Разностная задача (схема)

Основная идея применения разностных методов состоит в замене непрерывных переменных дискретными. Функции и аргументы заменяются набором чисел, заданных в точках множества, называемого сеткой. Исходные дифференциальные или интегральные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений высокого порядка. Хотя в принципиальном плане задача упрощается, но из-за высокого порядка алгебраической системы возникают большие вычислительные трудности, как правило, непреодолимые без использования ЭВМ. При решении дифференциальных уравнений производные в уравнениях и граничных условиях заменяются отношением конечных разностей функций и аргументов. Исходной задаче ставится в соответствие разностная задача или разностная схема. В дальнейшем разность аргументов в соседних узлах сетки будем называть шагом сетки. Будем говорить, что разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное, если при неограниченном измельчении сетки разностное уравнение стремится к точному. [c.224]

Заметим, что хотя в рассмотренных здесь простейших случаях порядок аппроксимации производных совпадает с порядком точности решения соответствующей разностной задачи, в общем случае это может быть не так. Ясно, что порядок точности разностной схемы не может превосходить порядка аппроксимации. Для того, чтобы точность решения разностной задачи совпала с порядком аппроксимации исходной задачи, необходимо требование устойчивости вычислительного алгоритма. [c.231]

Дадим определение устойчивости разностной схемы. Разностную схему (7.12) будем называть устойчивой, если существуют такие Ло > О и б > О, что при h < Нд и всяком удовлетворяющем е< ) < б, разностная задача [c.231]

Если разностная схема (7.12) аппроксимирует задачу (7.11) с порядком k и является устойчивой, то решение ы ) разностной задачи сходится к точному [и]д, причем имеет место оценка [c.232]

Для дву- и трехмерных нестационарных задач теплопроводности число неизвестных в разностных схемах значительно возрастает. Вследствие этого возрастает и число выполняемых при ре-шении разностной задачи арифметических операции. Для различных разностных схем возрастание объема вычислительной работы неодинаково. Поэтому для таких разностных схем рассматривают <- ще одно свойство — экономичность. [c.245]

Экономичность определяется общим числом арифметических операций, необходимых для решения разностной задачи с заданной степенью точности. Считают, что разностная схема экономичная, если число арифметических операций на каждом 50 шаге по времени пропорционально числу узлов сетки N. Явная схема в этом смысле экономична, но устойчива лишь при жестком ограничении шага по времени [соотношения (23.20), (23.21)]. Неявная схема абсолютно устойчивая, но для дву-и трехмерных задач не является экономичной, так как при решении системы алгебраических уравнений общего вида необходимо совершить число операции, пропорциональное N . [c.245]

В соответствии с общим методом решения задачи для колонки строится конечно-разностная расчетная схема. Для увязки с расчетной схемой массива горных пород в сопротивление стенок замораживающей трубы вводится цилиндрический слой породы малой толщины (прилегающий слой породы). [c.396]

Для исследования устойчивости полученной разностной схемы применим спектральный признак. Ищем решение разностной задачи в виде [c.200]

Вопросы исследования сходимости и точности построенных разностных задач подробно изучаются в теории разностных схем [57]. [c.198]

Уравнение (1.11) называется конечно-разностным уравнением, или конечноразностной схемой, или разностной схемой. Разностная задача (1.11)-(1.12) называется разностной задачей с начальными данными, или разностной задачей Коши. [c.7]

В книге подробно обсуждаются конвективные уравнения и граничные условия, рассматриваются вопросы, связанные с выбором сетки, конструированием конечно разностной схемы, решением разностной задачи Широко представлены тестовые испытания алгоритмов на задачах естественной конвекции Приводится апробированная программа для решения плоских стационарных задач конвекции в прямоугольных полостях при граничных условиях 1, 2 и 3 города для температуры [c.5]

Таким образом, процедура численного решения задач ЕК состоит из трех основных этапов. Сначала на выбранной сетке производится аппроксимация дифференциальных уравнений и краевых условий, в результате которой строится разностная схема — дискретный аналог исходной задачи. Затем выбирается метод решения полученной нелинейной разностной задачи и конструирование вычислительного алгоритма завершается. Заключительный этап — программная реализация этого алгоритма на ЭВМ. [c.28]

Для обеспечения близости решений разностной и дифференциальной задач необходимо, чтобы при стремлении шагов сетки к нулю разностная задача в пределе совпадала с дифференциальной. Если это требование выполняется, то говорят, что разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу. В дальнейшем будем говорить, что [c.33]

Пока не существует удовлетворительной теории устойчивости нелинейных схем. В связи с этим устойчивость разностных задач конвекции обычно проверяется в два этапа. Сначала методами линейной теории строятся оценки устойчивости (в виде условий на шаги) для линеаризованных разностных уравнений температуры, завихренности и функции тока. Эти оценки позволяют [c.38]

На протяжении этой главы нас не будут интересовать условия на границе области С. Поэтому разностное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (3.1), станем для краткости называть схемой, как и разностную задачу в целом. [c.48]

Среди разнообразных итерационных схем, используемых на практике, минимальными затратами машинного времени на расчет одной итерации и машинной памяти, простотой программной реализации отличается метод Зейделя. Для его сходимости в случае линейной разностной задачи общего вида (2.12) достаточно [19, 50], чтобы во всех узлах выполнялись условия принципа максимума (2.13) и по крайней мере в одной граничной точке имело место строгое неравенство >>0. [c.106]

Общие выводы. Чтобы выяснить степень общности описанных результатов, их проверяли при иных входных данных разностной задачи, на других разностных схемах и граничных условиях для завихренности, хотя эти исследования и не носили систематического и детального характера. [c.137]

Пространственные дифференциальные операторы аппроксимировались на равномерной сетке со 2-м порядком посредством консервативной монотонной схемы (3.30). Для вычисления завихренности на стенках цилиндров строились приближенные формулы типа Вудса. В случае нестационарной постановки задач разностное решение находилось методом установления с неявной схемой типа описанной в п. 4.2.2 для температуры и завихренности и с расчетом функции тока на временных слоях по методу последовательной верхней релаксации. При стационарной постановке решение разностных задач осуществлялось с помощью релаксационного метода, изложенного в п. 4.3.2 и 5.2. Сразу отметим, что в рассмотренном диапазоне магнитных чисел Рэлея релаксационный алгоритм решения стационарных конвективных уравнений приводил к тем же результатам, что и нестационарный метод установления, адекватно реагируя на кризис равновесного состояния при Ram Ra. [c.147]

Примеры исследования устойчивости схем энергетическим методом. Рассмотрим разностную задачу [c.173]

Обратимся теперь к разностной задаче. Если для решения схемы используется метод последовательных прогонок, то уравнение энергии (4.11), которое рассматривается в тепловой группе II, сводится к трехточечному итерационному уравнению (4.13) [c.232]

Замену исходного дифференциального оператора разностным можно сделать различными путями. Основное требование к разностной схеме заключается в том, чтобы схема была устойчивой. Под устойчивостью будем понимать непрерывную зависимость решения разностной задачи от начальных и граничных условий правых частей. [c.128]

Понятие устойчивости разностной схемы связано с понятием корректности разностной схемы. Будем говорить, что разностная задача поставлена корректно, если решение существует и единственно при всех начальных и граничных условиях допустимого вида, причем решение разностной задачи непрерывно зависит от начальных данных и равномерно относительно величины шага сетки. Вторая часть условия корректности является как раз устойчивостью схемы по начальным данным. Для линейных задач условие устойчивости по начальным данным и устойчивость по правой части эквивалентны. Условие устойчивости связано с реакцией разностной схемы на ошибки, которые вносятся в правую часть Zu = f) в начальные и граничные условия. Рост возмущений приводит к неустойчивости численных расчетов. Если ошибки не накапливаются в процессе вычислений, то разностная схема устойчива. [c.128]

Как следует из схемы, представленной на рис. В.1, информация о НДС является ключевой для анализа прочности и долговечности элементов конструкций. Поэтому правильность оценки работоспособности той или иной конструкции в первую очередь зависит от полноты информации о ее НДС. Аналитические методы позволяют определить НДС в основном только для тел простой формы и с несложным характером нагружения. При этом реологические уравнения деформирования материала используются в упрощенном виде [124, 195, 229]. Анализ НДС реальных конструкций со сложной геометрической формой, механической разнородностью, нагружаемых по сложному термо-силовому закону, возможен только при использовании численных методов, ориентированных на современные ЭВМ. Наибольшее распространение по решению задач о НДС элементов конструкций получили следующие численные методы метод конечных разностей (МКР) [136, 138], метод граничных элементов (МГЭ) [14, 297, 406, 407] и МКЭ [32, 34, 39, 55, 142, 154, 159, 160, 186, 187, 245]. МКР позволяет анализировать НДС конструкции при сложных нагружениях. Трудности применения МКР возникают при составлении конечно-разностных соотношений в многосвязных областях при произвольном расположении аппроксимирующих узлов. Поэтому для расчета НДС в конструкциях со сложной геометрией МКР малоприменим. В отличие от МКР МГЭ позволяет проводить анализ НДС в телах сложной формы, но, к сожалению, возможности МГЭ ограничиваются простой реологией деформирования материала (в основном упругостью) [14]. При решении МГЭ упругопластических задач вычисления становятся очень громоздкими и преимущество метода — снижение мерности задачи на единицу, — практически полностью нивелируется [14]. МКЭ лишен недостатков, присущих МКР и МГЭ он универсален по отношению к геометрии исследуемой области и реологии деформирования материала. Поэтому при создании универсальных методов расчета НДС, не ориентированных на конкретный класс конструкций или вид нагружения, МКЭ обладает несомненным преимуществом по отношению как к аналитическим, так и к альтернативным численным методам. [c.11]

Для многих краевых задач сходимость разностной схемы является следствием аппроксимации ею краевой задачи и устойчивости. При этом порядок сходимости относительно шага совпадает с порядком аппроксимации. [c.47]

Необходимость исследования сходимости впервые построенной разностной схемы обусловливает тот факт, что основу программных реализаций в САПР составляют вполне конкретные, хорошо изученные для определенных задач разностные схемы. [c.47]

Разностная схема (1.86), (1.87) устойчива и аппроксимирует исходную краевую задачу (1.6) со вторым порядком точности относительно шага. Кроме того, она регулярна по направлениям осей X и у, что позволяет создавать быстродействующие алгоритмы решения результирующей системы алгебраических уравнений. [c.48]

Исходя из указанных особенностей динамических задач, в простейшем случае для аппроксимации У (О можно предложить кусочно-постоянную функцию времени, получаемую следующим образом. Пусть численное интегрирование уравнений динамики осуществляется с постоянным шагом At. На произвольном интервале времени [пМ, ( +l)Д ] управление У(t) постоянно и равно вектору Y . Тогда уравнение динамики (3.38) можно заменить простейшей разностной схемой в виде [c.76]

Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов. Вычисления в силу уравнений (10) —(12) будем проводить на ЭВМ с программированием на языке ФОРТРАН. Конечно-разностная схема Эйлера для уравнений (10), (11) приводит к следующим уравнениям, [c.33]

Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов. Систему уравнений (14), (17), (18) интегрируем с помощью ЭВМ на интервале времени т=1,37 с, используя конечно-разностную схему Эйлера. Шаг интегрирования приме.м равным шагу печати Д/ = 0,057 с. [c.51]

Здесь использован сеточный шаблон, показанный на рис. 7.2, б при h X. Уравнение (7.33) соответствует неявной разностной схеме, в нем присутствуют значения функций в трех точках верхнего временного слоя. Хотя разностные уравнение и начальное условие при измельчении сетки стремятся к исходному дифференциальному уравнению и начальному условию, решение разностной задачи, как уже отмечалось, может не стремиться к точному. Сходимость может зависеть от выбора сетки, в частности, от параметра а = т/Л. Если заданы начальные условия на отрезке 1а, Ь], то, согласно общей теории, решение уравнения (7.25) может быть получено в треугольнике определенности с основанием [а, Ь], боковыми сторонами которого являются пересекающиеся характеристики разных семейств х t = onst, х — t = onst, проходящие соответственно через точки а и Ь (рис. 7.3), Угол наклона характеристик к оси абсцисс в этом случае равен л/4. [c.238]

Головная программа PIVOT задает размерность используемых массивов. Программа определяет основные этапы решения задач1и ввод и печать исходных данных, построение расчетной схемы стержня, решение разностной задачи, вывод результатов. [c.216]

Метод сеток, или метод конечных разностей, является эффективным инструментом теоретического изучения конвективных процессов. Основная идея метода такова. В области определения дифференциальной задачи выбирается конечное множество точек (узлов), называемое сеткой. Функции и производные в каждом узле приближенно заменяются (аппроксимируются) некоторыми линейными комбинациями значений соответствующих функций, входяищх в уравнения и краевые условия, в узлах сетки. В результате этих замен нелинейная дифференциальная задача ЕК сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций в узлах. Такую систему принято называть разностной задачей, или разностной схемой. Несмотря на нелинейность и большое, как правило, число неизвестных, разностная задача более предпочтительна для решения, чем исходная дифференциальная, так как допускает применение вычислительной техники. Найденное на ЭВМ решение разностной задачи (разностное решение) принимается за приближенное решение исходной задачи в узлах сетки. Оно имеет вид числовой таблицы, размер которой пропорционален количеству узлов. [c.28]

Более строго устойчивость трактуется как свойство непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных, согласно которому всякое малое изменение входных данных (например, вследствие округления) приводит к малому изменению решения. Под входными данными обычно понимают правые части разностных уравнений, граничных и начальных условий. Предположим, что решение задачи (2.3), (2.4) существует при любых правых частях ф , хн из некоторого допустимого класса сеточных функций. Схема (2.3), (2.4) называется устойчивой, если разностное решение ун непрерывно зависит от входных данных фа, и эта зависимость равномерна относительно шагов сетки Оп- Иными словами, схема (2.3), (2.4) устойчива, если можно указать такие положительные константы М, Мг, не за-висяи ие от шагов сетки, что при любых допустимых наборах фУ>, и ф >, входных данных выполняется оценка [c.38]

Уравнения конвекции выражают несколько физических законов сохранения (тепла, массы, завихренности). Дифференциальные уравнения получаются из законов сохранения (уравнений баланса) при достаточной гладкости функций, входяш,их в эти уравнения. В теории и практике метода сеток широко известен интегро-интер-поляционный метод построения разностных схем [12, 14], когда дискретизации на сеточном шаблоне подвергается не дифференциальное уравнение, а соответствую-ш,ее ему уравнение баланса. Метод позволяет конструировать схемы, отражающ,ие в дискретной форме интегральные законы сохранения на сколь угодно больших и на сколь угодно малых участках сеточной области. Такие схемы называются консервативными, или дивергентными. Консервативные схемы, как правило, улучшают точность решения, особенно в качественном отношении. Разностный оператор консервативных схем обладает свойством самосопряженности, которое является одним из определяющ,их условий сходимости различных итерационных алгоритмов решения разностных задач. [c.53]

Одна из проблем, возникающих при численном исследовании конвекции,— обеспечение приемлемой точности результатов в режиме формирующегося пограничного слоя. Обычная процедура увеличения размерности сетки в этих условиях становится либо невозможной из-за недостаточного объема оперативной памяти ЭВМ, либо нежелательной по причине чрезмерного потребления машинного времени. При переходе в область мелких сеток существенная экономия машинного времени может быть достигнута методом решения на последовательности сеток [52]. Но точность решения можно повысить и на сравнительно грубых сетках за счет улучшения аппрок-симационных свойств разностной схемы и путем неравномерного распределения сеточных узлов, сгущая их на участках с более интенсивным движением. Исходя из того, что картина течения заранее неизвестна, важно выбрать подходящее правило, которое бы устанавливало зависимость шагов сетки от структуры искомого решения. Обсудим отдельные приемы улучшения сетки в процессе решения разностной задачи. [c.114]

В этой глапе в основном будет рассматрпнаться задача Коши. В общей теории устойчивости доказывается, что для линейных задач схемы, устойчивые по начальным данным, устойчивы и по правой части [80], Поптому в дальнейшим мы ограничимся главным образом исследованием устойчивости разностных схем по начальным данным. [c.155]

Совокупность разностного уравнения и разностных краевых условий называется разностной схемой краевой задачи. Так, в нашем примере уравнения (1.79) и (1.83) явл яются разностной схемой краевой задачи (1.77). [c.45]

Кажущаяся простота построения разностной схемы в pa MOTpeHFioM примере обманчива. В реальных задачах при построении разностных схем могут возникнуть существенные проблемы. Например, при исследовании разностных схем даже для простых линейных задач часто выясняется, что, казалось бы, разумная разностная схема дает реи1ение, не сходящееся при измельчении сетки к точному решению дифференциальной задачи. Поэтому построение сходящейся разностной схемы — центральный и наиболее сложный вопрос МКР. [c.46]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Аппроксимация Y(<) должна быть обоснована с учетом различных факторов функциональных свойств Y(0, необходимой точности решения, методов и средств решения уравнений динамики и т. п. В данном случае надо учитывать, что составляющие Y(0 являются кусочно-непрерывными функциями, допускающими разрывы первого рода ( 2). Кроме того, важным является то об-, стоятельство, что задачи подобного рода, возникающие в инженерной практике, решаются, как правило, с помощью ЭВМ. При этом, как известно, дифференциальные уравнения аппроксимируются разностными схемами. [c.76]

Таким образом, с помощью замены динамического вектора управления Y(/) дискретным аналогом в виде конечного набора векторов Yo, Yn,... и разностных схем типа (3.56) динамические задачи оптимизации всегда можно приближенно эквивалентировать статическими задачами. Поэтому их форма является основной для задач оптимизации, решаемых при машинном проектировании ЭМП. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...