Области неустойчивости - Методы численного

Уточненные границы области, полученные из уравнения (7.244), показаны на рис. 7.27 штриховыми линиями. Для второго приближения пересечение границ областей происходит при больших значениях параметра а . В зависимости от конкретного вида коэффициентов п, а/ уравнения (7.235) области неустойчивости могут существенно отличаться по своей форме от областей, полученных для уравнения Матье. Полученные приближенным методом Рэлея области неустойчивости являются приближенными, поэтому интересно выяснить, насколько они точно соответствуют истинным областям при точном решении исходного однородного уравнения (7.235). Метод точного численного определения областей неустойчивости изложен, например, в книге [12]. [c.227]

Предварительные замечания. Если задача о параметрических колебаниях распределенной системы сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, то дальнейший анализ может быть проведен методами, описанными в гл. VII. Для обобщенного особого случая, а также для общего случая используют численные методы из гл. VII. Области параметрического резонанса для распределенных систем строят либо путем совмещения областей неустойчивости, полученных для отдельных [c.254]

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ [c.491]

Области неустойчивости - Методы численного построения 491, 492 [c.611]

Решение краевой задачи (40.5), (40.6) получено в работе методом степенных рядов по вертикальной координате численные расчеты проводились на ЭВМ. В результате вычислений найдено характеристическое соотношение между параметрами R, Rg, k. Нейтральные кривые Я к) минимизировались при различных значениях R . Результаты представлены на рис. 111, Кривая Rm(Ri) определяет границу устойчивости область неустойчивости расположена выше кривой. [c.281]

На рис. 2.56 представлены полученные численным итерационным методом распределения поля на поверхности зеркала с круглой апертурой для симметричных резонаторов (гу = Га. = Ох) с разными значениями параметра — 1 — Ь/г [15]. Распределения поля рассчитаны для основной моды в условиях относительно небольших апертур зеркал — для N I. Представлены вычисленные для разных значений параметра д кривые для модуля амплитуды поля и (рис. 2.56, а) и для фазы поля Ф (рис. 2.56, б) эти характеристики поля даны как функции от отношения расстояния от центра зеркала к радиусу его апертуры (это отношение обозначено как V.) Параметр g варьировался от нуля (конфокальный резонатор) до единицы (плоскопараллельный резонатор) и несколько далее, заходя в область неустойчивых резонаторов с выпуклыми зеркалами (О < <1,2). [c.187]

Были проведены также численные расчеты с очень частой сеткой в плоскости е ш ц для произвольных значений параметров. Неустойчивость точек либрации пространственной эллиптической задачи обнаружена не была. Но при расчетах, из-за резкого возрастания времени интегрирования, нельзя подойти произвольно близко к оси = О и к резонансным кривым второго (граница области устойчивости линейной задачи) и третьего порядков. По-видимому, области неустойчивости, если и существуют, то их границы проходят очень близко к этим резонансным кривым. Отметим еще раз, что существование очень узкой области неустойчивости при малых н и е в этой главе мы показали аналитическими методами. [c.185]

Как было нами показано ранее [6], при использовании сугубо приближенного метода уравнения Прандтля в устойчивой области могут быть численно неустойчивыми. Это происходит в том случае, если аппроксимация дифференциальных уравнений приводит к неустойчивой форме приближенных уравнений. Поэтому представляется необходимым провести более точные исследования методом конечных разностей. [c.285]

Монотонная гидродинамическая мода неустойчивости. Перейдем теперь к результатам решения задачи устойчивости в полной постановке (спектральная задача (1.24)-(1.26)). Монотонная неустойчивость, имеющая место в пределе Рг О, естественно, продолжается в область конечных значений Рг, причем ее характеристики, вообще говоря, зависят от числа Прандтля. Численный расчет этой моды неустойчивости проведен в работах Р.Н. Рудакова [15, 32] с помощью метода Галеркина. Использовались [c.27]

В последнее время значительный прогресс достигнут в исследовании устойчивости замкнутого пограничного слоя, возникающего в полости при боковом подогреве (см. 32). В появившихся работах [16, 17] решается в строгой постановке задача устойчивости течения в квадратной области, подогреваемой сбоку. В [16] горизонтальные границы предполагаются теплопроводными расчеты проведены для Рг = 0,7 в [17] рассматриваются случаи обеих теплопроводных и обеих теплоизолированных границ (расчеты проведены во всей области изменения Рг). В обеих работах численно (в [16] методом конечных элементов, в [17] - методом Галеркина) решались уравнения основного стационарного течения и уравнения малых возмущений. Такой подход позволяет определить критическое число Грасгофа и форму критических возмущений. Потеря устойчивости связана с бифуркацией Хоп-фа и проявляется физически в возникновении волн, распространяющихся вдоль замкнутого пограничного слоя. В [17] показано, что изменение числа Прандтля сопровождается последовательными сменами критических мод со скачкообразными изменениями фазовых скоростей волн. В [16] обнаружено несколько уровней спект ра неустойчивости, что автор связывает с явлением резонанса волн в пограничном слое и внутренних волн в устойчиво стратифицированном ядре. Теоретические значения критического числа удовлетворительно согласуются с экспериментом [VI. 81] Аналогичный поход реализован в [81] для случая проводящей жидкости (жидкий металл Рг = 0,02) при наличии вертикального или горизонтального внешнего магнитного поля. МГД-воздействие приводит к сильной стабилизации основного течения. [c.290]

Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования окрестности точек либрации L и б ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с 2л-периодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации L и Ц неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров 1, е (ц — малая возмущающая масса, е — эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых е [c.846]

Как мы уже видели в задаче об ускорении Ферми ( 3.4), граница стохастичности ) отделяет сплошную стохастическую компоненту при малых скоростях частицы от области со стохастическими слоями вблизи сепаратрис резонансов при больших скоростях (см. рис. 4.1, 1.14, и 3.15). Эта граница отличается от границы устойчивости 5, ниже которой все неподвижные точки соответствующего отображения неустойчивы. Оказывается, что откуда следует, что неустойчивость неподвижных точек достаточна, но не необходима для глобальной стохастичности, т. е. это условие является слишком сильным. Мы же ищем более эффективный критерий, которой был бы и необходимым, и достаточным. К сожалению, чисто аналитического метода получения такого критерия не существует. Поэтому приходится прибегать к различным правдоподобным рассуждениям, подкрепленным численными экспериментами. В этой главе мы рассмотрим пять методов, описанных качественно в п. 4.1а, каждый из которых дает свой вклад в понимание рассматриваемой проблемы. В качестве модели для иллюстрации этих методов мы используем стандартное отображение, свойства которого обсуждаются в п. 4.16. [c.246]

До сих пор мы рассматривали возникновение диссипативных структур как следствие потери устойчивости однородного по пространству нетривиального равновесия системы. В этой ситуации существуют аналитические методы, которые позволяют нам определить и условия возникновения таких структур, и их форму. Но если нас интересует процесс развития диффузионной неустойчивости, соответствующий нескольким неустойчивым гармоникам, то здесь нет никаких аналитических методов. Единственный метод исследования — численный эксперимент. А подобная ситуация может приводить к очень интересным решениям, которые можно интерпретировать как локальное вымирание некоторых видов в определенных областях ареала, т.е. как возникновение пятнистости на однородном ареале. [c.182]

Численным методом изучается течение вязкой несжимаемой жидкости между соосными цилиндрами, которые совершают равноускоренное вращение вокруг своей оси как твердое тело. Аналитическим методом строится одномерное нестационарное решение уравнений Навье - Стокса для случая, когда движение начинается из состояния покоя. На начальном участке времени одномерное нестационарное движение жидкости является неустойчивым. Вносимые в поток малые возмущения вызывают образование вторичных вихревых течений с компонентой скорости вдоль оси. Численным методом исследуется динамика возникающих неустойчивостей и их диссипация. Формулируется условие, определяющее размеры нестационарной области вторичных течений. Неустойчивый режим течения является переходным и с некоторого момента времени течение становится устойчивым. [c.52]

Рассмотрим случай, когда при i = О жидкость покоится. Области локальной устойчивости и неустойчивости течения были получены при помощи условия (3.7), в котором функция v t, г) строилась численным методом решения одномерной задачи. Они представлены на фиг. 2. Моменту времени выхода на стационарное значение отвечает = 3,2. [c.57]

В рассматриваемом приближении эффект изменения плотности повышает порог неустойчивости Рэлея - Бенара, но в большинстве практических случаев это повышение мало. Однако, как показывает численное исследование (численный метод описан ниже) этой задачи в ограниченной области, критические числа Рэлея значительно более сильно, чем это выражено (3.3), зависят от параметра Буссинеска е при уменьшении отношения горизонтальных размеров слоя к вертикальным. [c.72]

Метод обобщенных определителей Хнлла. Метод малого параметра приводит к простым формулам первого приближения типа (49)—(53) для границ главных областей неустойчивости. Уточнение этих формул, а также расчет побочных резонансов требует построения высших приближений. Эти приближения громоздки и плохо алгоритмизируются для численной реализации. К тому же метод становится ненадежным, если глубина модуляции параметров и (или) коэффициенты диссипации у/, не малы. Наконец, применение метода встречает затруднения при переходе к существенно неканоническим системам. [c.128]

Если конвективная система подвергается параметрическому воздействию, то в области неустойчивости в результате развития возмущений устанавливается периодическое во времени конвективное движение конечной амплитуды. Исследование надкритических колебаний возможно лишь на основе полных нелинейных уравнений конвекции. Как и в статическом случае ( 23), здесь весьма эффективным оказывается численный метод сеток. В работах Г. И. Бурдэ стационарные надкритические колебания изучались этим методом на примере области квадратной формы. Решалась плоская нестационарная задача конвекции в квадратной области с теплоизолированными вертикальными границами. Рассмотрены оба вида параметрического воздействия, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах,— модуляции поля тяжести и периодические колебания температуры на горизонтальных границах. [c.261]

В работе Толмина (1929) методом малых возмущений исследовалось течение в пограничном слое, которое он рассматривал как плоскопараллельное и имеющее профиль скорости, составленный из отрезков прямых и парабол при этом впервые удалось получить форму кривой нейтральных возмущений на плоскости ку Не), отделяющую область устойчивых возмущений от области неустойчивых возмущений. В дальнейшем Толмин (1930, 1947) и Шлихтинг (1933а, б 1935а) перенесли эти результаты также и на случай произвольных профилей скорости. В 1944—1945 гг. вся теория устойчивости плоскопараллельных течений была критически пересмотрена Линем (1945), пересчитавшим заново основные примеры и уточнившим численные результаты Толмина и Шлихтинга. Тем не менее из-за сложности применяемых при этом методов анализа асимптотического поведения решений уравнения [c.105]

Ванга и Стюарта (1987)), в которых делались попытки хотя бы грубо оценить область неустойчивости в трехмерном пространстве параметров (Л, Re, А). В этих работах (как и в ранних исследованиях линейной устойчивости того же течения), как правило, рассматривалась лишь неустойчивость по отношению к осесимметричным возмущениям течения, причем полученные здесь результаты (опирающиеся на некоторые нестрогие допущения) иногда оказывались и противоречащими друг другу (см. работы Дэви и Нгуена, Ито и Дэви). В связи с этим Патера и Орсаг (19816) применили численное интегрирование уравнений Навье—Стокса для изучения эволюции в течении Гагена—Пуазейля тех осесимметричных возмущений, для которых в работах Ито, а также Дэви и Нгуена (в обеих сразу или хоть в одной из них) на основе некоторой модификации метода Рейнольдса и Поттера (1967) предсказывалось отсутствие затухания. Однака такое интегрирование показало, что все эти возмущения на самом деле затухают. Позже нейтральные осесимметрические возмущения были все же обнаружены в ламинарном течении в трубе при больших значениях Re в теоретических работах Смита и Бодония [c.123]

Четыре корня этого уравнения в общем случае находят численными методами, но границу устойчивости можно определить аналитачески. На плоскости параметров системы существуют области, в которых все корни имеют отрицательные действительные части, соответствующие устойчивому движению, и области, где один или более корней имеют положительные действительные части, соответствующие неустойчивости. Границей устойчивости в s-плоскости является мнимая ось. Пересекать мнимую ось может либо действительный корень, перемещаясь по действительной оси, либо пара комплексно-сопряженных корней при определенной частоте. Апериодическую неустойчивость, вызванную перемещением действительного корня через начало координат в правую полуплоскость, называют дивергенцией. Это — статическая неустойчивость, поскольку при нулевой частоте не действуют силы, обусловленные скоростями или ускорениями. Под флаттером будем понимать колебательную неустойчивость, соответствующую перемещению в правую полуплоскость комплексных корней. [c.587]

Следовательно, в рассматриваемом случае имеем на замкнутой границе области расчета ш=0 и фиксированные значения функции тока (29) — (33), т. е. задачу Дирихле для дифференциальных уравнений (12), (15). При решении задачи методом конечных разностей область интегрирования (см. рис. 2) покрывается прямоугольной сеткой с конечными размерами по оси х. Поэтому граничные условия в жестких областях прих->—ооих- 4"°° выполняются приближенно. В результате этого численные расчеты показывают, что во всех узлах сетки имеется неоднородная пластическая деформация. Но малые значения скоростей деформаций, соизмеримые с погрешностями вычислений, приводят к неустойчивости итерационного процесса, так как коэффициенты и источниковый член в уравнении для вихря (12) вычисляются с большой погрешностью. Такие малые значения скоростей деформаций возникают вблизи левой и правой границ сетки, где неоднородное поле скоростей пластического течения не-црерывно переходит в однородные распределения скоростей жестких зон. Пусть функция гр вычислена с некоторой ошибкой е. Тогда, обозначая через к среднее значение шага сетки вблизи ее левой или правой границы, определим возможную среднюю ошибку б эффективной скорости деформации Ве по формулам (7), (16), (23) При введении условия [c.64]

Модуляция равновесного градиента температуры или ускорения силы тяжести не исчерпывает всех возможностей параметрического воздействия на конвективную устойчивость. Однако эти два способа наиболее естественны с точки зрения реализации в экспери]У1енте. Основное их различие состоит в том, что при вертикальных колебаниях полости с жидкостью модулируемый параметр — ускорение поля тяжести — остается однородным по объему. При колебаниях же температуры на границах равновесный градиент температуры зависит не только от времени, но и от координат модуляции градиента в основном сосредоточены, в приграничном слое, толщина которого уменьшается с увеличением частоты (температурный скин-эф-фект). При низких частотах модуляции градиента это отличие пропадает, и в этом случае оба способа параметрического воз" действия оказываются, в сущности, эквивалентными. Определение границ устойчивости при этом сводится к нахождению периодических решений некоторой стандартной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с периодическими коэффициентами ( 33). Для прямоугольного закона модуляции решение этих уравнений может быть получено точно для синусоидального закона области устойчивости и неустойчивости определяются численно ( 34). В предельном случае вертикальных вибраций высокой частоты простые результаты получаются с помощью метода усреднения ( 35). В 36 рассмотрена [c.237]

Как уже указывалось, рассмотренная задача решалась в работе Харта [13]. Для численного определения границ устойчивости применялся метод Галеркина. Расчеты проведены для Рг = 6,7 Pr = 676,7. Поведение границ устойчивости при малых и больших Ra согласуется с данными рис. 81. В работе установлено также понижение устойчивости термоконцентрационного происхождения. Однако количественные результаты, относящиеся к этой наиболее интересной области, ошибочны. Прежде всего следует отметить, что в [13] не обнаружена длинноволновая мода термоконцентрационной неустойчивости дестабилизация при конечных Ra /, согласно [13], связана с ячеистыми возмущениями. Имеются также значительные количественные расхождения в области минимума кривой Gr (Rad). Так, при указанных Рг и Рг /, согласно [13], наименьшее значение Gr = 2,1 и достигается при Ra = 333, тогда как по (19.15) ц численным результатам (рис. 81, кривая 1в) имеем Gr = 0,29 при Ra< / = 62,6. Поскольку наличие длинноволновой моды и соответствующая граница устойчивости установлены в излагаемой работе [14] как аналитически, так и разными численными методами, ошибочность результатов [13] не вызывает сомнений. Заметим, что в [13] не обнаружена и концентрационно-волновая мода неустойчивости (область б). [c.134]

Применение численных методов интетрирования уравнений Стокса в полном, нелинеаризированном их виде для изучения стационарного обтекания круглого цилиндра началось почти пятнадцать лет тому назад ). Особый интерес привлекали малые числа Рейнольдса, примерно до сорока, когда в кормовэй области еще сохраняется стационарная картина замкнутых течений — их иногда называют вихревыми зонами , — близкая к наблюдаемой в действительности. Теоретически было показано, что с ростом рейнольдсова числа продольные размеры этих зон увеличиваются, а поперечные практически сохраняют свое значение — зоны, таким образом, вытягиваются вдоль потока. При достижении реннольдсовым числом значения, близкого к сорока, стационарное течение, которое теоретически можно продолжать рассчитывать до более высоких значений чисел Рейнольдса (имеются расчеты до Re = 10 ), на самом деле теряет устойчивость и перестает существовать возникает нестационарный периодический отрыв зон с поверхности, цилиндра, попеременно то с одной, то с другой стороны. Оторвавшись от поверхности цилиндра, эти замкнутые зоны в свою очередь становятся неустойчивыми и сворачиваются в вихревые жгуты с перпендикулярными к плоскости течения осями. Е> заключительной стадии они сносятся потоком в область следа за цилиндром, где постепенно, вследствие вязкой диффузии, угасают. [c.544]

Эти результаты Улама были объяснены с помощью аналитических и численных методов Заславским и Чириковым [443 ] и более полно Брахичем [38 ] и Либерманом и Лихтенбергом [274 ]. Они показали, что в случае гладкой зависимости скорости стенки от времени фазовая плоскость движения разбивается на три различные области 1) область малых скоростей, в которой все неподвижные точки неустойчивы, что приводит к стохастическому движению практически во всей этой области 2) область промежуточных скоростей, где внутри стохастической компоненты имеются островки устойчивости, окружающие эллиптические точки, и 3) область больших скоростей, в которой стохастические слои в окрестности сепаратрис изолированы друг от друга инвариантными кривыми, которые пересекают весь интервал изменения фазы. Именно последняя область и ограничивает набор энергии частицей. Если же зависимость скорости стенки от времени недостаточно гладкая, то области 3 не существует в согласии с теорией KAM. [c.220]

Стохастический режим. В точке пересечения критических кривых Rl и Ra (рис. 44) мнимую ось пересекают две пары собственных значений (х,, х,) и щ, Xj), принадлежащих соответственно спектрам собственных значений матриц odi и aS . Поэтому в области П1 на диаграмме устойчивости обе х- и у-подсистемы становятся неустойчивыми. Поскольку собственные частоты колебаний =. = Imxi и 2 = ImXj, вообще говоря, несоизмеримы, в окрестности положений равновесия при надкритических значениях R можно ожидать рождения двумерных инвариантных торов, т.е. д (т) и у(х) будут задаваться двоякопериодическими векторными функциями вида г1)( ,т, ат), где г з( , и) — 2я-периодическая функция по каждому из аргументов. На рис. 49 и 50 представлены результаты численного интегрирования системы (6), (7) в точке а = 2,6, R = 40, принадлежащей области III. Интегрирование проводилось на ЭВМ БЭСМ-6 методом Рунге — Кутта без контроля точности интегрирования с шагом Дт = 0,002, что по порядку величины составляет 10 T i (Г, = = 2я/тах ( j, а))> и с заданной точностью интегрирования, равной 0,1%. Основной результат оставался неизменным. [c.153]

В главе 9 задача устойчивости рассмотрена в строгой нелинейной постановке. Исследование проводится как аналитическими (при малых значениях эксцентриситета е), так и численными (при произвольных параметрах е и [х) методами. В области устойчивости в линейном приближении, полученной впервые Дэнби [110], выделены кривые, на которых выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Для значений параметров е ж ц, принадлежащих этим кривым, показаны либо неустойчивость, либо устойчивость в конечном (но достаточно высоком) нелинейном приближении. При значениях параметров, не принадлежащих этим кривым (а иногда еще и кривым, на которых выполнены резонансные соотношения пятого и шестого порядков), доказаны устойчивость для большинства начальных условий и формальная устойчивость. [c.14]

В, работе Толмина (1929) методом малых возмущений исследовалось течение в пограничном слое, которое он рассматривал как плоскопараллельное и имеющее профиль скорости, составленный из отрезков прямых и парабол при этом впервые удалось получить форму кривой нейтральных возмущений на плоскости (й, Ее), отделяющую область устойчивых возмущений от неустойчивых возмущений. В дальнейшем Толмин (1930, 1947) и Шлихтинг (1933а, б 1935а) перенесли эти результаты также и на случай произвольных профилей скорости. В 1944—1945 гг. вся теория устойчивости плоскопараллельных потоков была критически пересмотрена Линем (1945), пересчитавшим заново основные примеры и уточнившим численные результаты Толмина и Шлихтинга. Тем не менее, сложность используемых при этом методов анализа асимптотического поведения решений уравнения (2.28) приводит к тому, что еще до сих пор полученные результаты в некоторых отношениях нельзя считать окончательными. Дело в том, что используемые асимптотические ряды обычно имеют особенность точке г,. в которой (7(2) —с — О, в то время как исходное уравнение регулярно в этой точке. Поэтому большой интерес представляет нахождение равномерно сходящихся асимптотических разложений, но построение таких разложений пока наталкивается на большие трудности (см., например. Линь и Бенни (1962)). [c.126]

Мы верим, что этот метод будет перспективным вариантом стандартного метода перемещений, потому что ои направлен непосредственно на проблему вычнслення решения (или, точнее, его нормальной производной) на границе. Часто нужна именно эта информация, а определение ее из. приближенного решения внутри области численно неустойчиво и не вполне удовлё-творительно. [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...