Метод сеток численного интегрирования

Численное интегрирование систем ОДУ возможно как явными, так и неявными методами. Большинство методов интегрирования является ограниченно устойчивыми. Это означает, что на величину шага интегрирования накладываются ограничения, несоблюдение которых ведет к резкому искажению числовых результатов, колебанию числового решения вокруг истинного с нарастающей амплитудой, что обычно приводит к переполнению разрядной сетки ЭВМ и прекращению вычислений. [c.54]

Метод численного интегрирования базируется на возможности аппроксимации непрерывного поля функции дискретным, т. е. на возможности дискретизации пространства и времени. Погрешности аппроксимации функции переходят в погрешности метода. В процессе перехода от дифференциального уравнения с частными производными к уравнению в конечных разностях используется представление функции через конечные разности или разложение функции в ряд. Наибольшее распространение получил ряд Тейлора [Л. 17, 23, 43, 52, 68]. При этом используются прямоугольные, полярные, треугольные и другие сетки. [c.36]

Из рассмотренного следует, что, несмотря на то, что метод численного интегрирования относится к приближенным методам, использование полярной сетки позволяет довольно точно описать цилиндрические тела и сравнительно просто определить температурное поле. Метод позволяет учесть переменность температуры сред и коэффициентов теплоотдачи. Определение развивав 52 [c.52]

В заключение следует отметить, что метод численного интегрирования при использовании прямоугольной сетки аналогичен применению полярной сетки. Сравнение основных расчетных формул (2-21) и (2-39) по- [c.63]

Если функции /. = ). ( , а) и а = а (, и) заданы аналитически, то применение изложенного метода численного интегрирования системы (3) очевидно. Однако функции (1), полученные экспериментально, чаще всего задаются с помощью таблицы или графика. Так, например, в книге 14] на стр. 242 приведен график, на котором в системе осей координат /, /. нанесено семейство кривых Х = Х(1,п), зависящих от параметра а (для пяти значений и). Если с помощью указанного графика вычертить (уже без всяких вычислений) в системе координат и, X (причем на оси ординат взять тот же масштаб) семейство кривых, зависящих от параметра t, то, используя метод графической интерполяции, можно получить настолько густые сетки кривых, что нужные значения X для любых и и будут непосредственно сниматься с графиков. [c.225]

Одним из методов определения температурного режима сетки является численное интегрирование (5.11) с помощью электронно-вычислительной машины. Другой метод связан с экспериментальным моделированием температурных режимов и последующей обработкой результатов на основе теории подобия. [c.81]

Вместе с соображениями, изложенными в [19 авторам [20] найти решение задачи профилирования всего сопла (а не только его сверхзвуковой части), реализующего максимум тяги при заданной полной длине. В свою очередь, построение такого решения, в котором дозвуковая часть заменена внезапным сужением (Глава 4.14), потребовало создания методов численного интегрирования уравнений газовой динамики на существенно неравномерных сетках (Глава 7.9). Наряду с созданием в основном для расчета околозвуковых течений в потенциальном приближении специальных численных схем (см. Введение к Части 7) в ЛАБОРАТОРИИ был развит метод [21], который с учетом особых свойств околозвуковых потоков позволяет находить интегральные характеристики сопел с существенно более высокой точностью, чем точность численного определения используемых для этого параметром течения. [c.212]

Отметим, что погрешность численного интегрирования в методе трапеций на сетке с N узлами оценивается величиной [2] [c.212]

Задача приближенного численного интегрирования уравнения (6) по методу сеток состоит в нахождении приближенного значения функции Т в каждом узле сетки. [c.61]

В. В. Соколовским применены методы численного интегрирования к решению конкретных задач теории Пластичности. В частности, им была рассмотрена задача о вдавливании прямолинейного штампа в полосу [34], которая сводится к построению сетки характеристик в области 0—1—4—3 (фиг. 20) по известным краевым характеристикам 3—4 и 1—2 (задача Римана). [c.463]

Обыкновенные дифференциальные уравнения (21) могут -быть решены с учетом граничных условий (27), (28) и условий для скачков (24) при помощи таких же численных методов, которые использовались в предыдущих исследованиях. На плоскости г, t строится сетка, образованная пересекающимися семействами характеристик /+ и / . Далее предполагаем, что в пределах малых интервалов между узловыми точками на плоскости г, t функции U ш V изменяются по линейным законам. Тогда можно проинтегрировать соответствующие характеристические уравнения (21), и в результате получим эквивалентные им уравнения в конечных разностях. Для разрывов функций U и V указанная методика несколько видоизменяется, а именно мы используем- точное значение скачка (24) в тех точках плоскости г, t, где расположен фронт волны. Для граничных точек интегрирование необхо-.димо выполнять лишь вдоль одной характеристики, так как, в качестве другого условия используется одно из граничных условий — (27) или (28). Дальнейшие подробности описания метода решения можно найти в работах [1,. 3—5]. [c.122]

В связи с этим нельзя будет говорить о конусах Маха, пронизывающих весь поток. Это понятие сведется к бесконечно малым местным конусам Маха, определяющим распространение давления в бесконечно малой окрестности некоторой точки. Ось такого бесконечно малого конуса будет параллельна направлению местной скорости, а угол при вершине будет соответствовать местному числу Маха. В этом случае метод наложения частных решений, пригодный в линейной теории для всего поля, должен быть заменен методом последовательного построения сетки для плоского потока и пространственного потока с осевой симметрией такое последовательное интегрирование можно выполнить численными или графическими методами. [c.51]

В заключение разберем один из методов построения сетки линий скольжения и определения напряжений при плоской деформации идеально пластического тела. Решая задачу плоской деформации идеально пластического тела, многие исследователи строят в целях детального изучения напряженного состояния два взаимно ортогональных семейства линий скольжения. С этой целью применяются различные приемы численного или аналитического интегрирования системы дифференциальных уравнений (6-4). Приведем еще один, до некоторой степени оригинальный метод решения 172 [c.172]

Уравнения (1. 69)—(1. 73) решались в работе [59] численно с помощью общего конечно-разностного метода. Дискретизированные формы уравнений получаются путем интегрирования уравнений сохранения по смежным контрольным объемам вокруг каждого узла. Конвективные члены аппроксимируются конечными разностями против потока , и разностные уравнения решаются итерационным методом Гаусса—Зайделя. В работе [59] принята комбинированная сетка — прямоугольная (сетка В) — ъ ядре потока и полярные (сетки А, С) для пристенной области, как это показано на рис. 1.39 для шахматного пучка. Значительные сложности при решении рассматриваемой задачи возникают при задании граничных условий. [c.50]

Были проведены также численные расчеты с очень частой сеткой в плоскости е ш ц для произвольных значений параметров. Неустойчивость точек либрации пространственной эллиптической задачи обнаружена не была. Но при расчетах, из-за резкого возрастания времени интегрирования, нельзя подойти произвольно близко к оси = О и к резонансным кривым второго (граница области устойчивости линейной задачи) и третьего порядков. По-видимому, области неустойчивости, если и существуют, то их границы проходят очень близко к этим резонансным кривым. Отметим еще раз, что существование очень узкой области неустойчивости при малых н и е в этой главе мы показали аналитическими методами. [c.185]

Интегрирование исходной системы осуществлялось численно с помощью неявного конечно-разностного метода на разнесенной сетке в естественных переменных [6]. Уравнения баланса импульса и энергии решались последовательно, давление находилось из уравнения Пуассона. Решение проводилось на прямоугольной неравномерной по горизонтали сетке 91 х 71 с уменьшением шага около боковых границ (коэффициент сгущения равен 10). Шаг интегрирования по времени At определялся из [c.145]

Для определения динамических и турбулентных характеристик течения применяется численный метод расчета [9]. В основе метода лежит неявная конечно-разностная схема, обеспечивающая четвертый порядок точности по нормальной к поверхности координате с использованием граничных условий общего вида без изменения порядка точности интегрирования и однородности вычислительного алгоритма. В зависимости от структуры потока задаются шаги неравномерной сетки по пространственным координатам. [c.86]

Численное решение осуществлялось вариационно-разностным методом по явной схеме интегрирования во времени типа "крест". Труба и осколок покрывались разностной сеткой с использованием сгущения ячеек к поверхности контакта. В месте соударения оболочка разбивалась разностной сеткой на щесть слоев по толщине, в каждом из которых анализировались значения перемещений, скоростей и пластических деформаций. Предварительные расчеты для незакрепленной оболочки без грунта показали, что использование сетки, сгущающейся к месту соударения, дает результаты, аналогичные использованию подробной сетки для всей оболочки. Аналогичная сетка использовалась и для остальных задач. Расчеты показали, что учет предварительного НДС оболочки и [c.42]

Координатная сетка состоит из 25 точек, расположенных на расстоянии 1 дюйма (25,4 мм) друг от друга и покрывающих начальные 2,5 дюйма (63,5 мм) образца, которые соответствуют полю зрения фотогр ической- камеры. Однако, поскольку в определяющие фотомеханические уравнения (9) для материала входит толщина в текущий момент 6, были вычис-ленк соответствующие значения т и т при. помощи быстро сходящейся итерационной процедуры, в которой использованы уравнения (12) и соотношения между Ь и 6о. Затем, используя найденные значения технических деформаций и скоростей деформаций зависимостей (3), вычисляли лагранжевы деформации. Этот метод численного интегрирования приводил к плавным кривым для скоростей деформаций. По зависимостям деформации и скорости деформации от времени в каждой из 25 точек находили изменение напряжений в этих узлах путем численного интегрирования определяющих уравнений по модели I или по модели II. [c.225]

Численное решение на ЭВМ всей системы дифференциальных уравнений в частных производных для газовой и жидкостной фаз включает пошаговое интегрирование в направлении г от начальных значений, заданных в плоскости 2о вычислительной программой L1SP. В каждой последующей плоскости 2 вычисляется совместное решение для всех переменных во всех узловых точках расчетной сетки (г, 0) с использованием комбинированной схемы прогноза с коррекцией. Для большинства уравнений применяется конечно-разностный метод переменных направлений с использованием центральных разностей по г и 9. На этапе прогноза используются линеаризованные конечно-разностные аналоги этих уравнений — явные по г и неявные по 9. Отдельные подпрограммы решают каждое из конечно-разностных уравнений, а также вычисляют связи уравнений и физические свойства газа в зависимости от соотношения компонентов. Использование отдельных подпрограмм обеспечивает удобство при введении требуемых изменений в модели различных физических процессов. Из-за практических ограничений в отношении объема памяти ЭВМ и времени счета программа 3-D OMBUST содержит не более 15 круговых и 7 радиальных линий расчетной сетки и не более 12 диаметров капель. [c.158]

Этот метод для вывода конечно-разностных уравнений очень похож на интегральный метод, ко более физичен по существу. Метод контрольного объема наиболее ярко освещает процесс численного моделирования . Метод контрольного объема достаточно продуктивен для учебных целей. Основная идея этого метода заключается в разбиении расчетной области на непересекающиеся, но граничащие друг с другом контрольные объемы, чтобы каждьш узел расчетной сетки содержался в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируется по каждому контрольному объему. При вычислении интегралов используются кусочные профили, которые описывают изменение переменной между узлами, В результате такого интегрирования получается дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения переменной в нескольких соседних узлах. [c.94]

Большое количество задач упругодинамического роста трещин было решено численно методом конечных элементов. Как и в случае методов конечных разностей, подходы с применением метода конечных элементов различают по тому, каким образом манипулируют с полями в окрестности вершины треш,ины. Чаще всего для этой цели применяют либо моделирование процесса роста трещины с постепенным уменьшением усилий в соответствующих узлах конечно-элементной сетки, включение подвижного элемента, интерполирующие функции для которого берутся из решений континуальных задач с напряженным состоянием окрестности вершины трещины, или же используют контурный интеграл энергии. После конечно-элементной дискретизации по пространственным переменным необходимо произвести интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений по вре-.мени для узловых переменных. Поскольку динамические поля, соответствующие быстрым процессам роста трещины, содержат большое число высокочастотных составляющих, то для получения высокой точности шаги по времени должны быть небольшими. Было установлено, что вследствие этого естественного ограничения на величину шагов по времени эффективными во многих случаях оказываются условно устойчивые явные схемы интегрирования по времени, использующие процедуру диагона-лизации матрицы масс. [c.121]

Следовательно, в рассматриваемом случае имеем на замкнутой границе области расчета ш=0 и фиксированные значения функции тока (29) — (33), т. е. задачу Дирихле для дифференциальных уравнений (12), (15). При решении задачи методом конечных разностей область интегрирования (см. рис. 2) покрывается прямоугольной сеткой с конечными размерами по оси х. Поэтому граничные условия в жестких областях прих->—ооих- 4"°° выполняются приближенно. В результате этого численные расчеты показывают, что во всех узлах сетки имеется неоднородная пластическая деформация. Но малые значения скоростей деформаций, соизмеримые с погрешностями вычислений, приводят к неустойчивости итерационного процесса, так как коэффициенты и источниковый член в уравнении для вихря (12) вычисляются с большой погрешностью. Такие малые значения скоростей деформаций возникают вблизи левой и правой границ сетки, где неоднородное поле скоростей пластического течения не-црерывно переходит в однородные распределения скоростей жестких зон. Пусть функция гр вычислена с некоторой ошибкой е. Тогда, обозначая через к среднее значение шага сетки вблизи ее левой или правой границы, определим возможную среднюю ошибку б эффективной скорости деформации Ве по формулам (7), (16), (23) При введении условия [c.64]

Интегрирование системы уравнений (1. )-( .4) осуществлялось численно с помощью оригинального программного комплекса, созданного на основе неявного конечно-разностного метода на разнесенной сетке. Уравнения баланса импульса и энергии решались последовательно, давление находилось из уравнения Пуассона. Применялась схема типа SIMPLE, модифицированная с учетом особенностей околокритической динамики. Использовались неравномерные несимметричные пространственные сетки 101x51 со сгущением в зоне интенсивного течения минимальный шаг / , =1.83- 10" . Шаг интегрирования по времени At определялся по акустическому времени At = Kuh mM, Ки - число Куранта. Использовались значения Ки= 1.8- ЮЗ-3.6- 10- так что временной шаг At на порядки превосходил характерное время распространения звуковой волны между узлами сетки [c.86]

В данной работе структура ударной волны изучается на основе обобщения консервативного метода дискретных ординат для бинарной смеси газов и для случая цилиндрической симметрии в импульсном пространстве (корневой метод предложен в [ 171 для простого газа). Консервативность обеспечивается без ограничения на допустимые значения переменных интегрирования путем специального проецирования значений подынтегрального выражения, вычисленного в неузловых точках, в ближайшие к ним узлы импульсной сетки. С помощью данного метода проблема решается с приемлемой точностью и с использованием небольп1ИХ вычислительных ресурсов. Приводятся численные результаты для молекулярной модели твердых упругих сфер. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...