Движение невозмущенное периодическое

Движение невозмущенное периодическое 331 [c.539]

Поэтому задача об устойчивости нулевого решения системы (2.48) не может быть решена рассмотрением одного только первого приближения и существенно зависит от членов высших порядков. А поэтому и задача об устойчивости невозмущенного периодического движения не может быть решена рассмотрением [c.112]

Теорема 3. Если характеристичное уравнение, не имея корней, модули которых более единицы, имеет корни, модули которых равны единице, то решение задачи об устойчивости невозмущенного периодического движения существенно зависит от членов высших порядков, т. е. от функций в уравнениях [c.113]

Тогда, как показано в 3 главы I, характеристичное уравнение системы первого приближения есть всегда возвратное, так что каждому корню р этого уравнения соответствует корень р-. Отсюда сейчас же следует, что невозмущенное периодическое движение почти всегда неустойчиво и что устойчивость возможна только в том случае, когда все корни характеристичного уравнения равны единице по модулю, т. е. когда все характеристические показатели имеют равные нулю вещественные части. А все эти случаи и относятся к категории особенных, в которых решение задачи требует вообще рассмотрения членов высших порядков в уравнениях (2.51). [c.113]

Мы будем рассматривать в дальнейшем только тот случай, когда исследуемое невозмущенное лагранжево движение является периодическим, что в случае закона притяжения Ньютона соответствует случаю, когда каждая из трех масс описывает эллиптическую орбиту (с одним и тем же эксцентриситетом) вокруг общего центра масс всей системы. [c.384]

Условиями устойчивости рассматриваемого невозмущенного периодического движения являются, очевидно, условия, при которых функции I, т), X, у остаются конечными для всякого вещественного значения /. [c.384]

Рассмотрим в качестве невозмущенного движения нелинейную периодическую волну. Для нее справедливы соотношения (2.7) — [c.149]

Здесь V — постоянная скорость движения точки внутри биллиарда Биркгофа значения функции p(t) указаны на ее периоде. Величина I характеризует смещение точки в направлении, ортогональном отрезку невозмущенной периодической траектории. [c.87]

Случай в соответствует типичной траектории в окрестности первичного резонанса (рис. 1.10,6). Пересечения траектории с поверхностью образуют пять гладких замкнутых кривых первичных островов), окружающих неподвижные точки (случай б). Наконец, случай г иллюстрирует еще более сложное движение замкнутую периодическую траекторию, которая за 15 оборотов по три раза обходит первичный резонанс й 5 / = 2 Этот случай представляет пример вторичного резонанса между колебаниями на первичном резонансе и невозмущенным движением. Вторичные резонансы возникают под действием возмущения и в свою очередь окружены резонансами еще более высокого порядка. [c.62]

Будем исследовать устойчивость периодического движения (5.15) по отношению к возмущениям частоты периодического движения (или, что то же самое, по отношению к возмущениям переменной действие /о невозмущенного периодического движения) и по отношению к возмущениям qi, p (i = I, 2, 3 i Ф I). [c.215]

Попытаемся установить условия, при которых решение уравнения (13.67) будет ограниченным для всех t. При этом возмущения исследуемого периодического движения (для которого (13.67) является уравнением в вариациях) будут также ограниченными и невозмущенное периодическое движение системы — устойчивым. Существуют различные приближенные способы решения уравнения (13.67). В частности, его можно было бы трактовать как квазилинейное и применить к нахождению решения метод Пуанкаре [c.562]

А. М. Ляпуновым были подробно рассмотрены случаи стационарного и периодического невозмущенного движений. Хотя стационарное движение можно рассматривать как частный [c.331]

Указанные выще два способа исследования проблемы устойчивости движения А. М. Ляпунов применил к исследованию общего случая невозмущенного движения. Но особое внимание А. М. Ляпунов обратил на случаи-стационарного и периодического невозмущенных движений, выделив задачи, в которых уравнения первого приближения не могут дать ответ на вопрос об устойчивости движения. Для решения этих задач А. М. Ляпунов применил весьма тонкие и сложные соображения. [c.332]

Обратимся к изучению явлений, возникающих при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, после достижения им критического значения и установления рассматривавшегося в 26 периодического течения. По мере увеличения R наступает в конце концов момент, когда становится неустойчивым и это периодическое движение. Исследование этой неустойчивости должно, в принципе, производиться аналогично изложенному в 26 способу определения неустойчивости исходного стационарного движения. Роль невозмущенного движения играет теперь периодическое движение vo(r, ) (с частотой oi), а в уравнения движения подставляется v = Vo + V2, где V2 —малая поправка. Для 2 получается снова линейное уравнение, но его коэффициенты являются теперь функциями не только координат, но и времени, причем по времени эти коэффициенты представляют собой периодические функции с периодом Т = 2n/ oi. Решение такого уравнения должно разыскиваться в виде [c.156]

Возникающие за источником сферические волны, сливаясь друг с другом, образуют в пространстве коническую поверхность. Эта поверхность, разделяющая возмущенную движением источника часть среды от невозмущенной, является фронтом ударной волны. Ударные волны значительно отличаются от обычных звуковых волн. Они представляют собой распространяющуюся в пространстве область сильного сжатия среды и не имеют такого периодического характера, как звуковые волны. [c.238]

Применим для этого уже известный нам метод. Внесем небольшое возмущение в рассматриваемое периодическое движение шарика и будем следить за тем, как он в дальнейшем будет себя вести. Если с течением времени его возмущенное движение будет все больше и больше отклоняться от невозмущенного, то соответствующий режим движения будет неустойчивым. [c.39]

Распределение турбулентной вязкости поперек турбулентного потока зависит от его структуры. Турбулентный поток условно можно разделить на три зоны вязкий слой, буферный слой (переходная область) и турбулентное ядро, В вязком слое, в области, непосредственно прилегающей к стенке, движение жидкости преимущественно ламинарное, т. е. молекулярная вязкость больше, чем турбулентная. Несколько дальше от стенки (за вязким слоем) течение становится нестационарным (буферный слой). После буферного слоя расположено турбулентное ядро, где весь поток вовлечен в турбулентное движение. Следует отметить, что вязкий слой не является полностью невозмущенным. Прилегающие к стенке сравнительно крупные элементы жидкости, имеющие низкую скорость, периодически отрываются от стенки и переносятся в ядро потока. Механизм этого явления полностью еще не изучен, но вероятнее всего этот процесс обусловлен неустойчивостью вязкого слоя. Элемент жидкости, оторвавшийся от поверхности, замещается жидкостью с большей энергией из удаленной от поверхности области именно эта жидкость приносит энергию, необходимую для отрыва элемента жидкости от поверхности. В ядре потока турбулентность генерируется и поддерживается элементами жидкости, пришедшими от стенки. [c.185]

Применительно к конкретным физическим и техническим объектам неустойчивость невозмущенных движений обычно может быть истолкована как параметрическое возбуждение колебаний (и наоборот). Причиной параметрических колебаний обычно являются периодически изменяющиеся параметры жесткости и инерционности. Например, при установившемся вращении вала, жесткость опор которого зависит от направления реакций, эффективная жесткость системы - периодическая функция времени в кривошипно-шатунном механизме периодически изменяется приведенная масса, т.е. инерционная характеристика. Исследование устойчивости [c.471]

Итак, при равномерном движении массы по струне, лежащей на случайно-неоднородном основании, жесткость которого обладает скрытой периодичностью, возможна неустойчивость в среднем вертикальных колебаний массы. Неустойчивость имеет место, если характерная частота изменения жесткости упругого основания под движущейся массой O %q близка к удвоенной частоте собственных колебаний массы при ее движении по струне, лежащей на однородном (невозмущенном) упругом основании. Зоны неустойчивости сравнительно (по сравнению с периодическим основанием струны) велики, но существенно уменьшаются, а затем и совсем пропадают при увеличении радиуса корреляции неоднородности. [c.281]

Когда энергия становится выше порогового значения, внутри первого резонансного тора появляется второй. Включается взаимодействие (а, р 0), и уравнения движения вводятся в ЭВМ. Получающиеся результаты приведены на фиг. П.4.5 для возрастающих значений энергии. Фиг. П.4.5, а соответствует значениям Е, при которых в невозмущенной системе могут существовать только (2—2)-резонансы. Видно, что большинство торов лишь слабо искажены возмущением. Однако окрестность резонансного невозмущенного тора искажена весьма существенно окружность заменяется зоной, содержащей серповидные кривые, группирующиеся около периодических траекторий. Такая картина находится в прекрасном согласии с КАМ-теоремой. Если же теперь энергия превысит пороговое значение для (2—3)-резонанса, то, как видно из фиг. П.4.5, б, возмущенная зона 2—2 отодвигается от начала и уширяется. Более того, возникает новая возмущенная зона, соответствующая (2—3)-резонансу. По мере дальнейшего роста энергии обе зоны уширяются и, наконец, начинают перекрываться. [c.370]

В работах [ ] и р], в которых изучалось влияние течения Куэтта на конвективную устойчивость, для решения амплитудной краевой задачи использовались разные приближенные методы. В [ ] амплитуды скорости и температуры разлагались по полным системам базисных функций в р] уравнения решались численно методом конечных разностей. Результаты обеих работ полностью согласуются. Поскольку случай к = О, как указывалось выше, не приводит к изменению критического числа Рэлея, основное внимание было уделено случаю к фО, / 2 = О (плоские возмущения, периодические в направлении невозмущенного движения — у-валы ). В этом случае нейтральное значение числа Рэлея зависит от к К = К(/ 1). Минимизация этой зависимости дает критическое число Кт как функцию остальных параметров — чисел Рейнольдса и Прандтля. Основные результаты представлены на рис. 103. Как видно, для всех видов возмущений, кроме л -валов к = 0), движение с профилем [c.270]

Здесь к — коэффициент теплопроводности, (57 /5х) — размерный градиент температуры на стенке, а = 2/Л — размерная длина волны периодического решения. В невозмущенном плоскопараллельном движении температура Т о линейно меняется [c.353]

Асимптотическое решение уравнений движения при наличии периодического момента. Вибрационный разгон тележки. В случае периодического момента первые интегралы невозмущенной задачи, найденные в п. 2 примем в качестве новых переменных и вместо переменных 3, Р,У введем переменные Z, То, Kz, которые связаны со старыми переменными формулами [c.560]

Из полученных результатов следует, что при отсутствии возмущений вдоль оси у луч осциллирует с частотой ш 1). В окрестности резонансной частоты ш 1о) на это движение накладывается дополнительная модуляция луча по х. Уравнения (67), (68) определяют амплитуду модуляции. Эти же уравнения определяют и область локализации луча в плоскости (ж, у). Вдоль невозмущенного луча, соответствующего действию /о, образуется дополнительный волноводный канал с эффективным размером А/. Лучи, попавшие в этот канал, совершают в нем колебания относительно невозмущенной траектории с частотой 11. Это обусловливает периодическую модуляцию групповой скорости Vg волнового поля, также появляются модуляционные колебания фазовой скорости Ур. [c.815]

Если функции phs и коэффициенты разложнеий в ряды функций Rs — периодические функции времени с одинаковым вещественным периодом, то невозмущенное движение называется периодическим. [c.331]

Понятие о параметрических резонансах. Уравнение (1) имеет тривиальное ре-тиение q s О, которое отвечает невозмущенному равновесию или невозмущенному периодическому движению системы. Пусть коэффициенты уравнений зависят от некоторых параметров, характеризующих свойства параметрического воздействия и (или) системы. При некоторых значениях параметров решение q = О может оказаться неустойчивым. Это означает, что имеет место параметрическое возбуждение колебаний механической системы. Множества точек, соответствующих неустойчивости, как правило, образуют области в пространстве параметров, которые называют областями неустойчивости областями динамической неустойчивости) механической системы. Если параметрическое воздействие — периодическое и если среди варьируемых параметров содержатся частоты параметрического воздействия, то особый интерес представляет нахождение частотных соотношений, при которых наблюдается наиболее интенсивное параметрическое возбуждение. Эти частотные соотношения, как и возбуждаемые при этих соотношениях колебания, называют параметрическими резонансами. [c.117]

Воспользуемся принципом усреднения, применявшимся еще Гауссом при анализе возмущений кеплеровых орбит планет (см. [3, гл. 51). Для этого усредним правую часть уравнения (4.3) по периоду невозмущенного периодического движения [c.51]

В случае либрационного движения период возмущенного движения (которое также является периодическим) в общем случае отличается от периода невозмущенного движения, так что х t а + Ь) — х (/ а) не может все время оставаться малым, и, стало быть, и ф (г а + 6) — ф (< а) не будет малым. В других, менее простых случаях (например, в ограниченной задаче трех тел, см. гл. XXVIII) лишь очень немногие характеристики оказываются устойчивыми по Ляпунову. [c.478]

В этой главе описываются некоторые методы, приложимые к системам, уравнения движения которых не могут быть решены точно, но вместе с тем некоторая упрощенная задача — называемая невозмущеиной задачей — допускает точное решение. При этом предполагается, что различие между интересующей нас возмущенной системой и упрощенной невозмущенной системой может рассматриваться как малое возмущение. В первом параграфе рассматриваются прямые методы трактовки возмущений эти методы используются для исследования ангармонического осциллятора. Во втором параграфе излагается каноническая теория возмущений, на которой основывается кваи-товомехаинческая теория возмущений. Рассмотрен также кратко вопрос о секуляриых и периодических возмущениях. [c.182]

Задачи об устойчивости состояний равновесия занимают одно из центральных мест в теории устойчивости механических систем. К этому классу принадлежит большинство задач об устойчивости элементов конструкций и машин, загруженных квазистатическими силами. Кроме того, многие задачи устойчивости движения также приводятся к задачам об устойчивости состояний равновесии. Так, стационарное движение системы при силах, не зависящих от времени, может быть представлено в виде некоторого относительного равновесия. В других случаях нестационарностью невозмущенного движения допустимо пренебречь. Например, рассматривая устойчивость прямолинейной формы упругих стержней, нагруженных продольньпаи силами -периодическими функциями времени, обычно пренебрегают продольными колебаниями от действия этих сил [3]. Задача об устойчивости движения в результате сводится к родственной задаче об устойчивости равновесия. [c.473]

На вутренней части лопасти циркуляция присоединенных вихрей в направлении комля плавно уменьшается до нуля. При этом с лопасти сходит пелена продольных свободных вихрей, направление вращения которых обратно концевому вихрю. Поскольку градиент изменения циркуляции присоединенных вихрей по радиусу невелик, сходящий с комля лопасти вихревой жгут обычно существенно слабее концевого жгута и более диф-фундирован. Если циркуляция присоединенного вихря изменяется по азимуту (при периодическом изменении нагрузок лопасти на режиме полета вперед или при переходном движении), с внутренней части лопаг-ти сходит и пелена поперечных вихрей. Элементы продольных и поперечных вихрей переносятся с местной скоростью потока воздуха, причем интенсивность в процессе такого переноса сохраняется постоянной. Скорость переноса вихрей слагается из скорости невозмущенного потока и скорости, индуцируемой самими вихрями пелены. При этом можно считать, что пелена вихрей переносится вниз (по нормали к плоскости диска винта) со скоростью, равной сумме средней индуктивной скорости и нормальной к диску винта составляющей скорости невозмущенного потока ). На режиме полета вперед эта составляющая скорости образуется при наклоне диска винта, а на осевых режимах она равна скорости полета. Принимается, что перенос элементов пелены назад (параллельно плоскости диска винта) происходит лишь со скоростью невозмущенного потока. Индуцируемые вихрями скорости существенно деформируют вихри при их движении. При этом на режиме полета вперед с каждой лопасти сходят скошенные назад спиралевидные деформирующиеся и перекручивающиеся вихри. Их форма на режимах висения и полета вперед рассмотрена в разд. 2.7.1 и 4.2. [c.651]

Рассмотрим теперь случай, когда риф произвольны, т.е. инкремент нарастания модуляционной неустойчивости не мал. Этот случай описьюает-ся полным уравнением (34.3). Непосредственное численное моделирование в длинной области [30] показало хаотический характер движения. Согласно численным экспериментам, в которых изучалось развитие локализованного начального возмущения, наложенного на основное течение [20], в расчетной области формируются разделенные переходными фронтами три зоны, в которых течение является невозмущенным, регулярным пространственно-периодическим и хаотическим во времени ив пространстве. Вследствие различия скоростей движения переходных фронтов с течением времени увеличивается протяженность как хаотической, так и регулярной зон. При сильной модуляционной неустойчивости происходит прямой переход от невозмущенного к хаотическому движению. [c.249]

Эти общие соображения С. А. Довбыш применил к известной задаче о вращении несимметричного твердого тела с неподвижной точкой в слабом однородном поле силы тяжести. Малым параметром здесь служит произведение массы тела на расстояние от центра масс до точки подвеса. Факторизацией по группе вращений вокруг вертикали задача сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Фиксируя еще положительное значение постоянной интеграла энергии и применяя метод Уиттекера изоэнергетической редукции, уравнения движения можно привести к гамильтоновым уравнениям с 3/2 степенями свободы и периодическим по новой переменной времени гамильтонианом рассмотренного выше типа (все детали можно найти в книге [83]). В этой задаче диаграмма сепаратрис невозмущенной задачи Эйлера (в несимметричном случае) имеет вид, изображенный на рис. 29 (точки и 2з совпадают, так как фазовым пространством системы является цилиндр, а не плоскость). Особенностью этой задачи является совпадение характеристических чисел для гиперболических положений равновесия и 2. Выделим сепатрисы Г1, Гг и Гз, как показано на рис. 29. [c.290]

Заметим, что в системах с одной степенью свободы наличие у периодического движения участка скольжения гарантирует его асимптотическую устойчивость. Действительно, возмущенная траектория может отличаться от невозмущенной лигиь до первого участка скольжения, а затем они сливаются. В системах с несколькими степенями свободы из наличия участка скольжения следует, что характеристическое уравнение (13) имеет два нулевых корня. Поэтому проверка условий теоремы 2 связана с вычислением остальных 2п — 2 корней. [c.252]

В 1945 г., исходя из инварианта Пуанкаре, Четаев доказал, что если невозмущенное движение консервативной системы устойчиво, то решения уравнений в вариациях имеют все характеристичные числа равными нулю, уравнения в вариациях являются при этом приводимыми и имеют знакоопределенный квадратичный интеграл. Эта фундаментальная теорема Четаева обобщает теорему Лагранжа для равновесий и теорему Пуанкаре — Ляпунова для периодических движений. [c.15]

Из результатов Я. Курцвейля (1956) и X. Массера (1956) следует, что если невозмущенное движение (периодическое или установившееся) асимптотически устойчиво, то существует функция Ляпунова, которая обладает всеми свойствами из теоремы II Ляпунова и имеет ограниченные частные производные по переменным х , т. е. удовлетворяет всем условиям теоремы Малкина. Отсюда сразу следует, что для устойчивости устайо- [c.52]

Фундаментальные результаты по устойчивости в критических случаях изложены в работе Г. В. Каменкова (1939). Здесь изложены результаты автора 1935—1936 гг., а также рассмотрен ряд новых случаев, в частности, случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения, двух пар чисто мнимых корней при условии отсутствия резонанса и общий случай т нулевых корней с т группами решений, 2п чисто мнимых (при отсутствии резонанса) и д корней с отрицательными вещественными частями. Исследовались также аналогичные случаи для уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь рассмотрен вопрос о возможности перехода от полной системы уравнений возмущенного движения к укороченной , содержащей лишь критические переменные, и показано, что такой переход всегда возможен в несущественно особенных случаях при суждении об асимптотической устойчивости или неустойчивости. В случае же неасимптотической устойчивости знак производной функции V может быть изменен членами порядка, большего N. Показано также, что критическая система с т-кратным нулевым корнем, которому отвечает т групп решений, и с2тг чисто мнимыми корнями при отсутствии резонанса преобразуется в новую систему уравнений с (иг + г)-кратным нулевым корнем, которому соответствует т п групп решений. Для систем с г-кратным нулевым корнем с п группами решений доказано, что для неустойчивости невозмущенного двин ения достаточно, чтобы хотя бы на одном вещественном нетривиальном решении системы уравнений [c.56]

Когда уравнения возмущенного движения нелинейны, вопрос о существовании периодических движений рассматривали А. А. Андронов (1937) для уравнений второго порядка и П. А. Кузьмин (1939) для уравнений второго и третьего порядков, а вопросы о поведении траекторий как в области точек бифуркации, так и в точках ответвления периодических орбит исследовал Н. Н. Баутин (1950). Последний показал, что в рассматриваемых случаях поведение динамической системы вблизи границы области устойчивости определяется ее поведением на самой границе. Те границы области устойчивости, на которых невозмущенное движение устойчиво,, называют безопасными , а те границы, на которых оно неустойчиво,— опасными . Нахождение опасных и безопасных границ сводится, к решению задачи устойчивости в критических случаях. Впоследствии эти результаты были развиты в работах ряда авторов (А. И. Лурье, 1951 И. Г. Малкин, 1952, и другие). [c.60]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...