Метод численного интегрирования уравнений

Чтобы получить точное значение Т, следует позаботиться о выборе метода численного интегрирования уравнения (7.69). Функции 5(Я) и /(Я) всегда имеют вид таблиц, так как они являются результатом экспериментальных измерений, выполненных для большого числа дискретных длин волн. При выполнении численного интегрирования существует много способов подбора аналитических функций к экспериментальным данным, и результирующая погрешность зависит от выбора функций и от интервалов между экспериментальными точками. Численные методы обработки уравнения (7.69) обсуждались в работе [83], где предложена простая процедура, основанная на подгонке набора полиномов для (Я) и (Я). В каждом интервале между экспериментальными точками при длинах волн X,- и Я,+1 используется полином степени п (4 п 6) для описания в (ц+1) точках по обе стороны Я,. Таким образом, для каждого интервала используются различные полиномы. Интегрирование выполняется по методу Симпсона с величиной шага, который выбирается так, чтобы погрешность интегрирования была ниже выбранного значения. Если определить функцию / (Я, Т) формулой [c.370]

Для полного решения пространственной задачи необходимо знать в каждой точке шесть независимых величин, а по данным оптических замеров получаются лишь пять независимых величин. Шестую величину можно получить методом численного интегрирования уравнений равновесия (17) при Хо = Fq = Ло = 0 [c.72]

При рассмотрении метода численного интегрирования уравнения (181) предполагалось, что все коэффициенты а, Ь, с и f зависят только от независимых переменных и я z. Поскольку этот метод предлагается использовать для решения уравнения (151), в котором коэффициенты зависят не только от независимых переменных, [c.169]

Произвести оценку точности предложенного выше метода численного интегрирования уравнения теплопроводности применительно к режимам нагрева тел простой геометрии близким к регулярным режимам на примере следующей задачи, имеющей аналитическое решение. [c.197]

На рис. 3 показано поведение в координатах (5, р> характеристик, полученных методом численного интегрирования уравнения (1.2), в области VG O Gi (рис. 1). (Масштаб по оси 05 увеличен в десять раз). Для сравнения через точку V проведены характеристики [c.126]

К первой группе относят строгие методы, т. е. методы численного интегрирования уравнений Сен-Венана, реализуемые в основном с помощью цифровых электронных вычислительных машин (ЭВМ). [c.232]

Вместе с соображениями, изложенными в [19 авторам [20] найти решение задачи профилирования всего сопла (а не только его сверхзвуковой части), реализующего максимум тяги при заданной полной длине. В свою очередь, построение такого решения, в котором дозвуковая часть заменена внезапным сужением (Глава 4.14), потребовало создания методов численного интегрирования уравнений газовой динамики на существенно неравномерных сетках (Глава 7.9). Наряду с созданием в основном для расчета околозвуковых течений в потенциальном приближении специальных численных схем (см. Введение к Части 7) в ЛАБОРАТОРИИ был развит метод [21], который с учетом особых свойств околозвуковых потоков позволяет находить интегральные характеристики сопел с существенно более высокой точностью, чем точность численного определения используемых для этого параметром течения. [c.212]

В настоящее время значительных успехов достигла вычислительная техника. В связи с этим успешно развиваются методы численного интегрирования уравнений движения. Решение многих практических задач оказалось возможным лишь благодаря применению быстродействующих вычислительных машин. [c.270]

Чтобы оценить аналитическое исследование динамических процессов в камерах силового цилиндра, фотоизображения процесса увеличивали и сравнивали с результатами, полученными методом численного интегрирования уравнения (12.13) вместе с экспериментальными зависимостями расхода от давления золотника (см. фиг. 12.9). На фиг. 12.14 и 12.15 приведены экспериментальная и тео- [c.481]

Приведен также метод численного интегрирования уравнений. [c.221]

При ступенчатых методах регулирования углового положения ротора необходимо анализировать динамическую устойчивость синхронного привода при больших отклонениях переменных. Для анализа переходных режимов синхронных двигателей при больших отклонениях переменных получил широкое распространение метод численного интегрирования уравнений динамики с заданными параметрами и возмущениями. [c.111]

Для изучения поведения решения в окрестности особых точек рассматривается так называемая укороченная (или грубая) система уравнений. Укороченная система получается из исходной выделением главных членов. В большинстве случаев главные члены оказываются нелинейными. При этом обычно стараются получить такие уравнения укороченной системы, которые либо можно проинтегрировать, либо исследовать известными качественными методами [9, 79], либо, наконец, построить разложение в ряд, дающее представление о возможном поведении искомых функций вблизи особенностей системы. Анализ особенностей позволяет выбрать и наиболее удобный метод численного интегрирования уравнений. [c.143]

Преимущества наблюдений малых планет по сравнению с наблюдениями Луны, Солнца или больших планет состоят в том, что малые планеты наблюдаются как светящиеся точки и поэтому их наблюдения свободны от многочисленных систематических ошибок, присущих наблюдениям других небесных светил. Для малых планет, которые используются при построении системы звездных каталогов, должны быть разработаны точные теории движения. Так как при обработке наблюдений нас интересует сравнительно небольшой интервал времени, то проще всего применять метод численного интегрирования уравнений движения планеты. [c.97]

Пример получения ММС различными методами. Для примера рассмотрим схему, показанную на рис. 4.10. Предполагается, что численное интегрирование уравнений будет выполняться с помощью метода первого порядка точности. Неявная формула такого метода [c.182]

Классификация методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Методы численного интегрирования ОДУ являются методами преобразования дифференциальных уравнений в алгебраические. После дискретизации независимой переменной t система ОДУ [c.235]

При создании программного обеспечения библиотека моделей элементов не будет связана с библиотекой методов численного интегрирования, если воспользоваться для формирования ММС обобщенным методом или методом переменных состояния, так как для них не требуется предварительной дискретизации компонентных уравнений реактивных ветвей. [c.157]

В настоящее время метод сеток является наиболее универсальным для численного интегрирования уравнений с частными производными. Элементы теории метода сеток, кратко излагаемые в настоящей главе, нужны для сознательного овладения основными сеточными методами, который применяют в газодинамических расчетах. При этом мы будем рассматривать лишь простейшие эволюционные (содержащие время в качестве независимого переменного) уравнения. Наиболее часто будем рассматривать в качестве примера уравнение переноса [c.74]

Методы численного интегрирования релаксационных уравнений с малым параметром при старшей производной описаны в 7.5, где обосновано применение неявных разностных схем. [c.120]

В последние годы предложено несколько методов численного интегрирования релаксационных уравнений. Наиболее эффективными и универсальными являются методы, основанные на использовании неявных разностных схем. Основное достоинство таких методов — возможность расчета по единой схеме с высокой точностью как областей, где все или несколько неравновесных параметров близки к равновесным значениям, так и тех областей, где имеет место заметное отклонение от этих значений. Обоснуем выбор неявных разностных схем для расчета релаксационных уравнений. [c.204]

Аналогичные с позиций вычислительной математики задачи возникают для многих точных решений задач теории теплопроводности и конвективного теплообмена. Поэтому далее рассмотрим методы решения нелинейных уравнений, методы численного интегрирования, а также приведем некоторые рекомендации по программной реализации точных аналитических решений. [c.53]

В четвертом случае, когда момент инерции постоянный, а силы зависят от скорости и положения, задачу определения закона движения машины решают методами численного интегрирования или с помощью ЭВМ. Последний случай представляет собой распространенную задачу о движении технологической машины с электродвигателем. Это движение описывается согласно уравнению (11.9) нелинейным дифференциальным уравнения второго порядка [c.360]

Аналитический метод. Для установления истинного закона движения звена приведения необходимо проинтегрировать уравнения (1.106) и (1.107). Общих методов решения таких уравнений не существует, в связи с чем получить интегралы в конечных функциях чаще всего нельзя. Поэтому задача по интегрированию этих уравнений решается приближенными методами численным интегрированием, разложением интегралов в ряд и др. [c.78]

После построения поля волокон величину сдвига в произвольной точке каждого волокна можно найти из уравнения (119), задав эту величину в одной точке волокна. Для решения данной задачи обычно используются методы численного интегрирования (за исключением некоторых частных случаев). [c.340]

Для определения всех компонент тензора напряжений по данным фотоупругого исследования используется какой-либо вспомогательный метод, например метод конечных разностей. Этот метод основан на численном интегрировании уравнений равновесия. Уравнение равновесия [c.499]

Метод численного интегрирования уравнений. В работе А. А. Губайдуллина, А. И. Ивандаева, Р. II. Нигматулина (1977) разработан алгоритм сквозного счета дифференциальных уравнений одномерного нестационарного движения двухскоростной среды в эйлеровых переменных с использованием разностных схем метода крупных частиц О. М. Белоцерковского, Ю. М. Давыдова (1982) и метода Харлоу (F. Harlow, 1964) ). [c.349]

Численный метод расчета частотной функции. В многочисленных работах, посвящеииых колебаниям стержней отдельных несложных форм, авторы пользовались различными приближенными и численными методами. Наиболее простым в смысле подготовительных операций и одновременно наиболее точным является прямой метод численного интегрирования уравнений с последующим определением собственных частот и форм колебаний. [c.24]

В литературе описаны различные по своим свойствам методы численного интегрирования уравнений механики сплошной среды [14—20]. Как правило, свойства разностных схем проверяются теоретическим исследованием аппроксимации и устойчиврсти и подтверждаются сопоставлением результатов математического и физического экспериментов. Вопросы изучения консервативности, и тем более локальной консервативности, как правило, обсуждаются мало. [c.229]

Гэдд [48] разработал метод численного интегрирования уравнения ламинарного пограничного слоя газа в предположении, что [c.122]

Аналогичным путем могут решаться не только динамические, но и тепловые задачи. Так, Дж. Фромм (Phys. Fluids, 1965, 8 10, 1757—1769) провел численное интегрирование уравнений движения и переноса тепла для плоской задачи о потере устойчивости в слое вязкой жидкости, подогреваемой снизу, при наличии сил тяжести. В широком диапазоне чисел Рейли (от критического до 10 ) были исследованы два основных случая движения со свободной поверхностью и при наличии сверху твердой стенки. В первом случае решение могло быть сравнено с более ранними расчетами, во втором — с опытными материалами. Результаты получились весьма многообещающими. В цитированной статье приведено боль-шое число графиков линий тока, изотерм и кривых одинаковой завихренности, теоретически доказывающих целлюлярное (ячеистое) строение возникающих после потери устойчивости потоков, впервые обнаруженное в опытах А. Бенара, относящихся еще к 1900 г., и получившее свое объяснение в трудах Рейли. Проведенные на электронно-вычислительной машине расчеты позволили также получить хорошо совпадающие с опытными кривые зависимости теплоотдачи (числа Нуссельта) от определяющего критерия Рейли. Это служит новым подтверждением мощи метода численного интегрирования уравнений динамики и термодинамики вязкой жидкости и выдвигает перед исследователями, новые задачи. [c.510]

Изложение методов численного интегрирования уравнений характеристик выходит за пределы настоящего учебиика и требует от читателя знаний по математике, превышающих программу втузов. [c.194]

Теория общих возмущений применима при решении далеко не всех задач орбитального движеиия. Однако в таких случаях всегда можно использовать специальные возмущения, т. е. методы численного интегрирования уравнений движения в той или мной форме. Имея в качестве исходной информации координаты и скорости тел в заданный момент времени, можно с помощью одного из таких методов вычислить из уравнений движения новые координаты и скорости, которые будут характеризовать систему тел спустя малый интервал времени. При этом удается учесть влияние всех действующих на тела сил. Полученные значения координат и скоростей, позволяют выполнить новые вычисления для последующего интервала времени и т. д. Каждый цикл вычислений называется шагом. Теоретически численное интегрирование можно вьпюлиять на сколь угодно большом интервале вре-мепи. На практике же при реализации любого численного процесса возникают так называемые ошибки округления. Поскольку все вычисления выполняются с определенным числом значащих цифр, математику или вычислительной машине приходится постоянно оперировать с округленными величинами, что неизбежно порождает ошибки. [c.223]

Ранее уже упоминалось, что одним из лучншх методов численного интегрирования уравнений второго порядка, чаще всего встречающихся в задачах орбитального движения, является метод Гаусса—Джексона. Если придерживаться введенных выше обозначений, то для двукратного интегрирования используется формула [c.258]

Сравнение различных методов решения задачи прогнозирования движения КА показывает [75], что метод численного интегрирования уравнений движения в прямоугольных координатах является наиболее простым. Его недостаток связан с большими затратами машинного времени по сравнению с двумя другими методами. Необходимость использования численного интегрирования для расчета траектории движения КА иа переходных участках (на границах сфер действия) является существенным недостатком метода малых вариапий уравнений кеплерового движения. [c.192]

Методические ошибки определяются погрешностями прогнозирования параметров движения ракеты на момент окончания АУТ (назовем нх погрешностями прогноза АУТ) и погрешностями решения краевой задачи по уточнению конечной требуемой скорости (назовем нх погрешностями коррекции конечной скорости). Погрешности прогноза АУТ определяются погрешностями модели гравнтационного поля в уравнениях движения ракеты на АУТ, погрешностями метода численного интегрирования уравненнй движения на интервале прогнозирования и влиянием возмущений. Ввиду циклической повторяемости процедуры прогноза АУТ с использованием действительных значеннй текущих параметров движения ракеты влияние перечисленных факторов проявляется лишь в течение небольшого интервала времени, непосредственно предшествующего отделению ГЧ, длительность которого не превышает продолжительности цикла коррекции Г. При уменьшении периода Гпогрешности прогноза уменьшаются и в пределе при Г - О также стремятся к нулю. [c.368]

В подобных случаях обычные методы решения тормозных задач не обеспечивают необходимой точности, и для этой цели пользуются разработанным во ВНИИЖТе методом численного интегрирования уравнения движения поезда по интервалам времени, наиболее полно учитывающим происходящие в поезде тормозные процессы. При этом тормозные расчеты выполняют по интервалам времени при условии постоянства сил, действующих в каждом интервале. [c.52]

Математические модели называют функциональными, если они отражают процессы, протекающие в объекте при его функционировании, или структурными, если они отражают топологические или геометрические свойства объекта. Типичными функциональными моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных с заданными краевыми условиями. Для их решения в САПР применяют методы конечных разностей или конечных элементов. Функциональные модели на макроуровне представляют собой обыкновенные дуфференциальные уравнения. Наибольшее распространение для их решения получили неявные или комбинированные методы численного интегрирования. Для моделирования на метауровне наравне с обыкновенными дифференциальными уравнениями используют модели массового обслуживания и логические уравнения. [c.80]

Учет специфики ММ объектов проектирования на макроуровне делает во многих случаях эффективным с точки зрения затрат машинного времени применение декомпозиционных методов анализа, сводящих решение задачи большой размерности к решению подзадач меньшей размерности. Например, свойство пространственной разреженности ИС позволяет использовать при их электрическом анализе различные методы численного интегрирования дифференциальных уравнений для ММ различных фрагментов ИС, выбирая для каждого фрагмента наиболее подходящий метод. Ряд методов использует свойство временной разреженности ИС, осуществляя обнаружение неактивных в текущий момент времени участков схемы и исключение соответствующих нм переменных и уравнений из общей ММ системы. Учет однонаправленности ММ МДП-тран-зисторов позволяет приблизительно на два порядка поднять быстродействие программ анализа путем замены классических методов анализа (см. рис. 5.1) на релаксационные, в основе которых лежат итерационные алгоритмы Гаусса—Якоби и Гаусса—Зейделя. [c.152]

В 1...2 доя составления уравнений движения использовалась система аналитических вычислений REDU E. Эта система позволяет не только получить уравнения движения, но и составить программу их интегрирования на одном из алгоритмических языков. В данном параграфе рассматривается иной подход к анализу уравнений движения, а именно их автоматическое получение и интегрирование численными методами. Приводится описание алгоритма, который позволяет в значительной мере сократить количество выкладок, связанных с получением уравнений движения, и затраты труда на программирование при численном интегрировании уравнений движения. В основе алгоритма лежит реализация второго метода Лагранжа получения уравнений движения с помощью численного определения частных производных. [c.68]

Один из этих методов состоит в следующем. Задав начальные условия (7.55), численным интегрированием уравнения (7.45) определяют значения линейно независимых решений (7.49) в конце периода Т, т. е. матрицу X (Т) = А. Так как интегрирование нужно производить на конечном промежутке времени [О, Т], то все вычисления можно произвести с любой наперед заданной точностью (для этой цели лучше всего, конечно, использовать электронно-вычислительные машины). По найденной матрице А составляется характеристическое уравнение (7.64), после чего определяются корни Рх, р2,. . ., Рп- Хорошим контролем этого метода может служить равенство (7.72), которое с помощью последней формулы Виета (4.23) приводится к виду [c.238]

Математическое обеспечение схемотехнического анализа (анализа электронных схем) составляют модели электронных компонентов, методы формирования математических моделей схем в виде систем обьпсновенных дифференциальных уравнений и методы численного интегрирования этих систем. [c.136]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...