Методы численные, сравнения

Сравнение методов и обоснование их выбора для конкретных задач автоматизированного проектирования. Эффективность метода численного интегрирования оценивается его влиянием на экономичность и точность вычислений. [c.240]

По сравнению с первым изданием, которое вышло в 1973 г., книга переработана и дополнена. В нее включены новые методы численного решения дифференциальных уравнений, рассмотрены новые результаты исследований о трении и теплообмене при переменных физических свойствах газа, о влиянии турбулентности на теплообмен В передней критической точке и др. [c.152]

В заключение следует отметить, что метод численного интегрирования при использовании прямоугольной сетки аналогичен применению полярной сетки. Сравнение основных расчетных формул (2-21) и (2-39) по- [c.63]

Сравнение значений функции <р (х), рассчитанных вариационным методом и методом численного интегрирования [4] [c.210]

На рис. 3 показано поведение в координатах (5, р> характеристик, полученных методом численного интегрирования уравнения (1.2), в области VG O Gi (рис. 1). (Масштаб по оси 05 увеличен в десять раз). Для сравнения через точку V проведены характеристики [c.126]

В монографии представлены результаты теоретических и численных исследований, выполненных авторами в области механики и вычислительной математики слоистых тонкостенных анизотропных оболочек, а также неклассическая математическая модель нелинейного деформирования тонкостенных слоистых упругих композитных пластин и оболочек, отражающая специфику их механического поведения в широкой области изменения нагрузок, геометрических и механических параметров, структур армирования. Предложен и реализован эффективный метод численного решения краевых задач неклассической теории многослойных оболочек, основанный на идеях инвариантного погружения. Получены решения задач начального разрушения, устойчивости, свободных колебаний слоистых конструкций распространенных форм — прямоугольных и круговых пластин, цилиндрических панелей, цилиндрических и конических оболочек. Дана оценка влияния на характеристики напряженно-деформированного состояния и критические параметры устойчивости таких факторов, как поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали, моментность основного равновесного состояния, докритические деформации. Проведены систематические сравнения полученных решений с решениями, найденными при использовании некоторых других известных в литературе неклассических моделей, в том числе и в трехмерной постановке. [c.2]

Цель приложения заключается в том, чтобы кратко напомнить квадратурную формулу Гаусса, правило выбора узлов и соответствующих им весовых множителей. Эта формула оказывается полезной в МГЭ при вычислении различных интегралов по элементам и ячейкам. Главное преимущество метода численного интегрирования Гаусса — Лежандра по сравнению с обычными методами (правилом трапеций Симпсона и т.д.) заключается в том, что определенная точность результатов может быть достигнута методом Гаусса при использовании вдвое меньшего, чем в других методах, числа ординат. Это является следствием введения в формулу в виде параметра не только соответствующего каждой ординате весового множителя, но и местоположения узлов, соответствующих этим взятым из области интегрирования ординатам (рис. В. 1). [c.478]

Неудобство численных методов по сравнению с аналитическими состоит в том, что в первом случае решается только одна конкретная задача и любое изменение параметров требует совершенно нового решения, такого же трудоемкого, как и первое. [c.102]

Разработанные общие принципы математического моделирования пожаров на уровне усредненных термодинамических характеристик позволили спользовать методы численного эксперимента для задач прогнозирования динамики пожаров в помещениях различного назначения. Вопросы сходимости результатов численных экспериментов с изучаемым физическим процессом рассмотрены в разд. 5.4. Методы численных экспериментов для данных задач имеют целый ряд преимуществ по сравнению с физическим экспериментом. Численные эксперименты, основанные на научно обоснованной математической модели, позволяют получать достоверные научные данные с меньшими затратами в кратчайшие сроки. Для решения целого ряда задач, связанных с разработкой мероприятий пожарной профилактики в помещениях большого объема, численный эксперимент [c.263]

Система уравнений (333), (334) и (341) при указанных начальных условиях решалась методом численного интегрирования на ЭВМ Стрела-3 . В качестве примера на рис. 78, а—s даны графики зависимости безразмерной скорости золотника X от времени прн одинаковой нагрузке на штоке т] = 0,2 и для различных конструктивных параметров iV и Хо. Сравнение графиков скорости золотника показывает, что заметные колебания скорости появляются с уменьшением обоих параметров и Хо- На рис. 79 показан сводный график зависимости = х N) для различных значений относительного начального объема Xq. Этот график может быть использован для определения времени перемещения золотника. Из графика можно заметить, как сильно увеличивается время с увеличением начального объема полости наполнения Хо и конструктивного параметра N. [c.201]

Метод граничных интегральных уравнений при решений динамических задач теории упругости широко используется [29, 41, 42, 374, 408, 439, 442 и др.]. В контактных задачах прямая формулировка метода граничных интегральных уравнений более предпочтительна по сравнению с непрямой. Динамические задачи можно решать в реальном пространстве — времени, а можно использовать преобразования Лапласа или Фурье по времени. Сравнительный анализ таких подходов с точки зрения эффективности численной реализации [517, 556] показал, что с точки зрения скорости и объема вычислений методы использующие преобразования Лапласа или Фурье по времени, более эффективны. Предпочтение отдается методу, использующему преобразование Лапласа. Дополнительное преимущество этого метода по сравнению с методом решения в реальном пространстве — времени состоит в том, что при небольших изменениях он позволяет решать задачи о гармоническом нагружении. Это обстоятельство и явилось решающим при выборе варианта метода граничных интегральных уравнений. Таким образом, при,решении динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами использовалась прямая [c.106]

В работе [165] в качестве примера решена задача о распространении вязкопластических волн в стержне конечной длины при краевых условиях (15.73). Эта задача решена несколькими численными методами проводится сравнение полученных разными методами результатов. [c.152]

В последние годы предложено несколько методов численного интегрирования релаксационных уравнений. Наиболее эффективными и универсальными из них являются методы, основанные на использовании неявных разностных схем [8, 10, 27]. Основное требование к таким методам — возможность расчета по единой схеме с высокой точностью как областей, где все или несколько неравновесных параметров близки к равновесным значениям, так и тех областей, где имеет место заметное отклонение от них. Ниже дается обоснование выбора неявных разностных схем для расчета релаксационных уравнений. Неявные схемы позволяют на несколько порядков увеличить шаг интегрирования по сравнению с явными. [c.104]

В этой главе мы более подробно обсудим факторы, упомянутые в разд. 7.2.3 и 7.2.4, рассмотрим достоинства и недостатки различных форм уравнений движения и проведем сравнение некоторых из применяющихся в настоящее время методов численного интегрирования. Анализ проблем, затронутых в этой главе, ни в коей мере нельзя считать исчерпывающим. Читатель, желающий получить более полное представление об этих проблемах, может воспользоваться литературой, список которой приводится в конце главы. [c.226]

Преимущества наблюдений малых планет по сравнению с наблюдениями Луны, Солнца или больших планет состоят в том, что малые планеты наблюдаются как светящиеся точки и поэтому их наблюдения свободны от многочисленных систематических ошибок, присущих наблюдениям других небесных светил. Для малых планет, которые используются при построении системы звездных каталогов, должны быть разработаны точные теории движения. Так как при обработке наблюдений нас интересует сравнительно небольшой интервал времени, то проще всего применять метод численного интегрирования уравнений движения планеты. [c.97]

Можно считать общепризнанным, что метод конечных элементов является эффективным способом численного решения дифференциальных уравнений с частными производными. Это в особенности верно для эллиптических уравнений, где сразу проявились его преимущества по сравнению с конечно-разностным методом. Метод конечных элементов служит хорошим примером весьма трудной темы, развитие которой стало возможным только благодаря тесному сотрудничеству между инженерами, математиками и специалистами по численному анализу. Принимая во внимание широту интересов его приверженцев, нетрудно понять, почему по методу конечных элементов не написано книги, которая отражала бы должным образом все возрастающий поток публикаций, ему посвященных. Целью нашей книги было заполнить пробел между хорошо известными работами Зенкевича (1976) и Стренга и Фикса (1977), в которых соответственно нашли отражение запросы инженеров и математиков. В старинном споре о сравнительных преимуществах методов конечных разностей и конечных элементов мы не становимся ни на одну сторону — нас вполне удовлетворяет, что есть два таких мощных метода численного решения дифференциальных уравнений с частными производными. [c.7]

Ниже рассматриваются некоторые приближенные методы определения частоты сложных систем и дается численное сравнение результатов. [c.247]

В задаче о кручении мы проводим численно сравнение локального сгущения сетки и использования сингулярных функций. Если заданы конечные элементы, то скорости сходимости при применении этих методов совпадают и эффективность их главным образом зависит от числа неизвестных, которые требуется найти. С другой стороны, в реакторной задаче мы меньше будем заботиться об особенностях и сосредоточим внимание на эффективных методах, устраняющих трудности, вызванные наличием поверхности раздела. Наконец, мы рассмотрим Ь-образную мембрану, так как она издавна служила моделью эллиптической задачи с особенностью., В самом деле, специальные методы, разработанные для этой задачи, давали чрезвычайно точные приближения к вибрационным частотам. Мы сравним эти результаты с результатами, полученными по методу конечных элементов. [c.310]

Сравнение результатов расчета по методу наведенных ЭДС и результатов численного решения интегральных уравнений показывает, что при длинах плеч вибраторов /Д>0,3 имеет место их существенное различие. Поэтому расчет антенны с рефлектором при длине плеча вибратора /Д>0,3 необходимо проводить методом численного решения интегральных уравнений. [c.197]

Блочные итерационные алгоритмы. Методы линейных блочных итераций основаны на последовательном уточнении решения, полученного на некоторых подмножествах узлов, объединенных в блоки. В этих методах х разделяется на блоков, соответствующих вертикальным линиям узлов в области решения. Элементы в А, х и Ь соответствуют и Ь , г, / = 1,. . ., N . Матрицы являются трехдиагональными при / = 1, нулевыми при / < г - 1 и / >/ + 1 и имеют единственную ненулевую диагональ при / = / - 1 и / = г + 1. При поблочной обработке узлов вычислительная эффективность итерационных методов возрастает по сравнению с их поточечными аналогами. Ниже это показано с помощью численного сравнения. [c.362]

Оценивая этот метод, можно сказать, что он гораздо более трудоемок, чем предыдущий, требует большего объема памяти для запоминания дифференциалов, порожденных возмущенными поверхностями, и приводит к значительному усложнению программы. Так же как и предыдущий, он не учитывает изменение хода лучей до возмущаемой поверхности, но в отличие от него позволяет определить производные координат хода луча и поперечных аберраций, т. е. дает больше информации. По сравнению с методами численного дифференцирования он, конечно, менее трудоемок и меньше зависит от погрешности ЭВМ. [c.143]

Сравнение методов численной реализации математических моделей излучающего полотна АФАР [c.106]

Сравнение методов численной реализации математических моделей АР дано в табл. 3.1. Для простоты оценок анализ проводится при одномодовой аппроксимации тока излучателя, т. е. число уравнений в системе (3.1) совпадает с числом излучателей N. При этом в зависимости от конкретной программной реализации математической модели требуемый объем ОП и число мультипликативных операций могут изменяться и отличаться от величин, указанных в табл. 3.1 однако они будут иметь тот же порядок. (При сравнении методов численной реализации математических моделей учитывались только мультипликативные (умножение, деление) операции над комплексными числами, время выполнения которых существенно превосходит время выполнения операций сложения, вычитания и логических, операций.) [c.107]

Сравнение результатов расчетов численными методами с точными решениями дает возможность оценить пригодность того или иного метода для решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях однако это только первый шаг. Любые недостатки, выявленные в процессе такого сравнения, приводят к необходимости забраковать оцениваемый численный метод и отказаться от использования его в качестве математического инструмента для расчета реального потока. Следующим этапом оценки пригодности того или иного метода является сравнение результатов численных расчетов с экспериментальными данными продувок решеток. [c.293]

При сравнении методов по экономичности часто не интересуются абсолютными показателями Гм и /7м в конкретной ситуации, а исследуют характер зависимости Ты и /7 от N. Наиболее эффективные методы имеют линейную или близкую к линейной зависимость показателей экономичности от сложности задачи. Для многих численных методов характерна полиномиальная зависимость Ти от N [c.223]

Более современные методы минимизации объема численного интегрирования значительно сложнее по сравнению с описанным [1, 24]. Принято вычислять стандартную функцию пирометра, которая сама является результатом численного интегрирования членов типа / в уравнении (7.74), вычисленных для реперной температуры. Для других температур соответствующие / члены находятся по отклонениям от члена при реперной температуре. Этот процесс облегчается тем, что разности оказываются малыми. Интерполяция выполняется с использованием относительно простых уравнений, содержащих стандартную функцию пирометра Т и две или больше произвольных констант. Читателя, интересующегося подробностями методов, мы отсылаем к оригинальным статьям. [c.372]

В заключение укажем некоторые преимущества, которые характеризуют рассмотренные приближенные методы при сравнении их с численныл интегрированием дифференциального уравнения движения машинного агрегата [c.324]

Использование численных методов в расчетах зубчатых передач оказывается эффективным. Эти методы по сравнению с аналитическими позволяют достаточно просто учесть влияние на напряженное состояние в зубьях конструкции колеса. Точность этих методов даже при ограниченном количестве узлов (см. рис. 10.7) достаточно высока. Об этом свидетельствуют данные табл. 10.3, в которой приведены рез льтаты теоретического и экслерименталь-ного определения напряжений в зубьях колес. Значения У , полученные численным методом, несколько ниже (на 3—4%), чем в работах [39, 59]. Это, по-видимому, объясняется разгружающим эффектом соседних зубьев, который не был учтен при решении с использованием конформного преобразо ваиия. [c.190]

Раздел 5 по сравнению с предыдущим изданием претерпел существенные изменения. В нем рассмотрены вопросы математического моделирования процессов и явлений, способы применения математических моделей. Указаны источники пог1зеш-ностей при решении задач на ЭВМ, изложены вычислительные методы, наиболее часто используемые в практике инженерных расчетов. Особое внимание уделено методам численного решения уравнений тепло- и массопереноса. Из всего многообразия методов предпочтение отдано методу С. Патан-кара и Б. Сполдинга, завоевавшему в последние 10—15 лет широкую популярность среди инженеров и научных работников. Значительная часть раз- [c.8]

Связь между этими двумя формами метода продолжения решения установлена В.В. Петровым [278]. Он установил, что система линейных зфав-нений, полученная методом Б) нова из уравнений в вариациях, совпадает с линеаризованной системой типа (1.1.5), которая построена из нелинейных уравнений, полученных из уравнений исходной задачи методом Б) нова. При этом система аппроксимирующих базовых ф)шкиий должна быть, разумеется, одна и та же. Численное сравнение проведено в работе [14]. [c.184]

Уравнение распространения (2.3.35)-нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, которое, вообще говоря, нельзя решить аналитически, за исключением некоторых частных случаев, когда для решения применим метод обратной задачи рассеяния [27]. Поэтому часто для изучения нелинейных эффектов в световодах необходимо численное моделирование. Для этой цели можно использовать множество численных методов [31-38], которые можно отнести к одному из двух классов 1) разностные методы и 2) псевдоспектральные методы. Вообще говоря, псевдоспектральные методы на порядок или даже более быстрее при той же точности счета [39]. Одним из наиболее широко используемых методов решения задачи распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией является фурье-метод расщепления по физическим факторам (SSFM) [33, 34]. Относительно большая скорость счета этим методом по сравнению с большинством методов конечных разностей достигается благодаря использованию алгоритма быстрого фурье-преобра-зования [40]. В этом разделе кратко описывается фурье-метод с расщеплением по физическим факторам, а также его применение для задачи распространения импульсов в волоконном световоде. [c.49]

Так как в упругопластической области исходные дифференциальные уравнения становятся нелинейными, а коэффициенты переменными, методы их решения существенно усложняются. Однако в данной работе применен способ разбиения интервала интегрирования на участки, в пределах которых коэффициенты уравнений считаются постоянными. При этом использование решения в матричной форме метода начальных параметров также дает существенное преимущество [11]. Поскольку соответствующая этому способу физическая дискретизация конструкций, состоящей из разнородных оболочек, пластин и колец, не отличается, по существу, от случая упругого расчета, то матричный метод расчета, изложенный в работе [9], и составленная на ого основе сомпактная программа расчета для ЭЦВМ оказываются полностью пригодными для упругопластического расчета составных конструкций из элементов оболочек, пластин и колец. Эффективность предлагаемого метода упругопластцческого расчета определяется не только этим удобством. Выполненные расчеты показа-, ли значительно более быструю сходимость последовательных приближений по сравнению с методами, основанными на замене дифференциальных уравнений интегральными [3]. Еще в большей мере, чем при упругих расчетах, сказывается экономичность предлагаемого метода расчета на Э1],ВМ по сравнению с методами численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. , [c.124]

Широкое применение цифровых электронных вычислительных машин сделало целесообразным применение к задачам обтекания метода интегральных уравнений. В последние годы получают развитие численные методы построения течеций идеальной несжимаемой жидкости с помош,ью распределенных особенностей (вихрей, источников-стоков, диполей). Одним из преимущ еств этих методов по сравнению с методами комплексного переменного является возможность их применения для построения не только плоских, но и пространственных течений. Эти методы опираются на хорошо разработанную в математике обш,ую теорию потенциала. В 1932 г. П. А. Вальтер и М. А. Лаврентьев, пользуясь указанной обш,ей теорией, получили интегральное уравнение относительно интенсивности распределения вихрей вдоль криволинейного контура и предложили метод последовательных приближений для его решения. В статье М. А. Лаврентьева, Я. И. Секерж-Зеньковича и В. М. Шепелева (1935) указанный способ применяется к построению обтекания бипланной системы, состояш,ей из двух бесконечно тонких искривленных дужек. Задача сводится к решению системы двух интегральных уравнений методом последовательных приближений и доказывается сходимость такого процесса. В последние годы развивались численные методы расчета произвольных систем тонких профилей. С. М. Белоцерковский (1965) использовал схему замены вихревого слоя (как стационарного, так и нестационарного) конечным числом дискретных вихрей, сведя задачу к решению системы алгебраических уравнений. В работах А. И. Смирнова (1951) и Г. А. Павловца (1966) используется схема непрерывного распределения вихрей и с помощью интерполяционных полиномов Мультхопа расчет также сводится к решению системы алгебраических уравнений. [c.88]

Согласно данным [97], сравнение результатов расчета Л 1шах посредством методов численного интегрирования на ЭВМ по точным формулам с результатами расчета по формуле (14) показывает, что погрешность вычислений величины по аппроксимирующей [c.157]

В настоящей работе приводятся и анализируются результаты численного решения задачи Стефана. Точность численных результатов проверялась с помощью сравнения результатов, полученных с различными шагами интегриро -вания по времени Г и по пространству К. При этом оказалось, что разработанный метод численного решения задачи Стефана устойчив и позволяет производить инте -грирование с достаточно большим шагом, как по времени Т, так и по пространству К. Единственным ограни- [c.74]

Численные методы небесной механики, разработанные Клеро (1713—1765), в течение XVIII в. применялись исключительно к кометам в течение XIX в. эти методы получили дальнейшее развитие и нашли широкое применение для вычисления возмущений малых планет и, наконец, в середине XX в. появление быстродействующих электронных вычислительных машин позволило применить численные методы в теории движения больших планет, а затем и в задачах астродинамики. Принципиальным недостатком численных методов является быстрое накопление ошибок округления на каждом шаге интегрирования уравнений движения. Этот вопрос детально изучался в Институте теоретической астрономии в работах В. Ф. Мячина. После того как сделано л шагов численного интегрирования, ошибки в полученных координатах оказываются пропорциональными п иными словами, после 100 шагов интегрирования ошибки округления в исходных значениях координат увеличиваются в ЮОО раз, т. е. три последних вычислительных знака в результатах будут ошибочны. Систематическое накопление ошибки в процессе интегрирования ограничивает возможности численных методов по сравнению с аналитическими методами, которые свободны от этого недостатка. [c.297]

Можно предложить и другие методы численного решения интегрального уравнения (2.18) [и аналогичного уравнения (2.28)]. К ним относятся разложения неизвестной функции по какой-либо системе функций, например в ряд Фурье, или в ряды по другим ортргональным системам. Обзор и сравнение различных численных методов решения интегральных уравнений применительно к решению уравнений типов (2.18) и (2.28) для задачи об излучении звука цилиндром конечной высоты приведены в статье [95]. [c.67]

Сравнение различных методов решения задачи прогнозирования движения КА показывает [75], что метод численного интегрирования уравнений движения в прямоугольных координатах является наиболее простым. Его недостаток связан с большими затратами машинного времени по сравнению с двумя другими методами. Необходимость использования численного интегрирования для расчета траектории движения КА иа переходных участках (на границах сфер действия) является существенным недостатком метода малых вариапий уравнений кеплерового движения. [c.192]

Частое применение парных сравнений ведет к заинтересованности при сравнениях троек, четверок и т. д. Примером сравнения троек является мысль о нахождении между. Например, В между Л и С требует представления всех трех элементов А, В и С. Если нас интересует разработка шкалы для множества элементов из тройных сравнений или сравнение более высокого порядка, то необходим метод представления сравнений для получения шкалы. Простым способом представления такого -арного отношения является использование вектора, численные входы которого указывают на взаимное положение п элементов в сравнении. [c.85]

На рис. 1.7, а представлены зависимости продольного смещения конца стержня (длина /=15 мм, высота к = 115) во времени при мгновенном снятии нагрузки Р = 3000 Н. Расхождение решения МКЭ с аналитическим решением Тимошенко [228] йри размерах КЭ A.t = ft/3, Ay = hj и шаге интегрирования по вре-мени Ат = 0,05 мкс (приблизительно T v/200, где Tv —период собственных колебаний) составило 2 % по схеме интегрирования I [формула (1.41)] и 10 % для схемы интегрирования II [формула (1.47)] в первом периоде колебаний. В дальнейшем для схемы II развивается процесс численного демпфирования (уменьшение амплитуды и увеличение периода колебаний), обусловленный выбранной для данной схемы аппроксимацией скорости и ускорения на этапе Ат (принята линейная зависимость скорости от времени). В данном случае при внезапно приложенной нагрузке ускорение на фронте волны теоретически описывается б-функцией. Численное решение занижает ускорение, что приводит к постоянному снижению значений кинетической энергии и энергии деформации в процессе нагружения по сравнению с аналитическими значениями (рис. 1.7,6). В связи с тем что с помощью предложенного метода предлагается решать за- [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...