Интеграл сингулярный

Пусть теперь оба интеграла сингулярные и подынтегральная функция зависит от двух аргументов [c.17]

Включение круговое жесткое 140, 146, 156 Деформация плоская 5, 160, 162, 209 Диаграмма усталостного разрушения 42, 43 Диск круговой III, 120, 129, 140, 143, 146, 147 Живучесть конструкции 42 Интеграл сингулярный 9, 26—29 [c.245]

В случае изгиба кольцевой пластинки (б г а), лежащей на линейно-деформируемом основании с ядром (1,3), сохраняется система (2.24) и уравнение (2,25) с той только разницей, что она будет задана уже на интервале (б г а), и в правой части уравнения (2.25) добавятся еще-две произвольные постоянные. Указанное сужение интервала существенно осложняет применение метода регуляризации (1, 5, 4°) и метода-ортогональных многочленов (1, 4), так как выделенный из ядра уравнения (2,25) в качестве Я-ядра интеграл Вебера — Сонина перестает быть таковым на интервале (б г а). Преодолеть эту трудность при м = 0 можно, выделив из указанного интеграла сингулярную его часть в виде логарифмической функции которая и будет П-ядром на требуемом интервале. [c.297]

Таким образом, интеграл от построенной сингулярной функции Г(1) равен заданному импульсу Р и отличен от нуля, хотя Г(<) равна нулю всюду, кроме точки <о- Построенная функция относится к классу обобщенных функций, изучением свойств которых занимается специальная математическая дисциплина. [c.291]

Если поверхность Si (или часть ее) совпадает с поверхностью o Si, то уравнение (2.334) становится сингулярным — ядро его будет иметь неинтегрируемую особенность [интеграл в (2.334) в этом случае следует понимать в смысле главного значения по Коши]. [c.99]

Свойство инвариантности, а также сингулярность напряжений и деформаций (согласно формулам (8.8)) позволили принять /-интеграл в качестве критериальной величины для формулировки критерия разрушения. Его можно сформулировать следующим образом. Трещина начинает распространяться, когда инвариантный /-интеграл достигает предельного значения Лс [c.59]

Если в криволинейном интеграле (6.132) вместо точки z подставим точку /о контура L, то получим сингулярный криволинейный интеграл [c.138]

Таким образом, главное значение, по Коши, сингулярного интеграла (6.137) для функции /(О, удовлетворяющей условию Гель-дера, равно [c.139]

Здесь сингулярный интеграл j "t — понимается в [c.140]

Таким образом, сингулярный интеграл [c.141]

Приведем выражения для значения интеграла типа Коши, его предельных и сингулярного значений в частном случае, когда функция f t)— 1 [c.19]

Теорию одномерных сингулярных уравнений принято излагать для произвольных контуров в комплексной плоскости, что позволяет сразу, без вспомогательных преобразований, использовать ее для рещения некоторых двумерных краевых задач математической физики. Тогда само построение теории опирается на свойства интеграла типа Коши. [c.51]

Естественно, что любой метод численного решения сингулярных уравнений должен опираться на те или иные специальные квадратурные формулы. Разобьем контур на элементарные участки и будем полагать плотность постоянной в пределах каждого из них, обязательно связав ее значение со значением в центре участка (разбиения в так называемой основной точке). Тогда, вычисляя интеграл в той или иной основной точке, придем к интегральной сумме, в которой надо опустить слагаемое, соответствующее отрезку, которому принадлежит исходная основная точка. Укажем также один прием, позволяющий непосредственно переходить к несобственным интегралам. Для этого воспользуемся представлением уравнения (3.1) в иной (регулярной) форме [c.56]

Двумерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Введенное в первой части этого параграфа понятие сингулярного интеграла в одномерном случае допускает распространение на случай многих переменных. Рассмотри.м случай двух измерений. Заметим, что полученные здесь результаты, как правило, оказываются справедливыми и для случая произвольной размерности, однако все выкладки более просты в случае двух измерений. Начнем исследования для случая, когда областью интегрирования является вся плоскость, которую обозначим через П. [c.57]

Как и в одномерном случае, для сингулярных интегралов вида (3.18) имеет место теорема, аналогичная теореме Пле-меля — Привалова, а именно теорема о том, что интеграл будет являться функцией, принадлежащей классу Г. — Л., если плотность принадлежит тому же классу при условии, что характеристика /( 0,0) непрерывно дифференцируема по декартовым координатам точки <7о и углу 9 (эта теорема принадлежит Жиро [35]). [c.59]

Заметим, что к понятию сингулярного интеграла приходят, в частности, при рассмотрении вопроса о дифференцировании интегралов, зависящих от параметра. Известно, что производная интеграла по параметру совпадает с интегралом от производной по параметру подынтегрального выражения, если последний равномерно сходится по этому параметру. Очевидно, что по отношению к интегралу вида (интеграл со слабой особенностью) [c.59]

Здесь один из интегралов является сингулярным. Доказано, что в этом случае перестановка порядка интегрирования возможна. Иначе обстоит дело, когда оба интеграла являются сингулярными. Пусть [c.60]

В этом случае перестановка порядка интегрирования приводит, как и в одномерном случае, к совершенно иному результату. Отметим, что использование разложений характеристик f(go,S) и /1(<7о, 0) в ряд Фурье позволяет получить для интеграла (3.26) представление, в которое входят степени одного простейшего сингулярного оператора. [c.60]

Наиболее интересный для теории сингулярных интегральных уравнений результат формулируется сравнительно просто, если ввести, как это сделано в [35], одно новое понятие—понятие о символе сингулярного оператора (интеграла). [c.60]

Символ регулярного оператора, содержащего сингулярный интеграл вида (3.34) на поверхности S, будем отождествлять с символом оператора на плоскости, имеющим характеристику f(qo,Q). [c.63]

Таким образом, фактическое вычисление сингулярного интеграла на поверхности требует введения определенной дискретизации поверхности (определяемой каждый раз в зависимости от положения точки до) так, чтобы элементарные области описывали поверхности ere- Следовательно, при необходимости вычисления интегралов в совокупности точек до надо вводить соответствующее количество различных дискретизаций. В дальнейшем (в 3 гл. VII) приводятся приемы вычисления сингулярных интегралов, присутствующих в интегральных уравнениях пространственной задачи теории упругости, основывающиеся на специальных свойствах их ядер. [c.63]

Преобразуем правую часть (4.36), представив сингулярный интеграл как разность между предельным значением интеграла Коши и плотностью [c.396]

Можно показать [238], что сингулярная часть напряжений определяется первым слагаемым в (11.25), причем для вычисления интеграла можно использовать приближенное равенство [c.545]

Вычисляя интеграл в (11.27) и выделяя его сингулярную часть ири г а, 2- , получим [c.545]

Перейдем к вычислению сингулярного (прямого) значения интеграла [c.552]

Напомним, что именно через область Зе определялся двумерный сингулярный интеграл (см. 3 гл. I). [c.552]

Интеграл от сингулярного слагаемого в соответствии с известным свойством б-функции [см. (2.2.40)] будет иметь вид [c.198]

Таким образом, для и получим выражение в виде объемного интеграла по всему объему тела. Сингулярность функции в точке А не порождает никаких трудностей, как можно сразу же видеть, рассмотрев выражение dx в сферических полярных координатах с центром в точке А. Подобным образом, заменяя в (а) индексы X аг у, а затем на г, что соответствует силам Р" и Р" в направлениях у н г, получим ) [c.466]

Приведем теперь результаты решения задач по определению коэффициента интенсивности напряжений экстраполяционным методом ГИУ (см. 14). Для численной реализации были написаны программы решения плоских и пространственных задач теории упругости методом интегральных уравнений (14.9), полученных на основе решения Кельвина [77]. Решение уравнения осуществлялось методом последовательных приближений с предварительной регуляризацией сингулярного интеграла по формуле (14.14). [c.112]

Из (44.3) —(44.5) следует, что для каждой из рассмотренных задач теплопроводности )1 (ж ) или п(хп) известны, а оставшиеся неизвестными функции удовлетворяют соответствующей системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. [c.353]

При применении теории к реальному материалу с малыми,, но отличными от нуля растяжимостью и сжимаемостью мы интерпретируем эти сингулярности как тонкие слои, в которых растягивающее напряжение вдоль слоя очень велико. Сосредоточенная сила, существование которой предсказывается идеализированной теорией, интерпретируется как интеграл от больших, но конечных растягивающих напряжений по толщине слоя, являющейся малой, но ненулевой величиной. Располагая оценкой толщины слоя, можно оценить растягивающее напряжение, разделив на эту толщину величину сосредоточенной силы (определяемой с помощью идеализированной теории). [c.298]

Обратимся теперь к важному вопросу о возможности перестановки порядка интегрирования в кратных интегралах. Согласно теореме Фубини [183] в случае, когда оба интеграла регулярные, перестановка всегда возможна и не изменяет значения кратного интеграла. Аналогичный результат имеет место и для случая, когда один из интегралов сингулярный. Пусть имеется кратный интеграл [c.16]

Получим теперь еще иные сингулярные уравнения для задачи II ). Для случая внутренней задачи обратимся к тождеству (1.12) или (1.13) и осуществим предельный переход к точкам поверхности. Будем считать известным интеграл от краевых значений напряжений и обозначать через Ф( ). Восполь-зовавщись формулами (1.21), приходим к равенствам [c.557]

Интегралы, присутствующие в уравнениях (2.2), (2.3) и (2.5), являются двумерными сингулярными интегралами, и в соответствии с общей теорией ( 3 гл. I) при их вычислении следовало бы каждый раз вводить локальную систему координат, определяемую пересечением поверхности с координатными поверхностями г = onst, ф = onst цилиндрической системы, ось которой Z совпадает с нормалью к поверхности в той точке, в которой интеграл вычисляется. Этот путь сопряжен с серьезными техническими трудностями, которые становятся еще более значительными при переходе к решению интегрального уравнения, когда вычисление сингулярных интегралов следует проводить в большом числе точек поверхности. Однако учет специфики ядер рассматриваемых интегралов позволил избежать отмеченных затруднений. Один способ [171] заключается в преобразовании этих сингулярных интегралов в несобственные (регулярные), а другой [88,206] базируется на возможности вычисления в явном виде интеграла от ядра, когда элемент поверхности есть плоский многоугольник. [c.572]

Рассмотрим другой способ вычисления сингулярных интегралов. Обнаружено, что если элементарная область есть плоский многоугольник, то сингулярный интеграл вычисляется в замкнутом виде (при этом предполагается, что плотность постоянна в пределах области). Заметим, что в этом случае изымаемая из рассмотрения часть области (согласно определению сингулярного интеграла) есть круг. Разумеется, использование указанной формулы требует осуществления предварительной полигонализации поверхности (если она первоначально криволинейна). Наиболее просто получается указанный результат, если область является прямоугольником и опорная точка выбрана в его центре. Из формулы (1.29) следует, что скачок предельных значений оператора напряжений равен удвоенной плотности, а из условий симметрии следует, что его значения с разных сторон совпадают по величине и обратны по знаку (поэтому предельное значение оператора напряжений равно самой плотности с учетом знака). Такой прием позволяет сразу найти не только сам интеграл, но и его сумму, включающую внеинтегральное слагаемое. [c.574]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...