Теория Уравнения — Системы

В технических же задачах часто требуется найти реакции связей. Для их нахождения следует применять общие теоремы динамики системы, т. е. составить из этих теорем уравнения движения системы с силами реакций затем подставить в эти уравнения найденные из уравнений Аппеля обобщенные координаты в функциях времени и найти искомые реакции. Ниже приведены уравнения движения для систем с неголономными связями, позволяющие находить не только движение системы, но и реакции связей. [c.381]

Полученное уравнение выражает следующую теорему моментов для системы производная повремени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра. [c.292]

Удобство применения общих теорем динамики заключается в возможности упростить интегрирование дифференциальных уравнений движения системы. Однако эти общие теоремы могут (как показано выше) применяться только в некоторых случаях. Удобно и то, что в формулировки общих теорем динамики не входят внутренние силы, определение которых обычно связано со значительными трудностями (это замечание о внутренних силах в равной мере относится к дифференциальному уравнению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальным уравнениям плоского движения твердого тела и динамическим уравнениям Эйлера). Лишь в формулировку теоремы об изменении кинетической энергии системы материальных точек входят не только внешние, но и внутренние силы (в частном случае неизменяемой материальной системы, например абсолютно твердого тела, и в этой теореме фигурируют только внешние силы). [c.544]

Дифференциальные уравнения движения системы могут быть также составлены с помощью общих теорем динамики. [c.603]

Первое уравнение преобразованной системы полезно сопоставить с аналогичным уравнением в теории сферического маятника ( 3.12). Сходство этих уравнений обусловливает сходство методов исследования движения. Закон u t) определяется свойствами функции /(и). [c.480]

Знание функции 5 действия по Гамильтону дает возможность найти закон движения системы. Функция 8 удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби. Тем самым имеется возможность с помощью методов теории уравнений в частных производных исследовать свойства движения динамических систем. [c.644]

Следует, однако, отметить, что этот порядок решения второй задачи динамики механической системы обычно не применяется, так как он слишком сложен и почти всегда связан с непреодолимыми математическими трудностями. Кроме того, в большинстве случаев при решении динамических задач бывает достаточно знать некоторые суммарные характеристики движения механической системы в целом, а не движение каждой из ее точек в отдельности. Эти суммарные характеристики движения механической системы определяются с помощью общих теорем динамики механической системы, являющихся следствиями уравнений (4). К числу этих теорем относятся теорема об изменении количества движения, теорема об изменении кинетического момента и теорема об изменении кинетической энергии. [c.570]

I. В электромагнитной теории света из уравнений Максвелла (система уравнений 1-го порядка) получается уравнение второго порядка [c.356]

Если выбрать аппроксимирующие функции, зависящие от всех трех переменных х, у, г а в температурной задаче зависящие и от температуры), а в качестве неизвестных принять постоянные коэффициенты, то для их нахождения получим систему алгебраических уравнений. Приведение задач теории упругости к системе алгебраических уравнений носит название собственно вариационного метода, приведение к системе дифференциальных уравнений — смешанного вариационного метода [18], [19], [50]. [c.74]

Дальнейшим шагом в развитии метода обобщенных переменных явилось создание теории локального моделирования. Согласно этой теории определяющими размерами системы являются некоторые динамические (изменяющиеся по длине) интегральные параметры пограничного слоя, характеризующие распределение скорости и температуры в данном сечении (локальное моделирование). Эти параметры получаются при интегрировании дифференциальных уравнений пограничного слоя. [c.27]

Большинство идей, которые используются для анализа и решения уравнений и системы уравнений, связано с методом итераций. Для изложения существа метода и доказательства необходимых теорем используем понятие метрического пространства, и только затем применим все изложенное к тем частным случаям, которые возникают при решении различных видов систем уравнений. [c.67]

Указанные основные идеи приложения теории функций комплексного переменного к решению волнового уравнения (9.1) имеют обширные приложения в задачах распространения колебаний, связанных с решением одного волнового уравнения или системы волновых уравнений. [c.446]

Общие теоремы динамики позволяют нам, не исследуя движения каждой точки механической системы, находить общие динамические характеристики движения системы. Эти теоремы устанавливают связь между данными динамическими характеристиками (количеством движения, кинетическим моментом, кинетической энергией) и действующими на систему силами. Применение теорем избавляет от необходимости каждый раз при непосредственном использовании дифференциальных уравнений движения системы точек производить операции суммирования и интегрирования, которые уже были выполнены при выводе данных теорем. При некоторых условиях для действующих на систему сил теоремы позволяют просто получить первые интегралы, т. е. соотношения, в которые не входят производные второго порядка от координат по времени. [c.172]

Теория подобия применяется в том случае, если известны дифференциальные уравнения, описывающие рассматриваемый процесс, но решить эти уравнения в общей постановке невозможно. Теория подобия дает возможность из этих дифференциальных уравнений получить выражения безразмерных комплексов (чисел или критериев) число безразмерных комплексов меньше числа переменных величин. Теория подобия устанавливает также, что решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений может быть представлено как функциональная связь критериев подобия дифференциального уравнения (теорема [c.277]

Сложность точного анализа этой задачи вызвала появление различного рода приближенных теорий, которые обычно строятся следующим образом. Делается некоторое кинематическое предположение о характере распределения перемещений, составляется функционал действия по Гамильтону, варьированием этого функционала получается дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений задачи (идея чрезвычайно близкая к той, которая лежит в основе построения технической теории изгиба балок и пластин). Простейшая теория, которая будет изложена ниже, основывается на уравнении, выведенном еще Рэлеем. Это уравнение содержит предположение элементарной теории о сохранении плоских сечений, но принимает во внимание инерцию поперечного движения элементов стержня. Направим ось Xi по центральной оси стержня произвольного поперечного сечения, тогда оси и Хз будут лежать в плоскости поперечного сечения. Полагая деформацию = независящей от Хг х , найдем вгг = зз = —vmi, i, следовательно, перемещения равны [c.449]

Первые две группы уравнений остаются в теории пластичности теми же, что и в теории упругости, а третья группа уравнений представлена системами уравнений (10.32) или (10.33), или для пластических составляющих деформаций (10.36), (10.37). [c.286]

Это равенство, когда и —мысленное бесконечно малое смещение, можно рассматривать как уравнение принципа возможных перемещений в теории упругости, эквивалентное системе уравнений (5.7). [c.347]

Ни одна из опубликованных систем уравнений не допускает строгого аналитического решения, поэтому задачи решаются методом теории подобия. Анализ системы уравнений (1.14) —(1.18) и (6.30) — (6.33) для процесса теплообмена при кипении в большом объеме приводит к следующим связям между обобщенными переменными [c.186]

Полагая число групп равным п, мы получим, написав уравнения движения п центров тяжести, Зл дифференциальных уравнений второго порядка, — по три для каждого центра тяжести. Эти уравнения, интегрирование которых составляет задачу п тел, допускают семь известных первых интегралов, которые мы укажем как приложения общих теорем о движении системы. Современные средства анализа не допускают выполнения интегрирования этих уравнений. Тем не менее в небесной механике оказалось возможным при помощи этих уравнений вычислить с достаточной степенью точности движение центров тяжести небесных тел благодаря тому, что массы всех тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца. Так, масса Юпитера, наибольшая во всей системе, не составляет тысячной доли массы Солнца, Приведя число тел к трем, получим знаменитую задачу трех тел. [c.349]

Преимущество теории эффективных модулей и ее современных аналогов состоит в том, что дискретный характер истинной структуры композита описывается в рамках однородного континуума. Таким образом, эта приближенная теория позволяет работать лишь с одной системой уравнений, описывающих поведение композиционной среды как единого целого, вместо того чтобы иметь дело с несколькими системами полевых уравнений (по системе для каждой неоднородности элемента). Для широкого класса условий нагружения теория эффективных модулей оказывается вполне удовлетворительной. Однако она становится малопригодной в таких задачах статики, в которых главное внимание обращается на вычисление локальных значений полевых переменных, как, например, при исследовании разрыва [c.355]

Эта книга является инженерным учебником, и общая теория изложена в ней довольно элементарно. Однако колебания систем с двумя и тремя степенями свободы изложены подробно, и многие из рассмотренных примеров полностью решены. Эти сравнительно простые системы дают ясное представление о таких понятиях, как главные колебания, резонанс и т. д., что часто остается менее ясным при абстрактном изложении. В книге рассмотрены также некоторые специальные вопросы, такие, как приближенное решение векового уравнения, или теория малых колебаний системы вблизи установившегося режима движения. [c.376]

Ньютон объяснил орбиты планет при помощи скалярной функции поля, гравитационного потенциала . В ранних работах по теории относительности Пуанкаре (1905), а позже Минковский (1908) попытались модифицировать теорию Ньютона, приведя ее в соответствие с четырехмерной структурой мира. В результате они заменили ньютоновы уравнения движения системой (9.8.4). Эти попытки оказались ненужными в связи с появлением в 1916 г. общей теории относительности Эйнштейна, с необычайной убедительностью показавшей, что задача о гравитации требует гораздо более радикальной ревизии наших традиционных представлений (см. ниже, п. 11). [c.365]

Теорема живых сил. Прежде чем выводить другие следствия из общего уравнения динамики, удобно установить здесь еще одну о ц ую теорему о движении системы, формулировка которой не зависит от подразделения сил на внешние и внутренние или активные и реакции связей. [c.278]

В виде дополнения к предыдущим общим рассуждениям выведем непосредственно из векторных уравнений (34), (35) два первых интеграла (28), (32), которые в п. 21 мы получили из общих теорем о движении системы. [c.102]

Первая часть теоремы является лишь простым обобщением теоремы Гамильтона, который требует, чтобы произвольные постоянные были начальными и конечными значениями координат и чтобы функция V удовлетворяла еще второму уравнению в частных производных. Вторая часть теоремы, относящаяся к варьированию произвольных постоянных, совершенно новая. Я изложил здесь, ради простоты, только случай свободного движения, но я легко распространил эту теорему на движение системы, подчиненной некоторым условиям. При помощи этой теоремы можно найти путем вычисления элементы, производные которых для возмущенного движения принимают ту простую форму, которую они имеют в теореме, форму, которую я в своей статье называю канонической. Это легко подтверждается в эллиптическом движении, где интегрирование уравнения в частных производных [c.292]

При пластическом деформировании необходимо ввести критерий текучести F(oz, сгг, ае)=0. В соответствии с теорией течения получается система уравнений [c.85]

Признаки устойчивости или неустойчивости движения, в зависимости от знаков корней характеристического уравнения нормальной системы первого приближения, составляют содержание теорем Ляпунова об устойчивости автономных систем по первому приближению. [c.74]

Допустим, что интересующие нас задачи решаются путем введения переменных действие — угол, т. е. соответствуют уравнению Гамильтона — Якоби с разделяю-Ш.ИМИСЯ переменными (см. 6.2). В целях простоты ограничимся здесь одномерными системами. В конце этого параграфа мы остановимся на том, как можно распространить эту теорию на многомерные системы. Переменные действие— угол, соответствуюш,ие невозмущенной системе с гамильтонианом Яо, обозначим через и w . Уравнения движения решаются методом Гамильтона — Якоби, а функция Гамильтона — Якоби ищется в виде степенного ряда по параметру X, [c.191]

Расчет в этом случае проводится с помощью аппарата теории колебаний. для системы с двумя степенями свободы (см. гл. XI). В момент = О, когда груз касается пружины /, смещения обоих грузов равны нулю, скорость груза равна начальной скорости удара а скорость груза — нулю. Решение дифференциальных уравнений движения системы, состоящей из двух грузов и двух пружин, при этих начальных условиях позволяет определить перемещения грузов и усилия в пружинах. Это решение справедливо только до тех пор, пока груз /nj находится в контакте с пружиной I. Как только груз otj отрывается от пружины, он продолжает движение по инерции, а груз т.2 совершает свободные колебания на пружине И. Вслед за этим может иметь место новое касание груза с пружиной /, после чего система снова движется совместно, как система с двумя степенями свободы. Движение ее в этом периоде рассчитывается по тем же общим формулам, причем в качестве начальных условий принимаются те скорости и смещения грузов, которые имеют место к моменту контакта. [c.394]

Предварительный габаритный расчет оптической системы. Расчет производится на основании теории идеальной оптической системы и в предположении, что линзы являются тонкими, в предварительном расчете призмы и зеркала заменяют воздушным слоем, длина которого равна длине хода в них осевого луча, деленной на показатель преломления их стекла. Затем, исходя из необходимого расположения оптических элементов системы, их фокусных расстояний и диаметра одной из диафрагм, рассчитывают последовательно диаметры отверстий всех элементов по уравнениям тангенсов [c.234]

Расчет в этом случае проводят с помощью теории колебаний для системы с двумя степенями свободы. В момент i = О, когда груз касается пружины /, смещения обоих грузов равны нулю, скорость груза равна начальной скорости удара Оо, а скорость груза пц равна нулю. Решение дифференциальных уравнений движения системы, состоя- [c.434]

Так как нагрузки осесимметричны, для определения деформаций уплотняющих элементов могут быть применены методы теории упругости. Задача сводится к разделению сечения кольца на элементы, нахождению основного уравнения, построению системы уравнений для узловой сетки, построению моделирующей схемы и решению задачи на вычислительных машинах. Конструктору при проектировании торцового уплотнения необходимо производить расчеты, определяя хотя бы порядок величин деформаций. С этой целью можно воспользоваться положениями теории осесимметричных деформаций [51]. При осевой симметрии уплотняющего кольца простой формы (рис. 85, а) на него в радиальных сечениях действуют моменты Мс, скручивающие сечение кольца относительно его центра тяжести. Если при этом отношение на- [c.167]

В книге дано систематическ(1е и достаточно доступное изложение O HOD аналитической механики В нее включены разделы уравнения Лагранжа, уравнения Гамильтона, теория Якоби, неголономные системы, вариационные принципы и теория возмущений. Приводятся многочисленные примеры, иллюстрирующие применение рассматриваемых методов. [c.2]

Под сильно нелинейной с11стемой обычно понимают либо динамическую систему, не допускающую линеаризации в малом, либо систему, в которой проявляются нелинейные эффекты, не обнаруживаемые квазилинейной теорией. К таким системам относятся релейные системы автоматического регулирования, динамические системы с ударным взаимодействием, системы с люфтом и сухим трением и др. Одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями (4.1) с кусочно-гладкими правыми частями, является метод точечных отображений. Этот метод, зарождение которого связано с именем А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А. А. Андронов сущест-Еенно расширил возможности метода припасовывания и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений и позволили эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники. С помощью метода точечных отображений оказалось возможным полностью решить ряд основных задач теории автоматическою регулирования и, в первую очередь, классическую задачу И. А. Вышнеградского о регуляторе прямого действия с сухим трением в чувствительном элементе [1, 2J. Была рас- [c.68]

В неполной программе отсутствует общее уравнение динамики системы. Поэтому ниже излагается упрощенный вывод ооптх теорем дннампии системы без использования (в отличие от гл. XIX) общего уравнеиил динамики. Подчеркнем что при упрощенном выводе первых двух теорем в ик [c.446]

При постановке эксперимента по теплоотдаче и отбработке его результатов на основе теории подобия необходимо прежде всего знать числа подобия, которые войдут в уравнения подобия. Система дифференциальных уравнений, описывающих явление теплоотдачи (2.15), (2.22), (2.32) и (2.35), позволяет выявить структуру этих чисел. [c.310]

Но такой метод решения для большинства практических задач неприемлем из-за математической сложности. Трудности возникают также из-за того, что ни внутренние силы, ни реакции связей, как правило, заранее неизвестны. Однако в большинстве задач не требуется определять движение каждой точви системы, а достаточно найти параметры, характеризующие движение системы в целом. Эти суммарные характеристики движения механической системы определяются с помощью общих теорем динамики, являющихся следствием дифференциальных уравнений движения системы (9.1). К числу этих теорем относятся теорема об изменении количества движения, теорема об изменении кинетического момента и теорема об изменении кинетической энергии. Эти теоремы применимы как для точки, так и для системы материальных точек. [c.145]

Система уравнений Бельтрами — Митчела — это система 12-го порядка. Произведя дифференцирование при их выводе, мы искусственно повысили порядок исходной системы. В результате оказывается, что возможные решения системы (8.5.8) порождают класс функций более широкий, чем возможные решения задачи теории упругости. Решения системы (8.5.8) не обязательно удот влетворяют уравнениям равновесия. Это ясно хотя бы из следующего примера. Пусть напряжения — произвольные линейные функции координат Оц = Поскольку уравнения (8.5.8) [c.250]

Следует отмеетить, что два уравнения этой системы — (6.1.5) и (6.1.6) — являются интегродифференциальными. Все остальные уравнения, за исключением конечных сост-нощений, представляют собой нелинейные уравнения в частных производных. В связи с этим решение системы одномерных уравнений даже с использованием современных ЭВМ представляет собой трудную задачу. Ввиду сложности основной системы уравнений при рассмотрении различных классов задач теории горения вводят те или иные упрощающие допущения. [c.222]

Вторая теорема теории подобия (теорема А. А. Федермана — Букингэма) утверждает, что критерии подобия, полученные из дифференциальных уравнений, одновременно являются и критериями подобия, получаемыми из решения (интеграла) этих уравнений, т. е. интеграл дифференциального уравнения (или системы уравнений) может быть представлен как функция критериев подобия дифференциального уравнения. [c.321]

Андре Мари Ампер родился в Лионе в 1775 г., умер в Марселе в 1836 г., был назван Ньютоном электродинамики за открытие и классически совершенную иллюстрацию законов механического действия, развивающегося между проводниками (нитеобразными), по которым текут электрические токи (постоянные). В честь его была названа ампером единица тока (в абсолютной системе, принятой повсюду в электротехнике ср. т. 1, гл. VIII, упражнение 12). Кроме электромагнетизма, он связал свое имя также и с теорией уравнений в частных производных, в которой, как и в дифференииалмой геометрии, был последователем Монжа. [c.107]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Эта форма уравнений движения системы связывает нашу теорию с геометрией траекторий (Paths) ). [c.20]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

ДАЙСОНА УРАВНЕНИЯ в квантовой теории — уравнения движения для квантовой системы с бесконечным числом степеней свободы (напр., системы квантовых полей), записанные не для операторных полевых ф-ций, а для пропагаторов (одночастичных Грина функций) И вершинных функций. Д. у. представляют собой бесконечную цепочку зацепляющихся нелинейных интегральных ур-ний, аналогичную цепочке ур-ний для корреляционных функций (мпогоча-стичпьгх функций распределения) статистич. механики. Они могут быть получены либо из Швингера уравнений, либо графич. путём — суммированием вкладов Фейнмана диаграмм. [c.555]

ШВИНГЕР4 УРАВНЕНИЯ функциональные—система ур-ний для [рина функций в квантовой теории поля. Предложена Ю. Швингером (J. S hwinger) в 1951. Для получения Ш. у. вводят классич. источники внеш. полей. ГГапр., в квантовой электродинамике частиц со спином /з в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие. квантованного поля фотонов Л Ч х) с источником внеш. эл,-магн, поля J (x) в мин. форме—За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классич. источнику У (л) получать ф-ции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом [c.460]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...