Метод Гаусса

Для решения систем ЛАУ в большинстве проектных процедур анализа используют метод Гаусса или его разновидности. Вычисления по методу Гаусса состоят из прямого и обратного ходов. При прямом ходе из уравнений последовательно исключают неизвестные, т. е. исходную систему приводят к виду, в котором матрица коэффициентов становится треугольной. Такое приведение основано на /г-кратном применении формулы пересчета коэффициентов [c.229]

Методы разреженных матриц. Если выполнять вычисления, пользуясь (5.4), для всех элементов матрицы коэффициентов, то экономичность метода Гаусса характеризуется кубической зависимостью затрат машинного времени Т от порядка системы уравнений п. Это приводит к ограничению области целесообразного применения метода Гаусса значениями п в несколько десятков. Однако во многих практических задачах п имеет порядок сотен или тысяч. Применение метода Гаусса к таким задачам оказывается эффективным, если учитывать свойство разреженности матрицы коэффициентов в системе решаемых уравнений (5.3). [c.230]

Следует различать исходную и итоговую разреженность матрицы. Исходная разреженность определяется числом ненулевых элементов, имеющихся в матрице до начала выполнения исключений неизвестных по методу Гаусса, Такие нулевые элементы называют первичными. Однако в процессе вычислений по (5.4) некоторые коэффициенты Uij, бывшие нулевыми, могут стать ненулевыми. Такие коэффициенты называют вторичными ненулевыми элементами. Итоговая разреженность определяется суммарным числом первичных и вторичных ненулевых элементов, и эффективность учета разреженности матрицы тем выше, чем больше итоговая разреженность. [c.230]

Для решения систем ЛАУ с трехдиагональными матрицами коэффициентов используют разновидность метода Гаусса, называемую методом прогонки. Нетрудно заметить, что в трехдиагональных матрицах при исключении очередной неизвестной vt- из системы уравнений пересчет по (5.4) следует производить только в отношении диагонального элемента ац и свободного члена t-ro уравнения hi. Обозначим преобразованные по (5.4) значения ац и bi через Г( и qi соответственно. Тогда прямой ход по методу Гаусса сводится к расчету коэффициентов г,- и qi, i = 2, [c.231]

Для решения системы линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) вида AV=B выбирают либо метод Гаусса, либо итерационные методы. [c.233]

На точность решения задачи оказывают влияние задаваемые пользователем в исходных данных значения допустимых погрешностей si или б2, а также обусловленность модели. Однако задаваемые значения ei или ег могут вообще оказаться недостижимыми или из-за несходимости, или из-за слишком медленной сходимости вычислительного процесса. Поэтому если создаваемый ППП ориентирован на решение систем уравнений с широким диапазоном значений Ц, то нужно принимать специальные меры по обеспечению точности решения. При реализации метода Гаусса [c.234]

Надежность применения метода определяется не только фактом принципиальной сходимости к корню, но и тем, каковы затраты времени Т на получение решения с требуемой точностью. Ненадежность итерационных методов проявляется либо при неудачном выборе начального приближения к корню (метод Ньютона), либо при плохой обусловленности задачи (методы релаксационные и простых итераций), либо при повышенных требованиях к точности решения (метод простых итераций), либо при высокой размерности задач (метод Гаусса при неучете разреженности). Поэтому при создании узкоспециализированных программ необходимы предварительный анализ особенностей ММ заданного класса задач (значений п, Ц, допустимых погрешностей) и соответствующий выбор конкретного метода. При создании ППП с широким спектром решаемых задач необходима реализация средств автоматической адаптации метода решения к конкретным условиям. Такая адаптация в современных ППП чаще всего применяется в рамках методов установления или продолжения решения по параметру. [c.235]

Прямой ход метода Гаусса состоит из L этапов. На t-м этапе исключаются переменные V,-, при этом пересчет коэффициентов по формуле Гаусса производится только в под- [c.244]

Для решения полученных систем алгебраических уравнений можно использовать метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). [c.58]

Блок-схема программы решений систем (25) и (26) совместно с ключами представлена на рис. 66, где решение системы (25) методом Гаусса Фз - если Re > О, то переход к Ф , если же Rf < О, то переход к Ф Ф4 — печать результатов Ф, — конец работы программы, — решение системы (26) методом Гаусса. [c.58]

Рис. 5.25. Пример поиска по методу Гаусса-Зейделя

Меньшей эффективностью из исследуемых методов направленного поиска обладает метод Гаусса—Зейделя. Однако уже при и > 3 это единственный метод (из исследуемых здесь), который позволяет получать решение за приемлемое время при дискретно изменяющихся параметрах. [c.172]

Метод крутого восхождения. При использовании этого метода в отличие от градиентного корректировка направления производится не после каждого следующего шага, а по достижении в некоторой точке х на данном направлении частного экстремума целевой функции (рис. 6.9) аналогично методу Гаусса — Зайделя. Важной особенностью процедуры крутого восхождения является также регулярное проведение статистического анализа промежуточных результатов на пути к оптимуму. [c.130]

Среди точных методов, очень важных в теоретическом плане, много таких (метод обратной матрицы, метод Крамера и некоторые другие), которые не могут быть рекомендованы для вычислительной практики, так как они требуют для своей реализации очень большого объема вычислений и при некоторых неблагоприятных обстоятельствах могут приводить к большим ошибкам округления. Из точных методов, с вычислительной точки зрения наиболее удобен метод Гаусса или метод исключения неизвестных. Отметим следующие достоинства этого метода. [c.89]

Метод Гаусса легко реализуется на ЭВМ, так как сводится к некоторому числу простых однотипных операций. Он не требует памяти вычислительной машины кроме той, в которой хранятся коэффициенты матрицы и правые части системы. [c.89]

Реализацию метода Гаусса можно организовать таким образом, что ошибка округления будет минимальной из всех возможных (метод главного элемента). Число операций, потребных для реализации этого метода, также минимально, [c.89]

Метод Гаусса легко обобщается на одновременное решение нескольких систем, отличающихся столбцами свободных членов, а также на отыскание матрицы, обратной к А. Одновременно с решением системы уравнений может быть вычислен определитель матрицы А. [c.89]

Итак, прямой ход метода Гаусса с выбором главного элемента по строке состоит из следующих операций, выполняемых над k-ш уравнением всех систем сразу (fe = 1, 2,. .., п). [c.90]

Из всех уравнений, следующих за fe-м, исключим неизвестное с номером S, для чего из уравнения с номером г г k) вычтем й-е уравнение, умноженное на Ors - После перечисленных действий системы превращаются в треугольные для всех k. Произведение всех главных элементов может только знаком отличаться от определителя матрицы А. Обратный ход метода заключается в том, что с помощью й-го уравнения k п, п — 1, гг — 2,. .., 2) исключается неизвестное, соответствующее главному элементу-этого уравнения из всех уравнений с номером, меньшим чем к. После окончания обратного хода на местах, где были расположены правые части, теперь будет располагаться решение рассматриваемых систем. Можно показать, что если взять п правых частей, в совокупности образующих единичную матрицу, то и ответов будет п столбцов, и они в совокупности будут образовывать матрицу обратную к А. Таким образом, метод Гаусса может быть использован для отыскания обратной матрицы. [c.90]

Обычно эти системы уравнений решают методом Гаусса последовательного исключения неизвестных. Этот метод удобен в данном случае тем, что для ленточных матриц допускает существенную экономию арифметических операций и позволяет одновременно решать системы уравнений для нескольких правых частей. [c.168]

Метод Гаусса. Рассмотрим решение системы линейных алгебраических уравнений [c.24]

Простейшим прямым методом является метод исключения Гаусса, требующий примерно (2/3) арифметических действий. Метод Гаусса основан на приведении матрицы А к треугольной, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. [c.25]

Метод Гаусса широко используют в случае матрицы А общего вида. Для уравнений со специальными матрицами существуют более экономичные методы. Один из них — метод прогонки — применяют для решения системы с трехдиагональными матрицами А. Он изложен в предыдущем параграфе. Метод прогонки — частный случай метода Гаусса исключения неизвестных при решении системы (1.55). В прямом ходе метода прогонки уравнения приводятся к виду (1.57), в результате матрица системы будет треугольной. Обратный ход метода прогонки такой же, как и в методе Гаусса. [c.26]

В заключение отметим, что число операций в методе прогонки 8N, в то время как в методе Гаусса оно--- для мат- [c.94]

Процедуру поиска оптимальных параметров при использовании метода Гаусса—Зейделя выполняют следующим образом. [c.152]

Для того, чтобы быть уверенным в том, что в результате применения метода Гаусса—Зейделя или метода наискорейшего спуска получен глобальный, а не локальный минимум целевой функции, приходится неоднократно повторять процедуру поиска, начиная его из различных начальных точек в пространстве параметров. [c.154]

Разреженной называют ту матрицу, в которой преобладают элементы, равные нулю. Разреженность S оценивается отношением числа нулевых элементов к общему числу элементов матрицы. Анализ показывает, что в математических моделях большинства поректируемых объектов число ненулевых элементов пропорционально первой степени п. Поэтому если учитывать разреженность матрицы, то Тм можно сделать линейной функцией п и суш,ественно расширить пределы эффективного применения метода Гаусса. Учет разреженности при этом заключается в том, что арифметические действия по (5.4) не производят, если выполняется хотя бы одно из условий aik=0 или а = 0. [c.230]

Для метода Гаусса Я=1, и если не учитывать разреженность матрицы коэффициентов А, то 7 2(rtV3 + 2n). Неучет разреженности ограничивает целесообразность применения метода Гаусса решением задач только невысокой размерности. При п>50 учет разреженности становится необходимым. Для метода Гаусса при учете разреженности и оптимальном упорядочении строк и столбцов матрицы А в задачах проектирования технических объектов имеем [c.233]

Для решения систем ЛАУ итерационными методами с учетом разреженности матрицы коэффициентов имеем Я>1, а y—2Qn, где Q = 1—S—насыщенность матрицы. Так как Q = Kln, где К — среднее арифметическое для числа ненулевых элементов в одной строке матрицы А то у= 2К. Так, для моделей переключательных электрон ных схем получаем по результатам статистических иссле дований у ж 7,8, т. е. одна итерация выполняется быстрее чем по методу Гаусса. Однако из-за того, что И 1, ите рационные методы по показателю Г практически всегда проигрывают методу Гаусса. [c.233]

Экономичность метода решения систем АУ определяется также затратами оперативной памяти. При неучете разреженности только на хранение матрицы Якоби нужно п ячеек памяти. Поэтому если для одного слова используется 8 байт, то при п=100 для хранения требуется 80 кбайт, а при п = 500 — уже 2 Мбайт. Итак, подтверждается вывод о необходимости учета разреженности при решении задач с п>п р, где Ппр зависит от характеристик используемой ЭВМ и, как правило, составляет несколько десятков. В задачах анализа распределенных моделей, в которых п может превышать 10 , экономичность метода по затратам машинной памяти становится одной из важнейших характеристик. В таких случаях применяют либо релаксационные методы, либо метод Ньютона с использованием на каждой итерации метода Гаусса, но в рамках рассматриваемого ниже диакоптического подхода. [c.234]

Для решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) AV = B применяют диакоптический вариант метода Гаусса, основанный на приведении матрицы коэффициентов к блочно-диагональному виду с окаймлением (БДО). При анализе электронных схем этот вариант называют методом подсхем. Б методе подсхем исходную схему разбивают на фрагменты (подсхемы). Фазовые переменные (например, узловые потенциалы) делят на внутренние переменные фрагментов и граничные переменные. Вектор фазовых переменных [c.243]

Прямые методы оценки н а пр а в л е н и й. Наиболее простым является метод покоординатного спуска (метод Гаусса —Зейдел я). Направление поиска выбирают поочередно вдоль всех координатных осей, т. е. вектор Р в (6.43) состоит из нулевых элементов за исключением одного, равного единице. [c.284]

Решение системы (2.12) обычно производится методом Гаусса для ряда значений частоты о). Получешпле [c.52]

На рис. 82 показана зависимость Sh (т) для различнйх значений параметра W, рассчитанная при помощи соотношения (6. 7. 30). Величина интеграла / (х) была определена путем численного интегрирования по методу Гаусса [97]. Из рис. 82 видно, что при X XI значение потока целевого компонента на межфазной поверхности стремится к квазистационарному для всех значений параметра W. Влияние конвективной диффузии на величину потока становится заметным лишь после достаточного времени контакта между жидкостью и газовым пузырьком. При этом величина вклада конвективной диффузии в массоперенос зависит от значения W. [c.276]

При равном числе элементов быстродействие программы метода Гаусса -Зейцеля (кривая - it = 2,5 с, 10 мин кривая 2 - / = 5 с, [c.137]

Методы покоординатного поиска. Типичными представителями группы многоэтапных методов поисковой оптимизации являются метод Гаусса—Зейделя и созданный на его основе метод Пауэлла [30]. В соответствии с методом Гаусса-Зейделя поиск на каждом этапе ведется по одному параметру при зафиксированных значениях всех остальных. Пример поиска по методу Гаусса-Зейделя в пространстве двух параметров показан на рис. 5.25. В примере сначала фиксируется значение параметра х, =х, ив этом сечении определяется значение параметрах , дающее лучшее значение Q. Затем фиксируется параметр Хг на уровне Х2 и находится значение первого параметра х", соответствующее лучшему значению Q в сечении Х2 =Х2 = onst. В дальнейшем действия по. поиску экстремума Q повторяются в той же последовательности. [c.161]

Теоретические основы САПР (1987) -- [ c.229 , c.243 ]

Методы и задачи тепломассообмена (1987) -- [ c.89 , c.95 ]

Основы автоматизированного проектирования (2002) -- [ c.106 ]

Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов (1985) -- [ c.188 ]

Основы теории и проектирования САПР (1990) -- [ c.37 ]

Справочное руководство по небесной механике и астродинамике Изд.2 (1976) -- [ c.690 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...