Численные и приближенные методы решения

Численные и приближенные методы решения [c.152]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Многие задачи механики стерл<ней, с которыми приходится сталкиваться инженеру-расчетчику, не поддаются точному решению. К таким задачам, например, относятся задачи статики и динамики стержней с переменным сечением и нелинейные задачи. Для решения подобных задач приходится использовать приближенные методы, как численные, так и аналитические. Часто оказывается, что полученные точные решения из-за чрезвычайной сложности записи являются практически бесполезными для математической и физической интерпретации или численных расчетов, т. е. приходится для получения нужной информации все равно прибегать к упрощениям или к аппроксимациям полученных решений. Среди приближенных методов решения уравнений равновесия наибольшее распространение получили методы, использующие вариационные принципы механики. [c.128]

Определив С] и й2, получаем приближенное решение (5.76) уравнения (5.39) при установившихся колебаниях. Приближенный метод решения целесообразно использовать тогда, когда он дает выигрыш по времени счета на ЭВМ (по сравнению с точным численным методом), что может иметь место при нагружении стержня несколькими сосредоточенными силами и моментами. [c.136]

Задачи о совместном переносе энергии путем теплопроводности и излучения в общем случае являются весьма сложными, поэтому они решаются численными или приближенными методами. Однако применительно к оптически тонким и оптически толстым слоям ( 18-2) эти задачи имеют простые решения. [c.436]

Развитие нелинейной динамики машин за последние десятилетия показывает, что решение е наиболее трудных проблем требует органического единства качественных, численных и аналитических методов теории дифференциальных уравнений, математического и функционального анализа, методов приближенных вычислений и теории аппроксимации, аналитической механики голономных и неголономных систем. Предпочтение в выборе тех или других методов диктуется содержанием рассматриваемых задач и целями исследования. Однако почти во всех случаях вопрос [c.29]

При решении нелинейной краевой задачи для зоны концентрации используют аналитические, численные и экспериментальные методы. Эти методы яв-ляются весьма трудоемкими и поэтому в инженерных расчетах наиболее эффективны приближенные аналитические решения, связывающие теоретические коэффициенты концентрации аа и коэффициенты концентрации напряжений Ка И деформаций Ке в неупругой области [c.166]

Теория термоупругости и аналитические методы решения задач термоупругости достаточно подробно разработаны [5, 18, 34, 35]. Однако для реальных элементов теплонапряженных конструкций сложной формы, выполненных из разнородных материалов с зависящими от температуры механическими характеристиками, редко удается воспользоваться аналитическими методами для определения параметров напряженно-деформированного состояния, необходимых для последующего суждения о работоспособности конструкции. В таких случаях более гибкими и универсальными являются численные методы, в частности, построенные на интегральной формулировке задачи методы конечных элементов (МКЭ) и граничных элементов (МГЭ), которые кратко рассмотрены в этой главе применительно к решению плоской, двумерной осесимметричной и пространственной задачи термоупругости. Помимо самостоятельного значения, связанного с анализом работоспособности теплонапряженных конструкций, материал которых вплоть до разрушения работает в упругой области, численные методы решения задач термоупругости также используются при анализе неупругого поведения конструкций, когда он проводится последовательными приближениями или последовательными этапами нагружения и на каждом приближении или этапе решается соответствующая задача термоупругости. [c.219]

Решение уравнения Гельмгольца (5.3), от которого зависят перемещения и другие величины, может быть найдено различными методами. Универсальными являются численные и вариационные методы, во многих случаях можно получить точное или приближенное аналитическое решение. Если параметр 12с велик, то решение можно записать в виде суммы основного и краевого эффектов, причем краевой эффект выражается через экспоненту аналогично простому краевому эффекту в теории оболочек. [c.234]

В основе численных алгоритмов решения сформулированной задачи лежит итерационный процесс расщепления на одиночные задачи теплового и электрического полей и итерационный процесс линеаризации. Для численного расчета итерированных полей предлагаются различные аналитические и приближенные методы с последующим выбором основных оптимальных параметров электролиза [3]. [c.111]

Метод марковских процессов позволяет (теоретически) получать точные законы распределения компонент вектора состояния нелинейной динамической системы любой размерности и точные значения вероятностных характеристик компонент вектора состояния в любой момент времени. На практике, к сожалению, это далеко не так. Получить точное решение уравнения Колмогорова, особенно когда надо учитывать реальные случайные возмущения (а не белый шум), для реальной нелинейной механической системы с несколькими степенями свободы практически невозможно. Поэтому опять остаются только приближенные методы решения уравнения Колмогорова, требующие введения в алгоритм решения упрощений и предположений, что приводит, как и в методе статистической линеаризации, к несоответствию приближенного и точного решения. Оценить это несоответствие нельзя, так как нет точного решения. Свободным от этих недостатков является метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Метод основан на численном решении исходных нелинейных уравнений без их упрощения. [c.231]

Заканчивая рассмотрение вопроса аналогий, кратко обсудим другой приближенный метод решения задач теории упругости. Э от метод основан на замене дифференциальных уравнений этих задач уравнениями в конечных разностях и решении этих уравнений численно методом последовательных приближений. Впервые этот метод был использован К. Рунге ), который таким образом решил сложную задачу кручения. В дальнейшем больших успехов достиг Л. Ричардсон, применивший этот метод к решению двумерных задач теории упругости и рассмотревший в качестве примера напряжения в дамбах от действия сил тяжести и давления воды ). В по- [c.670]

Решения, полученные с помощью этих точных численных методов, очень важны по двум причинам. Во-первых, при сравнении с экспериментальными данными они могут показать точность модельных кинетических уравнений для соответствующих эксперименту ситуаций и, во-вторых, их можно использовать для выяснения точности приближенных методов решения. До сих пор использовались только БГК-модель и эллипсоидальная статистическая модель. В нелинейном случае были решены следующие задачи [c.223]

В монографии излагаются также численные и приближенные аналитические методы решения задач, начало исследованию которых было положено в работах одного из авторов более пятидесяти лет тому назад. [c.7]

Математическая сложность уравнений движения сплошной среды позволяет получить точные решения для ограниченного числа относительно простых течений. В одномерном случае это, например, рассмотренные выше ударные волны и простые волны разрежения, в двумерном — течение Прандтля — Майера [4]. Иногда, при определенных начальных и граничных условиях, задача имеет автомодельное решение и система уравнений газодинамики сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [1], анализ которых значительно проще. Широкое развитие получили приближенные методы решения, основанные на упрощении исходной задачи. Здесь прежде всего необходимо отметить асимптотические методы [21], эффективность которых в самых разных областях физики всеми признана. Преимущество точных и приближенных аналитических решений очевидна. Они играют важную роль не только для понимания физической картины явления, но и необходимы при постановке математических задач. Но обычно, даже упрощенные уравнения не удается проинтегрировать, и они должны решаться численно. Поэтому методы численного моделирования широко используются для предсказания и изучения поведения сложных физических систем. [c.35]

Ими был разработан специальный приближенный метод решения, основанный на аппроксимации скорости газа простыми функциями, зависящими от времени и координаты. Численное решение задачи о сжатии [c.452]

Численные и графические методы рец ения. Решение граничных задач достигается проще всего приближенными численными или графическими методами [8, 18, 19, 20, 24, 25]. [c.77]

Приближенные методы решения уравнений пограничного слоя, в случае обтекания выпуклого контура для решения задачи о пограничном слое развит ряд приближенных методов, основанных либо на использовании интегральных соотношений, либо на специальном выборе безразмерных независимых переменных, с помощью которых дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к одному или к последовательности обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, которые решаются в дальнейшем численно. Подробное изложение этих методов приведено в ряде монографий [7] — [12] и отдельных статей. Мы изложим здесь наиболее удобный и допускающий непосредственно обобщение на случай течения газа метод использования интегральных соотношений, следуя в основном [7]. [c.511]

Схема интегрирования. Алгоритм решения заключается в последовательном применении методов Бубнова — Галеркина и численной схемы Уилкинса. Метод Бубнова — Галеркина является приближенным методом решения дифференциальных уравнений математической [c.223]

Весьма часто, составляя дифференциальные уравнения движения материальной точки, мы приходим к таким уравнениям, которые не могут быть проинтегрированы при помощи известных нам функций. В таких случаях приходится отказываться от точного аналитического решения задачи и искать приближенного ее решения. Существуют численные и графические методы приближенного решения дифференциальных уравнений В этом параграфе мы изложим простой прием численного решения дифференциальных уравнений движения, дающий достаточно точные результаты и не требующий большой затраты вычислительной работы. [c.140]

Решение уравнения частот, как и характеристического уравнения, представляет собой уже чисто алгебраическую задачу. Известно, что точное решение этой задачи вообще возможно лишь для полных уравнений не выше 4-й степени. Но даже для уравнений 3-й и 4-й степени применение регулярных методов практически бывает затруднительно. Поэтому часто пользуются всевозможными численными и графическими методами приближенного решения, применимыми также к уравнениям высоких степеней. Иногда бывает возможно левую часть характеристического уравнения представить, хотя бы приближенно, в виде произведения двух или большего числа полиномов достаточно низких степеней, и тогда решение значительно облегчается. В ряде конкретных случаев заранее заготовляются специальные таблицы, графики или номограммы, с помощью которых получается достаточно быстрое и вполне удовлетворительное решение. [c.221]

Методы решения задач физико-химической гидродинамики. Уравнение конвективной диффузии (3.1.1) представляет собой линейное уравнение в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами (в общем случае компоненты скорости жидкости зависят от координат и времени). Точные аналитические решения соответствующих задач удается найти лишь в исключительных случаях с простой геометрией. Сказанное еще в большей степени относится и к нелинейному уравнению (3.1.17). Точные решения играют большую роль для формирования правильных представлений о физической сущности различных явлений и процессов. Они могут использоваться в качестве тестовых решений для проверки корректности и оценки точности соответствующих численных, асимптотических и приближенных методов. [c.107]

Для решения уравнения (7.69) использовались и различные другие способы. Накануне появления компьютеров, когда численное интегрирование являлось трудоемким процессом, для сокращения объема численного интегрирования были разработаны приближенные методы. В наиболее известном из них используется понятие средней эффективной длины волны Ке, определенной следующим образом для двух температур Г) и Г2 [c.371]

Такие решения с применением систем уравнений Лагранжа второго рода являются приближенными не только из-за численных методов решения дифференциальных уравнений, но и потому, что трение в кинематических парах здесь можно оценить лишь весьма приближенно, а упругость звеньев и зазоры в кинематических парах не учитываются вообще. Поэтому при разработке опытных образцов ПР применяют экспериментальные методы динамического исследования ПР, позволяющие с помощью соответствующих датчиков и аппаратуры записать осциллограммы перемещений, скоростей и ускорений звеньев и опытным путем учесть как неточности теоретического расчета, так и влияние ранее неучтенных факторов. [c.338]

Математические трудности, встречающиеся при решении задач термоупругости для неоднородных тел, обусловили широкое применение на практике разнообразных численных и приближенных методов. С необходимостью их использования мы уже столкнулись даже при рассмотрении задач, сформулированных с учетом различных упрощаюш,их предположений (плоская или осесимметричная задача, одномерное температурное поле, специальный подбор функции г1)(/-), v= onst и т. д.). Отметим, что и в этих условиях точные решения оказываются весьма громоздкими (см., например, 29). [c.152]

Аналитическое решение системы уравнений (7.3) для многокомпонентной системы в общем виде невозможно, поэтому возникла необходимость в определенных упрощениях и приближенных методах решения. В результате совершенствования ЭВМ и численных методов решения наметился качественно новый подход к исследованию ионообменных процессов. Широкое применение ЭВМ на всех стадиях исследований характеризует современный этап развития теории динамики ионного обмена. Наиболее полно достижения этого периода отражены в работах сотрудников лаборатории сорбционных методов ГЕОХИ АН СССР [183—186]. Следует отметить, что имеющиеся математические методы и средства позволяют учесть все существенные особенности физической модели процесса динамики ионного обмена. В общем случае за- [c.162]

В учебном пособии излагаются теории переноса монохроматического излучения и изх чения в спектральной линии. Подробно рассматривается аналитическая теория, включая точные, асимптотические и приближенные методы решения модельных задач. Дгсется представление о некоторых распространенных численных методах. [c.2]

В книге излагается теория переноса монохроматического излучения, изотропного и анизотропного (глава 2), и излз ения в спектральной линии с полным или частичным перераспределением по частоте (глава 4). Геометрия рассеивающих сред предполагается плоской. Рассматриваются бесконечная и полубесконечная среды, а также плоский конечный слой. Подробно излагается аналитическая теория, в том числе точные, асимптотические и приближенные методы решения модельных задач. В отдельную главу 3 выделен резольвентный метод, позволяющий найти точные выражения для основных функций, характеризующих поля излучения, и асимптотики этих функций. Дается представление о некоторых распространенных численных методах, В последней главе 5 рассматриваются задачи об определении интегральных характеристик полей излучения, таких как среднее число рассеяний, о рассеянии в молекулярных полосах, с частичным перераспределением по частоте, а также с учетом поляризации и движения рассеивающей среды. [c.9]

С помощью указанных представлений методы расчета плоского потока (соответствующие с = 0) обобщаются на случай течения в слое переменной толщины несжимаемой жидкости, а также и газа (при дозвуковых скоростях), если использовать метод последовательных приближений типа Рейли — Янцена. Расчеты существенно усложняются из-за более сложного вида основных элементарных течений и необходимости вычислять интегралы по площади, поэтому известные работы ограничены общими обсуждениями применения метода особенностей в потоке несжимаемой жидкости (С. В. Валландер, 1958 А. М. Гохман и Е. В. Н. Pao, 1965) и решениями (вихревым методом) прямой и обратной задач в простейших случаях h X (Л. А. Симонов, 1950, 1957) ж h = х (Н. Г. Белехова, 1958 К. А. Киселев, 1958 Б. С. Раухман, 1965), а также построением элементарных течений от решетки источников в слое h = х " (Ю. А. Гладышев, 1964) и решетки диполей в слое h ехр ix (В. А. Юрисов, 1964). Для расчета течений газа в пределах межлопаточных каналов развиты и практически применяются более простые численные и приближенные методы из них самый простой основан на осреднении потока поперек канала (по у) и сведении задачи к одномерной (Г. Ю. Степанов, 1962 [c.150]

Исследовалась автомодельная задача о цилиндрическом точечном взрыве, когда начальное поле есть поле линейного тока (Яф 1/г) ). Вопросы приложения к теории взрыва решений уравнений МГД, предельных к автомодельным, рассмотрены в упомянутой выше работе Н. Н. Ко-чиной (1959). Одномерные задачи о плоском и цилиндрическом взрыве при однородном начальном магнитном поле изучались В. П. Коробейниковым (1965, 1966). Для решения этих задач были развиты численные и приближенные методы. [c.453]

Уравнение переноса излучения (3.40) связано с системой (3.38) тем, что интенсивность собственного излучения матрицыГ(Z)] зависит от ее температуры. В настоящее время разработаны различные приближенные методы решения уравнения переноса излучения (3.40). С их использованием получены численные решения совместной задачи (3.38)- (3.40) переноса энергии излучением, конвекцией и теплопроврдностью в проницаемом покрытии. Полученные результаты позволяют оценить диапазон изменения оптических характеристик матрицы, обеспечивающих ее наибольшую эффективность в том или ином конкретном случае. Так, например, выяснено, что наилучший режим работы пористого слоя как коллектора солнечной энергии достигается в том случае, когда матрица выполнена из материала, прозрачного и нерассеивающего в солнечном спектре, но непрозрачного и рассеивающего в инфракрасном диапазоне. Для теплового экрана с транспирационным охлаждением желательно обратное. [c.61]

Наибольшее число этих методов разработано для одномерного случая. Здесь часто удается вывести соответствующие точные выражения, включающие интегральные операторы от температурного поля, и получить интегральное или интегродифференциальное уравнение для температурного поля. К такому же результату иногда приводит применение различных приближенных методов решения уравнения переноса (приближений Шустера — Шварцшильда, Эддингтона и т.д. [81). Как правило, получающиеся интегральные или интегродифференциальные уравнения решаются численными методами, которые мы в данной книге не рассматриваем. Только в некоторых частных случаях, например при использовании приближений оптически тонкого слоя — прозрачного газа, излучающей или ХОЛОДНО сред и др., удается получить аналитические решения. [c.202]

Существуют другие приближенные методы решения задач неустановившейся ползучести [32], однако наиболее общим является метод конечньк элементов (МКЭ) [3, 19], позволяющий численно поэтапно проследить историю изменения во времени напряжений и деформаций во множестве конечных элементов. Преимуществом МКЭ является возможность исследования тел сложной формы с учетом реальных граничных условий на основе уравнения состояния, включающего в себя необходимые структурные параметры. [c.125]

Но первому из этих вопросов им опубликовано около 20 научных трудов. Изучением лучистой энергии он занимался в связи с вопросами атмосферной оптики и переноса теплового излучения в атмосфере. Е.С. Кузнецов впервые в области метеорологии связал эти вопросы с кинетическим уравнением. Нм разработаны приближенные методы решения этого типа задач, позволившие получить численные результаты при весьма сложных дополнительных условиях. Разработанные им методы были применены к следуюгцим вопросам. [c.769]

Сразу отметим, что в задачах о концентрации напряжений, в которых учитывается конечность деформаций, редко удается получить точное решение, не всегда можно получить и приближенное аналитическое решение. Обычно для нахождения нриближенного аналитического решения используют метод Синьорини, метод последовательных приближений, метод малого параметра и т.д., когда на каждом шаге (для каждого приближения) находят аналитическое решение. Поэтому, если такое решение есть, то исследователь может сразу выяснить, при каком уровне внешних нагрузок (что и является практически всегда целью решения задачи прочности), будет выполнен некоторый, заранее выбранный критерий прочности определяюш,ий, например, возможность начала роста треш,ины. Если такого решения нет, то исследователь, используюш,ий численные методы, должен подобрать (неоднократно решая задачу) соответствуюш,ий уровень нагрузок. [c.263]

Приближенные методы решения для установившихся потоков. Вообще проблемы пограничного слоя не могут быть сведены к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Математически изящный метод решения уравнений двухмерного пограничного слоя в частных производных, предложенный впервые Блазиусом и развитый впоследствии К. Хейменцом и Л. Говардом, выражает распределение скорости степенным рядом по длине дуги вдоль границы с коэффициентами, представляющими универсальные функции ортогональных координат. Этот метод обладает тем преимуществом, что, раз затабулиро-вав универсальные функции, можно решать любые двухмерные проблемы с помощью только арифметических выкладок. Недостатком этого метода, однако, является то, что в случае медленной сходимости для получения точного решения требуется большее число универсальных функций, чем затабулировано. Тем не менее этот метод очень ценен для проверки точности других более простых методов с меньшим приближением и используется на практике для расчета первого участка ламинарного пограничного слоя, тогда как следующие по течению участки рассчитывают при помощи одного из имеющихся численных приемов получения последовательных изменений профиля пограничного слоя. Хотя эти методы являются действенными средствами решения проблем ламинарного пограничного слоя, ограниченность объема настоящей работы не позволяет изложить их здесь. Вместо этого рассмотрим метод решения, предложенный Вейгард-том, считающийся лучшим из известных методов. В этом методе дифференциальное уравнение- в частных производных также заменяется приблизительной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.312]

Этот метод использовался также для исключения зон возможной кавитацни вследствие интерференции, вызываемой пересекающимися поверхностями в режимах течения, при которых обычно кавитация не возникает. В этом случае модели предлагаемой конструкции были испытаны в кавитационной трубе при значениях К несколько меньших, чем те, которые обычно соответствуют удовлетворительным условиям течения. По форме образующихся кавитационных зон производилась опиловка или заточка модели для исключения нежелательного влияния интерференции. Если пытаться определить бескавитационную поверхность, чтобы заменить ею кавитационную поверхность, то необ-.ходимо изучить направляющую поверхность непосредственно перед областью кавитации, так как обычно именно этот ее участок является причиной кавитации. Если можно изменить форму этого участка таким образом, чтобы уменьшить суммарное положительное давление, то, возможно, глубина и степень кавитации уменьшатся или кавитация исчезнет совсем. Конечно, нет необходимости проводить это исследование экспериментально, если его можно выполнить аналитически или графически с меньшими затратами времени и с меньшими материальными затратами. К сожалению, аналитически можно исследовать лишь несколько простых форм направляющих поверхностей произвольные пересечения двух поверхностей сложной кривизны совершенно не поддаются анализу. Однако во многих частных случаях эффективны графические методы, численные и приближенные решения. [c.331]

Условия автомодельности решений уравнений плоского стационарного пограничного слоя выполняются лишь в единичных случаях, большинство которых в предыдущих двух параграфах уже изложено. На практике приходится иметь дело, конечно, с более общими, неавтомодельными движениями, требующими использования уравнений в частных производных. В этих случаях можно указать три реальных пути решения задач 1) аналитические методы и, главным образом, разложения в ряды 2) численные расчеты на ЭВЦМ и 3) применение приближенных методов. Первый путь достаточно громоздок и все реже и реже используется в практических расчетах. Что касается второго пути, то, как уже ранее упоминалось, и настоящее время в вычислительных центрах нашей страны уже разработаны стандартные программы числового решения конкретных задач пограничного слоя на большинстве применяемых у нас машин. Это отнюдь не должно явиться препятствием к развитию эффективных приближенных методов решения задач теории пограничного слоя. Современное состояние развития этого третьего пути будет изложено в следующих двух параграфах. [c.610]

Приближенные вычисления, прийлижённое решении алгебраических и трансцендентных уравнений, численные и графические методы анализа, эмпирические формулы [c.267]

Уравнение (2.12) для Гз описывает среднюю интенсивность волны и может быть решено в общем случае для произвольной функции В и произвольных начальных условий. Что касается уравнения для Г , то его аналитического решения получить не удается, и необходимо прибегать к численным или приближенным методам. Асимптотика репюния для Г4 будет приведена в следующей главе. [c.265]

Наибольший практический интерес для решения рассматриваемой задачи представляют работы М. М. Филоненко-Бо-родича (1951 г.). Используя вариационный принцип Кастиль-яно и приближенный метод Папковича (1939 г.), он показал, что в ряде случаев, когда на поверхности упругой призмы заданы нагрузки, нормальные или касательные к ее граням задача Ляме в принципе может быть доведена до численного решения. [c.272]

Приближенное решение уравнения автомодельного движения. Для определения структуры струйных течений и выяснения роли вязких сил воспользуемся уравнением (93). Поскольку точное решение этого уравнения может быть найдено лишь для некоторых частных случаев, а численное их решение затруднено, воспользуемся приближенным методом решения, в частности, методом Блазиуса. Пайдем решения в области малых и больших значений независимой переменной (в области нуля и на бесконечности ) и осуществим сращивание этих решений в некоторой особым образом выбранной точке Zo. С целью апробации этого метода рассмотрим уравнение плоской затопленной струи воздуха (146). Так, для этого уравнение при условии (137) в области малых г на основании ряда Макло-рена запишем [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...