Вариационные принципы в физических задачах

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ [c.165]

Огромная литература, которая существует по вариационным принципам, конечно, не могла быть даже и в малой степени охвачена в одном сборнике. Естественно, что для помещения в сборник отобраны прежде всего основные работы, а также работы, освещающие связанные с вариационными принципами проблемы теории групп, теории преобразований и т. п. Из работ, относящихся к применению вариационных принципов в физике, взяты те, которые имели важное значение в развитии физики и в то же время помогали уяснению физического смысла, значения и границ применимости этих принципов за пределами аналитической механики. Вопросы, связанные с применением вариационных принципов механики для исследований в области механики сплошных сред и многочисленных прикладных задач, должны быть рассмотрены особо. Не включены в сборник также работы, относящиеся к применению вариационных принципов механики в современных исследованиях по теории квантованных полей и т. п., так как эти работы освещены в ряде монографий и сборников основных статей, вышедших в самое последнее время. [c.5]

Третье издание книги разбито на две части, часть А и часть В. Содержание части А, озаглавленной Формулировка вариационных принципов в теории упругости и пластичности , практически не отличается от первого издания, за исключением некоторых новых тем в гл. 5 и 7. Содержание части В, озаглавленной Вариационные принципы как основа методов конечных элементов , мыслится как улучшенное изложение приложения I второго издания. В этой части систематически излагаются классические вариационные принципы и модифицированные вариационные принципы со смягченными (ослабленными) требованиями непрерывности применительно к задачам статической теории упругости (теория малых перемещений и теория конечных перемещений) и динамической теории упругости, а также к теориям геометрической и физической нелинейности и теории изгиба упругих пластин. Последняя глава посвящается методам дискретизации и содержит вновь добавленное введение в метод граничных элементов. [c.8]

Задача о вычислении эффективных характеристик неоднородных сред допускает и вариационную формулировку. В различных задачах физическое содержание вариационного принципа может [c.108]

В том случае, когда при записи физических соотношений теории вязкоупругости используется гипотеза о постоянстве коэффициента Пуассона, появление указанных трансцендентных функций не усложняет решение задачи вязкоупругости. В противном случае более целесообразными для решения поставленной задачи могут оказаться другие методы, например основанные на применении вариационных принципов. [c.353]

Мы уже говорили, что вариационные принципы не вносят в механику нового физического содержания и редко упрощают практическое решение той или иной механической задачи. Их главное достоинство состоит в том, что они служат отправными точками новых теоретических концепций в классической механике. В этом отношении особенно плодотворен принцип Гамильтона, а также принцип наименьшего действия, хотя и не в такой степени. Что касается других принципов, то они имеют заметно [c.260]

Необходимо здесь отметить, что формулировка законов механики в форме принципа Гамильтона имеет и то значение, что он позволяет установить, как нужно описывать немеханические системы с той же математической строгостью, которая характерна для классической механики. Принцип Гамильтона нельзя рассматривать как чисто механический принцип. Здесь интересно отметить, что есть закон, который во многом аналогичен принципу Гамильтона и который имеет очень общий характер. Этот закон часто служит физику трамплином для перепрыгивания провалов в экспериментальных данных. Он гласит, что всякая система стремится к состоянию с минимумом потенциальной энергии. Такое состояние, вообще говоря, будет равновесным, хотя и не обязательно. Это — важный эвристический метод физики. Например, в теории Бора мы говорим, что электрон спонтанно переходит из возбужденного в нормальное состояние, так как он стремится к состоянию с минимумом энергии. Впрочем, аналогичную формулировку можно дать и второму началу термодинамики, особенно в его вероятностной трактовке. Важен следующий факт если задано исходное состояние физической системы и ее энергетический баланс, то можно указать, в общем, направление, в котором будет происходить изменение состояния системы. Таким образом, этот, по сути дела, вариационный принцип минимума потенциальной энергии лежит в основе исследования задач устойчивого равно- [c.865]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

Другой общий подход к построению нелинейной механики сплошной среды, с привлечением основ термодинамики и электродинамики, развивается Л. И, Седовым. В основе этого подхода лежит введение дополнительных физических параметров в качестве искомых характеристик состояния и свойств среды. Седов дополнил соответствующий математический аппарат тензорного анализа, предложил общий вариационный принцип для исследования уравнений задачи и подошел (совместно со своими учениками) к построению новых моделей сплошной среды. [c.306]

Вариационным методам и их применению к решению математических и физических задач посвящено много работ. Одним из лучших учебников по вариационному исчислению является [69]. Вариационные принципы статической и динамической теории упругости изложены в [1, 30, 47, 325, 388, 482, 557 и др.]. [c.81]

Исследуя наиболее общие законы механического движения, присущего в той или иной мере любому физическому процессу и явлению, классическая механика оказывается тесно связанной с другими разделами физики (электродинамикой, оптикой, статистической физикой, теорией относительности, квантовой механикой и т. д.). Многие следствия, вытекающие из основных законов механики (например, законы сохранения энергии, импульса и механического момента вариационные принципы), при соответствующем обобщении приобретают форму фундаментальных законов природы. При решении частных задач механика широко использует математические методы исследования многие из этих методов (например, методы Лагранжа и Гамильтона, вариационные методы и методы теории возмущений), впервые разработанные и апробированные в классической механике, ныне широко используются почти во всех разделах теоретической физики. [c.5]

Широко изучались обобщения приведенного метода на многогрупповые задачи с различными пробными функциями [44]. Физические принципы, положенные в основу этих обобщений, рассматривались в предыдущих разделах, но часто очень сложно применить их к детальным многогрупповым расчетам. С помощью вариационных принципов были, кроме того, получены уравнения метода дискретных ординат [45]. [c.246]

Вариационные принципы встречаются во многих физических и других задачах, и методы приближенного решения таких задач часто основаны на соответствующих вариационных принципах. Математически вариационный принцип состоит в том, что интеграл от некоторой функции имеет меньшее (или большее) значение для реального состояния системы, чем для любого возможного состояния, допускаемого основными условиями системы. Подынтегральная функция зависит от координат, амплитуд поля и их производных, а интегрирование осуществляется по области, покрываемой координатами системы, среди которых, возможно, есть и время. Задача определения минимума интеграла часто сводится к решению одного или нескольких дифференциальных уравнений с частными производными при соответствующих граничных условиях. Цель нашей книги не в том, чтобы рассматривать приближенные методы решения этих дифференциальных уравнений как способ решения исходных физических задач, сформулированных в виде вариационных принципов. Вместо этого мы намерены описать приближенные методы, которые основаны непосредственно на вариационных принципах. [c.32]

Таким образом, безразлично решать ли уравнение с заданными граничными условиями или минимизировать интеграл. До последнего времени математический аппарат, которым мы располагали, был ориентирован скорее на решение дифференциальных задач, нежели на минимизацию функционалов, поэтому в большинстве физических исследований стремились описывать явления в дифференциальной форме, хотя, как правило, анализ использовал энергетические и термодинамические принципы и давал интегральные или даже вариационные представления при рассмотрении задач механики или электромагнетизма. [c.16]

Поэтому, хотя поиски экстремальных соотношений в оптике и механике начались на самой заре развития вариационного исчисления, которое и возникло в связи с этими поисками и при решении соответствующих частных задач (например, задачи о брахистохроне), однако оформились они в виде ясных математических выражений раньше всего в оптике, где не требовалось ни разработки такого сложного понятия, как действие , ни выяснения характера его варьирования. Однако время входит и в картину механического движения, поэтому, почти одновременно с возникновением принципа кратчайшего времени в оптике, возникла идея о применении его в механике, а также о разработке в механике самостоятельного, но аналогичного по структуре принципа. Механистическая концепция физической картины мира подсказывала возможность единого принципа для оптики и механики — первая, еще не ясная, но чреватая многочисленными последствиями идея оптико-механической аналогии. [c.781]

Вариационное исчисление имеет обширную область приложений в математической физике благодаря тому, что физическая система часто ведет себя таким образом, что некоторый функционал, зависящий от ее поведения, принимает стационарное значение. Иначе говоря, уравнения, описывающие физические явления, часто являются условиями стационарности некоторой вариационной задачи. Типичным примером является принцип Ферма в оптике. Он состоит в том, что луч света между двумя точками проходит по пути, который Требует наименьшего времени. Отсюда непосредственно следует вывод, что в любой однородной среде свет распространяется по прямой. [c.15]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

Вариационный принцип для физической проблемы впервые был отчетливо сформулирован в геометрической оптике в XVII в. и применен к решению задач отражения и преломления света. Это был принцип кратчайшего времени или принцип Ферма. Естественно, возникает вопрос о том, почему экстремальный принцип возник первоначально в оптике, а не в механике, хотя и в последней уже в то время имелось достаточно отдельных высказываний о простоте законов движения или, в телеологическом варианте, о том, что природа достигает своих целей простейшими средствами. [c.780]

Таким образом, применение вариационного принципа теории трещин может расширить постановку и возможности получения решений различных задач механ1гки разру)нония, а приведенные дримеры дают физически более естественные результаты, чем в случае применения концепции Гриффитса — Орована — Ирвина. [c.142]

Пластиной называется тело, ограниченное двумя плоскостями Z = h и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси z. В плоскости z = О, называемой срединной плоскостью, выбираются произвольным образом координаты Ха (а = 1,2). Предполагается, что размеры пластины в плане значительно больше, чем толщина 2h (рис. 12.4.1). Так же, как в 2.1, где речь шла о стержнях, будем принимать за 1[аимень-ший поперечный размер наименьшее расстояние между касательными к контуру пластины. Под контуром пластины понимается контур сечения цилиндрической поверхностью плоскости Z = 0. Так же, как теория изгиба балок, теория пластин может быть построена при помощи любого из вариационных принципов. Если при выводе уравнения изгиба мы отправлялись от вариационного принципа Лагранжа, то здесь мы примем за основу вариационный принцип Рейснера (не в силу каких-то его преимуществ, а для иллюстрации метода). Дело в том, что в физически нелинейной теории пластин, изготов- Рис. 12.4.1 ленных из нелинейно-упругого или пластического материала, реализация вычислений на основе принципа Лагранжа приводит к очень большим трудностям, тогда как принцип Рейснера позволяет получить приближенное решение задачи относительно просто. [c.395]

В конце XVIII в. главное внимание и усилия учёных-теоретиков были направлены на псследование и преодоление указанных математических трудностей (задачи небесной механики, развитие общей теории дифференциальных уравнений, вариационные принципы и т. д.). Исходные уравнения движения рассматривались в общем виде в связи с этим была распространена точка зрения о сводимости физических явлений к механическим движениям и о законченности механики как науки. Основная трудность усматривалась в интегрировании дифференциальных уравнений механики. Известное положение Лапласа гласило дайте начальные условия, и этого достаточно, чтобы предсказать всё будущее и восстановить всё прошедшее. Однако нужно заметить, что даже в рамках классической механики теоретическую проблему о составлении дифференциальных уравнений движения нельзя считать простой и уже принципиально разрешённой. Как раз задача о составлении уравнений движения, задача о действующих силах, т. е. о правых частях дифференциальных уравнений движения, является основной задачей физических исследований, причём даже в условиях возможных применений классической механики эта задача не разрешена в очень многих случаях. В тех же случаях, когда для простейших приложений существует необходимое приближённое решение, оно нуждается в постоянных уточнениях. [c.27]

В течение ряда лет автор читал двухсеместровый курс лекций по вариационным принципам механики для аспирантов Purdue University и всякий раз, когда ему приходилось сталкиваться с основными принципами и методами аналитической механики, он ощущал-чувство необычайного подъема. Вряд ли существует еще какая-либо из точных наук, где абстрактные математические рассуждения и конкретные физические доводы так прекрасно гармонируют и дополняют друг друга. Не случайно принципы механики производили огромное впечатление на многих выдающихся математиков и физиков. Не случайно также, что в европейских университетах с давних пор курс теоретической механики обязательно входит в план обучения любого будущего математика и физика. Аналитическая механика — это гораздо большее, чем просто эффективный метод решения динамических задач, с которыми приходится встречаться в физике и технике. Для того чтобы подчеркнуть важность теоретической механики, нет необходимости ссылаться на гироскопы, как бы ни были важны они в физике и технике—само существование общих принципов механики служит ее оправданием. [c.11]

В этой главе даются различные определения эффективных характеристик МДТТ и доказывается их эквивалентность, дается определение периодических структур. Излагаются основные положения теории эффективного модуля, с помощью которой приближенно решаются задачи МДТТ для физически линейных и нелинейных композитов. С помощью вариационных принципов, описанных в предыдущей главе, устанавливаются границы изменения эффективных характеристик линейных и нелинейных композитов. Упоминаются некоторые распространенные методы определения эффективных характеристик. [c.65]

Одной из ключевых и принципиальных проблем динамики систем с движущимися границами и нагрузками была корректная математическая постановка краевых задач в частных производных. Еще со времен С.П. Тимошенко движущуюся нагрузку заменяли некоторой эквивалентной сосредоточенной силой. Однако такой подход был некорректен, и при больших отно сительных скоростях движения нагрузок приводил к неправильным выводам. В результате многолетних поисков была разработана универсальная процедура постановки с амосогласованных задач динамики упругих систем с движущимися по ним объектами на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Возникающие при этом вариационные задачи оказались неклассическими, что потребовало проведения дополнительных разработок по вариационному исчислению. Новыми оказались и получаемые таким путем краевые задачи математической физики. Их принципиальное отличие от классических задач состоит в наличии дополнительного существенно нелинейного краевого условия, описывающего взаимовлияние движущегося объекта и колебаний упругой направляющей. Физический смысл последнего условия состоит в том, что при взаимодействии распределенной системы с движущимся со средоточенным объектом возникают силы вибрационного давления. На существование таких сил впервые обратили внимание еще Рэлей (1902 г.) и Е.Л.Николаи (1912-1925 гг.), изучавшие колебания струны с движущимся вдоль нее кольцом. Предложенный подход позволил по-новому взглянуть на проблемы динамики упругих систем, несущих подвижные нагрузки, и вскрыть новые, ранее не учитываемые явления. [c.9]

В первой части книги (главы 17), предназначенной в основном для студентов, рассмотрены следующие разделы курса теория напряженно-деформированного состояния, физические соот-ногления и постановки задач теории упругости, вариационные принципы, контактная задача теории упругости, плоская задача, теория пластин, теории пластичности, линейная вязкоупругость. При этом используется аппарат тензорного исчисления в прямоугольной декартовой системе коордипат. Теоретический материал сопровождается типовыми примерами регпения учебных задач. Удобные для контроля и самоконтроля знаний студентов тестовые задания приведены в приложении. [c.7]

В последнее время появились работы, в которых рассматривается сопряжение нескольких физических полей. В работах [9, 13, 20Ь—(1, 21, 22, 24, 29, 33, 35е— , 36, 45, 58а] рассмотрено совместное влияние температурного, магнитного и электрического полей и поля деформаций. В этом направлении получено много общих результатов определены основные уравнения магнитотермоупругости, сформулированы энергетические принципы, получены вариационное уравнение и теорема взаимности, рассмотре ны вопросы единственности решения уравнений, в некоторых задачах исследованы волновые процессы. [c.244]

Один из основных вариационных принципов аналитической механики дискретных систем — принцип Даламбера — Лагранжа успешно применяется для изучения общих закономерностей сплошной среды и полей различной физической природы [18, 40, 76, 78]. Для описания движения термоупругих сред, в частности для линейных связанных задач термоупругости этот принцип впервые был установлен Био [8] в 1965 г. Обобщение этого принципа на случай связанных задач термоупругостп с тепловыми источниками дано в работе [5]. В монографии [86] подробно изложена последовательность применения вариационного принципа Даламбера — Лагранжа к анизотропным термоупругим средам. [c.124]

Было предпринято несколько попыток [22, 1] интерпретировать соотношения Онзагера с помощью вариационных принципов. Циглер [46] показал, что теория Онзагера эквивалентна принципу наименьших необратимых сил, который можно также сформулировать как принцип наибольшей скорости порождения энтропии. Одно из преимуществ этих принципов состоит в их физической наглядности. Кроме того, их можно с одинаковой легкостью применять к нелинейным и к линейным задачам. Эти принципы, следовательно, обобщают теоргно Онзагера, делая ее применимой к произвольным определяющим уравнениям. Наконец можно ожидать, что каждый из этих [c.9]

Точно так же уравнения равновесия могут быть выведены из соотношения между энергией упругой деформации и совершаемой Нагрузками работой, задаваемого принципом виртуальных работ, путем применения вариационного исчисления. Это нетрудно сделать, когда можно воспользоваться простыми выражениями для энергии деформации, но это нелегко сделать с более сложными выражениями для энергии деформации, подобными тем, что выводятся из более точных общих соотношений между деформациями и перемещениями (см. главу 6) и которые включают в себя множество различных соотношений и л1ногочисленные промежуточные параметры. В любом случае представляется более естественным выводить уравнения равновесия так же, как будем делать и мы, непосредственно из физического смысла задачи в соответствии с простым законом равновесия. [c.25]

В главе 4 описана общая схема дискретно-вариационного метода, имеющего наглядный физический смысл и основанного на дискретных энергетических представлениях — задании вида мощности внутренних сил для дискретных элементов, объединенпе которых моделирует деформируемое тело. Обсун<даются вопросы взаимосвязи ДВМ с МКЭ и ВРМ, отличительные особенности метода, его использование в численном моделировании однородных и неоднородных тел, многокомпонентных сред и сред с заданной структурой. Рассматривается обобщение ДВМ, проводится сопоставление его с миогоскоростными моделями гетерогенных сред. Для получения дискретных уравнений движения обобщенных узловых масс или уравнений Ньютона системы материальных точек с внутренними и внешними связями используется принцип виртуальных скоростей в дискретной форме. Решение этих уравнений — интегрирование по времени — осуществляется по явной схеме типа крест. Определяющие уравнения или реологические соотношения могут быть достаточно общего вида. Для удобства алгоритмизации они представляются в форме, разрешенной относительно напряжений п их скоростей. Приведены примеры построения дискретных моделей и алгоритмов численного решения одно-, дву- и трехмерных задач динамического деформирования оболочек на основе ДВМ. [c.7]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Дан полный математический анализ краевых задач иелииейиой теории оболочек. Для всех физически осмысленных постановок доказаны теоремы разрешимости и корректности в условиях глубокой нелинейности. Приведены условия единственности решений и условия неединственности. Получили обоснование в этом круге нелинейных задач методы приближенного решения Бубнова — Галеркина, Ритца, Ньютона — Канторовича и др. Большое внимание уделено нелинейной устойчивости, в которой различаются две проблемы оценка числа решений краевой задачи и выбор наиболее реального. Подробно проанализированы возможности принципа линеаризации Эйлера, дано строгое математическое обоснование существования нижних критических чисел, развит статистический подход. Основу рассмотрений составили топологические и вариационные соображепия. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...