Дифференциальные уравнения точки

Рассмотренные колебания, как и те, что будут рассмотрены в 95, 96, называют линейными, так как они описываются линейными дифференциальными уравнениями. То, что период этих колебаний не зависит от начальных (или краевых) условий, а следовательно, и от амплитуды, является одним из основных свойств линейных колебаний. Колебания, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, называют нелинейными-, они упомянутыми свойствами не обладают (см. задачу Г15). [c.235]

Если локальному подходу соответствовал аппарат дифференциальных уравнений, то глобальному подходу соответствует аппарат вариационного исчисления. В связи с тем, что основы вариационного исчисления обычно незнакомы студентам к моменту, когда изучается классическая механика, автор вынужден предпослать изложению вопросов, связанных с глобальным подходом, некоторые сведения о вариационном исчислении, ограничиваясь лишь самыми необходимыми фактами мы рассмотрим к тому же не общий, а лишь частный, недостаточный для наших целей случай, когда сравниваются кривые, принадлежащие одному и тому же однопараметрическому семейству (пучку). [c.272]

Из теоремы об изменении количества движения для точки и системы при некоторых условиях для внешних сил можно получить так называемые первые интегралы системы дифференциальных уравнений точки и системы. Эти первые интегралы называют законами сохранения количества движения или проекции количества движения на ось. Рассмотрим эти законы сохранения для точки и системы одновременно, считая материальную точку механической системой, состоящей из одной точки. [c.261]

Из теоремы об изменении количества движения для точки и системы при некоторых условиях для внешних сил можно получить так называемые первые интегралы системы дифференциальных уравнений точки и системы. Эти первые интегралы называют законами сохранения [c.287]

Если ф = С[ а ф = С2 — два независимых первых интеграла канонической системы дифференциальных уравнений, то, приравнивая постоянной скобки Пуассона (ф, ф), найдем третий интеграл канонической системы. [c.367]

В теории дифференциальных уравнений точка t = Q называется правильной особенностью. [c.151]

Составим дифференциальное уравнение точки в векторной форме [c.473]

По условию задачи F=n-OM, где п — коэффициент пропорциональности. При ОМ = 1 F= k m, поэтому n=k m и, следовательно, F=k mr, где ОМ=г есть модуль радиуса-вектора г движущейся точки. Составим дифференциальное уравнение точки в векторной форме [c.476]

Из этого примера видно, что если при составлении уравнений связей получаются интегрируемые дифференциальные уравнения, то эти связи являются голономными (интегрируемыми). [c.749]

Содержание второй теоремы подобия сводится к следуюш,ему если физическое явление описывается системой дифференциальных уравнений, то интеграл этой системы можно представить как функцию чисел подобия, полученных из дифференциальных уравнен и й. [c.269]

Так как уравнение (а) представляет собой линейное дифференциальное уравнение, то сумма нескольких решений этого уравнения также будет его решением. В силу этого можно производить наложение элементарных решений, полученных в этом параграфе, и находить новые решения, представляющие практический интерес. Ниже будет рассмотрено несколько примеров использования метода наложения. [c.56]

Что касается дифференциальных уравнений, то мы возьмем их прямо в форме (34 ), (35 )- Ограничиваясь здесь пока уравнениями Эйлера (34 ), мы видим, что третье из них (совпадающее в этом случае с уравнением (15) п. 7) приводится в силу условий (41) к виду [c.112]

Если проинтегрировать эти дифференциальные уравнения, то получатся значения всех эйлеровых углов. При задании начальных данных, т. е. этих углов при / = О, задача будет определенной. [c.177]

Второй случаи, заключающийся в вышеприведенных формулах, есть тот, когда точка двигается по данной поверхности только иод влиянием начального толчка. Такая точка описывает кратчайшую линию, определение которой зависит от дифференциального уравнения второго порядка. Из предыдущих рассуждений вытекает, что если мы знаем один интеграл этого дифференциального уравнения, то мы можем простой квадратурой вывести отсюда уравнение траектории, связывающее между собой только координаты. Так как в этом случае силовая ( )ункция Г обращается в нуль, то уравнение в частных производных будет [c.154]

Если известен общий интеграл Ф (л , у, С) = О дифференциального уравнения, то огибающая этого семейства интегральных кривых дает особое решение (см. стр. 268). [c.211]

Безразмерная температура определяется решением дифференциальных уравнений то прем осям координат. [c.120]

В предыдущем параграфе уравнения динамической модели одномерного линейного технологического процесса были представлены в виде дифференциального уравнения (10.4), весовой функции (10.5), частотной характеристики (10.6). Было также сказано об эквивалентности этих представлений. Эквивалентность выражений (10.4) и (10.5) вытекает из того, что если задано дифференциальное уравнение, то весовая функция будет функцией Грина этого уравнения и эта функция всегда существует. Если же задана весовая функция g t, т), то порядок уравнения п находится как порядок первой отличной от нуля производной g t, t) по t при t = X плюс единица. Для линейно независимых правых частей X t) берем соответствующие им значения Y ( для всех i 1, 2,. . ., и) [c.325]

В данном случае мы получили результат путем интегрирования дифференциального. уравнения, то есть решая бесконечномерную задачу. Для того чтобы перейти к конечному числу переменных, разобьем конструкцию на участки (элементы) и будем аппроксимировать прогиб через смещения узлов и углы поворота линии прогиба в узлах элементов. Применим идеи, изложенные в разделе 1.1. [c.36]

Поскольку искомый параметр собственного значения Л (или со ) входит в коэффициенты матрицы разрешающих дифференциальных уравнений, то коэффициенты матрицы фундаментальных решений [см. (4.135)1, а следовательно, и коэффициенты матрицы жесткости [см. (4.136)1 будут иметь нелинейную зависимость от Л (или со ). В случае разбивки оболочки на короткие элементы для каждого элемента можно применить прием линеаризации матрицы жесткости по параметру собственного значения (см. 3.6)- и выделить для элемента матрицу, аналогичную матрице приведенных начальных напряжений (или матрице приведенных масс). В случае необходимости стыковки отдельных элементов в глобальной системе координат преобразования матриц и векторов выполняются в соответствии с зависимостями (4.103), (4.109), которые были приведены в предыдущем параграфе. [c.159]

Если между ударами система описывается системой линейных дифференциальных уравнений, то процесс можно с успехом моделировать и на ЭЦВМ, пользуясь стандартным решением. Программы, основанные на численном интегрировании, как правило, менее эффективны, чем применение АВМ. [c.178]

Предварительные замечания. Если задача о параметрических колебаниях распределенной системы сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, то дальнейший анализ может быть проведен методами, описанными в гл. VII. Для обобщенного особого случая, а также для общего случая используют численные методы из гл. VII. Области параметрического резонанса для распределенных систем строят либо путем совмещения областей неустойчивости, полученных для отдельных [c.254]

Если собственная форма tja. удовлетворяет дифференциальному уравнению, то член в скобках равен откуда имеем [c.358]

Поскольку искомый параметр собственного значения Л (или (0 ) входит в коэффициенты матрицы разрешающих дифференциальных уравнений, то коэффициенты матрицы фундаментальных решений, а следовательно, и коэффициенты жесткости кольцевого оболочечного элемента будут в общем случае иметь нелинейную зависимость от Л (или со ). В случае разбивки оболочки на короткие элементы для каждого элемента можно применить прием линеаризации матрицы жесткости по параметру собственного значения и выделить для элемента мат- [c.232]

Теперь мы в состоянии дать очень простое решение уравнения Ланжевена. Допустим, что в момент f = О броуновская частица начинает двигаться со скоростью Vq. Если бы мы рассматривали (11.2.2) как обыкновенное дифференциальное уравнение, то его решение имело бы вид [c.13]

Если производная высшего порядка входит линейно в нелинейное дифференциальное уравнение, то уравнение называется квазилинейным. Т аким образом, [c.253]

Так как статистическая линеаризация функций применяется для приближенного определения вероятностных характеристик интегралов дифференциальных уравнений, то наибольший интерес представляет определение коэффициентов к и к на основе нормального закона распределения, т. е. использование в разложении только нулевого его члена (1.113). Тогда коэффициенты ко и будут функциями среднего <Х 1)> = гпх и среднего квадратического <Х 1)> = а составляющей Х 1). Такое приближенное определение коэффициентов ко и к , И. Е. Казаков обосновывает тем, что в динамических системах нелинейные элементы в замкнутой системе обычно разделены инерционными линейными частями, которые, преобразовывая случайные функции, изменяют и закон распределения, приближая его к нормальному. Это позволяет для таких динамических систем закон распределения функции на входе в нелинейный элемент считать близким к нормальному. [c.39]

Из определения передаточной функции следует, что она характеризует соотношение между величинами на выходе и входе системы. Поскольку движение автоматической системы описывается дифференциальными уравнениями, то отношение выходной величины к входной [c.101]

Расчет на знание оценок сколь угодно грубых) для ""неконтролируемых" переменных. В результате ЧУ-задачу для системы (1.2.1) можно свести к задаче устойчивости по всем переменным для вспомогательной системы дифференциальных уравнений той же размерности [Зубов, 1959]. [c.49]

Метод Зубова построения вспомогательных систем [Зубов, 1959] основан на знании оценок (сколь угодно грубых) неконтролируемых z-переменных системы (1.2.1) и построении на основе этих оценок некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений той же размерности. Тогда функция Ляпунова для построенной вспомогательной системы решает ЧУ-задачу для исходной системы. [c.90]

Основная сложность метода анализа размерностей заключается в том, что нужно знать все параметры, влияющие на искомую величину. Для совершенно неисследованных процессов эти параметры находят, проводя предварительные эксперименты. Если же процесс уже описан математически, хотя бы на уровне дифференциальных уравнений, то в эти уравнения, в граничные и начальные условия к ним, очевидно, входят все влияющие на процесс параметры. Приводя к безразмерному виду математическое описание процесса, получают те же самые безразмерные числа. Этим занима- [c.83]

Так как вращательное движение продолговатого снаряда, центр масс которого перемещается по весьма настильной траектории, и движение волчка около вертикали описываются совершенво одинаковыми дифференциальными уравнениями, то достаточно рассмотреть устойчивость движения одного из них, например устойчивость волчка. [c.62]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Вариационные принципы выражают дифференциальные уравнения физических явлений в виде одной компактной теоремы, в них мы имеем такой тип принципов, который объединяет законы большой части физики. Законы различных областей физики выражаются несложными дифференциальными уравнениями, широко распространенньш свойством которых является то, что они могут быть сформулированы в виде вариационного принципа. Всякий же вариационный принцип эквивалентен некоторой системе дифференциальных уравнений. Таким образом, если законы каких-либо физических явлений выражаются дифференциальными уравнениями, то, исходя из чисто математических соображений, не связанных с сущностью этих явлений, возможно их приведение к вариационный форме. Это важно постольку, поскольку позволяет записать эти уравнения в форме, независимой от системы координат. [c.872]

Если мы рассматриваем какой-то класс явлений, описываемый определенной системой дифференциальных уравнений, то, приведя эти уравнения к безразмерной форме, получаем некоторую группу безразмерных комплексов, называемых критериями подобия. При этом число критериев, получающихся из каждого уравнения типа полинома, будет на единицу меньше числа членов уравнени , что следует из самой операции приведения уравнения к безр змерной форме. [c.17]

Заметим, что форма (1.40) есть аналитическое решение линейной задачи, а схема решения краевой задачи (1.46) — численное определение начальных и, если требуется, конечных параметров. Теоретически определение граничных параметров линейной системы из уравнения (1.46) можно выполнить аналитически, но целесообразней применять численный метод исключения Гаусса, т.к. трудности аналитического решения резко увеличиваются с ростом порядка матригцз А. Поэтому данное сочетание задачи Копти и численного решения краевой задачи позволяют определить предложенный одномерный вариант МГЭ как численно-аналитический метод решения дифференциальных уравнений независимо от физического содержания задачи. Если требуется решить задачу для линейной системы, состояние каждого элемента которой описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, то всегда можно применить предложенный выше алгоритм. Если состояние элементов описывается дифференциальными уравнениями в частных производных(пластинчатые и оболочечные системы), то для применения одномерного варианта МГЭ нужны дополнительные преобразования, сводящие дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальных уравнениям. В математике, как известно, возможность понижения мерности исходной задачи существует. В механике такую процедуру выполняет вариационный метод, предложенный с разных позиций вьщающимися советскими учеными академиком Л.В. Канторовичем и членом-корреспондентом АН СССР В.З. Власовым, который носит их имя. [c.390]

Итак, расчет сферической оболочки на произюльную нагрузку, в своей окончательной форме детально разработанный советскими учеными, является в настоящее время пройденным этапом, причем, если ориентироваться на асимптотическое интегрирование получающихся при этом дифференциальных уравнений, то эта задача в вычислительном отношении оказывается даже менее громоздкой, чем можно было бы ожидать. [c.186]

Обращение с нелинейностью. Мы уже видели, что задачи, решаемые с помощью ONDU T, могут быть нелинейными. В этом случае коэффициенты в дискретном аналоге зав 1сят от ф. Так как математическое описание задачи может включать несколько взаимосвязанных дифференциальных уравнений, то коэффициенты для одного ф могут зависеть от некоторых других ф. [c.94]

Из предыдущего ясно, что в окрестности неподвижных точек Ои Ог,. .., Ор и их инвариантных кривых в случае точечного отображения могут существовать сложные седловые инвариантные множества. В случае дифференциальных уравнепий аналогом такого множества могут быть только совпадающие попарно кривые 5+ и 8 . При разрушении этого слияния могут возникнуть либо внутри петель, либо вне их устойчивые периодические движения. Такой же фазовый портрет для точечного отображения на секущей поверхности отвечал бы появлению тороидальных интегральных многообразий у исходной системы, в которой взята эта секущая. Вносит ли что-нибудь новое в эту картину возможность возникновения сложного седлового инвариантного множества Оказывается, вносит. Чтобы придать конкретный смысд этому различию, будем рассматривать переменные на секущей плоскости как разность фаз с неким внешним периодическим воздействием и результирующую амплитуду колебаний, возникающих в результате зтого внешнего воздействия. При этом переход к дифференциальному уравнению можно трактовать, например, как результат использования метода усреднения. Если речь идет о фазовом портрете дифференциального уравнения, то возможные общие случаи — это либо синхронизм фаз и постоянство амплитуды (устойчивые состояпия равновесия), либо периодическое изменение разности фаз и величины амплитуды. [c.157]

Изменению подвергся в основном первый раздел— Статика . Значительно расширены 2 Аксиомы статики и 3 Связи и реакции связей , заново написан 4 Определение равнодействующей двух сил, приложенных к точке . Переработаны 22 Приведение плоской системы сил к данному центру , а также глава VIII Центр тяжести . Глава Графостатика и параграф Определение усилий в стержнях ферм методом моментных точек из учебника исключены. Из раздела Динамика исключены два параграфа Дифференциальные уравнения точки и Движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту , а также доказательство теоремы о движении центра инерции. [c.3]

Подобное представление или запись волновых величин широко распространено и очень удобно. Возможность такой записи основана на простом обстоятельстве, а именно, если некоторая комплексная величина удовлетворяет тому или иному линейному дифференциальному уравнению (или даже системе таких уравнений) с веш,ественными коэффициентами, то тому же уравнению удовлетворяют отдельно ве-гцественная и мнимая части этой комплексной величины. Имеет место и обратное положение если некоторые две величины удовлетворяют упомянутому выше дифференциальному уравнению, то ему же удо- [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...