Многообразие центральное

Центральным многообразием, локального семейства (г О, 0), г (О, 0)=0, называется центральное многообразие в точке (О, 0) соответствующей системы [c.18]

Теорема. Класс всех ростков векторных полей в негиперболической (имеющей лежащее на мнимой оси собственное число) особой точке представляется в виде объединения двух открытых множеств и остатка коразмерности выше единицы в пространстве всех ростков в особой точке. Первое множество соответствует нулевому собственному значению особой точки, второе — паре чисто мнимых. Типичные ростки в том и другом случае приводятся на центральном многообразии к указанному в таблице 1 виду (строки 1 и 2). Деформации таких ростков в типичных однопараметрических семействах стабильно (с точностью до надстройки седел) эквивалентны выписанным в таблице 1 главным деформациям и нереальны. [c.20]

Одно нулевое и пара чисто мнимых собственных значений центральное многообразие трехмерно. [c.26]

Две пары чисто мнимых собственных значений центральное многообразие четырехмерно. [c.26]

Теорема [43]). В типичных двупараметрических семействах векторных полей встречаются лишь такие ростки с двумя нулевыми собственными значениями в особой точке, ограничение которых на центральное многообразие в подходящих координатах имеет вид, указанный в таблице 1 (строка 5). Деформации таких ростков в типичных двупараметрических семействах стабильно (с точностью до надстройки седел) эквивалентны выписанным в таблице главным деформациям и версальны. [c.26]

Вырожденные семейства, найденные численно. Названные семейства соответствуют объединению трех линий, показанных пунктиром на рис. 26. Если А принадлежит линии 1 или 2, то одно из уравнений семейства (11а) имеет сложный цикл (сепаратрисный многоугольник) с четырьмя особыми точками типа седло-узел, причем центральное многообразие одной особой точки является устойчивым (или неустойчивым) многообразием другой (рис. 27а,б). Если А принадлежит кривой 3, то одно из уравнений семейства (Па) имеет сложный цикл с че- [c.64]

Е лишь конечное число односторонних производных (оно равно [сб] —целой части а). Поэтому, выбрав функцию / так, чтобы в системе (12) развести сепаратрису седла и гладкое инвариантное многообразие узла, получим, что центральное многообразие системы (12) негладко. Гладкость его части, заключенной в полосе е <ео, не превосходит 1/2 / ео и стремится к бесконечности при ео- 0. [c.68]

Определение. Центральным многообразием локального семейства уравнений в точке (О, 0) называется центральное многообразие соответствующего семейству x = v x, е) уравнения x = v(x,e), е = 0. [c.70]

Аналогично определяется центральное многообразие локального семейства диффеоморфизмов или периодических дифференциальных уравнений. [c.70]

Замечание. Подчеркнем, что все упомянутые в теореме представители — это ростки семейств с общим центральным многообразием, Л/-струи которых во всех точках центрального многообразия совпадают. [c.71]

Замечание. Суммарная размерность устойчивого и неустойчивого множества негиперболической особой точки с одно мерным центральным многообразием равна п+1 (п—размерность фазового пространства). Поэтому в классе векторных полей с такой особой точкой наличие гомоклинической траектории этой точки — явление общего положения. [c.89]

Пример 2. Рассмотрим негиперболическую особую точку векторного поля с двумерным центральным многообразием и парой чисто мнимых собственных значений ограничение поля на центральное многообразие имеет нормализованную 3-струю, задающую уравнение вида [c.89]

Пример 2. Рассмотрим векторное поле на R", имеющее цикл с мультипликатором (—1). Неподвижная точка преобразования монодромии трансверсали, соответствующая циклу, обладает одномерным центральным многообразием, на котором преобразование монодромии может быть записано в виде —х- -ах - -Ьх - -.... Квадрат этого преобразования записы- [c.90]

Преобразование монодромии имеет двумерное центральное многообразие, на котором (в координатах x- riy= z) оно может быть записано, в виде z>- vz-l-azj v=e f. [c.91]

Под сепаратрисой положения равновесия типа седло-узел подразумевается здесь часть центрального многообразия, не принадлежащая двумерному устойчивому или неустойчивому множеству другими словами, общая граница двух гиперболических секторов. [c.101]

Пусть цикл векторного поля имеет мультипликатор 1 и является седлом по гиперболическим переменным. Тогда ограничение поля на центрально устойчивое (це трально неустойчивое) многообразие имеет цикл типа устойчивый (неустойчивый) узел по гиперболическим переменным. На многообразиях и можно определить, как и выше, сильно устойчивое и сильно неустойчивое слоения, обозначаемые через и [c.116]

В этом параграфе исследуется асимптотика по параметру решений уравнения с быстрыми и медленными движениями при стремлении параметра к нулю. Здесь рассматриваются только такие системы, в которых особые точки уравнения быстрых движений теряют устойчивость с изменением медленной переменной в результате обращения в нуль одного (и только одного) из собственных значений линеаризации. Другими словами, уравнение быстрых движений при любом значении медленной переменной имеет не более чем одномерное центральное многообразие. Медленная поверхность в этом случае распадается на устойчивую и неустойчивую части, разделенные точками срыва — критическими точками проектирования медленной поверхности на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых. Такие уравнения назовем уравнениями типа 1 в знак одномерности центральных многообразий. [c.183]

Типичные системы. Рассмотрим класс быстро-медленных систем (2), медленная поверхность которых состоит из регу-. лярных точек (диффеоморфно проектируется на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых). Потребуем также, чтобы множество негиперболических положений равновесия системы быстрых движений состояло из точек с. двумерным центральным многообразием и парой ненулевых собственных значений на мнимой оси. Такие системы назовем системами типа 2. Эти системы образуют открытое множество в подходящем функциональном пространстве. [c.192]

Если на рис. 76 не обращать внимания на то, что часть фазовой кривой изображена пунктиром, то мы увидим типичное поведение траектории в центральном поле сил и вообще в системе с циклической координатой. Таким образом, область возможности движения типа кольца есть в некотором смысле (несложные уточнения опускаем) проекция фазового тора на многообразие положений, а траектория движения есть проекция фазовой обмотки тора. Аналогичные утверждения справедливы и в случае Лагранжа движения тела с неподвижной точкой, только здесь обмотки проектируются с некоторым перекосом. [c.268]

I — главный центральный момент инерции, h — коэффициент вязкого трения, М — момент внешних сил. Пусть М = М (t 3) является известной функцией угла -ф поворота руля. При М = О установившийся угол ф зависит от начальных условий и может принимать согласно (4.46) любое значение ф = onst, т. е. при М = О судно обладает многообразием равновесных состояний. Создание одного устойчивого состояния равновесия, соответствуюш,его заданному курсу ф = О, возможно лишь посредством перемещения руля. Одной из простейших систем автоматической стабилизации курса является двухпозиционный авторулевой, при котором руль может находиться лишь в двух положениях -ф = создавая в каждом из них равные, но противоположно направленные моменты сил М = М . При этом положение руля за-ВИСИТ ОТ СОСТОЯНИЯ судна, т. е. является [c.105]

Теорема сведения ([117], [20]). Локальное семействовекторных полей (и О, 0), г (О, 0)=0 топологически эквивалентно надстройке седла над ограничением семейства на его центральное многообразие. Это ограничение (обозначим его-(ш О, 0) представляет собой локальное семейство с с-мерным фазовым пространством, где с — размерность центрального многообразия ростка v -, 0)). Если локальное семейство (ш О, 0) является версальной деформацией ростка w -, 0), тО исходное семейство (и О, 0) является версальной деформацией, ростка г ( , 0). А [c.18]

Результаты исследования резюмируются ниже в виде таблиц и рисунков. Размерность фазового пространства уравнений, приводимых в таблицах, равна размерности центрального многообразия деформируемого ростка. В первом столбце таблицы указывается класс деформируемых ростков, во втором — его коразмерность V, в третьем описываются типичные ростки, в четвертом указывается топологическая нормальная форма деформируемого ростка, в пятом — главные деформации. Бифуркационные диаграммы и соответствующие фазовые портреты изображаются на рисунках, номера которых указываются в шестом столбце таблицы. Связь между типичными и главными деформациями для рассмотренных ниже классов такова. [c.19]

Два собственных значения равны нулф центральное многообразие двумерно соответствующий блок линейной части — нильпотентная жорданова клетка. [c.26]

В таблице 3 v — коразмерность вырождения, и+ — максимальный показатель мягкой, и- — жесткой потери устойчивости. Прочерк означает, что в рассматриваемом классе нет устойчивых ростков (встречаемых в трехпараметрических семействах общего положения). Перечисленные в таблице 3 классы определены в [26, 5, гл. 3]. Напомним расшифровку некоторых обозначений. Нижний индекс в обозначении класса W " указывает размерность центрального многообразия верхние символы до точки с запятой обозначают вырождения линейной части О — нулевое собственное значение, I — пара чисто мнимых, / — нильпотентная жорданова клетка, порядок которой устанавливается по размерности центрального многообразия. Знак после точки с запятой символизирует отсутствие вырождений в нелинейных членах число нулей после точки с запятой равно числу вырождений в нелинейных членах. [c.41]

Бифуркации фазовых портретов в окрестности цикла полностью описываются бифуркациями соответствующего Преобразования монодромии. Поэтому основным объектом изучения в этой главе являются бифуркации ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке. Локальные семейства ростков диффеоморфизмов, их эквивалентность, слабая эквивалентность, индуцированные и нереальные деформации ростков определяются так же, как и для ростков векторных полей (см. п. 1.5). Для ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке справедливы аналоги теорем сведения ([26, п. 2.4, гл. 6] и п. 1.6, гл. 1). Ограничение ростка диффеоморфизма на центральное многообразие называется редуцированном ростком диффеоморфизма. Отметим, что редуцированный росток может менять ориентацию, даже если исходный росток ее не менял пример diag(l —1 [c.42]

Теорема . В типичных х-параметричесйих семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке встречаются только такие ростки с мультипликатором 1 (или —1) и одномерным центральным многообразием, вблизи которых семейства локально слабо эквивалентны надстройке седла над одним из главных семейств (8 ) (соответственно, (9 )) при слу- [c.53]

Замечание. Конечногладкая версальная деформация является сколь угодно гладкой , но не бесконечногладкой . Дело в том, что чем выше гладкость диффеоморфизма, сопрягающего произвольную деформацию и индуцированную из версальной, тем меньше, вообще говоря, область изменения параметров. Аналогично обстоит дело с гладкостью центрального многообразия для гладкого векторного поля оно сколь угодно гладко, но не бесконечногладко чем выше требования гладкости, тем меньшая окрестность особой точки на центральном многообразии этой гладкостью обладает. [c.67]

Центральное многообразие этой системы двумерно исследуем его пересечения с плоскостями е = onst. Система (12) получается добавлением уравнения е = 0 к семейству из последних двух уравнений. При е > О уравнение этого семейства имеет две особые точки седло 5g(]/E,0) и узел Ne — OJ, отношение а собственных значений которого равно 1/2]/ е. Пересечение центрального многообразия системы (12) с плоскостью E = onst содержит (гладкую) сепаратрису седла Sg и фазовую кривую, входящую в узел Ne- Через узел Ne проходят (при нецелом а) ровно две гладкие инвариантные кривые соответствующего уравнения остальные фазсвые кривые входят в узел, имея в точке [c.68]

Следствие. Пусть v — росток гладкого векторного поля в особой точке с собственным значением О и одномерным центральным многообразием. Пусть кратность этой особой точки равна j,+ l, и вещественные части ее ненулевых собственных значений образует нерезонансный набор. Росток с такими свойствами встречается в типичном семействе, зависящем не менее чем от р, параметров. Деформация такого ростка в типичном гладком ( j,+1)-параметрическом семействе конечногладко эквивалентна главной [c.75]

Функциональные инварианты семейств векторных полей. С -гладкая классификация деформаций ростков векторных полей в особой точке с парой чисто мнимых собственных значений также имеет функциональные инварианты. Ограничим семейство на его центральное многообразие. Получим (конечно гладкую) деформацию ростка векторного поля с линейной частью типа центр на плоскости. Преобразование монодромии, соответствующее продеформированному ростку, имеет две гиперболические неподвижные точки (для тех значений параметра, которым соответствует цикл продефор миров а иного уравнения) одна точка — особая, другая принадлежит циклу. Функциональный инвариант С -классификации таких преобразований построен выше. [c.77]

Рис. 29. Три последовательных бифуркации удвоения для диффеоморфизма плоскости. Бифуркации происходят при переходе от рис. а к рис. б, от 2 к d и от d к е. На рис. виг показаны перестройки неподвижных точек квадрата диффеоморфизма. На рис. г сплошными линиями показаны инвариантные кривые диффеоморфизма, а пунктирными — инвариантные кривые его квадрата на этих кривых диффеоморфизм действует как инволюция. На рис. д сплошными линиями показаны инвариантные кривые квадрата диффеоморфизма, а пунктирными—инвариантные кривые его четвертой степени. Кривые рис. е инвариантны относительно шестнадцатой степени диффеоморфизма. Неустойчивое многообразие каждой седловой неподвижной точки содержит в своем замыкании неустойчивые ыногообрагия всех седловых неподвижных точек, рождающихся при последующих бифуркациях. Нэ рис. е изображены лишь центральная и левая части множества неподвижных точек и инвариантных кривых шестнадцатой степени диффеоморфизма

Устойчивое, неустойчирое и центральное многообразие точки и цикла определены в [1621 и обозначаются W и W (или Wb, Wb-, WL Wl Wl где О и I-соответствующие точка и цикл). Устойчивое и неустойчивое множества точки и цикла обозначаются 5 и (или SS, So, S[, SI, где О и Z —соответствующие точка и цикл). [c.89]

Пример 1. Рассмотрим негиперболическую особую точку О векторного поля с одномерным центральным многообразием, ограничение поля на которое имеет вид ах +. ..) djdx, а О. Если эта особая точка — узел по гиперболическим переменным, то росток в точке О одного из множеств 8 , S диффеоморфен ростку луча в его вершине, а росток другого множества — ростку полупространства в граничной точке. Если особая точка О — седло по гиперболическим переменным, то ростки множеств S и диффеоморфны росткам полупространства размерности выше единицы в граничной точке dim S = dim +1, dim S = dim W +l. [c.89]

Пример 1. Для векторного поля на R", имеющего цикл/, С мультипликатором -j-l. неподвижная точка преобразования монодромии трансверсали D в окрестности L обладает одномерным центральным многообразием, и ростки множеств SiP D, St lD ь неподвижной точке такие же, как ростки S o, So векторного поля на R" в особой точке с одномерным центральным многообразием (см. пример 1, п. 1.2). Росток же множества 51 (S ) на L диффеоморфен ростку на окружности 0 х5 прямого или косого произведения s-мерного (к-мерного) полупространства с нулем на границе на окружность S . Здесь s = dimU> i, u = В частности, если Z, — устойчивый узел [c.90]

В качестве примера приведем функционал для негиперболической особой точки с одномерным центральным многообразием. Пусть векторное поле имеет негиперболическую особую точку О с одномерным центральным многообразием. Введем систему координат х, уи. .., t/n-i) так, чтобы ось Ох касалась центрального многообразия в точке О, а за у=(уь... , Уп-i) выберем карту в дополнительной плоскости. Тогда любое С -близкое к Vo векторное поле v запишется в виде У)у y=g x, у), detdg/dy 0)= 0. Поэтому уравнение g = = 0 имеет единственное решение г/=ф(>г). Значение / в точке экстремума функции f(x, ф(>г)) и полагается равным значению функционала х на v. [c.94]

Предположим, что при малых е>0 точка Q исчезает, а при е<0 распадается на две невырожденные. Пусть ty — окрестность точки Q, в которой определено проектирование n w- WQ вдоль слоев сильно устойчивого слоения Fq диффеоморфизма /о на его центральное многообразие. Окрестность w делится многообразием Wq на две части w nw, определяемые требованиями K/ora zty, nfo w ( w. Поскольку все точки на — гомоклинические, то для любой дуги Fdw существует такое к, что дуга / Г принадлежит W-. [c.120]

Теорема ([86], [94]). Пусть (л , у) = р — точка складки медленной поверхности быстро-медленной системы (2) типа 1 (то есть системы с не более чем одномерными центральными многообразиями положений равновесия быстрых движений). Пусть вектор С х, у, 0) трансверсален проекции складки на базу вдоль слоев (то есть проекции складки на пространство-медленных переменных вдоль пространства быстрых). Пусть, кроме того, этот вектор направлен наружу по отношению к проекции медленной поверхности на плоскость медленных переменных. Тогда существует такая окрестность U точки р в фазовом пространстве, что для любой точки qW связная компонента пересечения окрестности U с положительной полутра-екторией системы (2) с началом q при е->0 стремится к регулярной фазовой кривой вырожденной системы. [c.184]

Анализ бифуркаций фазовых портретов в окрестности положений равновесия в типичных однопараметрических семействах многомерных систем был обоснован после того, как появилась общая теорема сведения А. Н. Шоши-тайшвили [117], сводящая исследование произвольных локальных семейств к исследованию их ограничений на центральное многообразие. Важно отметить, что типичность редуцированного семейства равносильна типичности исходного это также доказано в [117]. Само существование центрального многообразия установлено ранее В. А. Плиссом 19 70] (при отсутствии неустойчивого многообразия), а для общего случая — Кэли [173 1] и Хиршем, Пью и Шубом, (1971) подробное изложение — в [162]. [c.208]

Отсюда видно, что при h= п, если все знаменатели положительны, мы имеем эллипсоид, при Л = 1, 2,..., п — 1—центральную поверхность второго порядка иного вида все эти поверхности второго порядка будут софокус-ными, так как соответствующие фокальные многообразия зависят исключительно от разностей знаменателей, которые при изменении q не изменяются. [c.381]

Продолжая классическую традицию английской физики У. Томсона, Фарадея Мак-Куллоха, Максвелла, которые шли по пути построения физических (механических) моделей на основе аналогии, Лармор ) в конце XIX в. также ставит перед собой задачу сведения всего многообразия явлений к динамическим принципам. Он считает центральной задачей разработку идеи о каком-либо определенном характере связи между эфиром и веществом. Для этой цели он воспользовался принципом наименьшего действия, который, по его мнению, позволяет свести к динамике такие физические теории, внутренний динамический механизм которых скрыт от непосредственного наблюдения. Аналогичную точку зрения на проблемы электродинамики развивал ранее Гельмгольц. Лармор находит классический вид лагранжиана и, воспользовавшись определением величин Е и Н и тем, что полная энергия системы связана с L, выводит уравнения Максвелла. Легко доказать, идя несколько иным путем, что уравнения [c.856]

Сложность проблем, решаемых методами стандартизации, вполне естественно отражает многообразие вопросов, касающихся ее сущности. И среди них центральным был и остается вопрос о научной сущности стандартизации, конкретно выражаемый фразой что такое етандартизация — наука или [c.58]

Многообразие условий работы поворотной платформы делает этот узел центральным местом в экскаваторе. Служа в верхней своей части местом установки всех (или части) механизмов экскаватора, рабочего оборудования и противовеса, эта платформа в то же время является элементом (стержнем) фермы, другие стержни которой образуются передним упором и задней оттяжкой—так называемой двуногой стойки. [c.1191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...