий коэффициент Ламе в уравнениях (2.31) — (2.35) Н, = . [c.188]

Программа составлена на алгоритмическом языке ФОРТРАН-IV и предназначена для расчета стационарного двумерного температурного поля в стенках длинной трубы (см. пример 23.5) методом конечных разностей. Решенне системы линейных алгебраических уравнений выполняется численно методом последовательной верхней релаксации. [c.465]

Численные методы решения, которые находят все большее применение в связи с развитием и широким использованием вычислительной техники. По отношению к рассматриваемой системе дифференциальных уравнений наиболее универсальными являются конечно-разностные методы, в соответствии с которыми дифференциальные уравнения заменяются уравнениями в конечных разностях. Область, в которой производится расчет температурного поля (область О, см. 39), представляется множеством отдельных точек (сеткой) с заданным шагом по осям Ох и Оу. Для каждой такой точки уравнения в конечных разностях образуют систему аглебраиче-ских уравнений, в которые входят и значения искомых функций в соседних точках. В результате решения алгебраических уравнений получают значения искомых функций в узлах сетки, например, таблицу значений температуры в рассматриваемой области О. Важно, чтобы разностная схема задачи была устойчивой — при измельчении шага сетки последовательно получаемые таблицы решений должны сходиться к точному решению задачи (т. е. образовывать сходящуюся последовательность). При применении численных методов значительно расширяется круг решаемых задач конвективного теплообмена и появляется возможность осуществления [c.327]

Решение этой системы уравнений на ЭВМ методом Гаусса (см. ТурчакЛ. И. Основы численных методов.— М. Наука, 1987) позволило найти значения температур в узловых точках, которые также помещены в табл. 15.1. На основании полученных значений температур можно построить семейство изотерм в поперечном сечении стенок канала. [c.194]

Для расчета ламинарных закрзгченных потоков можно использовать и другие численные методы. Например, используется однородная разностная схема переменных направлений второго порядка точности, которая решается методом установления (см. также разд. 5.3). [c.101]

Будем применять стандартные методы численного решения, для чего преобразуем уравнения (9.16), (9.17). Используя единую универсальную зависимость для ю в проницаемом и непроницаемом каналах (см. гл. 2,3), можно записать уравнение для производной с(Ке /с(х. Подставляя это уравнение в (9.16) и учи-тьшая (9,19), после соответствующих преобразований уравнения (9.16), (9.17) представим в следующем виде [c.178]

Рассматривая перспективы развития аппаратурного обеспечения комплекса методик, можно ожидать реальных достижений при решении следующих проблем широкого внедрения в практику исследований прогрессивных методов расчета, позволяющих достоверно оценивать прочность, надежность и долговечность изделий с покрытиями, в том числе на основе численных методов решения задач с использованием ЭВМ и типовых программ к ним значительного уве-личерия автоматизированных средств испытаний, регистрации измерений и обработки информации применения высокопроизводительного и мощного испытательного оборудования, которое позволит максимально приблизить условия проведения испытаний к реальным эксплуатационным условиям [18]. Развитие теоретических представлений и накопленный к настоящему времени экспериментальный материал об особенностях испытаний покрытий (см. рис. 2.1) подтверждают вывод о том, что несопоставимость результатов, полу- [c.16]

Весь дальнейший анализ будет построен для линейно-упругих материалов или материалов с ломаной диаграммой деформирования. Такое предположение приемлемо для большинства однонаправленных материалов при кратковременном нагружении. Пластичность и вязкоупругость, свойственные некоторым связующим, благодаря превалирующей роли волокон в восприятии внешней нагрузки проявляются при нормальной температуре относительно слабо (см. рис. 5—8). Для анализа композиционных материалов можна использовать теории вязкоупругости и пластичности, однако для большинства инженерных приложений это приводит к применению численных методов. В то же время но теории упругости для большинства практических задач получают приемлемые результаты. [c.74]

Изложенный метод численного решения вариационной задачи, т. е. задачи о минимуме функционала, указан В. Ритцем (в 1908 г.). Независимо от него и почти одновременно с ним С. П. Тимошенко использовал аналогичный метод для решения задач устойчивости (см. его книгу, указанную в сноске на с. 278). [c.392]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...