Введение в численные методы

ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ [c.27]

Целесообразность введения сосредоточенных сил объяснялась возникающими преимуществами при решении краевых задач. Однако это утверждение не распространяется в явном виде на решения, использующие численные методы (вариационные методы, методы интегральных уравнений и т. д.). Тем не менее возможен такой характер краевых условий (существенная величина напряжений на малом участке поверхности), что их достаточно точный учет в решении представляется затруднительным и, кроме того, по тем или иным причинам не требуется значение (с высокой степенью точности) решения в окрестности их задания. В этом случае также целесообразно перейти к решению с сосредоточенной силой, осуществив в дальнейшем суперпозицию с решением Буссинеска или с решениями, заранее полученными для какой-либо поверхности с теми же радиусами кривизны. [c.302]

Изложение теоретических методов будет продолжено в главе 6. Данную главу можно рассматривать как введение к изучению двух основных экспериментальных методов, которые могут использоваться для подтверждения некоторых особенностей решений для напряжений и деформаций, полученных и исследованных в предыдущих главах. Заметим, однако, что до сих пор рассматривались лишь пластинки простой геометрической формы. Для пластинок более сложного очертания получение аналитических решений становится затруднительным, но эти трудности в большинстве случаев удается преодолеть, если обратиться к численным методам (обсуждаемым в приложении) или к экспериментальным методам, таким, как измерение поверхностных деформаций с помощью тензометров ( 12), фотоупругий метод или метод муара. [c.162]

Имеется ряд работ в упругой постановке задачи о деформировании различного типа компенсаторов с введением ряда упрощающих допущений, а также решение численными методами с использованием ЭВМ [9, 12, 13, 15, 31, 33, 82, 121, 122, 169, 176]. В настоящее время получены решения и циклической задачи об упругопластическом деформировании компенсатора [53, 55, 140]. Вместе с тем для инженерной практики оценки малоцикловой прочности компенсаторов, работающих при нормальных и умеренных температурах, достаточными могут оказаться расчеты упругопластических задач циклического нагружения компенсаторов с использованием упрощенных схем решения. [c.184]

Система уравнений (1.15). .. (1.18) решается численным методом с записью численных аналогов уравнений по неявной схеме и с использованием метода матричной факторизации совместно с итерационными циклами по нелинейностям [16]. Наибольшую трудность при реализации метода вызывает запись конечно-разностных аналогов исходных уравнений в особой точке на оси пучка витых труб (т = 0) и введение в одну из матриц коэффициентов условия периодичности ис1, о-мых функций по азимуту. [c.18]

Задачи вязкого многофазного течения (жидкости, газы, твердые частицы). Этот класс содержит задачи движения запыленных потоков, а также движения потоков ири наличии кипения и конденсации. Для решения задач данного класса используются уравнения в приближении пограничного слоя или полные уравнения Навье — Стокса. Введение большого числа поверхностей разрыва фаз требует добавления к численным методам, разработанным для сплошной среды, статистических методов определения параметров потоков [35]. Численные решения задач движения вязкой многофазной жидкости получены только на основе уравнений пограничного слоя с введением влияния второй фазы на [c.187]

После усреднения за период получаются укороченные дифференциальные уравнения относительно Л ( и г ) (О, на основании которых составляются соотношения теории марковских процессов. Благодаря введенным упрощениям уравнения типа Колмогорова можно проанализировать при помощи приближенных аналитических или численных методов. Подробное изложение этой методики приводится в ряде работ [18, 29], посвященных решению этого специального класса задач. В отличие от указанных работ в данной монографии развиваются подходы к исследованию нелинейных случайных колебаний без ограничений на интенсивности, масштабы и скорости изменения флуктуаций входных и выходных функций. [c.38]

В настоящую книгу введены еще две обзорные главы. В одной из них излагается как введение в метод интегральных преобразований, так и связь этого метода с классическим методом Фурье. В другой главе приведен обзор численных методов, получивших в последние годы широкое распространение, и указана связь полученных результатов с точными решениями, изложенными выше в тексте. [c.9]

Контактные задачи принадлежат к классу задач с ограничениями. По своей природе они являются нелинейными, так как при их решении требуется определить заранее неизвестную границу контакта двух (или более) тел и контактные силы взаимодействия этих тел. Наиболее известны такие методы решения контактных задач, как методы множителей Лагранжа и штрафных функций. Применение метода множителей Лагранжа к решению этих задач приведено в [1, 2, 7, 50, 59, 69, 82, 91, 92, 102], а применение метода штрафных функций развито в [1, 2, 55, 57, 58, 69-71, 85-87, 91, 92, 102, 114]. У каждого из этих методов есть достоинства и недостатки. Для метода множителей Лагранжа точно выполняются кинематические условия контакта, но вводятся дополнительные уравнения для множителей Лагранжа и получается усложненная формулировка уравнений. В то же время для метода штрафных функций число уравнений при введении условий контакта не меняется, однако в численном алгоритме точно удовлетворить кинематические условия контакта не удается. Введение большого коэффициента штрафа приводит к плохой обусловленности касательной матрицы жесткости, а для малого коэффициента штрафа ухудшается выполнение кинематического условия контакта тел. Поэтому выбор величины штрафа является непростой задачей. [c.6]

Подавляющему большинству практических задач, возникающих в инженерном деле и прикладных науках, присуща чрезвычайная нерегулярность границ областей, отвечающих изучаемым объектам, так что при их количественном исследовании трудно рассчитывать на получение аналитических результатов и решения, как правило, приходится так или иначе искать численно. Наиболее распространенные численные методы основываются на достаточно мелком подразделении изучаемой области либо путем введения линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах, как в конечно-разностных методах, либо путем разбиения области на большое число дискретных элементов простой структуры, как в методах конечных элементов. [c.9]

Таким образом, решение двумерных задач теории упругости для ортотропных и трансверсально изотропных тел (однородных или кусочно-однородных) в точности следует описанным выше процедурам, включая схемы численного выполнения квадратур и даже введение в соотношения непрямого метода двумерного вектора смещений тела как жесткого целого для того, чтобы можно было удовлетворить условиям убывания решения на бесконечности. Имеются только два различия (I) использованные фундаментальные решения являются решениями уравнений (4.74)—(4.76), а не [c.129]

Цель приложения заключается в том, чтобы кратко напомнить квадратурную формулу Гаусса, правило выбора узлов и соответствующих им весовых множителей. Эта формула оказывается полезной в МГЭ при вычислении различных интегралов по элементам и ячейкам. Главное преимущество метода численного интегрирования Гаусса — Лежандра по сравнению с обычными методами (правилом трапеций Симпсона и т.д.) заключается в том, что определенная точность результатов может быть достигнута методом Гаусса при использовании вдвое меньшего, чем в других методах, числа ординат. Это является следствием введения в формулу в виде параметра не только соответствующего каждой ординате весового множителя, но и местоположения узлов, соответствующих этим взятым из области интегрирования ординатам (рис. В. 1). [c.478]

Метод марковских процессов позволяет (теоретически) получать точные законы распределения компонент вектора состояния нелинейной динамической системы любой размерности и точные значения вероятностных характеристик компонент вектора состояния в любой момент времени. На практике, к сожалению, это далеко не так. Получить точное решение уравнения Колмогорова, особенно когда надо учитывать реальные случайные возмущения (а не белый шум), для реальной нелинейной механической системы с несколькими степенями свободы практически невозможно. Поэтому опять остаются только приближенные методы решения уравнения Колмогорова, требующие введения в алгоритм решения упрощений и предположений, что приводит, как и в методе статистической линеаризации, к несоответствию приближенного и точного решения. Оценить это несоответствие нельзя, так как нет точного решения. Свободным от этих недостатков является метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Метод основан на численном решении исходных нелинейных уравнений без их упрощения. [c.231]

В работах [1, 21 исследовалось течение вязкой несжимаемой жидкости в расширяющемся двумерном канале, стенки которого становятся параллельными на большом расстоянии вверх и вниз по потоку (ширина канала на выходе в два раза превосходила ширину яа входе). Для расчетов использовался численный метод, основанный на введении в уравнения малого параметра, сводящего численную процедуру в конечном счете к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге итерации. Расчеты показали, что при числе Рейнольдса Не, вычисленном по ширине входной части и равном 8я, возникают возвратные течения небольшой [c.235]

Программирование автоматического устройства есть процесс составления программы решения математической задачи, включающий в себя выбор численного метода решения, расчленение выбранного метода решения на последовательность элементарных операций (команд) и введение команд в каналы управления автоматического устройства в кодированном виде. [c.67]

Согласно определению, программирование металлообрабатывающих станков состоит в выполнении следующих этапов работы выражение задачи обработки в математической форме выбор численного метода решения математической задачи расчленение выбранного метода решения задачи на последовательность элементарных операций (команд) кодирование последовательности команд и введение последовательности команд в автоматическое устройство. [c.67]

В работах [12,13] приведен численный метод исследования теплового режима и контактных параметров радиального подшипника скольжения при колебательном движении вала. Температурное поле определялось для всех элементов подшипника введением на дуге контакта локальных граничных условий, вид которых корректировался при помощи решения соответствующей термоупругой задачи. Приведенные расчеты показали значительные различия в основных эксплуатационных характеристиках подшипника при вращательном и осциллирующем движении его вала. [c.482]

Теоретические соображения. Вместо этого мы покажем справедливость применения усредненной итерации, введенной в п. 8, доказав, что она сходится при достаточно малых s тем самым мы получим конструктивную теорему существования для многих типов струйных течений следовательно, п. 9 можно считать продолжением гл. VH. Мы убеждены в важности как подобных конструктивных теорем существования, так и строгих доказательств справедливости численных методов. [c.280]

Задаче о распространении пространственных акустических возмущений в различных каналах посвящено большое количество работ, причем в последнее время для ее решения широко используются численные методы (см. введение в [3]). В то же время среди этих исследований можно указать лишь несколько работ, в которых рассматриваются особенности, связанные с наличием точек поворота. Так, в [4] приведены качественные соображения, касающиеся явления отражения в геометрической акустике. В [5] найдено решение задачи о распространении трехмерных акустических волн в неоднородных волноводах (в покоящемся газе), справедливое и в окрестности точки поворота. Автору неизвестны работы, где была бы решена задача об отражении акустических волн в окрестности точек поворота при наличии неоднородного стационарного потока газа. [c.650]

Со времени зарождения квантовой теории излучения черного тела вопрос о том, насколько хорощо уравнения Планка и Стефана — Больцмана описывают плотность энергии внутри реальных, конечных полостей, имеющих полуотражающие стенки, был предметом неоднократных обсуждений. Больщин-ство из них имели место в первые два десятилетия нащего века, однако вопрос закрыт полностью не был, и в последние годы интерес к этой и некоторым другим родственным проблемам возродился. Среди причин возрождения интереса к этому старейшему предмету современной физики можно назвать развитие квантовой оптики, теории частичной когерентности и ее применение к изучению статистических свойств излучения недостаточное понимание процессов теплообмена излучением между близкорасположенными телами при низких температурах и проблему эталонов далекого инфракрасного излучения, для которого длина волны не может считаться малой, а также ряд теоретических проблем, относящихся к статистической механике конечных систем. Хорошим введением к современному обзору в этой области являются работы [2, 3, 5]. Еще в 1911 г. Вейль показал, что требованием о том, чтобы полость являлась прямоугольным параллелепипедом, можно пренебречь при условии, что (У /с)- оо. Он показал также, что в пределе больших объемов или высоких температур число Джинса справедливо для полости любой формы. Позднее на основании результатов работы Вейля были получены асимптотические приближения, где Do(v) являлся просто первым членом ряда, полная сумма которого 0 ) представляла собой среднюю плотность мод. Современные вычисления величины 0 ) [2, 4] с использованием численных методов суммирования первых 10 стоячих волн в полостях простой формы показали, что прежние асим- [c.315]

В 1925 г. Шухов опубликовал численный метод к расчету отдельных резервуаров (1.22). Во введении он упоминал о 45-летнем опыте расчета и строительства нефтяных резервуаров в России и писал, что в этом смысле практика, существующая в Соединенных Штатах, вообще не может нам дать ничего нового. В статье было проведено сравнение сооружений, построенных в США и СССР. Он установил, что резервуары в США не удовлетворяют условию оптимальности, поскольку в отдельных соединениях нет равномерного напряженного состояния, и при этом они имеют двукратный запас прочности против трехкратного запаса в резервуарах отечественного производства. В 1925 г. в журнале Ассоциации германских инженеров появилась статья инженера Штиглитца Резервуары для хранения жидкостей, изготовленные с минимальными расходами материала 13), где (без ссылок и комментариев) Шти-глитц описал в основном ту же задачу оптимизации и пришел к тем же выводам, что и Шухов. Публикация, по всей видимости, вызвала у российских специалистов возмущение ), так как они прислали в адрес редакции перевод работ Шухова. Журнал на это реагировал лишь формальной отпиской, что дало право проф. П.К. Худякову в 1926 г. заявить следующее ... Захватного права в науке до сих пор не существовало и только теперь, по-видимому, есть стремление дикость и огрубелость нравов недавней войны перенести также и в область науки. Такой почин не делает чести Ассоциации германских инженеров.Интересно, что письмо в редакцию прислал не сам Шухов. Это свидетельствует о том, что у советских инженеров и ученых он имел соответствующее признание. [c.127]

Прежде чем делать численные оценки на основе введенных в предыдущих разделах соотношений, рассмотрим упрощенную процедуру, применяемую МКРЗ [1, 2] для оценки ущерба от профессионального облучения. Рассчитывают средний возраст работающих с излучением. К этому возрасту (- 40 лет) прибавляют среднее время развития опухоли до смерти, равное приблизительно 23 годам суммарный возраст считают средним возрастом на момент смерти, и ожидаемую в этом возрасте ( 63 года) продолжительность жизни, которая равна примерно 15 годам, полагают в качестве среднего сокращения продолжительности жизни на один смертельный случай, индуцированный в результате профессионального облучения умножая полученное значение на частоту индукции и время профессиональной деятельности, получают суммарный ущерб от соматических эффектов, выраженный в потерянных годах жизни. При этом различие методов расчета по моделям абсолютного и относительного риска не имеет принципиального характера и заключено лищь в значении частоты индукции на (Зв-год) и значении 42 [c.42]

Задачи течения неньютоновских жидкостей. Этот класс задач рассматривает течение структурно-вязких жидкостей (жидкие полимеры, стекла, эмульсии и др.), вязкость которых зависит от режима течения даже при малых числах Рейнольдса. Для решения таких задач используются численные методы пограничного слоя или методы решения задач по течению в каналах с введением дополнительных соотношений для расчета реологических свойств (вязкости, пластичности, упругости и т.д.). Поскольку для решения таких задач используются уравнения, описывающие течение ньютоновских жидкостей, вся аномалия вводится формально в изменение свойств этих жидкостей. Как правило, это ведет к сильсюй зависимости свойств от искомых функций. Так, для высоковязких парафинистых нефтей их вязкость определяется как функция температуры среды и производной скорости. Такой характер зависимости свойств неиьютоновск 1х жидкостей вызывает повышение нелинейности системы уравнений, что в конечном счете ведет лишь к увеличению итераций при использовании метода прогонки. [c.188]

Программа допускает расширение перечня рассматриваемых элементов конструкций, введение уточненных формул теории оболочек (например, содержащих бесселевы функции), использование экснериментальных данных, сочетание с другими численными методами, в частности в контактных зонах фланцевых соединений. Использование программы для различных корпусов реакторов и других конструкций из оболочек и пластин показало устойчивость и высокую точность вычислительной процедуры, а также нримеиимость метода для учета геометрической нелинейности отдельных контактных сопряжений при частичном раскрытии стыков флан-певых соединений. [c.101]

Контактная задача для бесконечно длинной тонкой круговой цнлнндрнческо 8 оболочки и жесткого ложемента с радиусом основания, немного большим наружного радиуса оболочки, рассмотрен К- Брандесом [74]. Решение строится иа основе классической теории оболочек с использованием рядов Фурье по окружной оординате и интеграла Фурье — по продольной. Искомая нормальная реакция аппроксимируется полиномом плюс сосредоточенные силы на концах зоны контакта. Эта реакция затем разлагается в ряд Фурье. Коэффициенты полинома и сосредоточенные силы находятся методом коллокаций из условия равенства смещений ложемента и оболочки. Введенные автором сосредоточенные силы в действительности в решение не входят. Их можно считать лишь приближением. Решение для нормальной реакции на основе классической теории имеет корневую особенность на концах зоны контакта [19, 63]. Если, однако, иметь в виду, что в рамках численного метода работы [74] нельзя выявить точный характер реакции, сосредоточенные силы К. Брандеса следует считать приближением весьма разумным. [c.321]

Займемся дальнейшим развитием, нестационарной теории профиля с тем, чтобы приспособить ее к анализу обтекания вращающейся лопасти. Хотя основы теории уже излагались в предыдущих разделах, приложение ее к лопасти несущего винта требует учета целого ряда дополнительных факторов. Применение схемы несущей линии разделяет задачу расчета нестационарных аэродинамических нагрузок при пространственном обтекании на две части внутреннюю, в которой исследуются аэродинамические характеристики профиля, и внешнюю, состоящую из расчета индуктивных скоростей, создаваемых в сечении лопасти вихревым следом винта. Что касается внутренней задачи, то при стационарном обтекании плоского профиля аэродинамические нагрузки могут быть получены из эксперимента и представлены в виде табулированных зависимостей их от угла атаки и числа Маха. При нестационарном досрывном обтекании применимы результаты теории тонкого профиля. Решение внешней задачи затруднено тем, что система вихрей винта имеет весьма сложную конфигурацию. За каждой из вращающихся лопастей тянутся взаимодействующие винтовые вихревые поверхности, деформирующиеся в поле создаваемых ими индуктивных скоростей с возникновением областей сильной завихренности в виде концевых вихревых жгутов. Аналитическое определение индуктивной скорости на лопасти без весьма существенных упрощений модели вихревого следа (например, представления винта активным диском) оказывается невозможным. На практике неоднородное поле индуктивных скоростей определяют численными методами, подробно обсуждаемыми в гл. 13. Ввиду сказанного ниже не предполагается отыскивать зависимость между индуктивной скоростью и нагрузкой путем введения функции уменьшения подъемной силы. Напротив, сами индуктивные скорости являются фактором, учитываемым явно в нестационарной теории профиля. Для построения схемы несущей линии желательно, чтобы вычисление индуктивных скоростей производилось лишь в одной точке по хорде. Проведенное выше исследование обтекания профиля на основе схемы несущей линии указывает способ, который позволяет аппроксимировать нестационарные нагрузки с достаточно полным отображением влияния пелены вихрей. Применительно к лопасти достаточно рассмотреть лишь часть пелены, расположенную вблизи ее задней кромки. При построении нестационарной теории обтекания вращающейся лопасти надлежит учесть влияние обратного обтекания и радиального течения. Теоретические нагрузки должны быть скорректированы таким образом, чтобы они отражали влияние [c.480]

Численный метод решения основного уравнения, изложенный в предыдугцем параграфе, может быть обобгцен на случай переменного г. При этом возникает новое затруднение, связанное с необходимостью введения в задачу ряда новых параметров. Помимо параметров, характеризуюгцих зависимость г от угла в (например, параметров sq и а в интерполяционной формуле В.В. Шаронова), мы должны теперь к прежним параметрам г, и Q добавить егце линейный [c.693]

Уделяя основное внимание преподаванию численных методов аспирантам и инженерам-практикам, я также начал искать пути введения этих методов в программу обучения студентов-старше-курсников. Соображения, положенные в основу пятидневного курса, оказались также применимы и к курсу для студентов. Поэтому курс на основе компьютерной программы ONDU T, вне сомнения, был удачным выбором. Летом 1987 г. я выбрал материалы, относящиеся к вычислительной программе, из лекций пятидневного курса и расширил их до формы, послужившей предварительной версией этой книги. С тех пор материалы книги были включены в пятидневный курс, а сама книга использовалась как учебник для [c.13]

Как любой другой общий численный метод, такой, как методы конечных элементов или конечных разностей, МГЭ вполне годится для решения нелинейных дифференциальных уравнений при помощи инкрементальных или итеративных процедур (которые в данном случае можно проводить, используя значения объемного интеграла по той области, в которой возникают нелинейности). Для подавляющего большинства таких задач области нелинейности ограничены главным образом малыми подобластями системы, и, как будет показано, МГЭ представляется весьма привлекательным для решения нелинейных задач, особенно трехмерных. Действительно, по-"хоже, что для большого класса задач этот метод оказывается единственным надежным средством получения достаточно подробных результатов при разумных затратах. Уже доказано, что МГЭ дает численные решения линейных задач очень эффективно, и поэтому не следует ожидать, что введение дополнительного объемного интеграла по части тела серьезно повлияет на эффективность. Это и будет показано в настоящей главе. [c.331]

Руководство [217], введенное в практику гражданской авиации с 1984 г., явилось первым в нашей стране пособием по оценке несущей способности покрытий по методу A N-P N способом обратного пересчета. Однако в нем не были учтены перечисленные выше эксплуатационные факторы. Например, несмотря на очевидную необходимость учета зимнего упрочнения грунта за счет его промерзания, это делается очень осторожно при оценке режимов эксплуатации покрытий. Кроме общих положений и рекомендаций учитывать зимнее промерзание, нормы ИКАО [219] не дают никаких численных оценок. [c.431]

В введении были изложены результаты двух исследований, посвященных данной задаче. В первом из них Кумаи [31], используя численный метод, аналогичный представленному в данной старьё, установил, что с увеличением размера выреза частота колебаний сначала снижается, а затем начинает возрастать. С другой стороны, Такахаси [32], исследуя колебания прямоугольной пластинки с помощью метода Рэлея— Ритца и балочных функций, не выявил такой тенденции. Результаты его исследований показали монотонное возрастание частоты колебаний с увеличением размера выреза. Оба исследования были проведены при коэффициенте Пуассона V = 0,3. [c.105]

Теперь для решения нашей задачи можно обратиться к упомянутому в введении численному методу [14]. Следует только помнить, что он пригоден для исследования зависимости искомых величин от координат, а в случае неустановив-шейся ползучести надо еще следить за развитием процесса во времени обычно для этого применяется пошаговая процедура. Итак, будем осуществлять численное решение задачи о неустановившейся ползучести оболочки вращения по следующей схеме. [c.139]

Задавая параметр Яо, можно определить начальное значение управляющей переменной и (0) или начальную ошибку управления при ступенчатом изменении задающего сигнала. При этом уменьшается на единицу число оптимизируемых с помощью численных методов параметров регулятора, что сокращает время расчетов. Более того, такой подход позволяет в достаточной степени задемпфировать процессы управления без введения в критерий оптимизации весового коэффициента г. [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...