Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных элементов

Большинство задач анализа конструкций связано с необходимостью решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений частных производных. Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений. В этом качестве он служит и методом построения математической модели и методом ее исследования. [c.21]

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.125]

В целом МКЭ очень эффективен при решении многих задач расчета электромагнитного поля, особенно в областях с криволинейными границами. Однако применение МКЭ требует развитых программных средств ввода исходных данных, генерации и оптимальной нумерации узлов конечных элементов, организации наглядного вывода результатов и их обработки. При расчете поля в областях с простой границей МКЭ не имеет преимуществ перед методом конечных разностей. Поэтому в дальнейшем, где это особо не оговаривается, численное решение дифференциальных уравнений в частных производных осуществляется МКР. [c.97]

Можно считать общепризнанным, что метод конечных элементов является эффективным способом численного решения дифференциальных уравнений с частными производными. Это в особенности верно для эллиптических уравнений, где сразу проявились его преимущества по сравнению с конечно-разностным методом. Метод конечных элементов служит хорошим примером весьма трудной темы, развитие которой стало возможным только благодаря тесному сотрудничеству между инженерами, математиками и специалистами по численному анализу. Принимая во внимание широту интересов его приверженцев, нетрудно понять, почему по методу конечных элементов не написано книги, которая отражала бы должным образом все возрастающий поток публикаций, ему посвященных. Целью нашей книги было заполнить пробел между хорошо известными работами Зенкевича (1976) и Стренга и Фикса (1977), в которых соответственно нашли отражение запросы инженеров и математиков. В старинном споре о сравнительных преимуществах методов конечных разностей и конечных элементов мы не становимся ни на одну сторону — нас вполне удовлетворяет, что есть два таких мощных метода численного решения дифференциальных уравнений с частными производными. [c.7]

Книга посвящена описанию метода конечных элементов и его приложений к широкому классу нелинейных задач механики сплошных сред и строительной механики. Особое внимание уделено решению задач механики твердого тела, однако основы метода изложены с достаточной степенью общности, допускающей применение, например, к нелинейным задачам гидродинамики, электродинамики, теории дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрены также различные численные методы решения больших систем нелинейных уравнений. [c.6]

Для реальных задач построить аналитическое решение зачастую не удается. Даже когда определяющие дифференциальные уравнения в частных производных линейны, область R может оказаться неоднородной, геометрия—нерегулярной, а граничные условия — трудно описываемыми простыми математическими функциями. В таких случаях, используя численные методы, при помощи вычислительных машин можно найти приближенное решение. Численные методы решения краевых задач можно разделить на два отчетливых класса класс, который требует использования аппроксимаций во всей области R, и класс, который требует использования аппроксимаций только на границе С. В первый класс входят методы конечных разностей и конечных элементов, во второй — методы граничных элементов. [c.10]

Существуют два основных численных. метода решения уравнений в частных производных метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они отличаются сп н обами получения системы уравнений для значений искомых функций в узловых точках. Метод конечных разностей базируется непосредственно на дифференциальном уравнении и граничных условиях, а метод конечных элементов — на эквивалентной вариационной постановке задачи. [c.69]

Заметим, что форма (1.40) есть аналитическое решение линейной задачи, а схема решения краевой задачи (1.46) — численное определение начальных и, если требуется, конечных параметров. Теоретически определение граничных параметров линейной системы из уравнения (1.46) можно выполнить аналитически, но целесообразней применять численный метод исключения Гаусса, т.к. трудности аналитического решения резко увеличиваются с ростом порядка матригцз А. Поэтому данное сочетание задачи Копти и численного решения краевой задачи позволяют определить предложенный одномерный вариант МГЭ как численно-аналитический метод решения дифференциальных уравнений независимо от физического содержания задачи. Если требуется решить задачу для линейной системы, состояние каждого элемента которой описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, то всегда можно применить предложенный выше алгоритм. Если состояние элементов описывается дифференциальными уравнениями в частных производных(пластинчатые и оболочечные системы), то для применения одномерного варианта МГЭ нужны дополнительные преобразования, сводящие дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальных уравнениям. В математике, как известно, возможность понижения мерности исходной задачи существует. В механике такую процедуру выполняет вариационный метод, предложенный с разных позиций вьщающимися советскими учеными академиком Л.В. Канторовичем и членом-корреспондентом АН СССР В.З. Власовым, который носит их имя. [c.390]

Ряд исследователей, в первую очередь Риццо [1] и Круз [2], рассматривали возможность дискретизации граничных интегральных уравнений, связанных с дифференциальными уравнениями в частных производных, а не самих этих уравнений. Ясно, что вследствие уменьшения размерности задачи на единицу это может дать некоторые преимущества однако интегральные уравнения непросто представить в виде, удобном для численного решения, и в своей первоначальной формулировке метод граничных интегральных уравнений во многих случаях казался менее эффективным, чем метод конечных элементов. [c.111]

К солшлению, очень многие из таких уравнений не имеют аналитического решения, и чтобы решить их, приходится прибегать к численным методам. Если для решения обыкновенных диффе-ренщ1альных уравнений суш,ествует множество различных методов, то для решения дифференциальных уравнений в частных производных приходится выбирать лишь между методами конечных разностей и конечных элементов. В данной главе вопрос о численном интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных рассматривается с точки зрения применения этих лютодов для решения различных технических задач. Дается такл<е классификация часто встречающихся дифференциальных уравнений в частных производных и указываются рациональные пути их численного решения. [c.103]

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных классическими способами, т. е. интегрированием с соответствующими граничными условиями, для большинства основных задач невозможно. Поэтому для приведения непрерывной задачи к дискретному виду и ее решения требуются методы численного анализа. Значения неизвестных определяются на большом, но конечном числе узлов как в пространстве, так и по времени, чтобы получалось по возможности точное решение уравнений. В программе FIELDAY используются метод конечных элементов для уравнения Пуассона комбинированный метод (конечно-разностный/ко-нечных элементов) для уравнений непрерывности [16.10]. Скорость изменения плотности подвижных носителей во времени аппроксимируется по методу Эйлера. Полученные уравнения линеаризуются затем одним из двух методов. Первый предусматривает разделение системы трех дискретных уравнений уравнения решаются последовательно [16.11]. Применение второго, более сложного метода подразумевает одновременное решение всех уравнений с линеаризацией по методу Ньютона [16.12, 16.13]. Оба метода приводят к матричным уравнениям большой размерности с сильно разреженными матрицами для получения окончательного результата эти уравнения необходимо решать многократно. [c.464]

Математические модели называют функциональными, если они отражают процессы, протекающие в объекте при его функционировании, или структурными, если они отражают топологические или геометрические свойства объекта. Типичными функциональными моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных с заданными краевыми условиями. Для их решения в САПР применяют методы конечных разностей или конечных элементов. Функциональные модели на макроуровне представляют собой обыкновенные дуфференциальные уравнения. Наибольшее распространение для их решения получили неявные или комбинированные методы численного интегрирования. Для моделирования на метауровне наравне с обыкновенными дифференциальными уравнениями используют модели массового обслуживания и логические уравнения. [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...