Me численные (см. Численные методы)

Комбинированные методы и алгоритмы анализа. При решении задач анализа в САПР получило достаточно широкое распространение временное комбинирование численных методов. Наиболее известны рассмотренные выше алгоритмы ФНД для численного интегрирования ОДУ, являющиеся алгоритмами комбинирования формул Гира. Другим примером временного комбинирования методов служат циклические алгоритмы неявно-явного интегрирования ОДУ. В этих алгоритмах циклически меняется формула интегрирования — следом за шагом неявного интегрирования следует шаг явного интегрирования. В базовом алгоритме неявно-явного интегрирования используют формулы первого порядка точности — формулы Эйлера. Такой комбинированный алгоритм оказывается реализацией А-устойчивого метода второго порядка точности, повышение точности объясняется взаимной компенсацией локальных методических погрешностей, допущенных на последовательных неявном и явном шагах. Следует отметить, что в качестве результатов интегрирования принимаются только результаты неявных шагов, поэтому в алгоритме комбинированного неявно-явного интегрирования устраняются ложные колебания, присущие наиболее известному методу второго порядка точности — методу трапеций. [c.247]

Как обсуждалось в разд. IV, А, реализация точных методов обычно требует применения численных методов различных типов. В ранних работах, не обязательно относящихся непосредственно к исследованию композиционных материалов, широко использовался метод конечных разностей до тех пор, пока в обиход не вошел метод конечных элементов. Отметим, что метод конечных разностей был одной из немногочисленных попыток применить прямую аппроксимацию функции напряжений. [c.223]

Метод решенная определяется требуемой точностью результатов и характеристикой машины. Для расчетов на прочность посредством машин пригодны йсе существующие численные методы. Задача, например, может быть сведена к системе интегральных уравнений, к системе линейных алгебраических уравнений [1], [49], [50], [82]. Применение электронных цифровых машин с их возможностями вычислений вызывает необходимость создания новых специальных методов [82]. Численные методы решения математических задач на машинах подробно изложены в работе [3]. [c.609]

Наряду с решением кинетич. ур-ния для решения многих проблем 3. д. используется численное моделирование, при к-ром решается совместно система ур-ний движения отд. звёзд с учётом их взаимного притяжения. При таком подходе единым образом рассматриваются самосогласованные поля и столкновения звёзд. К настоящему времени численные методы позволяют [c.60]

Вместе с тем на этапах проектирования информацию о напряженно-деформированном состоянии изделия получают с привлечением расчетных методов, в первую очередь численных. Численные методы позволяют определить как номинальные, так и местные напряжения конструкции в зависимости от действующих нагрузок или возникающих перемещений при работе материала за пределами упругости в условиях проявления временных эффектов и повторных термомеханических воздействий. [c.176]

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

Вторым вопросом был также вычислительный вопрос о более детальном сравнении результатов решения задач теории многократного наложения больших деформаций с помощью различных численных методов, используемых в специализированном программном комплексе Наложение . Поэтому в гл. 5 на примере плоских задач теории многократного наложения больших деформаций приведено сравнение результатов, полученных с помощью метода малого параметра (метода Синьорини) и метода Ньютона-Канторовича, а также (где это удалось) сравнение этих результатов с точным решением. Большинство приведенных в этой главе результатов являются новыми. Кроме того, во второй части этой главы приведены результаты решения задачи о последовательном образовании отверстий в предварительно нагруженном теле, когда на контуре каждого из вновь образуемых (возникающих) отверстий различной формы действует давление. Эти результаты частично отвечают на вопрос техно- [c.3]

Метод характеристик имеет ряд преимуществ по сравнению с другими численными методами основные уравнения значительно упрощаются на характеристических поверхностях, метод отличается математической строгостью (доказана сходимость метода и единственность решения). Эти обстоятельства обусловили широкое использование численного метода характеристик при решении двумерных задач для уравнений гиперболического типа. Применение метода к трехмерным задачам сильно затруднено сложным поведением характеристических поверхностей, что обусловливает трудности построения характеристической сетки, громоздким алгоритмом вычислений и сложностью программирования. В связи с этим метод характеристик в его чистом виде до настоящего времени применялся для расчетов трехмерных течений лишь в очень небольшом числе случаев. Для решения трехмерных задач сверхзвукового обтекания тел представляются более перспективными методы конечных разностей-и смешанные методы (комбинации двумерного метода характеристик и метода конечных разностей по третьей переменной). [c.169]

В работах [46, 39] были разработаны численные методы сеток на основе метода установления К. И. Бабенко, Г. И. Воскресенского, А. Н. Любимова, В. В. Русанова [4] и метода С. К. Годунова [29]. В настоящее время существует много различных численных методов, решающих прямую задачу сопла. Описание одного из них, основанного на модификации метода [153 приводится в гл. 4, 7-10. [c.82]

Другие численные методы использовались для решения некоторых определенных задач переноса нейтронов. Среди них можно отметить метод моментов [33]. который применялся для расчета прохождения нейтронов через гомогенную среду, например, в расчетах защиты, а также метод инвариантного погружения [34], в котором линейная задача переноса нейтронов с граничными условиями на двух концах интервала заменяется нелинейной задачей с условиями на единственной границе. До сих пор, однако, неясно, окажется ли этот метод полезным при решении практических реакторных задач. [c.131]

В последние десятилетия благодаря созданию быстродействующих ЭВМ стал развиваться раздел небесной механики, в котором в качестве главного инструмента исследования используются численные методы. В этом разделе рассматривается движение трех или нескольких (а иногда и многих) тяготеющих масс. Значительный прогресс в изучении указанной проблемы, не поддающейся решению обычными методами, оказался возможным благодаря применению ЭВМ. Численные методы применяются не только при анализе движения спутников вокруг планет или эволюции планетных орбит, но также и при исследовании образования двойных звезд и динамики звездных скоплений. [c.7]

В разд. 4.5.5 и 4.5.6 было показано, что уравнение Кеплера можно решить итерационным численным методом или при помощи аналитической процедуры, приводящей к так называемому уравнению центра. Точно так же существуют численные методы, позволяющие находить значения коэффициентов т более высокого порядка, не зная их точного аналитического вида. Методы, основанные на рекуррентных формулах, предпочтительнее применять 8 тех случаях, когда мы можем воспользоваться ЭВМ. [c.123]

Для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений (16.46). .. (16.48) разработано достаточно много эффективных численных методов, например дифференциально-разностный, конечно-разностный метод, интегральных соотношений. На практике для численного решения дифференциальных уравнений чаще при.меняется метод конечных разностей. Конечно-разностный метод является наиболее универсальным и наиболее точным численным методом. [c.407]

Тела сложной конфигурации. В этом случае приходится рассматривать изменение температуры по двум или трем координатам, интегрирование уравнения теплопроводности сильно усложняется. Получить аналитическое решение часто не удается, тогда используют численные методы решения ( 14.3). [c.76]

ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ [c.115]

Использование численных методов в расчетах зубчатых передач оказывается эффективным. Эти методы по сравнению с аналитическими позволяют достаточно просто учесть влияние на напряженное состояние в зубьях конструкции колеса. Точность этих методов даже при ограниченном количестве узлов (см. рис. 10.7) достаточно высока. Об этом свидетельствуют данные табл. 10.3, в которой приведены рез льтаты теоретического и экслерименталь-ного определения напряжений в зубьях колес. Значения У , полученные численным методом, несколько ниже (на 3—4%), чем в работах [39, 59]. Это, по-видимому, объясняется разгружающим эффектом соседних зубьев, который не был учтен при решении с использованием конформного преобразо ваиия. [c.190]

Доклады, помещенные в первых двух частях, посвящены аналитическим и численным методам решения задач тепло- и массообмена. В нескольких из них рассмотрены отдельные математические проблемы теории, в частности вопросы разрешимости краевых задач теплЬ- и массообмена, единственности их решения, теории интегральных преобразований и т. д. Вопросы, представляющие интерес для развития и расширения математического аппарата теории, затронуты и в ряде других докладов, в которых рассматриваются конкретные процессы и явления в физических системах (применение дуальных интегральных уравнений, асимптотические методы решения некоторых сингулярных интегральных уравнений, вариационные методы, метод конформных отображений,. математическая теория регулярного теплового режима и т. п.). [c.3]

Численный метод расчета частотной функции. В многочисленных работах, посвящеииых колебаниям стержней отдельных несложных форм, авторы пользовались различными приближенными и численными методами. Наиболее простым в смысле подготовительных операций и одновременно наиболее точным является прямой метод численного интегрирования уравнений с последующим определением собственных частот и форм колебаний. [c.24]

Корпусные конструкции энергетических установок помимо разнообразия составляющих их элементов и узлов [1, 2, 4], требующих совместного рассмотрения при расчете напряженного состояния, включают, как показано выше, большое разнообразие условий их взаимодействия, особенно в узлах разъема фланцевых соединений. Некоторые из этих условий могут быть определены численными методами теории упругости (упругие контактные податливости фланцев) или экспериментально (податливости резьбовых соединений или пластических прокладок) для других условий, существенно влияющих на напряженное состояние всей конструкции, могут быть заданы лишь возмоягные пределы их изменения (допуски на зазоры в соединениях крышки п корпуса реактора, коэффициенты трения). Это требует при проектировании, расчете напряжений и оценке прочности корпусных конструкций рассмотрения большого числа вариантов взаимодействия с целью учета наименее благоприятного возможного их сочетания либо задания ограничений на условия изготовления и эксплуатации, исключающих неблагоприятный вариант напряженного состояния. Учесть указанные особенности разъемных соединений при использовании традиционных методов расчета многократно статически неопределимых конструкций, например методом сил [1, 4], из-за большой трудоемкости не представляется возможным поэтому рекомендуемые в настоящее время расчетные схемы [4] рассматривают отдельные узлы корпусных конструкций без учета указанных условий взаимодействия, пренебрегая силами трения, ограничениями по взаимным перемещениям в посадочных соединениях крышки и корпуса, контактными податливостями фланцев. В частности, изменение усилия затяга шпилек фланцевых соединений в различных режимах определяется без полного учета деформаций всей конструкции, что не позволяет обоснованно выбрать величину предварительного затяга шпилек. [c.88]

Для численного решения практических задач, связанных с теплопе-реносом, течением жидкости и другими аналогичными явлениями, требуется, как правило, интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных по пространственным координатам и времени. Хотя существуют численные методы для получения такого решения, задача написания и использования общих вычислительных программ для всех практически важных процессов тепломассопереуноса достаточно трудна. Подобная задача может оказаться просто пугающей, особенно для начинающего. Более приемлемое начало исследований в сфере численного моделирования может быть обеспечено с помощью уже готовой к использованию вычислительной программы, ограниченной подмножеством решаемых задач теплопереноса и течения жидкости. Автор стремится показать [c.19]

Если область, в которой решается задача, неограничена, то перед применением численных методов, как правило, необходимо либо отобразить ее с помощью подхо дящего отображения на какую-нибудь относительно простую конечную область, либо попытаться определить асимптотическое поведение решения на бесконечности, с тем чтобы, пользуясь численными методами, правильно поставить граничные условия в обрезанной относительно небольшой области, где решение будет искаться, например, сеточными методами. Правильная и достаточно точная постановка краевых условий в такой обрезанной области может сильно увеличить экономичность и эффективность численных методов. [c.22]

Уравнение распространения (2.3.35)-нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, которое, вообще говоря, нельзя решить аналитически, за исключением некоторых частных случаев, когда для решения применим метод обратной задачи рассеяния [27]. Поэтому часто для изучения нелинейных эффектов в световодах необходимо численное моделирование. Для этой цели можно использовать множество численных методов [31-38], которые можно отнести к одному из двух классов 1) разностные методы и 2) псевдоспектральные методы. Вообще говоря, псевдоспектральные методы на порядок или даже более быстрее при той же точности счета [39]. Одним из наиболее широко используемых методов решения задачи распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией является фурье-метод расщепления по физическим факторам (SSFM) [33, 34]. Относительно большая скорость счета этим методом по сравнению с большинством методов конечных разностей достигается благодаря использованию алгоритма быстрого фурье-преобра-зования [40]. В этом разделе кратко описывается фурье-метод с расщеплением по физическим факторам, а также его применение для задачи распространения импульсов в волоконном световоде. [c.49]

В последнее время, в связи с бурным развитием вычислительной техники многие исследователи отдают предпочтение численным методам, поскольку они обладают определенной универсальностью и легко поддаются алгоритмизации и реализации на различных языках программирования. Однако при исследовании дигнамики контактного взаимодействия структурно-неоднородных, в том числе многослойных сред, непосредственное использование прямых численных методов (вариационно-разно стный, коллокаций, граничных элементов и т.д.) в значительной мере осложнено осцилляцией ядра интегрального оператора. Это обусловливает необходимость разработки специальных, приспособленных для решения интегральных уравнений с осциллирующими ядрами методов. [c.4]

Так как в упругопластической области исходные дифференциальные уравнения становятся нелинейными, а коэффициенты переменными, методы их решения существенно усложняются. Однако в данной работе применен способ разбиения интервала интегрирования на участки, в пределах которых коэффициенты уравнений считаются постоянными. При этом использование решения в матричной форме метода начальных параметров также дает существенное преимущество [11]. Поскольку соответствующая этому способу физическая дискретизация конструкций, состоящей из разнородных оболочек, пластин и колец, не отличается, по существу, от случая упругого расчета, то матричный метод расчета, изложенный в работе [9], и составленная на ого основе сомпактная программа расчета для ЭЦВМ оказываются полностью пригодными для упругопластического расчета составных конструкций из элементов оболочек, пластин и колец. Эффективность предлагаемого метода упругопластцческого расчета определяется не только этим удобством. Выполненные расчеты показа-, ли значительно более быструю сходимость последовательных приближений по сравнению с методами, основанными на замене дифференциальных уравнений интегральными [3]. Еще в большей мере, чем при упругих расчетах, сказывается экономичность предлагаемого метода расчета на Э1],ВМ по сравнению с методами численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. , [c.124]

В случае высокоскоростного удара тел о поверхность жидкости, а также при анализе более поздних стадий процесса погружения необходимо принимать во внимание различные нелинейные эффекты. Учесть их можно только путем использования для решения соответствующих задач численных методов. А. Г. Терентьев и А. В. Чечнев [66, 67] для исследования погружения пластины и диска в сжимаемую жидкость предложили алгоритм, основанный на комбинации методов крупных частиц и маркеров в ячейках. Данный метод применим только для анализа ранней стадии процесса погружения. [c.397]

Как уже указывалось, рассмотренная задача решалась в работе Харта [13]. Для численного определения границ устойчивости применялся метод Галеркина. Расчеты проведены для Рг = 6,7 Pr = 676,7. Поведение границ устойчивости при малых и больших Ra согласуется с данными рис. 81. В работе установлено также понижение устойчивости термоконцентрационного происхождения. Однако количественные результаты, относящиеся к этой наиболее интересной области, ошибочны. Прежде всего следует отметить, что в [13] не обнаружена длинноволновая мода термоконцентрационной неустойчивости дестабилизация при конечных Ra /, согласно [13], связана с ячеистыми возмущениями. Имеются также значительные количественные расхождения в области минимума кривой Gr (Rad). Так, при указанных Рг и Рг /, согласно [13], наименьшее значение Gr = 2,1 и достигается при Ra = 333, тогда как по (19.15) ц численным результатам (рис. 81, кривая 1в) имеем Gr = 0,29 при Ra< / = 62,6. Поскольку наличие длинноволновой моды и соответствующая граница устойчивости установлены в излагаемой работе [14] как аналитически, так и разными численными методами, ошибочность результатов [13] не вызывает сомнений. Заметим, что в [13] не обнаружена и концентрационно-волновая мода неустойчивости (область б). [c.134]

Большое место среди вычислительных методов занимают процедуры, связанные с постепенным уменьшением минимизируемой величины / за счет направленной деформации допустимых траекторий х ( ), вызванных подходяш,им изменением допустимых управлений и 1). Эти методы обычно так или иначе связаны с известными прямыми методами вариационного исчисления, а также с новыми методами нелинейного программирования. В частности, к числу таких методов относится процедура, связанная с последовательностью элементарных операций, позволяющих определять эффективно отрезки оптимальных траекторий, связывающих близкие точки, и таким путем строить из этих отрезков последовательность траекторий, сходящихся к оптимальному движению. Наконец, эффективным методом численного решения задач об оптимальном управлении являются градиентные методы, опирающиеся на непосредственное вычисление и оценку вариации Ы и восходящие, таким образом, к работе Д. Е. Охоцимского (см. 3, стр. 183). Этот метод оказывается работоспособным в тех, например, случаях, когда удается эффективно выразить зариацию Ы минимизируемой величины I в виде [c.200]

Большой объем работ был выполнен по расчету сверхзвуковых течений в плоских и осесимметричных соплах, имеющих плоскую поверхность перехода от дозвуковой скорости к сверхзвуковой. О. Н. Кацкова и Ю. Д. Шмыглевский (1957) рассчитали осесимметричное течение, возникающее при расширении газа от плоской поверхности перехода в вакуум. Решение в малой окрестности поверхности перехода строилось ими в виде-рядов, в остальной части течения для его расчета использовался численный метод характеристик. Подробные результаты этих расчетов приведены-в работе упомянутых авторов (1962). Найденные поля течений могут быть использованы непосредственно для построения сопел с неравномерным потоком в выходном сечении либо в качестве промежуточного участка между поверхностью перехода и спрямляющим течением, приводящим к равномерному распределению параметров газа при выходе его и сопла. Разработанные в ряде работ О. Н. Кацковой, А. Н. Крайко ш У. Г. Пирумова методы позволяют рассчитывать течения в плоских, круглых, кольцевых соплах с учетом термодинамического несовершенства газа, неравновесного характера течения, а также при наличии в газе-частиц конденсированной фазы (А. Н. Крайко, Л. Е. Стернин). [c.204]

Прежде чем закончить перечень результатов метода Монте-Карло для молекул Леннарда-Джонса, необходимо упомянуть расчеты Рахмана 164] и Верле [87], выполненные методом молекулярной динамики. Из-за ограниченности места мы не будем проводить здесь подробный анализ этих работ, тем более, что они выходят за пределы круга рассматриваемых вопросов ). Мы не в состоянии провести сколь-либо подробное сравнение относительной эффективности этих двух численных методов для расчета равновесных свойств системы молекул Леннарда-Джонса. В разговоре с автором Верле отметил, что, по его мнению, эффективность обоих методов примерно одинакова в обычном диапазоне температур и плотностей. Конечно, преимуществом метода молекулярной динамики является возможность изучения и кинетических свойств. [c.389]

В настоящее время под численные методы расчета, которые в ограниченном количестве случаев уже давно применялись при решении задач гидродинамики, подведен прочный фундамент, это — электронные вычислительные цифровые мац]ины (ЭВЦМ), берущие на себя всю наиболее трудоемкую часть численных методов и выполняюидие вычисления с поражающей нас быстротой. [c.542]

Теория. В настоящее время при численном решении задач гидроаэроупругости используются численные методы Уилкинса, Лакса-Вендроффа, Годунова и др. Эти методы обладают весьма большой общностью, что и определяет их популярность и эффективность использования. Однако в задачах, где исследуется значительное формоизменение среды, при реализации этих методов возникают большие трудности, связанные, в частности, при использовании эйлеровой сетки, с удовлетворением граничных условий, а при использовании лагранжевой сетки — с недопустимо большими ее искажениями. [c.85]

В то же время, в силу симметрии матрицы (VII.84), соотношению (VII.85) будут удовлетворять также и столбцы с порядковыми номерами I и т. Поэтому все определители, получаемые путем поочередной замены столбцов определителя Ь на столбец свободных членов, также будут равиы иулю. Это означает, что система нормальных уравнений в таком случае оказывается неполной и имеет бесчисленное множество решений. На практике, где оперируют численными методами, определитель ие может быть точио равен нулю. Однако малость определителя системы нормальных уравнений приводит к потере точности прн решении уравнений. Сопоставляя определитель системы нормальных уравнений и определитель системы при решении задачи методом Ньютона (VII.28), нетрудно видеть, что элементы определителя системы нормальных уравнений, как правило, больше по абсолютным значениям, чем элементы системы Ньютона. Поэтому при решении системы нормальных уравнений на электронных вычислительных машинах следует использовать методы, обеспечивающие максимальную точность. В то же время решение системы линейных уравнений при использовании метода Ньютона может производиться любыми способами, даже обладающими сравнительно невысокой точностью. [c.434]

Большой прогресс в решении многих задач механики и, в частности, в решении задачи трех тел связан с развитием современных методов вычислительной математики. Применение электронно-вычислительных машин позволило находить численные решения дифференциальных уравнений с большой точностью, превосходящей точность аналитического решения, причем численное решение задачи трех тел отличается от решения задачи двух тел главным образом объемом вычислительной работы. В точности и бьгстроте вычислений заключается большое преимущество численных методов перед аналитическими. Однако численные методы в настоящее время еще не позволяют выявлять общие свойства движения и устанавливать функциональные зависимости между переменными, характеризующими состояние движения той или иной механической системы. Поэтому аналитические методы исследования движения, несмотря на успехи вычислительной математики, не утратили своей ведущей роли. Кроме того, чрезвычайно полезные качественные способы исследования целиком относятся к области аналитических методов. [c.161]

Итак, по мнению автора, работу в области теоретического и экспериментального исследования течений в решетках ожидает интересное и плодотворное будущее. Сложные численные методы расчета послужат основой для разработки эффективных методик проектирования решеток, и если они будут учитывать эффекты вязкости и пространственности потока, то в этом направлении будут достигнуты большие успехи. Численные методы будут приспосабливаться к интерактивным режимам работы с использованием подходящих дисплеев с графопостроением, что позволит освободить инженера-газодинамика от черновой математической и графической работы и позволит ему сконцентрировать свои усилия на творческих аспектах проектирования. Численные методы расчета обеспечат точные результаты только в том случае, если будет получена достоверная и подробная информация относительно физической картины течения. Жизненно важная роль в деле получения такой информации останется за экспериментальным исследованием решеток. [c.351]

Если не удается получить аналитическую зависимость коэффициента К от размеров поперечных сечений элемента конструкции, то эту зависимость можно выразить графически следующим образом. Тем или иным численным методом, используя современные ЭВМ, решают прямую детерминистическую задачу нахождения максимального напряжения S от действия внешней нагрузки q = при заданном характерном размере поперечного сечения h. Согласно выражению (1.1) найденное значение 5 в этом случае будет равно коэффициенту К. Варьируя величину Л, можно получить зависимость К = /(/г), по которой строится график. Поставим задачу пусть на конструкцию действует случайная нагрузка q, закон распределения которой /2 (q) известен. Несушая способность материала конструкции также случайна, и закон распределения ее/2 (R) известен. Требуется определить размеры поперечного сечения конструкции из условия равенства ее надежности заданной. [c.6]

Ri и / 2 - точки усечения слева и справа соответственно. Значение интеграла, входящего в выражение надежности, можно рассчитать лишь численными методами с помощью ЭВМ, пользоваться этим выражением для нахождения искомого К крайне неудобно. Поэтому для высоконадежных систем, когда точка усечения слева достаточно близка а rrtjf (рис. 6), в качестве нижней оценки для надежности можно записать [c.27]

Это II без того сложное нелинейное урапнение второго порядка еще усложняется наличием переменных масс, поэтому решать такие уравнения наиболее целесообразно численным методом с 11споль зоваиием ЭВМ. [c.371]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...