Метод численного решения уравнений движения

МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [c.36]

Задачи динамики стержней являются более сложными, чем задачи статики, так как их решение часто требует определения статического напряженно-деформированного состояния, от которого зависят уравнения движения. Кроме того, уравнения движения стержней — это уравнения в частных производных, решение которых существенно сложнее, чем решение уравнений в обыкновенных производных, с которыми приходится иметь дело при решении задач статики, поэтому при подготовке специалистов задачам динамики стержней уделялось мало внимания, несмотря на то что в инженерной практике они и.меют очень широкое распространение. Только с развитием вычислительной техники и новых методов численного решения уравнений в частных производных появились реальные возможности решения задач динамики сплошной среды и в том числе задач динамики стержней. В настоящее время при численном решении уравнений в обыкновенных и частных производных используются различные методы и их комбинации, выбор которых и эффективность зависят от опыта исследователя и конкретных особенностей задачи. [c.276]

Применение метода сеток к решению уравнений движения. Решение отдельных уравнений (1а)-(1с) можно получить с применением аналитических методов, но их совместное решение с учетом условий стыковки возможно только путем применения численных методов. Одним из наиболее распространенных методов численного решения уравнений в частных производных является метод сеток, или метод конечных разностей [7]. [c.112]

В настоящее время значительных успехов достигла вычислительная техника. В связи с этим успешно развиваются методы численного интегрирования уравнений движения. Решение многих практических задач оказалось возможным лишь благодаря применению быстродействующих вычислительных машин. [c.270]

Этот метод [1.6] основывается на итеративном численном решении уравнений движения, неразрывности, энергии и состоя- ия для осесимметричного течения в турбомашине, радиусы периферии и втулки которой могут варьироваться. Уравнение для меридиональной кривизны линий тока содержит члены, описывающие как наклон, так и кривизну меридиональных линий тока. Их величины оцениваются с помощью плавных кривых типа сплайнов, проходящих через точки равных значений функции тока в соседних расчетных плоскостях или точках. Сплайны представляют собой кусочно-гладкие кубические функции с непрерывными первыми и вторыми производными в рассматриваемой точке и дают приемлемую аппроксимацию линии тока. Форма начальной линии тока определяется на основе начального предположения о распределении массового расхода по радиусу. Это распределение уточняется после каждой основной итерации. [c.93]

Следует сделать некоторые замечания о возможности применения методов численного расчета при анализе траекторий. Разумеется, всегда можно написать полную систему уравнений движения для весьма сложной модели снаряда, включив туда движение корпуса вокруг центра инерции, аэродинамические силы и моменты, усилия от регулирующих органов и т. д., и современная большая цифровая вычислительная машина решит их в несколько минут. Спрашивается, нужно ли вообще изучать упрощенную модель. Оказывается, да, нужно, и вот почему. Дело в том, что непосредственное численное решение уравнений движения снаряда еще не дает решения проблемы оптимизации, где необходимо исследовать [c.38]

Для случая вращательного движения звена приведения при условии, что М = М (ф) и = J (ф), рассмотрим метод численного решения дифференциального уравнения двил<ения механизма. Перепишем уравнение (22.9) в виде [c.284]

Изложить все новые методы решения уравнений движения стержней (или, что то же, дифференциальных уравнений) в учебном курсе практически невозможно, в этом и нет необходимости. Математическая подготовка студентов технических вузов достаточна, чтобы самостоятельно расширить свои знания в области прикладной математики, ознакомившись со статьями и монографиями, в которых изложены численные методы решения диффе- [c.276]

Решение уравнений движения этой системы методом гармонической линеаризации в сочетании с полученными из эксперимента данными на резонансе величины амплитуд ускорения, скорости и перемещений, амплитуды вынуждающей силы и фазовых соотношений по осциллограммам — позволило определить численное значение величины жесткости масляного слоя в радиальном направлении и коэффициента демпфирования. [c.78]

Задачи вязкого многофазного течения (жидкости, газы, твердые частицы). Этот класс содержит задачи движения запыленных потоков, а также движения потоков ири наличии кипения и конденсации. Для решения задач данного класса используются уравнения в приближении пограничного слоя или полные уравнения Навье — Стокса. Введение большого числа поверхностей разрыва фаз требует добавления к численным методам, разработанным для сплошной среды, статистических методов определения параметров потоков [35]. Численные решения задач движения вязкой многофазной жидкости получены только на основе уравнений пограничного слоя с введением влияния второй фазы на [c.187]

Для широкого класса задач последовательное численное интегрирование уравнений движения является вполне удовлетворительным с точки зрения численной точности. Численное решение уравнений составляет предмет метода [c.104]

Системы с одной степенью свободы, как правило, позволяют получать решение уравнений движения в аналитической форме, что существенно упрощает последующее определение вероятностных характеристик выхода при известных вероятностных характеристиках входа . Причем для уравнений с постоянными коэффициентами вероятностные характеристики выхода в ряде случаев можно получить и в аналитической форме, удобной для анализа. Для систем с конечным числом степеней свободы, например линейных с постоянными параметрами, рещение можно, в принципе, получить в аналитической форме записи, но существенной пользы от такого решения вследствие громоздкости формул по сравнению с численным решением нет, поэтому, как правило, численным методам исследования случайных колебаний отдается предпочтение. [c.259]

Численное решение уравнения (85) получаем при движении от уровня сетки t = 0. Значения температуры в узлах на этом уровне задается начальными условиями (88). Алгоритм расчета температурного поля шпинделя методом прогонки (рис. 89) включает задание параметров сетки разностной тепловой модели шпинделя длины I шпинделя, время 4 наблюдения, величин я h. Затем организуется внешний цикл по /С и внутренний цикл по t. При фиксированном К + 1 рассчитываются температуры по длине шпинделя при = А (/С + О- Сначала вычисляются все коэффициенты fl , f i, bi, по формулам (98), затем решается си- [c.137]

Если удается найти / независимых интегралов движения, то система называется интегрируемой. Тривиальным примером интегрируемой системы является система невзаимодействующих частиц с Ф( г ) = О в гамильтониане (1.1.2). Для интегрируемых систем решение уравнений движения можно найти в явном виде, так что динамическое состояние известно для сколь угодно больших интервалов времени. В общем случае уравнения движения могут быть решены приближенно, например, численными методами. [c.13]

Решаем этот пример сначала аналитически, пользуясь численным методом решения уравнения движения поезда. [c.183]

При расчете вихревых течений используются различные методы. В последние годы все шире развиваются подходы, основанные на прямом численном решении уравнений Навье - Стокса. Как вариант таких подходов можно рассматривать и метод решения двумерных задач в переменных функция тока - завихренность . В случаях локализованной завихренности, особенно при больших числах Рейнольдса, когда влияние вязкости на динамику завихренности мало, с успехом используются вихревые методы, основанные на лагранжевом подходе к описанию движения жидкости. [c.320]

Для задач идентификации, кроме вопроса о точности оценок, весьма важен вопрос о затратах машинного времени, требуемого на получение оценок, тем более, что основным методом решения подобных задач является МНК. Затраты машинного времени при использовании МНК возрастают пропорционально увеличению мерного интервала, поскольку основной объём вычислений связан с численным интегрированием уравнений движения тела, проведение которого необходимо для получения расчётных значений составляющих вектора угловой скорости. Интегральный метод, напротив, не требует численного интегрирования уравнений движения, и объём вычислений не зависит от величины мерного интервала, а определяется только количеством точек, в которых надо вычислять первые интегралы (5.10) и (5.11). В рассмотренном примере использование интегрального метода даёт выигрыш в затратах машинного времени на 2-3 порядка по сравнению с МНК. [c.149]

Широко использованы теоретические методы решения уравнений движения линейных и нелинейных систем большое внимание уделено использованию электронных вычислительных машин для решения динамических задач и параметрического анализа расчетных схем. Кроме теоретических анализов и исследований, широко представлены методы экспериментальных исследований, многие задачи доведены до численных расчетных примеров. [c.2]

Для численного решения уравнения движения известно большое число шаговых численных методов. Конечно-разностные операторы по времени, представляющие ускорение разделяются на две группы условно устойчивые и безусловно устойчивые. Условно устойчивые методы (например, метод центральных разностей) становятся неустойчивыми, если шаг интегрирования Ат больше некоторого критического значения. Безусловно устойчивые методы (например, метод Хубольта), устойчивы вне зависимости от выбора величины шага по времени, однако при этом усложняется процесс интегрирования и возникает влияние фиктивного затухания, вносимого в модель конечно-разностными операторами. При решении методом Хубольта вектор узловых обобщенных ускорений q в момент времени т + уАт (/ — номер временного шага) аппроксимируется в разностном виде с интерполированием назад [c.110]

Уравнения сохранения количества движения (И. 33) в обш,ем случае справедливы для гомогенного потока в межтрубном пространстве теплообменника и в трубах пучка присоответствуюп] ем выборе коэффициентов, входяш их в уравнения. Последние обычно основываются на известных в литературе соотношениях эмпирического происхождения. Типичная схема теплообменника и расчетная область поля течения показаны на рис. 11.10. В результате численного решения уравнений движения известными методами можно получить распределения в пространстве труб- [c.157]

Теория общих возмущений применима при решении далеко не всех задач орбитального движеиия. Однако в таких случаях всегда можно использовать специальные возмущения, т. е. методы численного интегрирования уравнений движения в той или мной форме. Имея в качестве исходной информации координаты и скорости тел в заданный момент времени, можно с помощью одного из таких методов вычислить из уравнений движения новые координаты и скорости, которые будут характеризовать систему тел спустя малый интервал времени. При этом удается учесть влияние всех действующих на тела сил. Полученные значения координат и скоростей, позволяют выполнить новые вычисления для последующего интервала времени и т. д. Каждый цикл вычислений называется шагом. Теоретически численное интегрирование можно вьпюлиять на сколь угодно большом интервале вре-мепи. На практике же при реализации любого численного процесса возникают так называемые ошибки округления. Поскольку все вычисления выполняются с определенным числом значащих цифр, математику или вычислительной машине приходится постоянно оперировать с округленными величинами, что неизбежно порождает ошибки. [c.223]

Определение А. Время захлопывання пузырька с достаточной степенью точности (см. 6 настоящей главы) определяется по формуле Рэлея. Трудности определения Ы. вызваны тем, что величина действующего звукового давления (аРл) не поддается аналитическим методам расчета. Статистическая обработка результатов численного решения уравнения движения позволяет предложить для определения действующего в стадии захлопывания давления следующую формулу [c.210]

Сравнение различных методов решения задачи прогнозирования движения КА показывает [75], что метод численного интегрирования уравнений движения в прямоугольных координатах является наиболее простым. Его недостаток связан с большими затратами машинного времени по сравнению с двумя другими методами. Необходимость использования численного интегрирования для расчета траектории движения КА иа переходных участках (на границах сфер действия) является существенным недостатком метода малых вариапий уравнений кеплерового движения. [c.192]

Методические ошибки определяются погрешностями прогнозирования параметров движения ракеты на момент окончания АУТ (назовем нх погрешностями прогноза АУТ) и погрешностями решения краевой задачи по уточнению конечной требуемой скорости (назовем нх погрешностями коррекции конечной скорости). Погрешности прогноза АУТ определяются погрешностями модели гравнтационного поля в уравнениях движения ракеты на АУТ, погрешностями метода численного интегрирования уравненнй движения на интервале прогнозирования и влиянием возмущений. Ввиду циклической повторяемости процедуры прогноза АУТ с использованием действительных значеннй текущих параметров движения ракеты влияние перечисленных факторов проявляется лишь в течение небольшого интервала времени, непосредственно предшествующего отделению ГЧ, длительность которого не превышает продолжительности цикла коррекции Г. При уменьшении периода Гпогрешности прогноза уменьшаются и в пределе при Г - О также стремятся к нулю. [c.368]

В подобных случаях обычные методы решения тормозных задач не обеспечивают необходимой точности, и для этой цели пользуются разработанным во ВНИИЖТе методом численного интегрирования уравнения движения поезда по интервалам времени, наиболее полно учитывающим происходящие в поезде тормозные процессы. При этом тормозные расчеты выполняют по интервалам времени при условии постоянства сил, действующих в каждом интервале. [c.52]

Приведены методы численного решения нелинейных уравнений переноса кззличе-с 1 ва движения, вещества и энергии, осложненных фазовыми превращениями, химическими реакциями в системах с различной реологией с учетом входных участков и зависимостей коэффициентов переноса от температурных и концентрационных нолей в двухфазовых средах в двухкомпонентных и многокомпонентных системах. [c.3]

Для того чтобы определить положение динамического равновесия, согласно методу, изложенному в [96], необходимо сначала решить однородное уравнение, в котором параметры а и представляют собой известные функции постоянной, но неизвестной величины дин- В результате решения, произведенного с учетом конечного числа членов, можно получить приближенное выражение для характеристического показателя ц и коэффициентов Сзг в виде некоторых функций Один. Затем подставив полученныефункции в выражение (5.3), можно получить уравнение для смещения Но в функции йдин. Чтобы определить затем Один, требуется положить Я = О и решить полученное трансцендентное уравнение. Определив дин, можно вычислить численные значения и найти полное решение уравнения движения. [c.158]

Н. и. Булеев [74] решил задачу о распределении скоростей и температур при турбулентном движении жидкости в трубе. Приведены два метода решения динамической задачи приближенный (принята двухслойная схема потока, граница расположена на расстоянии, где = г) и точный (путем численного интегрирования уравнения движения). Уравнения распространения тепла [c.89]

Уравнения теплообмена и энергии можно решить методом переменных направлений [34]. Численные аналоги уравнений при этом расписываются по неявной схеме и решаются методом прогонки. При решении уравнений движения и неразрывности можно использовать явную двухшаговую схему Р. МакКормака [34, 35], обладающую вторым порядком точности. Таким образом, решение задачи разбивается на два последовательных этапа — решение уравнений теплообмена и совместное решение уравнений движения и неразрывности, которые затем увязываются через уравнение состояния и итерационные циклы. [c.23]

Уравнения теплообмена и энергии решались методом переменных направления [34]. Численные аналоги уравнений при этом расписывались по неявной схеме и решались методом прогонки. При решении уравнений движения и неразрьшности использовался метод прогонки с помощью подстановки Симу-ни. Таким образом, решение задачи было разбито на два последовательных этапа — решение уравнений теплообмена (1.37), (5.3) и совместное решение уравнений движения и неразрывности (5.1), (5.2), которые затем увязывались через уравнение состояния (1.40) и итерационные циклы. [c.137]

Гессоу и Крим [G.62] вывели уравнения махового движения на переходном режиме и предложили метод численного решения этих уравнений. Авторы рассматривали шарнирный винт с относом ГШ, а также винт с качающейся втулкой. Аэродинамические характеристики сечений были заданы в общем виде l = i a, М) и d = d(a, М), а углы взмаха, притекания и установки не считались малыми. Уравнение махового движения выведено из условия равновесия моментов аэродинамических, инерционных, центробежных сил и веса. Численное решение было получено методом Рунге—Кутта с использованием ЦВМ. Работа [G.62] проводилась с целью исследования динамической устойчивости махового движения (при возмущении движения на переходном режиме) и аэродинамических характеристик несущего винта (при возмущении установившегося периодического решения). Численное решение позволяет исследовать аэродинамические характеристики сечений в общем виде с учетом влияния срыва, сжимаемости и зоны обратного обтекания (если имеются соответствующие характеристики сечений). [c.260]

В интересующих нас сейчас асимптотических теориях, наряду с подобластями типа классического пограничного слоя, появляются еще другие подобласти, порядки которых по продольным и поперечным размерам, скоростям, перепадам давления и др. отличаются от ilYРе. Оценка порядков по рейнольдсову числу масштабов протяженности этих подобластей и механических и термодинамических характеристик движений среды в них представляет основной этап построения асимптотических решений. Вторым этапом служит составление рядов по параметрам, малость которых обеспечивается стремлением внешнего рейнольдсова числа к бесконечности, и определения коэффициентов этих рядов в том или другом простейшем приближении. При этом выполняется сшивание асимптотических решений в смежных подобластях. Заметим, что такой метод необходим и при численном решении уравнений Навье — Стокса при больших значениях рейнольдсова числа, так как позволяет заранее оценить характерный для каждой подобласти масштаб размеров ячеек применяемой сетки. [c.701]

Фактическое вычисление интенсивностей мультиполей из граничных условий приводит к бесконечной нелинейной алгебраической системе, разрешаемой рекуррентным способом, для чего системы функций у , Г , необходимо последовательно орто-гонализировать. Эта процедура монсет оказаться весьма трудоемкой, если для построения приближенного численного решения требуется большое число собственных функций. Тем не менее расчет течения по полученным решениям в ряде случаев оказывается достаточно эффективным, поскольку не содержит итераций по пе-линейиости, характерных для решений уравнений движения обычными сеточными методами [174, 220]. В частности, вклад членов, возникающих в результате итераций но нелинейности, асимптотически мал при оо, поэтому достаточно ограничиться решением линейной задачи при больших N, что сильно упрощает алгебраическую систему для определения В , С , Д . [c.293]

В обгцем случае решение (3) не удается выразить через элементарные функции или даже через интегралы от элементарных функций. Поэтому обгцим методом приближенного решения уравнений (2) на ограниченных интервалах времени являются различные варианты метода численного интегрирования. Этот метод успешно используется в большинстве практических задач. Однако во многих задачах механики представляют интерес исследования всех возможных траекторий движения системы в обобщенных координатах. Методами численного интегрирования это сделать не удается. [c.222]

Теория ламинарных движений вязкой жидкости уже в первой четверти двадцатого века достигла значительного совершенства. Были найдены разнообразные точные решения уравнений Навье — Стокса, разработаны методы приближенного интегрирования этих уравнений путем линеаризации при малых значениях числа Рейнольдса и разыскания асимптотических решений при больших значениях этого числа. К решениям наиболее трудных, атносящихся к средним значениям рейнольдсовых чисел задач исследователи приближались как со стороны малых, так и со стороны больших рейнольдсовых чисел. В первом случае шли по пути увеличения числа членов в разложениях по положительны у1 степеням рейнольдсова числа, являющегося в задачах этого рода характерным малым параметром, а в последнее время стали непосредственно пользоваться численными (машинными) методами интегрирования точных,, иногда несколько зшрощенных уравнений Навье — Стокса. Во втором случае, исходя из известного факта, что прандтлевы уравнения пограничного слоя являются лишь первым приближением в методе разложения решений уравнений Навье — Стокса по степеням величины, обратной корню квадратному из рейнольдсова числа, начали учитывать следующие члены разложения. Современному состоянию этой области динамики вязкой жидкости посвящены 2 и 3. [c.508]

Аналогичным путем могут решаться не только динамические, но и тепловые задачи. Так, Дж. Фромм (Phys. Fluids, 1965, 8 10, 1757—1769) провел численное интегрирование уравнений движения и переноса тепла для плоской задачи о потере устойчивости в слое вязкой жидкости, подогреваемой снизу, при наличии сил тяжести. В широком диапазоне чисел Рейли (от критического до 10 ) были исследованы два основных случая движения со свободной поверхностью и при наличии сверху твердой стенки. В первом случае решение могло быть сравнено с более ранними расчетами, во втором — с опытными материалами. Результаты получились весьма многообещающими. В цитированной статье приведено боль-шое число графиков линий тока, изотерм и кривых одинаковой завихренности, теоретически доказывающих целлюлярное (ячеистое) строение возникающих после потери устойчивости потоков, впервые обнаруженное в опытах А. Бенара, относящихся еще к 1900 г., и получившее свое объяснение в трудах Рейли. Проведенные на электронно-вычислительной машине расчеты позволили также получить хорошо совпадающие с опытными кривые зависимости теплоотдачи (числа Нуссельта) от определяющего критерия Рейли. Это служит новым подтверждением мощи метода численного интегрирования уравнений динамики и термодинамики вязкой жидкости и выдвигает перед исследователями, новые задачи. [c.510]

Точные решения уравнений Навье — Стокса для плоской неизотермической задачи о движении вязкой жидкости и газа вокруг вращающегося цилиндра в безграничном пространстве и в полости между двумя вращающимися цилиндрами бесконечной длины были впервые даны Л. Г. Степанянцем (1953). Появление электронно-вычислительных машин открыло возможность численного изучения более сложных, неплоских движений вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами. Из рабог этого вычислительного направления отметим исследования Н. П. Жидкова, А. А. Корнейчука, А. Л. Крылова и С. Б. Мосчинской (1962), в которых получено численное решение уравнений Навье — Стокса для случая когда движение вязкой жидкости зависит от расстояния до общей оси вращения цилиндров и от азимута, и А. Л. Крылова и Е. К. Произволо-вой (1963), где найдено решение аналогичной задачи, зависящее от того же расстояния и координаты, параллельной оси цилиндров. Л, А. Дорфман и Ю. Б. Романенко (1966) также численным методом рассмотрели движение в неподвижном стакане, доверху заполненном вязкой жидкостью приводимой в движение вращающейся крышкой, соприкасающейся с жидкостью. И в этом случае обнаружено наличие зон вторичных течений в виде замкнутых линий тока, расположенных в меридиональных плоскостях (рис. 1), [c.511]

В статье рассматриваются стопорные режимы в машинном агрегате с электроприводом постоянного тока. Механическая система схематизирована в виде дискретной цепной крутильной системы с конечным числом степеней свободы. Рассмотрены уточненное и упрощенное математические описания упруго-диссипативных свойств соединений. Динамические процессы в приводном двигателе с независимым возбуждением исследованы с учетом типовых САР скорости. При этом рассмотрены наиболее характерные примеры САР с линейными и нелинейными (задержанными) связями. На основе рассмотрения динамических процессов в механической системе и в проводном двигателе получена система дифференциальных уравнений движения с кусочно-постоянными коэффициентами при уточненном математическом описании динамических харак-геристик звеньев. Предложен эффективный численно-аналитический метод интегрирования системы уравнений движения. Рассмотрены возможные упрощения при приближенном исследовании стопорных режимов Получена система приближенных интегральнодифференциальных уравнений стопорного режима, для которой разработан метод отыскания решения в аналитическом виде. Изложенное иллюстрировано общим примером. Библ. Ill назв. Илл. 9. [c.400]

Когда пнраыетры привода выходят за пределы приведенных графиков Л >5, а <0,1 и т.д.), приходится проводить численное решение уравнений (2.17)—(2.19). Ввиду большой трудоемкости этого процесса ниже приведены упрощенные методы расчета, которые позволяют весьма приближенно определять время движения поршня привода [4, 17], Они полезны в случаях, когда неизвестны коэффгщиен го расхода приводов, точное значение нагрузки и их приходится оценивать довольно грубо (при этом даже с помощью точного графика можно на11ти лишь приближенное значение). Анализ графиков X = т ( V) и результатов расчетов на ЭВМ позволил установить области, лля которых возможно применение этих методов расчета, основанных на рассмотрении предельных случаев движения поршня. [c.65]

Полное решение проблемы попадания неуправляемого аппарата в Луну получено В. А, Егоровым [87]. Проблема решалась автором на базе всестороннего численного исследования уравнений движения ограниченной круговой задачи трех тел (Земля — Луна — космический корабль) в сочетании с эффективным применением метода сфер действия (см. ч. V, гл. 2). Кроме того, им найдены многочисленные конкретные траектории попадания, траектории облета Луны, нетривиальные недолетные траектории, т.е. такие траектории, для которых геоцентрический радиус-вектор имеет по крайней мере два максимума, расположенных за лунной орбитой, и минимум, расположенный внутри лунной орбиты (рис. 97). В. А. Егоровым также рассчитаны наиболее важные, с точки зрения практики, траектории облета с пологим возвращением в атмосферу Земли (рис. 98). Этой проблеме посвящена отдельная глава в книге П. Эскобала [90]. [c.744]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...