Сходимость численного метода

Сходимость численного метода 53 Счетчики количества 209 0-критерий 106 [c.357]

Теория разностных схем в основном развита для линейных задач и опирается, как отмечалось ранее, на три основных понятия аппроксимацию исходных дифференциальных уравнений, устойчивость вычислительного процесса, сходимость численного метода к решению. Для нелинейных задач теория, как правило, не развита исследование устойчивости в этих случаях сопряжено с большими трудностями и проводится обычно на линейных аналогах конкретной задачи. Например, при исследовании устойчивости задач газовой динамики часто рассматриваются уравнения в акустическом приближении. [c.232]

Как показывают расчеты, введение ослабления нелинейности существенно улучшает сходимость численного метода. [c.262]

Для исследования сходимости численного метода по количеству координатных функций и шагу ведущего параметра, а также для проверки эффективности предлагаемого подхода решен ряд задач упругого деформирования и устойчивости круглых пластин, сферических и конических оболочек. Результаты решений предшествуют анализу соответствующих задач ползучести. Некоторые из них сравниваются с данными литературы. Кроме того, целью предварительных расчетов является также оценка критических нагрузок, знание которых интересно при изучении устойчивости оболочек в условиях ползучести. [c.52]

Наконец, сходимость численного метода в целом, включая расчет граничных точек, особенно рекомендуется проверять на крайне грубой сетке, но с такой точностью рещения, которую допускает длина машинного слова. Использование грубой сетки с несколькими стандартными внутренними точками обычно позволяет получить решение с машинной точностью за приемлемое время. Затем тест может быть повторен с существенно отличными начальными условиями и желательно с противоположным первому случаю направлением счета в итерационном процессе. Если два таких рещения согласуются, то можно утверждать (хотя и не строго, но по крайней мере с чистой совестью), что данный метод сходится. [c.269]

Этим численным методом получено особое решение с учетом всех начальных условий и условий в горле. Было принято во внимание, что течение без трения на стенке имеет дозвуковую скорость в горле относительно скорости звука в смеси и что звуковое сечение, обусловливающее сингулярность, расположено за горлом. Были тщательно исследованы сходимость решения и пригодность метода Рунге —Кутта [261,649], а также проверена правильность составленной программы для вычислительной машины. [c.314]

На втором этапе, как правило, приходится заменять исходное уравнение или систему уравнений некоторыми другими уравнениями, которые позволяют построить численные методы их решения. При разработке численного метода исследователь сталкивается с целым рядом проблем. Во-первых, вычислительный алгоритм должен быть устойчивым, т. е. малые ошибки, допущенные на каком-либо этапе вычисления (например, при округлении числовых данных), при дальнейших вычислениях не должны иметь тенденции к существенному возрастанию. Во-вторых, численный метод должен обеспечивать сходимость к искомому решению. Дать строгое доказательство сходимости и устойчивости разработанного численного метода оказывается возможным далеко не всегда. В этой связи исследователь вынужден часто разрабатывать и использовать численный метод без строгого математического, обоснования его применимости. [c.53]

Погрешность численного метода обусловлена заменой исходных уравнений, описывающих принятую модель физического явления, другими аппроксимирующими уравнениями, позволяющими построить вычислительный алгоритм, а также приближенностью методов решения этих аппроксимирующих уравнений. Численные методы обычно строятся так, что они содержат некоторый параметр, при стремлении которого к определенному пределу погрешность сходящегося алгоритма стремится к нулю. Таким образом, значение погрешности численного метода можно регулировать, а выбирать ее целесообразно в 2—5 раз меньшей неустранимой погрешности. Если сходимость метода доказана, то представление о его точности дает сопоставление расчетов, выполненных при различных значениях параметра численного метода. [c.55]

Начальные условия имеют значение и смысл только для неуста-новившихся течений. В качестве таких условий служат поля значений функций Q и )з во всей области течения, включая ее границы. Они могут явиться результатом предварительного решения стационарной задачи, одним из приближенных или численных методов, а также результатом экспериментального исследования. Значимость начальных условий различна для разных задач. Например, если нестационарный гидродинамический процесс в пределе при t оо должен перейти в установившийся, то точность задания начального условия мало влияет на конечный результат. Но для получения определенного решения должно быть обеспечено выполнение определенных критериев сходимости вычислительного процесса. Примером такого критерия может служить условие [c.320]

Прежде всего подчеркнем, что нелинейная теория волновых течений энергично развивается в последние годы благодаря широкому использованию численных методов [29, 30, 43]. При использовании аналитических методов решения обычно представляются в виде бесконечных рядов, доказательство сходимости которых требует большой вычислительной работы [36]. Важные тенденции в поведении волн конечной амплитуды могут быть выявлены с помощью различных приближенных методов. В частности, если в описании гравитационных волн ограничиться третьими степенями амплитуды, то уравнение поверхности жидкости бесконечной глубины имеет вид [c.142]

Из этих формул следует, что звуковая линия располагается вверх по потоку от точки х—О на оси симметрии и смещена также вверх по потоку от минимального сечения сопла на контуре. До появления численных методов приведенные соотношения использовали для расчета течений в соплах, хотя область сходимости их невелика. [c.73]

Четвертое направление объединяет работы, в которых используются различные приближенные методы. Их можно разделить на пять групп. В первую входят исследования с применением конечно-разностных методов в их различной трактовке. Так, например, в [4, 31, 33, 145, 169, 171, 182, 235] исходные дифференциальные уравнения заменяются разностными с последующим решением полученной системы алгебраических уравнений на -ЭЦВМ. В ряде случаев целесообразно предварительно свести задачу к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое затем решается численно [53, 57]. Возможно также использование методов конечных элементов [133] и коллокаций [8, 104, 105]. Здесь необходимо отметить, что, кроме изучения сходимости этих методов, следует иметь в виду устойчивость вычислительного процесса [6]. Как показывают последние исследования, это условие является весьма существенным при реализации численных методов на ЭЦВМ. [c.42]

Анализ применяемых численных методов решения контактных задач показывает, что в некоторых вариантах возможны такие вычислительные трудности по сравнению с решением классических краевых задач со смешанными граничными условиями, как нарушение положительной определенности систем алгебраических уравнений, появление неустойчивости их решения из-за плохой обусловленности, применяется численная реализация некорректно поставленных задач. Здесь предлагается алгоритм решения задачи контакта деформируемых тел, свободный от указанных недостатков, дающий в ряде случаев более быструю сходимость по сравнению с применяемыми методами. В качестве иллюстрации рассмотрено решение задачи контакта шероховатых тел с нелинейной податливостью шероховатого слоя. [c.141]

Применение итеративных численных методов в основном исключает накопление малых погрешностей округления от цикла к циклу. Эти методы, кроме того, дают возможность разрабатывать более компактные алгоритмы. Применение итеративных методов наиболее целесообразно при наличии быстрой сходимости решения. [c.8]

В процессе численного решения как прямой, так и обратной задач возникает вопрос сходимости приближений. Опыт выполненных расчетов и анализ сходимости предложенных методов позволили дать рекомендации [7, 11, 27] по выбору расчетных сеток и коэффициентов релаксации, введение которых ускоряет расчетный процесс, а во многих случаях оказывается необходимым для достижения сходимости. [c.204]

Следует отметить, что для большинства задач, особенно со сложными краевыми условиями, решение получается в виде интеграла или бесконечного ряда, использовать который для практических расчетов не всегда представляется целесообразным. При малых временах процесса теплопередачи, т. е. при резко выраженной не-стационарности, аналитические методы решения оказываются малопригодными, так как даже при хорошей сходимости ряда для получения достаточной точности необходимо учитывать большое количество членов ряда. В этом случае приходится использовать численные методы решения. Численные методы являются наиболее универсальными, поскольку при их применении не приходится накладывать почти никаких ограничений на условия задачи. [c.34]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Сравнение МГЭ с МКЭ и МКР показало, что новый метод является конкурентоспособным и во многих задачах превосходит их по точности и достоверности результатов, по устойчивости и сходимости численного процесса, по объему занимаемой памяти, по простоте алгоритма и подготовки исходных данных, по объему программ и т.д. Например, сопоставляемые времена решения трехмерных задач по МКЭ и МГЭ при близкой точности обычно равны такому отношению [29] [c.7]

Уравнение (22.46) в силу сложности коэффициентов решается на каждом шаге численно методом прогонки ( 21.1). Сходимость метода существенно зависит от нагрузки. При малом давлении р, когда поведение материала близко к линейно упругому, для получения точных результатов достаточно двух—трех итераций. Если же значение давления таково, что приближается к ej, соответствующей максимуму на диаграмме а( Е (рис. 22.15), то для достижения достаточной точности (около 1%) необходимо сделать 12 ч-13 приближений. [c.517]

Математическое обоснование численных методов расчета, доказательства корректности их постановки, единственности решения, сходимости и получение оценки погрешности. [c.56]

Решение поставленных задач аналитическими методами невозможно, так как они относятся к классу нелинейных задач, реализация которых осуществима лишь приближенными методами. Самыми простыми являются численные методы типа метода конечных разностей или метода конечного элемента. Достоинством этих методов является простота реализации на ПЭВМ и формализация вычислительного процесса на различных этапах решения, а основным недостатком — высокая погрешность при укрупнении временных и пространственных шагов в случае их уменьшения для увеличения точности расчетов увеличивается время счета. Возникают также проблемы с устойчивостью и сходимостью решений. [c.306]

Одним из таких методов является численный метод, в частности конечноразностный, использование которого в качестве главного предполагает вопрос о выборе пространственно-временных шагов расчетной сетки, при которых имеет место сходимость и устойчивость вычислительного процесса. [c.316]

Метод характеристик имеет ряд преимуществ по сравнению с другими численными методами основные уравнения значительно упрощаются на характеристических поверхностях, метод отличается математической строгостью (доказана сходимость метода и единственность решения). Эти обстоятельства обусловили широкое использование численного метода характеристик при решении двумерных задач для уравнений гиперболического типа. Применение метода к трехмерным задачам сильно затруднено сложным поведением характеристических поверхностей, что обусловливает трудности построения характеристической сетки, громоздким алгоритмом вычислений и сложностью программирования. В связи с этим метод характеристик в его чистом виде до настоящего времени применялся для расчетов трехмерных течений лишь в очень небольшом числе случаев. Для решения трехмерных задач сверхзвукового обтекания тел представляются более перспективными методы конечных разностей-и смешанные методы (комбинации двумерного метода характеристик и метода конечных разностей по третьей переменной). [c.169]

Как показали численные эксперименты, хорошую сходимость дает метод разбиения, при котором реализуется значение kl<.Q,3. [c.175]

Анализ вычислительных процедур показывает высокую сходимость приближений. Отметим, что п. 3 вычисляется небольшое число раз, поскольку последовательность режимов устанавливается в пределах двухтрех приближений. Векторы [ ] и последовательности ii [/г] при этом определяются численным методом на основе поправок с требуемой для условий задачи точностью [2]. [c.272]

Более современный подход к разработке математической модели теплового режима изложен в [4]. Основной акцент сделан на анализ аналитических решений [39] и применение интегральных преобразований для решения уравнений стационарной и нестационарной теплопроводности. Авторами [4] разработаны методы решения одно- и многомерных задач, приведены программы, реализующие основные алгоррггмы, оценивается сходимость численных методов, включая и метод конечных элементов, изложенный в [28]. Анализ работы [49] позволяет сделать вывод, что на основе общего подхода для каждой сложной задачи, какой является задача теплового режима, необходимо, используя особенности объекта исследования, конструировать собственную методику, удовлетворяющую поставленным целям и требованиям разработки. [c.79]

Начальное приближение в стаиионарных задачах. Сходимость численного метода при решении стационарных задач методом итераций может существенным образом зависеть от выбранного начального приближения Ф для искомой функции. [c.161]

Первое исследование устойчивости проведено в работе Пера и Гебхарта [59] на основе параллельного приближения. Вычислительные трудности не позволили авторам получить длинноволновую ветвь нейтральной кривой и определить положение минимума на ней. Эти трудности не удалось вполне преодолеть и в более поздней работе [60], где, однако, были построены ветви изолиний постоянного усиления и затухания нормальных возмущений. Положение этих линий свидетельству о том, ию минимум нейтральной кривой находится в области малых Сг и к, где отмечается плохая сходимость численного метода. Данные работы [60] позволяют, тем не менее, оценить критическое число Сг 3 для Рг = 0,7. [c.226]

Применение функционала Лагранжа для решения численными методами краевых задач теории композитных оболочек при изменении их параметров в широких пределах [1, 2] приводит к эффектам сдвигового и мембранного вырождения. Такие явления получили название запирание . Они проявляются в замедленной сходимости численных методов, вследствие чего достоверность получаемых решений тяжело оценить. Способы преодоления таких нежелательных эффектов являются актуальными и к настоящему времени, в особенности по отношению к композитным оболочкам, поскольку увеличивается количество параметров, которые могут привести к таким эффектам. Для их преодоления были предложены проблемно-ориентированные смешанные функционалы [3, 4] и сформулированы варианты теорий нелинейно-упругих ортотропных тонких и нетонких оболочек в зависимости от соотношений между параметрами их композитных материалов (КМ). С их использованием был решен ряд тестовых [5] и новых [6, 7] задач статики оболочек из нелинейно-упругих КМ. Ниже дана общая характеристика предложенных функционалов и вариантов теории, а также приведены наиболее яркие демонстрационные примеры расчетов. [c.531]

Среди разработанных методов наибольший интерес представляют универсальные численные методы, пригодные для решения класса задач, определяемого обобщенным дифференциальным-уравнением (5.74), и обеспечивающие сходимость и устойчивость (см. п. 5,1.13) решения независимо от степени нелинейности и гладкости коэффициентов Гф и ИСТОЧНИКОВЫХ членов 5ф. Одним из таких методов, эффективно используемым для решения инженерных задач тепло- и массопереноса, является численный метод Патанкара и Сполдинга [47], В настоящем параграфе именно этому методу уделяется основное внимание. [c.151]

Дается краткое оригинальное изложение основ механики деформируемого твердого тела (МДТТ). Рассматриваются современные эффективные численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач МДТТ. Описаны разностные и вариационные методы, методы Монте-Карло и конечных элементов. Значительное внимание уделяется итерационным методам и способам улучшения их сходимости, а также методам решения краевых задач МДТТ со свойствами, зависяш,ими от температуры и времени. [c.2]

В заключение заметим вы не должны забывать, что вычислительная программа, такая как ONDU T, является просто инструментом для решения системы дифференциальных уравнений численным методом. Если уравнения удовлетворительно описывают реальность, то рассчитанные результаты очень полезны. Однако, когда математическая модель сомнительна, то результаты вычислений настолько же хороши , насколько лежащие в их основе уравнения. В таких случаях желательно провести некоторую экспериментальную проверку, которая часто приводит к дальнейшей доработке и корректировке математической модели. Нет безусловных гарантий того, что итерационный метод, используемый в ONDU T, приведет к сходимости решений для всех типов нелинейностей. Несмотря на это, вы можете черпать надежду из эмпирически доказанного факта, что программа позволяет решать очень большое число сложных задач. Подобный успех ожидает и вас. [c.125]

В дальнейшем (обзор работ дан в [14]) этот метод был обобщен для некоторых систем базисных функций Sk, в частности при Sk (f) = для случая квазилинейных гиперболических систем уравнений, и хорошо зарекомендовал себя при решении ря да сложных пространственных задач газовой динамики. Оказалось, что коэффициенты go gi определяются геометрией поверхности (7) (в том числе и для многомерного слу чая), коэффициент д2 — из нелинейного уравнения первого порядка, а последующие коэффициенты — из линейных дифференциальных уравнений. Применение специаль ных независимых переменных позволило для большой серии пространственных задач газовой динамики проинтегрировать в квадратурах системы уравнений для gk и полу чить их явные представления. Решение конкретных задач показало быструю сходимость зядов (6) и возможность их применения для описания зон течения газа с большими гра диентами газодинамических величин, в частности, в зонах сильных волн разрежения, расчет которых с высокой точностью обычными численными методами весьма труден. [c.20]

Указанный путь развития метода дискретных вихрей можно рассматривать как эвристический. Он опирается на качественный анализ и югическое обобщение ряда фактов и закономерностей, установленнь[х расчетно-экспериментальным путем или точно доказанных в частных случаях. Благодаря развитию ЭВМ и численных методов аэродинамики стала возможной постановка численного эксперимента, особенно эффективного в тех случаях, когда он сочетается с аналитическими подходами и физическими экспериментом. При этом, конечно, важно иметь строгие доказательства сходимости и корректности таких подходов, что пока удалось сделать только частично [2.7,2.9]. [c.55]

Источниками ошибок при определении аэродинамических характеристик могут быть неточности при схематизации явлений (например, иеучет вязкости, линеаризации и т. п.) и погрешности численного метода (например, замена непрерывных распределений и процессов дискретными, плохая сходимость решения и др.). [c.56]

Как правило, большинство численных методов, в частности МКЭ, обладает сходимостью в среднем — по энергетической норме. При этом ожидается, что разыскиваемые интегральные характеристики будут сходиться к точным, если приближение сходится к точному в среднем. Методы, связанные с приведением краевой задачи к эквивалентной системе ИУ, обеспечивают сходимость к точному решению в раномерной метрике. Причем некоторые виды ИУ могут быть решены итерационным путем в рамках метода последовательных приближений. С точки зрения некоторых исследователей это обстоятельство можно считать более важным преимуществом, чем снижение на единицу размерности задачи [202]. [c.50]

Широкое применение цифровых электронных вычислительных машин сделало целесообразным применение к задачам обтекания метода интегральных уравнений. В последние годы получают развитие численные методы построения течеций идеальной несжимаемой жидкости с помош,ью распределенных особенностей (вихрей, источников-стоков, диполей). Одним из преимущ еств этих методов по сравнению с методами комплексного переменного является возможность их применения для построения не только плоских, но и пространственных течений. Эти методы опираются на хорошо разработанную в математике обш,ую теорию потенциала. В 1932 г. П. А. Вальтер и М. А. Лаврентьев, пользуясь указанной обш,ей теорией, получили интегральное уравнение относительно интенсивности распределения вихрей вдоль криволинейного контура и предложили метод последовательных приближений для его решения. В статье М. А. Лаврентьева, Я. И. Секерж-Зеньковича и В. М. Шепелева (1935) указанный способ применяется к построению обтекания бипланной системы, состояш,ей из двух бесконечно тонких искривленных дужек. Задача сводится к решению системы двух интегральных уравнений методом последовательных приближений и доказывается сходимость такого процесса. В последние годы развивались численные методы расчета произвольных систем тонких профилей. С. М. Белоцерковский (1965) использовал схему замены вихревого слоя (как стационарного, так и нестационарного) конечным числом дискретных вихрей, сведя задачу к решению системы алгебраических уравнений. В работах А. И. Смирнова (1951) и Г. А. Павловца (1966) используется схема непрерывного распределения вихрей и с помощью интерполяционных полиномов Мультхопа расчет также сводится к решению системы алгебраических уравнений. [c.88]

А. С. Гиневским и Я. Е. Полонским в 1962 г. были опубликованы расчеты (по способу дискретных вихрей) решеток из двухпараметрических дужек с максимальным прогибом до 30% и его положением на 30—50% хорды. На основании результатов этих расчетов были получены полезные интерполяционные формулы для основных гидродинамических параметров решеток используемых в осевых вентиляторах и компрессорах. Несколько позже вихревой метод был запрограммирован и применен в практических расчетах решеток паровых турбин и стационарных газотурбинных двигателей (М. И. Жуковский, Н. И. Дураков и О. И. Новикова, 1963 В. М. Зеленин и В. А. Шилов, 1963). В теоретическом отношении и для реализации численных методов важны вопросы разрешимости уравнений, сходимости последовательных приближений и оценки точности решений. В теории гидродинамических решеток эти вопросы изучены еще недостаточно они более продвинуты в теории упругости в связи с близкими задачами о напряжениях в плоскости, ослабленной бесконечным рядом равных вырезов (Г. Н. Савин, 1939, 1951 С. Г. Михлин, 1949) и их двоякопериодической системой (Л. М. Куршин и Л. А. Фильштинский, 1961 Л. А. Филь-штинский, 1964). [c.116]

Осесимметричный электростатический или магнитный скалярный потенциал можно вычислить по его осевому распределению, используя расходящийся ряд (3.20) или комплексный интеграл (3.112). Компоненты электрического поля и вектора магнитной индукции определяются рядами (3.38) —(3.40) и (3.45) — (3.47) соответственно. Комплексный интеграл может -быть вычислен только для аналитических функций. Разложение степенного ряда требует, чтобы осевое распределение задавалось как 2(п—1) раз дифференцируемая функция координаты Z, где п — число членов степенного ряда. К сожалению, для лриемлемой сходимости необходимо весьма большое п. Если осевое распределение задано набором численных данных (что является обычным при процедурах оптимизации, обсуждаемых дальше) или даже если оно известно в виде громоздкой аналитической функции, то производные высших порядков необходимо получать численными методами, которые дают большие погрешности (см. разд. 3.3.5.1). [c.532]

Для численной реализации и для улучшения характера сходимости уравнений метода Ритца важно подобрать такие координатные функции, которые являются частью линейно независимой и полной бесконечной системы функций. [c.130]

Раепределение потерь по длине многослойной обмотки представляет интерес как для нахождения полных потерь в реальных индукторах конечной длины, так и для проектирования системы охлаждения. Для этой цели создана специализированная программа расчета, основанная на комбинированном методе. Сначала численным методом (см. 2.4) рассчитываются все токи сложной индукционной системы, содержащей обмотки, нагреваемые тела и магнитопроводы. При расчете реальные многовитковые обмотки заменяются тонкими соленоидами с активным сопротивлением Г (/ — номер итерации). Затем определяются напряженности и Я/ в сечениях проводов и по формуле (4.53) вычисляются потери в витках обмотки. Полученные активные сопротивления используются на новом шаге итераций до сходимости процесса (1—2 итерации). [c.199]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...