Особые случаи решения уравнений движения

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ [c.30]

Несмотря на все изложенное, изучение решений уравнений движения, соответствующих непрерывному стационарному потенциальному обтеканию тел, имеет в некоторых случаях смысл. Между тем как в общем случае обтекания тел произвольной формы истинная картина течения практически ничего общего с картиной потенциального обтекания не имеет, в случае тел, имеющих некоторую особую ( хорошо обтекаемую , см. 46). форму, движение жидкости может очень мало отличаться от потенциального (точнее, оно будет не потенциальным лишь в тонком слое жидкости вблизи поверхности тела и в сравнительно узкой области следа позади тела). [c.34]

Пространственный аналог течения в слое переменной толщины имеет место только в случае Р=у Поэтому для общего случая закона изменения слоя переменной толщины следует указать критерии решений, уравнений движения, которые отвечают источникам (стокам) и вихрям. Имея в распоряжении указанные особенности, можно построить течения с любыми особыми точками, применяя операции 2-дифференцирования и 2-интегрирования. [c.185]

В этом параграфе исследуется асимптотика по параметру решений уравнения с быстрыми и медленными движениями при стремлении параметра к нулю. Здесь рассматриваются только такие системы, в которых особые точки уравнения быстрых движений теряют устойчивость с изменением медленной переменной в результате обращения в нуль одного (и только одного) из собственных значений линеаризации. Другими словами, уравнение быстрых движений при любом значении медленной переменной имеет не более чем одномерное центральное многообразие. Медленная поверхность в этом случае распадается на устойчивую и неустойчивую части, разделенные точками срыва — критическими точками проектирования медленной поверхности на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых. Такие уравнения назовем уравнениями типа 1 в знак одномерности центральных многообразий. [c.183]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

Решение конкретных задач, но крайней мере в тех случаях, когда периоды главных колебаний различны, не вызывает особых затруднений. Один из возможных путей решения используется ниже в примере 9.1 А. Он состоит в следующем. Сначала определяют периоды главных колебаний и отношения qi q -. . qn для каждого такого колебания. Таким образом находят элементы матрицы /S и с помощью преобразования (9.1.17) приводят уравнения движения к форме (9.1.14). После этого, можно выразить решение через переменные 1, lai ч если знать начальные значения и последние [c.143]

Данное уравнение называют уравнением движения вершины трещины по той простой причине, что оно является обыкновенным дифференциальным уравнением по времени для координаты вершины трещины a(t) и напоминает по виду уравнение движения материальной точки в элементарной динамике. Уравнение (3.1) допускает точное решение лишь в некоторых простейших случаях некоторые следствия из этого уравнения будут рассмотрены в следующем параграфе. В данном параграфе акцент сделан на проблеме динамической вязкости разрушения. Особое внимание уделяется, в частности, предсказанию зависимости динамической вязкости разрушения от скорости движения вершины трещины путем исследования напряженно-деформированного состояния на расстояниях, намного меньших тех характерных размеров, на которых преобладающую роль играют поля, определяемые коэффициентом интенсивности напряжений. Не говоря уже о том, что решение данного вопроса интересно само по себе, оно очень важно и для исследования задач об остановке трещины и выявления связи микроструктуры материала с сопротивлением динамическому росту трещины. [c.98]

Линейное установившееся движение. Хотя уравнения Навье — Стокса из-за наличия конвективных членов в общем случае не линейны, имеется особая группа потоков, при которых эти члены исчезают. Решение системы дифференциальных уравнений, состоящей из уравнения движения, уравнения неразрывности и граничных условий, для таких потоков обычно очень несложно, особенно при установившемся течении. [c.203]

Решение в случае Эйлера (М = 0). Особый интерес представляет собой движение тела по инерции, т.е. когда внешние моменты равны нулю. Этот случай и называется случаем Эйлера. Выбрав в качестве кинематических уравнений, дополняющих динамические, уравнения Эйлера, запишем полную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение твердого тела с одной неподвижной точкой по инерции [c.84]

Очевидно также, что структура приведенных выше аберрационных коэффициентов такова, что при рассмотрении сингулярных случаев нулевого и бесконечного увеличений (главные лучи) необходима особая тщательность. Эти случаи будут подробно проанализированы в частном случае сферической аберрации. В связи с этой проблемой хотелось бы отметить тот факт, что в уравнениях (5.65) и (5.66) аберрации записаны как функции начальных значений Хо, Хо, У о и У о, так как Х(г) и У г) были выражены в (5.43) и (5.44) через эти величины. Однако как было упомянуто выше, возможны любые другие способы выбора пары решений уравнения параксиальных лучей. Если определять решения в плоскости изображения, то это равносильно направлению движения от изображения к предмету. Тогда аберрации возникнут в плоскости предмета и будут функциями начальных значений в плоскости изображения. Соответственно будем иметь другой, хотя и аналогичный, набор аберрационных коэффициентов ( обратные коэффициенты в отличие от представленных здесь прямых коэффициентов). [c.263]

Уравнения движения жидкости в форме Лагранжа (вообще говоря, более сложные, чем в форме Эйлера) при решении частных задач в некоторых случаях оказываются более удобными. Их преимущества обнаруживаются, в частности, при изучении движения жидкости, частицы которой обладают некоторыми особыми свойствами, например, когда частицы движутся без ускорения (случай, часто исследуемый в динамической метеорологии) или когда не изменяется энтропия каждой частицы, или плотность частиц (случай, который встречается в исследованиях Ляпунова о фигурах равновесия вращающейся жидкости) и т. д. [c.58]

Хотя уравнения пограничного слоя значительно проще уравнений Навье — Стокса, все же в математическом отношении они остаются настолько трудными, что ПО поводу их решений можно сделать только немного общих выводов. Необходимо прежде всего отметить, что уравнения Навье — Стокса являются относительно координат уравнениями эллиптического типа,, в то время как уравнения Прандтля для пограничного слоя принадлежат к параболическому типу. Упрощающие допущения, положенные в основу вывода уравнений пограничного слоя, привели к тому, что стало возможным принимать давление поперек пограничного слоя постоянным, а давление вдоль стенки считать совпадающим с давлением внешнего течения и поэтому рассматривать его как заданную функцию. Эти обстоятельства сделали ненужным уравнение движения в направлении, перпендикулярном к стенке,, что с физической точки зрения можно истолковать следующим образом частицы жидкости при своем движении поперек пограничного слоя не обладают массой и не испытывают замедления вследствие трения. Очевидно что при столь глубоком изменении уравнений движения следует ожидать что их решения могут иметь некоторые особые математические свойства,, и, наоборот, нельзя ожидать, чтобы результаты вычислений во всех случаях совпадали с результатами наблюдения действительных течений. [c.142]

Моды колебаний большинства твердых тел являются результатом образования в них системы стоячих волн. Эти моды выводятся из волнового уравнения для исследуемой колебательной системы, и каждая из них связана с целой серией обертонов, которые получаются в результате решения той же системы уравнений. Важными исключениями.из этого правила, помимо идеализированной системы с сосредоточенной массой и упругостью, являются тонкое кольцо и тонкая сферическая оболочка, колебания которых описываются соответственно аксиально симметричной и сферически симметричной модами. Эти две простейшие моды являются единственными решениями уравнений, которые по своему виду ближе к уравнению движения, чем к волновому уравнению. Прп выводе этих уравнений приближенно предполагается, что толщина стенок мала и поэтому напряжения и деформации постоянны на всем протяжении колеблющегося тела, причем для каждой его части справедлива одна и та же величина коэффициента связи. Следовательно, коэффициенты связи и кр, характеризующие свойства материала, могут быть определены с помощью этих двух колебательных систем в результате прямого эксперимента без поправок на геометрию образца. Поэтому эти случаи представляют особый интерес при рассмотрении принципов построения преобразователей и их эквивалентных схем. [c.266]

Интегрирование уравнений (2-40)—(2-42) не представляет особых трудностей, если коэффициент лобового сопротивления не зависит от числа R0T, т. е. если имеет место автомодельная область обтекания. При других условиях необходимо знание закономерностей типа (2-1"), что позволяет затем графо-аналитически или путем интегрирования получить искомое решение. Подобная задача решена для восходящего прямотока (пневмотранспорт) первым методом в [Л. 143], а вторым в [Л. 48, 50, 292]. В последнем случае окончательные решения особенно громоздки. Особенности прямоточного движения частиц рассмотрены также в [Л. 251, 325] и др. [c.66]

Указанные выще два способа исследования проблемы устойчивости движения А. М. Ляпунов применил к исследованию общего случая невозмущенного движения. Но особое внимание А. М. Ляпунов обратил на случаи-стационарного и периодического невозмущенных движений, выделив задачи, в которых уравнения первого приближения не могут дать ответ на вопрос об устойчивости движения. Для решения этих задач А. М. Ляпунов применил весьма тонкие и сложные соображения. [c.332]

Уравнение (8.94) является обыкновенным нелинейным уравнением первого порядка относительно функции х). Его решение в общем случае можно получить только численно, причем это связано с некоторыми вычислительными трудностями, обусловленными наличием особых точек U-- О а U == 0. Кроме того, изложенный метод Польгаузена оказался недостаточно точным для пограничных слоев с замедленным движением внешнего потока (dU/dx < 0). Для этих случаев разработаны более точные спо- [c.343]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

Замечательным является то, что все найденные нами величины и законы полностью сохраняют свою силу для рассмотрения движений любых других тел, не относящихся к твердым. Законы Ньютона, уравнение моментов, законы сохранения количества движения и энергии с полным правом могут применяться к решению задач о движении жидких и газообразных тел, для расчета механических процессов в упругих средах. Во всех таких случаях к этим законам необходимо только добавлять уравнения, выражающие особые механические свойства этих сред, и учитывать особенности тех новых вопросов, которые могут возникнуть относительно движений в этих средах. [c.283]

Теперь рассмотрим те вопросы теории волн на поверхности воды, для решения которых мы желаем применить метод ГИУ. Характерная особенность теории волн на воде заключается в наличии свободной поверхности или границы раздела с другой жидкостью (например, с атмосферой), на которой может поддерживаться волновое движение (где восстанавливающим механизмом является гравитация), даже если основное дифференциальное уравнение, описывающее движение внутри жидкости, будет эллиптическим, например уравнение Лапласа для потенциала скорости ф (v = УФ) в случае безвихревого течения невязкой и несжимаемой жидкости. Такие предположения обычно применяются в задачах о волнах на поверхности воды они существенно нарушаются тогда, когда происходят некоторые особые физические явления, например разрушение волн. Исключая эти явления и некоторые другие эффекты, например поверхностное натяжение и т. д., мы получим [2] для Ф следующее линейное дифференциальное уравнение в частных производных внутри области D, занятой жидкостью [c.19]

В гидравлике принята гипотеза сплошности жидкости. Согласно этой гипотезе, жидкость рассматривается как континуум, непрерывная сплошная среда. Все параметры, характеризующие движение жидкости, считаются непрерывными вместе с их производными во всех точках (кроме особых точек). Благодаря таким предпосылкам стало возможным получение дифференциальных уравнений равновесия и движения жидкости. Решения этих уравнений (в тех случаях, когда его удается получить) позволяет иметь данные о механическом движении и равновесии жидкости в любой точке пространства, где движется жидкость. [c.9]

В случаях особо точюго решения уравнения движения поезда величину С определяют по формуле (62) в соответствии с вышеприведёнными значениями . [c.903]

Существующие приближенные методы анализа возмущений, используемые при решении задачи нескольких тел (л > 2), разделяют на класс методов общих (нли абсолютных) возмущений н класс методов особых возмущений. Первый класс методов основывают, как правило, на использовании степенных разложений для предстааления координат каждой из рассматриваемых материальных точек. Второй класс методов предполагает использование приема разделения движения тела на конечное число отрезков (кратное числу гравитнрующих тел). В этом случае интегрирование уравнений движения на каждом из этих отрезков осуществляют численным методом н считают, что движеине тела в течение короткого интервала времени яв- [c.86]

Периодические орбиты. Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели ( 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает больпше трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании ). Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей. [c.602]

Осесимметричные течения или обтекание тела враш,ения параллельно его оси враш ения, представляют пример трехмерных течений, которые могут быть охарактеризованы при помош и единственной скалярной функции тока, как это имеет места и в случае двумерных течений. Разделение переменных в этом случае возможно для более широкого класса систем ортогональных координат, что обсуждается в гл. 4. В другом обш,ем методе получения решений линеаризованных уравнений движения используются обобш енные функции Грина. Так как получаемые решения содержат интегралы, они во многих случаях не так удобны, как решения в виде рядов. В других более специальных методах используются зеркальные отражения и аппарат вариационного исчисления. В последующих разделах этой главы некоторые из этих методов рассматриваются подробно, причем особое внимание уделяется тем из них, которые наиболее широко используются для целей этой книги. [c.78]

Ясно, что если хотя бы одна из зтих квадратичных форм является знако-определеннсш, то особая точка будет изолированной, поосольку в таком случае система уравнений (2.43) не имеет действительных решений кроме тривиального оГ = 0. Но изолированная осо я точка не может быть достиг-iQnra в процессе корректного продолжения решения по параметру. Знакоопределенность хотя бы одной из квадратичных форм (2.7.3) свидетельствует обычно о слишком большом шаге при движении по кривой решений К. [c.77]

Ударные волны. Сходящиеся ударные волны подробно изучены теоретически и во многих случаях обнаружена неограниченная кумуляция. По этим вопросам опубликовано много работ, асимптотика для детонационной волны перед фокусировкой была впервые изучена Л. Д. Ландау и К. П. Станюковичем и описана последним в его докторской диссертации, а также в статье (1945) и в книге (1955). Интенсивность волны оказалась неограниченно растущей, откуда видно, что взрывчатые свойства материала перестают играть роль (концентрация энергии к волне сильно превосходит калорийность взрывчатки) и, следовательно, решение описывает сходящиеся волны не только детонационные, но и ударные. Эти работы положили начало изучению нового класса движений, для которых показатели степени в решениях вытекают не из размерностей определяющих величин, как, например, в широко известном решении Л. И. Седова (1944), а из условий прохождения особых точек дифференциальных уравнений задачи. Это же обстоятельство было обнаружено и описано Г. Гудерлеем (Luftfahrt-Fors hung, 1942,19 9, 302—312), работа которого стала известна у нас лишь через несколько лет после войны. В дальнейшем было поставлено и решено множество подобных задач, одна из которых подробно описана в 4 настоящего обзора (сферический пузырек в сжимаемой жидкости). [c.323]

Заключительное замечание. На этом мы закончим рассмотрение точных решений уравнений Навье — Стокса и перейдем к приближенным решениям. Под точными решениями мы понимали такие решения, которые получались из уравнений Навье — Стокса при сохранении всех членов, тож дественно не равных нулю для изучавшихся течений. В противополож-ность этому под приближенными решениями мы будем понимать такие решения, которые получаются из уравнений Навье — Стокса путем отбрасывания в них членов, по своей величине малых в условиях рассматриваемой задачи. Как уже было отмечено в главе IV, при приближенных решениях особую роль играют два предельных случая в первом из них силы трения значительно больше, чем силы инерции (ползущее движение), во втором же они значительно меньше, чем силы инерции (течение в пограничном слое). В то время как в первом случае допустимо полностью отбросить инерционные члены, во втором случае, т. е. в теории пограничного слоя, отнюдь нельзя одновременно отбросить все члены, зависящие от вязкости, так как это привело бы к невозможности выполнения физически существенного граничного условия — условия прилипания жидкости к стенкам. [c.108]

В этой главе мы рассмотрим некоторые приближенные решения урав- нений Навье — Стокса для предельного случая, в котором силы трения значительно больше, чем силы инерции. Так как силы инерции пропорциональны квадрату скорости, силы же трения пропорциональны первой степени скорости, то очевидно, что движения с преобладающей ролью сил трения возникают при очень малых скоростях или, в более общем случае, при очень малых числах Рейнольдса. Решения уравнений Навье — Стокса, получаемые путем отбрасывания в последних инерционных членов, пригодны для Re< l т. е. для чисел Рейнольдса, меньших единицы. В этом можно сразу убедиться из безразмерной записи (4.2) уравнений Навье — Стокса. В самом деле, инерционные члены отличаются от членов, зависящих от вязкости, присутствием множителя Re = pVll i. Правда, в каждом отдельном случае следует тщательно выяснить, из каких величин должно быть составлено это число Рейнольдса. Такого рода течения, для которых число Рейнольдса весьма мало, называются ползущими движениями. Необходимо отметить, что в практических приложениях ползущие движения встречаются, если не считать некоторых особых случаев, довольно редко ). [c.111]

Пользуясь результатами теории нелипейпых уравнений, Дюбре-иль-Жакотэп показывает, что уравнение (17) имеет решение, близкое к тем решениям (13), которые даются линейной теорией. Таким образом, устанавливается (за исключением тех особых случаев, о которых говорилось выше) суш,ествование установившихся периодических движений тяжелой неоднородной жидкости, заключенной между двумя горизонтальными прямыми. [c.737]

Если не требуется находить нестационарное решение для давления, то в (т ), )-системе приходится решать одно уравнение переноса вихря параболического типа и одно уравнение для функции тока эллиптического типа V ф = с условиями Дирихле на некоторых (возможно, на всех) границах. (Стационарное решение эллиптического уравнения для давления находится только на последнем слое по времени, и поэтому выбор метода решения этого уравнения не имеет особого значения.) В (и, у, Р)-системе надо решать два уравнения переноса количества движения, имеющих параболический тип, и одно уравнение эллиптического типа для давления V P = 8р с граничными условиями Неймана на всех границах. При решении уравнения переноса вихря необходимо дополнительно выполнить две операции дифференцирования функции тока 1 ) для нахождения составляющих скорости, но уравнения переноса количества движения усложняются из-за членов с дивергенцией О/, / (в методе МАС эти члены значительно сложнее) и из-за специальных приемов, которые здесь требуются для обеспечения сохранения массы (объема). Решать уравнение переноса вихря можно по неявным схемам, хотя при этом может потребоваться дополнительный итерационный процесс для неявного вычисления значений на стенках ири условии прилипания. В случае же (и, у, Р)-системы значения и у"+ известны точно в течение всего времени, но здесь существует трудность, связанная с неустойчивостью из-за нелинейности (см. разд. 3.7.2). Достижение итерационной сходимости при решении уравнения У Р = 8р эллиптического типа требует значительно больше времени. [c.306]

Соответствующие решения уравнений (2.57) назовем решениями второй группы. Несложное исследование показывает [84], что в случае двух и трех воз( дителей уравнения (2 59), вообще говоря, допускают единственное решшие. В случае ж к >3 разности фаз а - а для решения второй группы не определяются однозначно из уравнений ( 59) (а значит, и из уравнений (2.57)) для их нахождения следует рассмотреть следующие приближения. Дополнительного исследования в данном случае требует и вопрос о существовании и устойчивости синхронных движений. Такая ситуация является следствием ощ>еделенной вырожденности рассматривав мой системы эта вырожденность исчезает при учете неодинаковости цгф-циальных скоростей возС дителей. Исследованию соответствующего Особого случая, потребовавшего преодоления ряда аналитических трудно-сте посвящена работа О.З.Малаховой [275]. [c.171]

Приближенное решение уравнения автомодельного движения. Для определения структуры струйных течений и выяснения роли вязких сил воспользуемся уравнением (93). Поскольку точное решение этого уравнения может быть найдено лишь для некоторых частных случаев, а численное их решение затруднено, воспользуемся приближенным методом решения, в частности, методом Блазиуса. Пайдем решения в области малых и больших значений независимой переменной (в области нуля и на бесконечности ) и осуществим сращивание этих решений в некоторой особым образом выбранной точке Zo. С целью апробации этого метода рассмотрим уравнение плоской затопленной струи воздуха (146). Так, для этого уравнение при условии (137) в области малых г на основании ряда Макло-рена запишем [c.173]

Групповая скорость соответствует скорости распространения вершины импульса. Часть энергии распространяется со скоростью, превышающей групповую, и возможно частичное наложение сигналов, переносимых различными волнами. Поэтому особое значение приобретает рассмотрение нестационарных процессов, обусловленных импульсным возбуждением звукопровода. Соответствующая задача может быть решена применением к уравнениям движения, а также начальным и граничным условиям двойных интегральных преоб -разований - синус-косинусного преобразования Фурье для пространственных координат и преобразования Лапласа по времени. Решения в замкнутом виде получены лишь для простейших случаев, имеющих ограниченное практическое значение. Однако можно предположить, что на значительном расстоянии от места возбуждения для не слишком высоких частот характер возмущения практически не зависит от распределения возмущающей нагрузки по возбуждаемому сечению стержня. Показано, что если изменение возбуждающей функцииДО происходит за время, которое велико по сравнению с наибольшим периодом собственных колебаний тела, эффекты, обусловленные пространственным распределением приложенной силы, затухают на расстояниях, сравнимых с размерами тела, определяющими наименьшую частоту собственных колебаний (динамический принцип Сен-Венана). [c.122]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Уравнение (8-94) является обыкновенным нелинейным уравнением первого порядка относительно функции к (х). Его решение В общем случае может быть получено только численно и связано с преодолением некоторых вычислительных трудностей, обусловленных наличием особых точек U = 0 и L" = 0. Кроме того, изложенный метод Польгаузена оказался недостаточно точным для пограничных слоев с замедленным движением внешнего потока dilldx <0). Для этих случаев разработаны более точные способы. Однако метод Польгаузена сохраняет по настоящее время принципиальное значение в этом методе была впервые показана возможность аппроксимировать профили скорости однопараметрическим семейством кривых, что используется и в современных, более совершенных методах. Кроме того, при наличии ускоренного млн равномерного движения внешнего потока dU dx > 0) метод Польгаузена может давать практически удовлетворительные результаты. [c.377]

Приближение, использованное для получения решений (8.9) и (8.10) уравнения (8.6), является радикальным. Третий член в уравнении (8.7) описывает взаимное электростатическое отталкивание электронов н оказывает значительное влияние на электронные энергии и волновые функции. Поэтому движения электронов уже не считаются независимыми друг от друга, как это было бы при описании их функцией ф в уравнении (8.9) в действительности эти движения коррелированы друг с другом. Несмотря па приближенный характер, собственные функции Фе очень полезны для классификации собственных функций Яе по типам симметрии и для их описания. При учете усредненного эффекта отталкивания остальных электронов путем соответствующей добавки к Н описание электронных собственных функций в виде произведения молекулярных орбиталей сохраняется, но при этом достигается лучшее приближение к точному решению. Этот усовершенствованный метод называется приближением самосогласованного поля (ССП), а усовершенствованный однозлектронный гамильтониан обозначается символом [см. например, уравнение (9.99) в книге [41]]. Второй член в уравнении (8.7) также связан со взаимодействием движения электронов, по вклад этого члена корреляции в кинетическую энергию зависит от масс ядер и имеет тот же порядок величины, что и члены, которыми пренебрегают в приближении Борна —Оп-пенгейыера. Поэтому во всех случаях, когда не требуются особо точные расчеты, этим членом можно пренебречь. [c.187]

Неравновесные корреляции, связанные с сохранением энергии. Мы уже говорили в разделах 3.3.4 и 4.3.3, что закон сохранения энергии в кинетической теории требует особого внимания, поскольку, с одной стороны, энергия является интегралом движения и поэтому должна быть включена в набор базисных динамических переменных, но, с другой стороны, среднее значение энергии зависит как от одночастичной, так и от двухчастичной функции распределения. Иначе говоря, баланс энергии определяется не только эволюцией одночастичной функции распределения, но и динамикой корреляций. Напомним, что учет корреляций, связанных с сохранением энергии, является, по существу, основной идеей кинетической теории Энскога для плотных и сильно взаимодействующих систем. На первый взгляд кажется, что для слабо неидеальных газов учет неравновесных корреляций не столь важен, во всяком случае, — в борновском приближении для интеграла столкновений. В марковском режиме эта точка зрения подтверждается нашим анализом, проведенным в разделе 4.3.4. Действительно, мы видели, что интеграл столкновений (4.3.58) совпадает с интегралом столкновений Улинга-Уленбека, если пренебречь вкладом корреляций в двухчастичную матрицу плотности. Как выяснится позже, в немарковском режиме ситуация меняется и корреляции, связанные с законом сохранения энергии, дают вклад в интеграл столкновений уже в борновском приближении. Более того, мы покажем, что именно учет корреляций обеспечивает существование равновесного решения немарковского кинетического уравнения ). [c.314]

Особо важный вклад в понимание кавитации внес лорд Рэлей, опубликовавший в 1917 г. статью О давлении, развивающемся в жидкости при схлопывании сферической каверны [43]. Рэлей использовал предложенную Безантом в 1859 г. постановку задачи о пустой полости в однородной жидкости при постоянном давлении на бесконечности [2] Бесконечно большая масса однородной несжимаемой жидкости, на которую не действуют силы, находится в состоянии покоя. Жидкость внутри некоторой сферической поверхности мгновенно исчезает. Требуется найти мгновенное изменение давления в любой точке жидкости и время заполнения полости, полагая, что давление на бесконечности остается постоянным . Рэлей решил эту задачу с помощью уравнения энергии способом, отличным от более раннего решения Безанта, который использовал уравнения неразрывности и количества движения непосредственно. Однако Безант не развил свое решение и не применил его для исследования кавитации, как это сделал Рэлей. Сначала Рэлей вывел выражение для скорости и на произвольном радиальном расстоянии от центра каверны г, где г>7 (Я — радиус каверны). Через 11 обозначалась скорость поверхности каверны в момент времени t. В случае сферической симметрии радиальное течение безвихревое, его потенциал и скорость определяются выражениями [c.124]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...