Численное интегрирование в методе конечных элементов

Численное интегрирование в методе конечных элементов [c.186]

Преимущество применения численного интегрирования в методе конечных элементов [3] [c.173]

Численное интегрирование становится все более важной частью метода конечных элементов. На ранних стадиях метода одно из основных его преимуществ заключалось как раз в обратном, а именно интегрирование полиномов на треугольниках и прямоугольниках было основано на точных формулах. В настоящее время, по-видимому, особая простота полиномов более не играет существенной роли и рациональные функции, и функции даже еще более общего вида так же удобны. Фактически же нет ничего более неверного залог успеха численного интегрирования в методе конечных элементов — присутствие полиномов. [c.213]

Интегрирование здесь, как уже было сказано, выполняется численно на ЭВМ. Некоторые формулы численного интегрирования, применяемые в методе конечных элементов, будут приведены ниже. [c.165]

Существенным преимуществом применения в методе конечных элементов численного интегрирования является возможность составления универсальной вычислительной программы. Можно заметить, что для заданного класса задач матрицы всегда одинаково выражаются через функцию формы и ее производные [см., например, [c.173]

Основная сложность при решении уравнений заключается в том, что задачи статики стержней относятся к двухточечным краевым задачам, когда решение должно удовлетворять определенным условиям в начале и в конце интервала интегрирования, в отличие от одноточечных краевых задач — задач Коши, когда все условия, которым должно удовлетворять решение, известны в начале интервала интегрирования. Поэтому хорошо разработанные методы решения систем дифференциальных линейных (и нелинейных) уравнений для одноточечных задач использовать для решения двухточечных задач в общем случае нельзя. В настоящее время имеется ряд методов численного решения линейных двухточечных задач (имея в виду стержни), которые получили распространение в расчетной практике метод начальных параметров, метод прогонки [2], метод конечных элементов [15]. Точное аналитическое решение линейных уравнений равновесия стержня, например (1.112) — (1.115), возможно только для случая, когда элементы матрицы Ах— постоянные числа [этот случай будет рассмотрен в 5.2, где изложены теория и методы расчета винтовых стержней (цилиндрических пружин)]. Для уравнений с переменными коэффициентами возможны только численные или приближенные методы решения. [c.61]

Подробное изложение метода конечных элементов с рассмотрением различного типа элементов, изложением методов численного интегрирования для получения матриц жесткости и векторов нагрузки приведено в [3, 33, 36, 72, 85] и др. Там же изложены принципы и примеры построения конечно-элементных программ для ЭВМ. [c.222]

В приложения вынесены описания и тексты используемых подпрограмм вычисления коэффициентов квадратурных формул, элементарных операций матричной алгебры, метода конечных элементов и численного интегрирования систем дифференциальных уравнений. [c.4]

Эта задача используется в качестве тестовой для демонстрации излагаемого варианта метода конечных элементов применительно к случаю несимметричного нагружения. С этой целью была исследована только нижняя, наиболее нагруженная четверть оболочки (см. заштрихованный участок оболочки на рис. 5). На нижнем крае исследуемого участка взято граничное условие б = р — О, а на верхнем — значения, полученные путем численного интегрирования в работе [9] [c.122]

Предыдущие 18 глав книги следует рассматривать как введение в прикладные аспекты метода конечных элементов. В них даны обзор интерполяционных свойств базисных элементов и вывод основных уравнений метода как аналитически, так и с помощьк> численного интегрирования. Рассмотрены вопросы реализации метода на ЭВМ и получены численные решения некоторых простых задач с помощью ЭВМ. [c.374]

Если при решении задач теории упругости в перемещениях методом конечных элементов точность численного интегрирования достаточна для того, чтобы точно вычислить объем элемента, то процесс сходится [1, 2]. [c.171]

Использование метода конечных элементов в САПР приводит к вычислению определенных интегралов на отрезках прямых, дуг кривых или в некоторых областях. При интегрировании по области можно использовать интегрирование по каждому ее элементу, тогда для интегралов, упомянутых выше, необходимо использовать эффективные и точные методы численного интегрирования. [c.82]

Вторая идея специфична для метода конечных элементов и состоит в использовании специальных свойств полиномов. Мы уже отмечали, как к полиномиальным решениям применяется кусочное тестирование. Ситуация аналогична численному интегрированию, где точность зависит от степени полиномов, интегрируемых точно. Отметим еще одно свойство, полезное для анализа изменений области полиномы не могут значительно меняться в полосе между заданной областью Й и ее аппроксимацией Й . [c.204]

Предположим, что I минимизируется по всем пробным функциям v . Тогда минимизирующая функция опре--деляется приближенной системой метода конечных элементов KQ = F, в которой матрица жесткости и вектор нагрузки найдены численным, а не точным интегрированием. Это и есть система (не считая ошибок округления), на самом деле решаемая с помощью ЭВМ. Наша цель — оценить разность — й , и мы повторим здесь основную мысль нет необходимости в близости энергий / и / для того, чтобы разность u — была мала. [c.214]

В терминах конечных элементов нера венство (12) допускает следующую интерпретацию. Предположим, что р, q и f заменены их интерполянтами в пространстве метода конечных элементов. Это возмущение — величина порядка /г . Если результирующую задачу решить точно методом конечных элементов (в интегралах по элементарным областям появятся произведения трех полиномов), то на основании следствия ы — i = О (/г ). Таким образом, интерполяция представляет собой возможную альтернативу численного интегрирования и ей уделяется львиная доля внимания в литературе по численному анализу Дуглас и Дюпон [Д10] успешно исследовали даже нелинейные параболические задачи. В технических расчетах, однако, всегда предпочиталось непосредственное численное интегрирование для изопараметрических элементов или элементов оболочек по существу вы- [c.220]

Для изопараметрических элементов граница в плоскости т] прямолинейна и все граничные интегралы вычисляются непосредственно численным интегрированием. В действительности основное заключение теории для краевой задачи второго порядка, по-видимому, таково изопараметрический метод устанавливает локальное преобразование координат в направлении нормали и по касательной, точнее и удобнее того, которое достигалось конечно-разностным методом. [c.238]

Теоретическую основу определения времен распространения волн в произвольно неоднородной среде составляют уравнение эйконала, принципы Гюйгенса и Ферма. Конкретные алгоритмы представлены численными решениями, которые можно сгруппировать в три класса трассирование лучей, интегрирование уравнения эйконала, и конструирование волновых фронтов. Вычислительный аппарат - как правило, метод конечных разностей, реже - методы конечных элементов или Рунге-Кутта. [c.23]

Величину вращающего момента, необходимую для расчета крутильной жесткости муфты, можно получить численным интегрированием произведения тг по толщине оболочки в любом, например экваториальном, сечении. На рис. 5.10, а показано распределение касательных напряжений т в резиновой оболочке с модулем упругости = 5 МПа при закручивании ее на угол ф = 0,1 рад. Для сравнения на рис. 5.10,6 приведена картина распределения касательного напряжения т, полученная согласно имеющейся методике расчета муфт с торообразной оболочкой [27], в которой использованы методы теории тонких оболочек. Сопоставление результатов с очевидностью показывает, что применение в расчетах метода конечных элементов позволяет получить физически более обоснованную картину напряженного состояния. В отношении интегральной характеристики напряженного состояния — величины кру- [c.112]

Покажем, как с использованием системы (4.133) можно получить матрицу жесткости элемента [/С ] и вектор приведенных узловых сил Яп - Для этого с помощью методов численного интегрирования получим на участке кольцевого элемента частотное и фундаментальные решения и представим компоненты кинематических и силовых факторов в конечном и начальном сечеииях (см. 3.6) в виде связи [c.155]

Значения коэффициентов ai, й2 зависят от числа трещин в одной точке, угла наклона трещин, значения напряжений на главных площадках. Если для решения нелинейных уравнений применяется метод последовательных нагружений (для построения матрицы жесткости), то до появления трещин используется выражение (3.41), а после появления трещин выражение (3.43). Как уже указывалось, для решения нелинейной задачи правомерно использование координатных функций, доставляющих сходимость линейной задаче, т. е. для прямоугольного элемента балки-стенки могут быть использованы координатные функции (1.20), а для треугольного— (2.6). Практика расчетов показывает, что достаточно хорошие результаты получаются при интегральной оценке напряженного состояния г конечного элемента, т. е. когда физические зависимости, определенные в центральной точке, распространяются на всю область Qr- От этой предпосылки безусловно можно отказаться, применяя для выражения Kii численное интегрирование, так как на основе введенных координатных функций всегда имеется возможность определить [c.90]

Чтобы проиллюстрировать свойства сингулярных решений и технику их интегрирования, мы, насколько это возможно, нашли в конечном виде интегралы от этих фундаментальных решений по линейным элементам и треугольным ячейкам. Соответствуюш,ие выкладки, как может показаться на первый взгляд, являются не более чем скучными упражнениями, однако вычисление подобных вспомогательных интегралов (безразлично как — численными или аналитическими методами) является неотъемлемой частью рассмотренных методов и определяет в конечном счете их точность и эффективность. Каждый из этих интегралов, безусловно, может быть найден численно, а для самых общих процедур, в которых используются криволинейные элементы, численные квадратуры становятся уже совершенно неизбежными. [c.98]

Приращения упругопластических деформаций и деформаций ползучести определяются в таком числе точек в окружном направлении, которое обеспечивает разложение их в ряды Фурье для заданного числа гармоник с необходимой точностью методом трапеций. Интегрирование по меридиональному сечению конечного элемента осуществляется численно с использованием двухточечных квадратур Г аусса. [c.171]

Другой способ заключается в том, что положения точек не задают заранее. Их определяют из условия, чтобы квадратурная формула (5.91) при фиксированном числе п имела максимально высокий порядок. Здесь в качестве неизвестных выступают не только весовые коэффициенты а , но и значения 1г, и можно потребовать, чтобы формула (5.91) давала точный результат для функций 1, I, 1 ,. .., Получающиеся отсюда 2п уравнений позволяют найти 2п неизвестных at и Формулы численного интегрирования, построенные таким способом, имеют порядок 2п — 1 и носят название квадратурных формул Гаусса. Интегрирование по Гауссу требует при одинаковой степени точности почти вдвое меньшего числа точек, чем в случае использования формул Ньютона—Котеса. Вычисление подынтегральных функций связано обычно со значительными затратами машинного времени, вследствие чего формулы Ньютона — Котеса в методе конечных элементов практически не применяются. [c.188]

Кесаван, Ваннинатхан [1] математически исследовали эффект численного интегрирования в сочетании с использованием изопараметрических конечных элементов для дискретных задач второго порядка, получающихся с помощью метода, описанного в разд. 7.2. Заметим, что этот метод (с использованием численного интегрирования и изопараметрических конечных элементов) был реализован также Бурга [1]. Оказывается, что получаемые результаты предпочтительны по сравнению с результатами, которые дают обычные методы конечных элементов. С практической точки зрения ясно, что такой подход существенно проще, чем прямое применение численного интегрирования и изопараметрических конечных элементов к более стандартной дискретизации бигармонической задачи. [c.394]

Большое количество задач упругодинамического роста трещин было решено численно методом конечных элементов. Как и в случае методов конечных разностей, подходы с применением метода конечных элементов различают по тому, каким образом манипулируют с полями в окрестности вершины треш,ины. Чаще всего для этой цели применяют либо моделирование процесса роста трещины с постепенным уменьшением усилий в соответствующих узлах конечно-элементной сетки, включение подвижного элемента, интерполирующие функции для которого берутся из решений континуальных задач с напряженным состоянием окрестности вершины трещины, или же используют контурный интеграл энергии. После конечно-элементной дискретизации по пространственным переменным необходимо произвести интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений по вре-.мени для узловых переменных. Поскольку динамические поля, соответствующие быстрым процессам роста трещины, содержат большое число высокочастотных составляющих, то для получения высокой точности шаги по времени должны быть небольшими. Было установлено, что вследствие этого естественного ограничения на величину шагов по времени эффективными во многих случаях оказываются условно устойчивые явные схемы интегрирования по времени, использующие процедуру диагона-лизации матрицы масс. [c.121]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

Формирование системы осуществляется в порядке обхода конечных элементов, численное интегрирование по каждому из которых на итерации с использованием двухточечных квадратур Гаусса осуществляется один раз. Причем количество перемещений в каждом узле может быть равно двум или трем в зависимости от исходной информации задачи. По мере накопления части матрицы At,- с учетом ее структуры в отведенную порцию оперативной памяти ЭВМ осуществляется прямой ход по методу квадратного корня и затем записывается во внешнюю память. Такой порядок решения системы экономит число обменов с внешней памятью. Ширина ленты матрицы коэффициентов может изменяться от строки к строке. Результирующее решение получается накоплением Aui, Аа >, Aefy Aeiy от шага к шагу. Перемещения вычисляются в узлах конечных элементов, а деформации и напряжения — в центрах конечных элементов, где они имеют наибольшую точность [53]. [c.98]

Цоявление ЭЦВМ позволило перейти от поиска решений отдельных упругопластических задач к разработке численны х методов решения широкого класса задач [51. К ним относятся сеточные методы, использующие конечно-разностную аппроксимацию нелинейных дифференциальных уравнений [6], численное интегрирование таких уравнений методом прогонки с ортогона-лизацией решений [71, сведение нелинейных дифференциальных уравнений к интегральным [3, 4, 81, применение метода конечных элементов к физически нелинейным задачам и другие методы [5]. Расчет ведется последовательными прибли,жениями с использованием метода переменных параметров упругости [8]. Каждый из этих методов имеет свои достоинства, однако их реализация для узлов и конструкций в инженерной практике оказывается значительно более сложной по сравнению с упругим расчетом тех же конструкций. Этим объясняется традиционный подход к оценке прочности узлов, работающих в условиях упругопластического деформирования, при котором ограничиваются данными их упругого расчета [1]. При проведении поверочного расчета конструкций нормами рекомендуется определять напряжения в предположении упругого поведения материалов такжё и в том случае, если напряжения,. определенные по расчету, превышают предел текучести. При этом для удобства выполнения расчетов, принятых в инженерной практике, вместо упругопластических деформаций вводятся условные напряжения, определяемые упругим расче том [2]. [c.123]

В шести предыдущих главах при обсуждении различных областей применения метода конечных элементов использовались симплекс-элементы. Другой подход к прикладным задачам состоит в применении элементов высокого порядка, т. е. комплекс- или мультиплекс-элементов. Напомним, что число узлов в таких элементах превышает размерность решаемой задачи более чем на единицу. При таком подходе для достижения заданной степени точности решения требуется меньшее количество элементов, что приводит к сокращению числа перфокарт с исходными данными об элементах а это в свою очередь уменьшает вероятность ошибки при обработке данных. Применение элементов высокого порядка не всегда, однако, ведет к сокращению полного времени счета на ЭВМ. Для составления матриц элемента необходимо использовать методы численного интегрирования, которые требуют выполнения большого числа арифметических операций и, следовательно, увеличивают полное время счета, затрачиваемое на обработку одного элемента. Однако эти дополнительные затраты машинного времени компенсируются, вероятно, экономией времени в процессе обработки исходных данных. [c.242]

Пока достаточно отметить, что метод конечных элементов особенно хорош при решении задач со сложными жесткостными свойствами материала. Из дальнейшего будет видно, что матрица [Е (или обратная к ней матрица) легко обрабатывается в алгоритмах численного интегрирования. Ограничения, накладываемые на сложность и представления жесткостных характеристик материала, часто диктуются практикой для большинства практических за ач трудно располагать большей информацией о механических характеристиках материала, чем полученной в результате эксперимента информацией о зависимости напряжений от деформаций для орто-тропного материала в двумерном случае. Исключение составляют слоистые пластины с ортотропными слоями (механические характеристики слоев можно определить экспериментально, а затем вычислить характеристики всей слоистой пластины) и композитные материалы (например, стекло-волокнистые композиты). Благодаря особой роли композитов как ортотропных материалов, прихменяе-мых на практике, публикации, касающиеся их разработки и использования, представляют отличный источник информации для детального построения вполне общих соотношений, задающих жест-костное поведение материала (см. [4.81). [c.118]

Практический подход к вопросу сходимости дает выборочный тест Айронса [19, 20], который описывается здесь в общих чертах для задач механики твердого тела. В простейшей форме теста группа элементов, или кусок как минимум с одним невнутренним узлом, полностью окруженным элементами, нагружается на границе силами, соответствующими постоянным деформациям на всем куске. Если метод сходится, то по выборочному тесту вычисленные методом конечных элементов перемещения, деформации и напряжения должны согласовываться с приложенной постоянной деформацией. Тестом может служить также использование приложенных перемещений, соответствующих состоянию постоянной деформации на всем куске. Применимы также выборочные тесты более высокого порядка, требующие на всем куске согласования решения с более -сложными нагрузками, предписанными на границе. Выборочный тест не ограничивается полными -или согласованными элементами, а может также применяться для определения того, дают ли сходящееся решение элементы, не удовлетворяющие этим крите риям. Тест, разработанный на основании инженерной интуиции был обоснован математически Стренгом [21] как необходимый достаточный признак сходимости в следующих случаях а) ког да используются несогласованные элементы б) когда в фор мулы входит численное интегрирование. Как недавно указа/ Оливейра [22], этот признак можно распространить иа задачи отличные от задач механики твердого тела. [c.177]

В теории численного интегрирования известно много способов определения интегралов, тем не менее применительно к методу конечных элементов и к задачам апостериорной обработки (вычисление интегралов) метод Гаусса имеет преимущества при интегрировании на элементах, так как он требует меньше вычислений и обеспечивает высокую точность, а метод Ньютона Котеса лучше для вычисления криволинейных интегралов, где применение эквидистантных координат упрощает расчеты, чего нет в методе Гаусса Напомним, наконец, что для п точек на одномерном сегменте метод Ньютона-Котеса имеет порядок (и — 1), тогда как метод Гаусса-(2и — 1) [c.87]

За недостатком места изучение изменения области, численного интегрирования и округления ограничено стационарным уравнением Ьи = /. Результаты для задачи с начальными условиями и задачи на собственные значения очень похожи для квадратурных ошибок эти обобщения теории осуществлены Фиксом (Симпозиум по методу конечных элементов в Балтиморе). [c.139]

Приведенный список содержит также ряд численно интегрируемых элементов, но мы предпочитаем не рассматривать-численное интегрирование как производящее несогласованные элементы. Влияние такого интегрирования на самом деле состоит в замене истинного ф ункционала /(и) новым, но разность между ними не содержит граничных интегралов. Поэтому численное интегрирование и ошибку, которую оно вносит в аппроксимацию Ф метода конечных элементов, мы изучим отдельно. [c.213]

Замечание 4.1.3. Абстрактная оценка ошибки (4.1.27) обобщает абстрактную оценку ошибки, установлепную в лемме Сеа (теорема 2.4.1) в случае копфор.мпых методов конечных элементов, так как при отсутствии численного интегрирования мы имели бы aft(-, -) = а(-, ) и / (.) = /( ) [c.186]

Исследования этих вопросов, более непосредственно связанные с методом конечных элементов, см. у Бабушки, Азиза [1, гл. 10], Грегуара, Неделека, Планшара [1], Стренга, Фикса [2, гл. X], Фикса [2] (где, в частности, изучен эффект численного интегрирования). Фикса [4]. [c.282]

Мы люглн бы также принять во внимание эффект численного интегрирования и (или) э ект аппроксимации границы в случае криволинейных областей. Мы предлагаем, чтобы классификация, соответствующая таким нарушениям вариационных принципов, составляла бы вторичную классификацию методов конечных элементов, тогда как классификация приведенной ниже таблицы, т. е. основывающаяся на постановке задачи, составляла бы основную классификацию методов конечных элементов. [c.409]

Численное интегрирование является важной частью метода конечных элементов, поскольку без него нельзя обойтись при решении задач с переменными коэффициентами и правыми частями, для которых точное вычисление интегралов не представляется возможным. В этом параграфе, как и раньше, предполагается, что замыкание области П является в точности объединением (1.11) ячеек со свойством (1.12). Тогда для вычисления коэффициентов алгебраической системы метода Бубнова — Галёркина используется кубатурная схема каждый элемент матрицы или правой части имеет вид [c.104]

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных классическими способами, т. е. интегрированием с соответствующими граничными условиями, для большинства основных задач невозможно. Поэтому для приведения непрерывной задачи к дискретному виду и ее решения требуются методы численного анализа. Значения неизвестных определяются на большом, но конечном числе узлов как в пространстве, так и по времени, чтобы получалось по возможности точное решение уравнений. В программе FIELDAY используются метод конечных элементов для уравнения Пуассона комбинированный метод (конечно-разностный/ко-нечных элементов) для уравнений непрерывности [16.10]. Скорость изменения плотности подвижных носителей во времени аппроксимируется по методу Эйлера. Полученные уравнения линеаризуются затем одним из двух методов. Первый предусматривает разделение системы трех дискретных уравнений уравнения решаются последовательно [16.11]. Применение второго, более сложного метода подразумевает одновременное решение всех уравнений с линеаризацией по методу Ньютона [16.12, 16.13]. Оба метода приводят к матричным уравнениям большой размерности с сильно разреженными матрицами для получения окончательного результата эти уравнения необходимо решать многократно. [c.464]

В общем случае поставленная задача представляет собой пространств, задачу У. т., решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитич. решения имеются лишь для нек-рых частных задач об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конич. тела и др. Т. к. ур-ния У. т, являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд аналитич. методов решения пространственной задачи У. т. вариационные методы (Ритца, Бубнова — Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т.— одна из н-аиболее актуальных проблем У. т. [c.788]

Математические модели называют функциональными, если они отражают процессы, протекающие в объекте при его функционировании, или структурными, если они отражают топологические или геометрические свойства объекта. Типичными функциональными моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных с заданными краевыми условиями. Для их решения в САПР применяют методы конечных разностей или конечных элементов. Функциональные модели на макроуровне представляют собой обыкновенные дуфференциальные уравнения. Наибольшее распространение для их решения получили неявные или комбинированные методы численного интегрирования. Для моделирования на метауровне наравне с обыкновенными дифференциальными уравнениями используют модели массового обслуживания и логические уравнения. [c.80]

Как уже сказано выше, при вычислении матрицы жесткости метод интегрирования Гаусса оказьгеается наиболее экономичным. Однако в других случаях иногда целесообразно использовать иные схемы интегрирования. Например, в динамических задачах приходится рассчитывать так называемые матрицы масс конечных элементов. Если точки интегрирования совпадают с узлами конечного элемента, то матрица масс оказывается диагональной, что очень важно для разработки экономичных процедур динамического расчета конструкций. Подробнее вопрос о вычислении матрицы масс конечных элементов будет рассмотрен в гл. 9 здесь же в этой связи остановимся еще на двух схемах численного интегрирования. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...