Методы прямые вариационного исчисления

Методы прямые вариационного исчисления 153 Модуль вектора 801 [c.935]

Если удается создать функционал, который необходимо минимизировать выбором всех неизвестных параметров, а также если определены все ограничения (связи), наложенные на эти величины, то такую экстремальную задачу легче решать, чем искать аналитическую форму решения (прямой метод). Теория вариационного исчисления полностью основана на косвенном методе. Ф. Гаусс ввел [10] скалярную функцию, названную мерой принуждения. Она имеет вид [c.70]

Задача Б представлена в форме общих задач вариационного исчисления. В зависимости от вида функционала Яо и компонентов вектор-функционала Н задачи вариационного исчисления имеют различные формы и различные методы их решения [60]. Выбор той или иной формы задачи во всех случаях обусловлен удобством и эффективностью решения. Методы решения вариационных задач делятся на две большие группы аналитические и прямые (численные). [c.76]

К прямым методам вариационного исчисления относятся все методы, которые непосредственно не используют необходимые и достаточные условия оптимальности. Прямые методы основаны на различных формах аппроксимации (t) некоторой заданной системой функций. [c.76]

Возникает вопрос о непосредственном применении вариационных принципов механики для определения закона движения системы материальных точек без интегрирования соответствующей системы дифференциальных уравнений движения. Ответ на этот вопрос можно найти в прямых методах вариационного исчисления. Не рассматривая этот вопрос подробно, так как такое рассмотрение выходит за пределы содержания этой книги, остановимся на некоторых частных случаях непосредственного применения принципа Гамильтона — Остроградского к решению задач динамики. [c.210]

Для решения задач поиска оптимальных алгоритмов управления находят применение методы вариационного исчисления. Наибольшей простотой характеризуется прямой вариационный метод [10], существо которого состоит в следующем. [c.222]

Приложение прямых методов вариационного исчисления к )ешению задач изгиба мы проиллюстрируем на примере вариационного принципа Рейс-нера. Положим [c.410]

Очевидное преимущество использования моделирующей непрерывной однородной среды состоит в том, что оно сразу дает определяющие уравнения вместе с граничными и начальными условиями. Как только такая модель построена, ее можно применять к изготовленным из композита телам конечных размеров и произвольной формы. В то же время в подходах, использующих уравнения теории упругости для отдельных компонентов композита в сочетании с прямыми методами вариационного исчисления или асимптотическими разложениями, требуется разумный выбор множества базисных функций для каждого конкретного тела. [c.375]

Этот метод вывода основного дифференциального уравнения вариационного исчисления, предложенный Эйлером, не совсем строг, так как он использует двойной предельный переход в не вполне допустимой форме. Прямой вывод Лагранжа, который мы изложим ниже, свободен от этого недостатка. [c.76]

Метод Рэлея — Р и т ц а является одним из наиболее мощных прямых методов вариационного исчисления. В задачах упругого расчета с его помощью можно с той или иной точностью определить поле перемещений, используя уравнения потенциальной энергии деформируемого тела. Перемещения аппроксимируются на всей области интегрирования некоторыми системами функций. Для двумерной области с тремя компонентами перемещений и, v, w это—три системы фх (х, у). Фа (х,У), 4>ш(х,у) h (х,у),. .. I2 (х, у),. .. 1гп х,уУ, т]г(х, у), г (х,у),. .., г]гп. х, у). Перемещения принимают такими [c.65]

Этот принцип является в известной степени аналогом принципа минимума потенциальной энергии деформаций, широко используемого в теории упругости. Принцип Гельмгольца в гидродинамике вязкой жидкости, так же как принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости, может быть положен в основу применения прямых методов вариационного исчисления для решения задач о медленном движении, в частности для задач гидродинамической теории смазки. [c.430]

Решение практических задач обработки металлов давлением методами вариационного исчисления представляет непреодолимые математические трудности. Применением приближенных, так называемых прямых , методов вариационного исчисления удается решить большое число задач. [c.258]

Вариационные уравнения принципов возможных изменений деформированного состояния, напряженного состояния и одновременного возможного изменения напряженно-деформированного состояния сами по себе не уменьшают сложности решения конкретных задач. Действительно, вариационное уравнение (3.31) или (3.39) эквивалентно полной системе дифференциальных уравнений теории пластического течения (3.36) или (3.40). Вариационное уравнение принципа возможных изменений деформированного состояния и возможных изменений напряженного состояния эквивалентны соответственно решению дифференциальных уравнений равновесия в скоростях и решению уравнений неразрывности деформации, записанных в напряжениях. Вариационные уравнения удобны для построения приближенных решений задач. С помощью прямых методов вариационного исчисления [10, 67, 109] сводят вариационные уравнения к системам алгебраических (во всяком случае конечных) или обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим прямые методы, нашедшие применение для решения технологических задач с помощью указанных выше трех принципов. Начнем с принципа возможных изменений деформированного состояния. Основной отличительной чертой почти всех имеющихся в теории обработки металлов давлением решений [163, 164 и др.] является приближенное представление функционала, которое основано на допущении [c.96]

Различные приближенные аналитические методы связаны с вариационными формулировками и основываются на том, что существует тесная связь между вариационными проблемами и соответствующими краевыми задачами, выражаемая дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа. Эта взаимосвязь имеет большое значение для теории (см. гл. 4). Для краевой задачи всегда можно сформулировать соответствующую вариационную задачу и искать затем ее решение. При этом были развиты численные методы, чтобы решать вариационную задачу, не применяя дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа, а посредством так называемых прямых методов вариационного исчисления. [c.129]

Для решения уравнения (25) воспользуемся изложенным выше прямым методом вариационного исчисления. В даном случае скорости перемещения вдоль оси х не зависят от у, а скорости вдоль оси у не зависят от х вследствие равномерности деформации в каждом слое. [c.130]

Наличие приближенных исходных данных приводит, в частности, к необходимости рассмотрения вопросов корректности по Адамару задач решения векторных интегральных уравнений вида (6). При использовании прямых методов вариационного исчисления для решения задач минимизации М [е (/) ] важным является вопрос о корректности постановок таких задач. [c.69]

Для приближенного определения поля ьи хи) можно использовать прямой метод вариационного исчисления, поступив следующим образом (В. Ритц, 1908). Представим (х ) в виде [c.71]

Задача определения оптимального контура двумерного выходного устройства реактивного двигателя с использованием прямого метода вариационного исчисления решена в [1]. В данном исследовании метод развит для определения оптимального контура трехмерного выходного устройства, дающего максимальную тягу в заданном направлении. [c.166]

Краевая задача для моделирования развитой динамической деформации и разрушения металлов включает решение классических уравнений механики деформируемого твердого тела (динамических и кинематических уравнений, а также определяющих соотношений), дополненных неклассическими соотношениями, описывающими процесс разрушения металла. Предлагается приближенное решение указанной краевой задачи в два этапа. На первом этапе для произвольного и фиксированного момента времени применяются изохронные вариационные принципы и прямые методы вариационного исчисления. Находятся с точностью до варьируемых параметров поля скоростей течения, напряжений и температур. На втором этапе решается система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно варьируемых параметров. Процесс решения выполняется до момента образования макротрещины. Решение возобновляется после введения новых граничных условий на поверхностях трещины. Обоснованность этого метода приближенного решения установлена соответствующими теоремами. При решении подразумевается лагранжево представление о движении. [c.4]

Вместо того чтобы использовать предельный пере.чод, решим задачу прямыми методами вариационного исчисления. Предположим, что искомая кривая задана в параметричсско форме [c.106]

Этот принцип в соединении с принципом живых сил может служить для составления уравнений движения системы в каждом отдельном случае но, как мне кажется, никто еще не подумал о том, чтобы уравнение, выражающее принцип живых сил, применять просто как условное уравнение и применить поэтому метод неопределенных множителей [ ]. Этим путем, вводя непосредственно независимые переменные системы, я прищел к тем общим уравнениям движения, которые даны в Аналитической механике (ч. П, отд. 4) и к которым Лагранж прищел или посредством прямого преобразования координат, или посредством применения общих уравнений вариационного исчисления к этим преобразованиям. [c.167]

Выше мы показали возможность вывода основных уравнени й теории пластин исходя из вариационного принципа Лагранжа. Однако главное значение вариационных принципов в расчете пластин состоит в том, что с их помощью можно получить приближенные решения сложных задач, не прибегая к составлению и решению дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые примеры расчетов с использованием прямых методов вариационного исчисления рассмотрены в 8. Точное аналитическое решение общих уравнений изгиба пластины может быть выполнено лишь в частных случаях — для прямоугольных и круглых пластин постоянной толщины, а также для пластин, [c.67]

Наиболее часто в практике используют расчеты, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Выше, в 5 этот принцип был использован для вывода фференциального уравнения изгиба пластины и граничных условий. Ниже будет рассмотрено применение некоторых прямых методов вариационного исчисления (метода Ритца, метода Бубнова—Галеркина и метода Канторовича). [c.96]

В 1943 г. К. Бауер [1] дал приближенное решение задачи о подшипнике ограниченной длины с постоянной нагрузкой прямым методом вариационного исчисления. [c.24]

Метод Ритца. Вариационная формулировка задачи о равновесии, заключающаяся в принципе минимума потенциальной энергии системы, подсказывает возможность применения для решения задач теории упругости прямых методов вариационного исчисления. [c.153]

Основной целью разрабатываемой методики является получение приближенных решений при помощи прямых методов для конечного, не слишком большого числа моментных соотношений. В этом случае задача об условном максимуме энтропии не вырождается и формулируется по существу как изопериметриче-ская задача вариационного"исчисления. [c.42]

Второй способ состоит в применении прямых методов решения стохастической задачи, сформулированной как задача вариационного исчисления. В этом случае приближенные выражения совместных плотностей вероятности задаются в явном виде, что позволяет для вывода моментных соотношений использоватй корреляционный и спектральный методы без привлечения теории марковских процессов. [c.88]

Вместе с тем вариационная формулировка йадач термоупругости дает возможность использовать прямые методы вариационного исчисления, что при одновременном применении ЭВМ весьма эффективно, . - [c.55]

Одно из возражений, которое часто приводится в дискуссиях и спорах о программах современного курса теоретической механики, состоит в том, что развитие интеллекта в какой-то мере повторяет историю цивилизации, а поэтому выбрасывание кусков, глав и разделов курса, читавшихся и обдумывавшихся в свое время корифеями механики XVIII—XIX вв., не дает ничего хорошего ни прочных знаний, ни овладения методом, ни качества научного мышления. Эта аргументация хороша для античного периода развития науки, когда настояш.ий инженер или ученый должны были знать весь объем содержания широкого круга дисциплин (в идеале так, как знал Аристотель). Вероятно, для специалиста по вариационному исчислению не будут лишними теория чисел или теория кватернионов, но для этого специалиста разумнее изучить глубоко новые идеи вариационного исчисления (скажем, достаточные условия абсолютного минимума) и те методы высшего анализа, которые формируют профессионала с глубоким пониманием особенностей своей узкой специальности. И часы надо отдать не теории чисел и кватернионам, а тем разделам математики, которые определяют глубокое понимание сути современного состояния данной области знания. Скажем прямо, многим немеханическим специальностям совершенно не подходят наши рекомендованные программы по сокращенному курсу теоретической механики, так как эти программы получены вычер-киванием наиболее интересных разделов из полного классического курса механики. Мы обязаны критически (зная специфику данного вуза) рассмотреть содержание и направленность всего курса механики и разработать (создать) такие варианты новых программ, в которых из классического наследства удержано то, что жизненно необходимо для будуш,его профессионала (инженера или ученого). [c.45]

В работе Франкля и Келдыша использовался некий итерационный процесс существование при этом было доказано только для достаточно малых значений М . Доказательство Шиффмана основано на прямых методах вариационного исчисления исходным пунктом является принцип Бейтмена — Кельвина. В его работе использован остроумный прием, который помогает установить существование течения, дающего минимум соответственному функционалу. [c.142]

Применительно к задачам оптимального профилирования сопел для воздушно-космических систем (ВКС) интересны не только плоские симметричные, но и плоские несимметричные сопла, которые кроме тяги создают подъемную силу и момент. В ЛАБОРАТОРИИ решение вариационных задач, включающих эти характеристики или их комбинации в качестве оптимизируемого или фиксируемого функционала ( изопериметрического условия ), с помощью МНК выполнила Г.Ю. Миско [42]. Прямыми методами вариационного исчисления оптимальное профилирование несимметричных сопел ВКС успешно осуществили М. К. Аукин и Р. К. Тагиров [43, 44]. Прямые методы позволили учесть трение и вытесняющий эффект пограничного слоя (последний для сопел ВКС увеличивает тягу) и осуществить оптимальный выбор наклона короткой (нижней) стенки несимметричного сопла. [c.367]

Большое место среди вычислительных методов занимают процедуры, связанные с постепенным уменьшением минимизируемой величины / за счет направленной деформации допустимых траекторий х ( ), вызванных подходяш,им изменением допустимых управлений и 1). Эти методы обычно так или иначе связаны с известными прямыми методами вариационного исчисления, а также с новыми методами нелинейного программирования. В частности, к числу таких методов относится процедура, связанная с последовательностью элементарных операций, позволяющих определять эффективно отрезки оптимальных траекторий, связывающих близкие точки, и таким путем строить из этих отрезков последовательность траекторий, сходящихся к оптимальному движению. Наконец, эффективным методом численного решения задач об оптимальном управлении являются градиентные методы, опирающиеся на непосредственное вычисление и оценку вариации Ы и восходящие, таким образом, к работе Д. Е. Охоцимского (см. 3, стр. 183). Этот метод оказывается работоспособным в тех, например, случаях, когда удается эффективно выразить зариацию Ы минимизируемой величины I в виде [c.200]

Наконец, следует еще упомянуть вычислительные процедуры, которые строились на основании прямых методов вариационного исчисления, подобных методу Ритца, а также специальные вычислительные процедуры, использующие идеи выпуклого нелинейного программирования и в том числе условия оптимальности, включающие соотношения типа минимакса. [c.200]

Задачи разыскания функций, дающих минимум определенного интеграла, рассматриваются в вариационном исчислении. Здесь мы остановимся только на так называемом прямом методе вариационного исчисления, начало которого было положено Ри Щ1ем при решении задачи об изгибе и колебаниях пластинки, применительно к интегралу (11.21). [c.331]

Это достигается применением прямых методов вариационного исчисления, в частности метода Ритца, который заключается в предварительном выражении поля скоростей в виде ряда с неопределенными коэффициентами. [c.127]

В этой, ставшей уже классической работе Карман, следуя общей идее прямых методов вариационного исчисления, в частности, вполне себя к тому времени уже оправдавшего метода Ритца, предложил заменять истинные профили продольных скоростей в сечениях погранич- [c.620]

Движение, определяемое с помощыо вариационного исчисления Приравнивая нулю первую вариацию функций V или 5 (при заданных условиях), полученную согласно правилам вариационного исчисления, можно найти координаты qi, q ,. .. как функции t. Среди этих функций времени, конечно, находятся движения, определяемые уравнениями Лагранжа, так как по только что доказанному онн обращают первые вариации в нуль. Но возможно, что могут существовать другие пути (хотя они будут противоречить законам механики), переводящие систему из начального положения в конечное, при которых функции V или 5 будут иметь минимум. Легко видеть, что эти пути должны существовать, так как два положения могут быть такими, что невозможно выпустить систему из начального положения с данной энергией так, чтобы она прошла через конечное положение. Так, предположим, что требуется бросить тяжелую частицу нз начальной точки А с данной скоростью таким образом, чтобы она прошла через точку В на горизонтальной прямой, проходящей через точку А и отстоящую от нее на расстоянии, превышаю щем наибольшую горизонтальную дальность. Известно, что это не может быть сделано в реальных условиях бросания в реальное время. Тем пе менее должны существовать некоторые пути из А в В, на которых действие будет минимальным. Покажем теперь что 1) стандартные методы вариационного исчисления, которые основаны на предположении, что вариации независимых координат могут иметь любой знак, приводят только к уравнениям Лагранжа 2) существуют некоторые другие пути движения, которые так расгюложены, что координаты (по крайней мере вдоль некоторой частп пути) нельзя варьировать в какую-то одну сторону без введения мнимых величин и что еслн эти недопустимые вариации исключить, такие пути могут давать максимум или минимум. [c.343]

Для рассмотренного примера при использовании метода взвешенных иевязок и вариационного метода [11] получаются одинаковые результаты. Однако еслг бы использовались другие весовые функции, то совпадения можно было бы и не получить, Тот факт, что прямой метод решения, не требуюш.ий знания вариационного исчисления, приводит к тем же самым окончательным результатам, может быть сам по себе интересен читателям и указывает на возможность выбора различных методов решения. [c.55]

Доказанные положения носят в упругости названия принципов Лагранжа (1=тт1к) и Кастильяно (/=тах/с) и удобны для приближенных расчетов и оценок (прямой метод вариационного исчисления). [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...