Условия для единственности решения

Установление необходимых и достаточных условий, требуемых для единственности решения уравнений Стокса, представляет собой сложную математическую проблему, которая решена еш,е не полностью ). Значительное внимание уделялось наиболее часто встречаемой задаче, а именно установлению существования и единственности решения в случае замкнутой границы, на которой компоненты скорости принимают заданные значения. [c.79]

На основе этих шести условий определяется единственное решение. Для функций тока, описывающих внешнее и внутреннее течения, воспользовавшись общим решением, определяемым соотношением (4.17.12), имеем [c.150]

Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких предположениях о виде поверхности о, уравнение Лапласа (15) при только что указанных граничных условиях имеет единственное решение функция , представляющая это решение, называется гармонической функцией. Не останавливаясь на общей теории решения уравнения Лапласа, приведении его к интегральному уравнению и других относящихся сюда общих вопросах математической физики, перейдем к рассмотрению некоторых частных гидродинамических задач, а затем изложим метод расчета пространственного обтекания осесимметричных тел — наиболее важной для практики пространственной задачи. Что касается вопроса об обтекании тел произвольной формы, то, в отличие от плоского движения, соответствующая задача в пространстве представляет непреодолимые трудности. [c.393]

Хотя вышеописанный процесс кажется легко выполнимым, тем не менее остается фактом, что при данных граничных условиях существуют единственные решения как для функции тока, так и для потенциала скорости, и, следовательно, единственная гидродинамическая сетка для выбранного масштаба ячеек. В действительности преимущества использования различных графических приемов позволяют опытному чертежнику относительно быстро получить вполне удовлетворительное первое приближение к желаемой форме потока. Прежде всего выбирается число приращений гр, которое давало бы наибольшие размеры ячеек, обусловливая тем самым наименьшую трудоемкость ре- [c.125]

Итак, при заданных плоскости проекций и центре проекций (рис. 1) можно построить проекцию точки но имея проекцию (например, Ар), нельзя по ней определить положение самой точки А в пространстве, так как любая точка проецирующей прямой проецируется в одну и ту же точку для единственного решения, очевидно, необходимы дополнительные условия. [c.11]

Гидромеханические процессы в элементах струйной автоматики, как пра-ви.ю, развиваются под влиянием большого числа факторов. Эти процессы подчиняются общим физическим закономерностям, конкретным выражение.м которых для потока вязкой жидкости являются дифференциальные уравнения (уравнения Навье-Стокса) и уравнение неразрывности. Но эти уравнения справедливы для целого класса явлений н имеют бесконечное число решений. Следовательно, для выделения рассматриваемого явления из целого класса явлений необходимы дополнительные условия, называемые условиями однозначности. Они включают граничные и начальные условия, определяющие единственное решение системы дифференциальных уравнений. К условиям однозначности должны быть также отнесены физические константы (плотность, вязкость и др.), характеризующие существенные для исследуемого процесса физические свойства среды. Под граничными условиями понимают геометрические характеристики потока (его размеры и форму), а также значения кинематических и динамических параметров на границах исследуемого участка потока. Начальные условия потока характеризуют геометрические, кинематические, динамические параметры потока в начальный момент времени. [c.57]

Однако точного задания констант в этих выражениях недостаточно для единственности решения. Когда значения энергии лежат в непрерывном спектре, т. е. соответствуют состояниям рассеяния, то в действительности для каждого значения Е имеется бесконечно много различных решений и граничные условия должны помочь отобрать лишь одно из них. [c.175]

Рассмотрим профиль в равномерном потоке, показанный на рис. 5.8 [3]. Требуется выполнить условие Кутта согласно которому на задней кромке Т скорость равна нулю. Точка Т, называемая критической, для единственности решения должна быть расположена на задней острой кромке. Задача может быть решена методом конечных элементов при наложении следующих граничных условий [c.176]

Уравнение (5.1) с приведенными граничными условиями имеет единственное решение. Оно является отправной точкой при получении численного решения методом конечных разностей. Другой метод решения задач переноса тепла основан на вариационном подходе. В вариационном исчислении ) устанавливается, что для минимизации функционала [c.68]

Решение задачи (Р<) единственно. Необходимые и достаточные условия для существования решения таковы [c.59]

Сделаем несколько замечаний относительно мотивировки построения указанных дифференциальных уравнений. Ранее были независимо сформулированы два набора условий статические и динамические. Статические условия записываются исключительно через статические переменные (напряжения или функции напряжений). Кинематические условия записываются только через кинематические переменные (перемещения или деформации). Для единственности решения необходимо связать статические и кинематические переменные. Это осуществляется с помощью введения определяющих соотношений. [c.119]

Несмотря на то, что условия для выражения (1.2) являются менее строгими, чем для выражения (1.1) все еще остается вопрос достаточны ли эти условия для существования решения т. е. гарантируется ли решаемость задачи по определению единственных весов К)-, при заданных 2/, [c.37]

Рассматривая матрицу (2.1), можно отметить, что модели класса 51 называют табличными. В табличной модели каждому набору условий соответствует единственный вариант проектируемого объекта А — технологического процесса или его элементов. Поэтому табличные модели используют для поиска стандартных, типовых или готовых проектных решений. [c.72]

Для получения единственного решения (2. 7. 12) необходимо сформулировать два условия на функцию С (т,). Первое из них является следствием постоянства объема пузырька [c.67]

Краевые условия. Уравнения (1.2), (1.4), (1.6), (1.7) имеют множество решений. Для получения единственного решения необходимо задавать краевые условия (сведения об искомых непрерывных функциях на границах рассматриваемых областей — граничные условия, а в случае нестационарных задач — значения этих же функций в начальный момент времени — начальные условия). Исходное дифференциальное уравнение в частных производных вместе с краевыми условиями носит название дифференциальной краевой задачи и представляет собой ММ исследуемого объекта. [c.10]

Обратимся теперь к исследованию поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве. Поведение соответствующей динамической системы описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем по-прежнему предполагать, что для их решений в сторону возрастания времени соблюдаются теоремы единственности и непрерывной зависимости от начальных условий. Введем понятие поверхности без контакта. По определению поверхностью без контакта называется гладкая поверхность, во всех своих точках пересекаемая фазовыми траекториями без касания. Секущей поверхностью будем называть поверхность без контакта, [c.75]

Фазовая плоскость для уравнения (6.1) вырождается в фазовую прямую. Рассмотрим представление движения на этой фазовой прямой. Согласно теореме о единственности решения уравнения (6.1), начальное условие при i = to X = х однозначно определяет дальнейшее движение изображающей точки. Характер движения изображающей точки не будет зависеть от момента времени to, так как уравнение (6.1) явно от времени не зависит. Это значит, что каждая отдельная фазовая траектория на фазовой прямой соответствует не одному движению, а бесконечному множеству движений, соответствующим различным t . [c.215]

Уравнения (1.150) — (1.152), (1.153) — (1.155) представляют собой уравнения в частных производных и, как известно из общей теории краевых задач для систем уравнений с частными производными, для выделения единственного решения необходимо задать краевые условия (для ограниченных тел), условия на бесконечности (для неограниченных тел) и начальные условия, если независимая переменная — время t является существенной. Эти требования представляют собой математическое отражение того факта, что в одной и той же среде могут происходить различные процессы (деформации и др.) в зависимости от того, какие из искомых параметров и каким образом заданы на границе тела, на бесконечности и в момент начала развития процесса. [c.33]

Пусть теперь < = 0 и краевые условия для ш однородны, тогда любая краевая задача для (2.535) всегда имеет решение w = 0. Если Стар таковы, что единственность решения места не имеет, то наряду с нулевым решением возможно, вообще говоря, существование нетривиальных решений w O. Появление этих решений имеет механическую интерпретацию пластинка, сжатая [c.127]

Предполагается, что все условия, обеспечивающие существование и единственность решения, выполнены условия, достаточные для сходимости соответствующего метода, будут сформулированы (без доказательства). [c.340]

Поэтому представляет инте)рес определить условия для й, А, Ь, В, при выполнении которых невозмущенное движение а = О, а = О будет асимптотически устойчиво при любых законах изменения функций а и Р в заданных границах. (Считая, что функции аир изменяются произвольным образом, мы предполагаем, конечно, что для всех t, X, X из области (7.24) они удовлетворяют условиям существования и единственности решения уравнения [c.225]

Для получения единственного решения задачи, кроме системы уравнений, необходимо задать дополнительные начальные и граничные (или краевые) условия. При этом важно, чтобы задача была корректно поставлена. Это означает, что решение задачи существует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных (малому изменению исходных данных соответствует малое изменение решения). Требование корректности важно при численном решении задачи, так как всякое численное решение является приближенным и необходимо, чтобы метод решения был устойчив к малым погрешностям в исходных и промежуточных данных. [c.113]

В некоторых случаях решение ОЗТ позволяет определить граничные условия (в том числе и д) проще, чем другими методами. Иногда решение обратной задачи является единственным источником информации о граничных условиях для реальной конструкции. [c.284]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. Зафиксируем конкретные значения критериев (5.89) и сформулируем в безразмерных величинах условия однозначности для безразмерных уравнений Навье — Стокса. Тогда решив их, получим единственное решение, в которое в качестве параметров войдут зафиксированные значения чисел Fr, Ей, Re, Sh. Это решение определит целый класс физически реальных процессов, размерные параметры которых в сходственных точках будут отличаться только численными множителями, а безразмерные будут одинаковыми. Иначе говоря, получим класс механически подобных потоков. [c.123]

Условия для единственности решения (194)—121. Употребление четвертого наблюдения в случае двойного решения (197) — 122. Пределы т VI М (197) — 123. Дифзренциальные поправки (198) — 124. Исследование детерминанга D (200) —125. Приведение детерминантов Di и >2 (202) — 126. Поправки за аберрационное время (203) — [c.13]

Сумма членов с (л = 0, 1,2,. ..), входящая в выражение для Ф из (7.19), является изображением но Лапласу (по т и а) возмущенного решения Ф соответствующей акустической задачи (р = 0). Это проще всего доказать, если заметить-, что, во-первых, оригинал этой суммы удовлетворяет системе (7.7) и, во-вторых, можно показать, что этот оригинал (для достаточно гладких /(т)) удовлетворяет условию, обеспечивающему единственность решения акустической задачи [213], [c.508]

Отметим, что вариационный метод позволяет получать не только дифференциальные уравнения проблемы, но одновременно и недостающие 1) граничные условия. Эти граничние условия, называемые естественными, не обуславливаются внешними обстоятельствами и вытекают из сути самой вариационной задачи. Удовлетворение естественным граничным условиям необходимо для соблюдения экстремума функционала в той же мере, что и удовлетворение дифференциальному уравнению Эйлера. Совокупность наложенных извне и естественных граничных условий обеспечивает единственность решения вариационной проблемы —из поля экстремалей выделяется одна. [c.445]

Задание упругой среды с математической точки зрения эквивалентно заданию области, занимаемой средой, и величин, определяющих ее свойства тензора модулей упругости а/ы и плотности р. Установлено, что для единственности решения динамических задач теории упругости они должны удовлетворять условиям [373, 471, 505, 571 и др.] ijkiRiiRkt 0, р > 0. Первое из этих выражений представляет собой удвоенную удельную плотность энергии упругой деформации, которая, как следует из этого выражения, должна быть неотрицательной. Это условие называется также условием эллиптичности. [c.94]

Интересно, что зависимость от угловой скорости гравитационной силы, действующей на пробную частицу внутри слоя, точно такая же, как и во вращающейся системе, но движущейся в противоположно.м направлении относительно системы инерциальной. Векторные потенциалы приводящие к силам типа кориолисовых, даже зависят от координат обычным образом. С другой стороны, скалярный потенциал имеет такую форму, что приводит, помимо обычных центробежных сил, к неисчезающей компоненте силы вдоль оси вращения. Чисто радиальный характер центробежной силы означает, что приближенные уравнения (11.30), для единственности решения которых требуется точная формулировка граничных условий на бесконечности, не в состоянии адекватно описать динамику мира в целом. Это и не удивительно, поскольку некоторые из наиболее характерных особенностей точных уравнений (11-12) теряются в их приближенном варианте например, существенно нелинейный характер уравнений исчезает в случае слабого поля. Кроме того, уравнения (11.12) содержат Л-член, важный в космологических задачах. Указанные обстоятельства существенно меняют проблему постановки граничных условий (см. 12.6). В любом случае, однако, силы, действующие на пробную частицу внутри слоя, слишком малы, чтобы быть измеренными. Это н объясняет отрицательный результат эксперимента, выполненного Фридлендером в 1896. [c.310]

Условия для единственнссги решения. Решение физической задачи единственно, независимо от того, положительно или отрицательно если — ф, в противном случае оно двойное. Предположим, что л = тг — ф + е, где г — малое положительное число. Из рис. 33 [c.194]

Условия однозначности. Для единственности решения диффере циальные уравнения должны быть дополнены краевыми условиялш или условиями однозначности, которые включают геометрически , физические, граничные и временные условия. [c.290]

Необходимо сделать замечание о возможной переопределенности граничных условий. Для простоты рассмотрим некоторое течение в замкнутой полости, все стенки которой неподвижны. Если стенки, параллельные оси х, непроницаемы и на них удовлетворяется условие прилипания, то на них и = О и о = 0. Записывая эти условия через функцию тока ф, приходим к следующим соотношениям д дх = —v = О, откуда получаем, что = onst (скажем 0) вдоль стенки и d ldy = и — О по нормали к стенке. Если рассматривать одно уравнение Пуассона то каждое из этих двух условий явится достаточным граничным условием для нахождения решения. Очевидно, для уравнения Пуассона нельзя брать оба условия одновременно, так как это делает задачу переопределенной. Но условия = О не достаточно для того, чтобы определить вихрь на стенке здесь, как и при выводе -формул (3.435а) или (3.439), необходимо также использовать условие д /ду = 0. Поэтому за неимением иного граничного условия для вихря используется градиентное условие diS ldy w — 0, а условие фи, = О берется для уравнения Пуассона для ф. Это единственно правильное распределение данных условий. (См. также задачу 3.27.) [c.223]

Третья теорема исходит из предположения, -что явления протекают в геометрпчески подобных системах (поэтому геометрическое подобие систем есть первое необходимое условие для существования подобия), что для рассматриваемого явления можно составить дифференциальные уравнения, что установлено существование и единственность решения уравнения при заданных граничных условиях, что известны численные значения коэффициентов и физических параметров, входящих в дифференциальное уравнение. [c.417]

Число аргументов в f таких уравнениях для f-фазной системы равняется числу термодинамических сил или числу различных контактов между фазами. При N подвижных компонентах и К слагаемых VjdXj в (9.43) оно будет 1+/(+Л . Число различных уравнений Гиббса—Дюгема совпадает с числом фаз. Следовательно, необходимое условие существования и единственности решения системы линейных уравнений (9.44) для гетерогенной смеси фаз относительно dZ, [c.136]

Уравнения движения материальной точки удовлетворяют принципу детерминированности Ньютона, что эквивалентно выполнению условий существования и единственности решений задачи Кошй для соответствующей системы дифференциальных уравнений. Поэтому каждой совокупности начальных условий отвечает одно движение. [c.172]

Отметим без доказательства, что числа независимых парамет ров в интерполяции и на Т и dv/dv на dTi не являются незави симыми, связь между ними вытекает из требования существова ния и единственности решения дискретизированной задачи. На пример, в случае, когда tt = 2, Тг— треугольники на плоскости для аппроксимации у на Т можно использовать функции из Ph для аппроксимации dv/dv — полиномы от одной переменной — длины дуги dTj —степени т из условия разрешимости системы [c.209]

Вопрос о судьбе гофрировочно-неустойчивых ударных волн тесно связан со следующим замечательным обстоятельством при выполнении условий (90,12) или (90,13) решение п дродинами-ческих уравнений оказывается неоднозначным (С. 5. Gardner, 1963). Для двух состояний среды, I w 2, связа иых друг с другом соотношениями (85,1—3), ударная волна является обычно единственным решением задачи (одномерной) о течении, переводящем среду из состояния I ъ 2. Оказывается, что если в состоянии 2 выполнены условия (90,12) или (90,13), то решение указанной гидродинамической задачи не однозначно переход из состояния 1 в 2 может быть осуществлен не только в ударной волне, но и через более сложную систему волн. Это второе решение (его можно назвать распадным) состоит из ударной волны меньшей интенсивности, следующего за ней контактного разрыва и из изэнтропической нестационарной волны разрежения (см. ниже 99), распространяющейся (относительно газа позади ударной волны) в противоположном направлении в ударной волне энтропия увеличивается от si до некоторого значения S3 < S2, а дальнейшее увеличение от ss до заданного S2 происходит скачком в контактном разрыве (эта картина относится к типу, изображенному ниже на рис. 78, б предполагается выполненным неравенство (86,2)) ). [c.478]

Функция кручения ф должна быть однозначной в противном случае перемещение з=тф было бы многозначным (нас интересуют однозначные перемещения). При этом функция tjj, сопряженная с однозначной гармонической функцией, определяемая из условий Коши — Римана (7.10), может быть, вообще говоря, многозначной в нашем случае этого не должно быть, ибо функция г ) возвращается к первоначальному значению цри обходе по любому из контуров Lv, что видно из граничного условия для нее. Исходя из этого постоянные не могут быть фиксированы произвольным образом. Действительно, если фиксировать их произвольно, а затем определять функцию i 3 (для этого следует решить задачу Дирихле, которая, как известно, всегда имеет единственное решение), то функция ф, найденная из условий Коши — Римана с помощью функции 1 ), может оказаться многозначной. [c.179]

Следовательно, сформулированные выше условия в данном случае оказываются не только необходимыми, но и достаточными для существования механического подобия. Однако такое заключение нельзя распространить на произвольное движение вязкой жидкости, поскольку теорема существования и единственности решения уравнений Навье — Стокса доказана хотя и для многих, но все же частных классов движения. В общем случае необходимые и достаточные условия подобия не определены. Правда, это не исключает возможности практического использования теории подобия. В практике при постановке эксперимента существование и единственность группы потоков, подобных натурному, предполагают apriori, модель выполняют, исходя из необходимых условий подобия, и ее принадлежность к указанному классу проверяют на основе сопоставления частично известных натурных данных с результатами измерений на модели. [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...