Уравнения быстрых движений

Найдем условия несущественности учета малого параметра. Как уже ранее было сказано, точки линии Q х, у) = О являются состояниями равновесия (особыми точками) уравнений быстрых движений, поэтому поведение траекторий быстрых движений вблизи линии Q (х, у) = О полностью определяется характером этих состояний равновесия. Перепишем уравнения быстрых движений (6.17) в виде [c.227]

Отсюда следует, что если Q y < О, то точки линии Q (х, г/) = О являются устойчивыми особыми точками для приближенных уравнений быстрых движений и все траектории быстрых движений входят в область медленных движений. Следовательно, условием несущественности малого параметра является условие < О ) При Q y > О точки линии [c.227]

Q х, у) являются неустойчивыми особыми точками для уравнений быстрых движений. [c.228]

Перейдем к решению задачи о возникновении разрывных колебаний ([1, 6, 7, 8, 10, 11, 12] и др.). Рассмотрим снова уравнения быстрых движений (6.17) [c.228]

Это следствие позволяет нормализовать уравнение быстрых движений близ типичной точки складки медленной поверхности ( 2, гл. 4). [c.75]

Определение. Уравнение, заданное вертикальным полем, называется невозмущенным уравнением или уравнением быстрых движений. [c.167]

Для системы Ван дер Поля — фазовая плоскость, В —ось у. Уравнение быстрых движений х = у — х - -х. у=0. [c.167]

В общем случае (локальные) координаты на Е можно выбрать так, что невозмущенное уравнение быстрых движений примет вид [c.167]

Определение. Возмущенным уравнением или уравнением с быстрыми и медленными движениями называется однопараметрическая деформация уравнения быстрых движений. [c.168]

Определение. Множество особых точек уравнения быстрого движения называется медленной поверхностью. [c.168]

Рассмотрим точки, в окрестности которых медленная поверхность проектируется диффеоморфно. Таковы точки, в которых отличны от нуля все собственные числа линеаризации уравнения быстрых движений на фиксированном слое (т. е. при фиксированных значениях медленных переменных) — по теореме о неявной функции. Такие точки назовем регулярными. [c.168]

Аналогичное явление срыва происходит и в других системах общего положения. В соответствии с общей теорией, потеря устойчивости положения равновесия системы уравнений общего положения, зависящих от параметров (в данном случае — уравнений быстрого движения), происходят на двух гиперповерхностях пространства параметров (в данном случае — пространства медленных переменных). [c.170]

Уравнение быстрых движений аналитической системы общего положения в окрестности медленной поверхности можно аналитическим расслоенным диффеоморфизмом привести к нормальной форме x=PJE, где Р — функция нормальной формы Уитни, а Е= + С у)х . [c.172]

При большем единицы числе k быстрых переменных нормальная форма медленной поверхности системы общего положения остается такой же, как выше (добавляются лишь уравнения Х2=. .. =Xk = 0), если размерность ядра проектирования медленной поверхности на пространство медленных переменных в рассматриваемой точке равна 1, т. е. если нулевое собственное число линеаризации уравнения быстрого движения в рассматриваемом положении равновесия при фиксированных значениях медленных переменных однократно. [c.173]

В этом параграфе исследуется асимптотика по параметру решений уравнения с быстрыми и медленными движениями при стремлении параметра к нулю. Здесь рассматриваются только такие системы, в которых особые точки уравнения быстрых движений теряют устойчивость с изменением медленной переменной в результате обращения в нуль одного (и только одного) из собственных значений линеаризации. Другими словами, уравнение быстрых движений при любом значении медленной переменной имеет не более чем одномерное центральное многообразие. Медленная поверхность в этом случае распадается на устойчивую и неустойчивую части, разделенные точками срыва — критическими точками проектирования медленной поверхности на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых. Такие уравнения назовем уравнениями типа 1 в знак одномерности центральных многообразий. [c.183]

Более общим образом мы рассматриваем быстро-медленные системы, для которых особая точка уравнения быстрых движений при изменении медленных переменных теряет устойчивость с переходом пары собственных значений через мнимую ось. Для аналитических систем общего положения положительные полутраектории из некоторой области фазового пространства стремятся при е- -0 к фазовым кривым вырожденной системы, имеющим сравнимые по длине участки, один из которых расположен на устойчивой, а другой — на неустойчивой части медленной поверхности. Этим описываемые движения сходны с утками , рассмотренными ниже, в 5. [c.192]

Медленная поверхность системы типа 2 делится на две области — устойчивую и неустойчивую. Первая состоит из устойчивых положений равновесия быстрой системы, вторая — из неустойчивых их общая граница называется границей устойчивости. На устойчивой части медленной поверхности для типичной системы типа 2 открытое множество образуют точки, из которых выходят фазовые кривые медленной системы, трансверсально пересекающие границу устойчивости и такие, что при движении параметра у вдоль медленной кривой пара собственных значений особой точки уравнения быстрых движений переходит через мнимую ось трансверсально и с ненулевой скоростью. Такие точки назовем правильными ниже рассматриваются только правильные точки на устойчивой части медленной поверхности. [c.193]

Определение. Назовем простой вырожденной уткой ориентированную связную кривую, состоящую из трех дуг первая и последняя — это интервалы фазовой кривой уравнения быстрых движений, а вторая — это дуга медленной кривой, состоящая из связного устойчивого и связного неустойчивого участков (рис. 78) сначала проходится устойчивый, а затем — неустойчивый участок. [c.202]

Особенность системы состоит в том. что движение частицы в горизонтальной плоскости является быстрым, а в вертикальном направлении — медленным. Поэтому медленное движение в данном случае, как и в пп. 7 и 8 таблицы, описывается одним уравнением первого порядка. Общин внд уравнений медленного движения для всех трех изученных задач теории вибрационного перемещения также одинаков. Уравнениями быстрого движения в задаче п. 9 таблицы являются первые два исходных уравнения движения системы эта уравнения допускают точное решение 17], однако приведенное выражение для вибрационной силы W(V ) приближенное, полученное в результате пренебрежения силами сопротивления в уравнениях быстрого движения. Из анализа этого выражения следует, что в результате действия вибрации сила сопротивления титла сухого трения трансформировалась а силу нелинейно-вязкого сопротивления (см. п. 7). Если при отсутствии ви ации характерно, что частица может находиться в равновесии в любой точке среды, т. е. обладает континуумом положений равновесия, то при достаточно интенсивной вибрации она непременно погружается (или всплывает). [c.257]

Структура уточненной приближенной модели может быть изменена, когда уравнения быстрых движений описываются уравнениями второго порядка, типа уравнений Лагранжа-Максвелла.В этом случае вектор быстрых переменных г из (15) слагается из векторов х [c.179]

Для получения аналитических выражений для условий несущественности малых (паразитных) параметров, учтенных при составлении уравнений (10.15), заметим, что точки л -мерного подпространства F(x y) = 0 являются состояниями равновесия для приближенных уравнений быстрых движений (10.17) и поэтому поведение траекторий быстрых движений вблизи подпространства F (например, на расстояниях порядка л, (0< а< 1) от этого подпространства) полностью определяется характером (устойчивостью) этих состояний равновесия. Введем новое, быстрое время [c.749]

Если все 5 корней характеристического уравнения (10.18) имеют отрицательные действительные части при любых х, у, удовлетворяющих уравнениям Р (л у) = О, то точки подпространства Р являются устойчивыми состояниями равновесия для приближенных уравнений быстрых движений (10.17) и все траектории быстрых движений вблизи подпространства Р входят при возрастании t в малую окрестность последнего. Следовательно, в этом (и только в этом) случае малые паразитные параметры, учтенные при составлении уравнений (10.15), не являются существенными, по крайней мере, для процессов, начинающихся из состояний, совместных с приближенными уравнениями <и.медленных движений (10.16) ). Таким образом, условия несущественности малых (паразитных) параметров могут быть сформулированы, например, в виде условий Раута — Гурвица [95, 99] для уравнения [c.750]

Характеристическое уравнение для точки (х х , у1, у1) поверхности Р, для особой точки приближенных уравнений быстрых движений [c.850]

Уравнение быстрых движений (2.3S) гл. 2 щ>и этом имеет вид [c.101]

Следовательно, фазовые траектории вне малой окрестности (порядка [х) линии Q (х, /) = О при малом л близки к прямым X = onst. По этим кривым изображающая точка движется с большими скоростями. Эта область называется областью быстрых движений. Приближенными уравнениями быстрых движений будут [c.226]

Отметим, что согласно уравнениям быстрых движений изображающая точка будет скачкообразно перемещаться гшерх (у —. оо) при Q (д , /) > О и вниз у —оо) при Q (х, у) < 0. [c.229]

Полулокальное явление утки с релаксацией. Пусть при а=0 медленная кривая имеет две точки складки Р и Q с одинаковой координатой уо, причем отрезок PQ не содержит других точек медленной кривой пусть быстрое движение направлено от Р к Q. Изменим определение простой вырожденной утки, вставив между устойчивым и неустойчивым участками медленной кривой дополнительный отрезок фазовой кривой уравнения быстрых движений. Предположим, что при прохождении а через О г/-координаты точек Р и Q проходят друг [c.204]

Особое значение имеет приближение при решении уравнения быстрых движений (2.7), которое можно назваггь чисто инерционным. Оно основано на предположении, что "колебательная составляющая" быстрой свлы в [c.58]

Наконец, уравнение быстрых движений может допускать решения стохастического х фактера необходимым условием применимости метода в этом случае является существование среднего [c.60]

В указанном предположении для получения уравнений медленного движення в первом приближении достаточно найти приближенное асимптотически устойчивое периодически решение уравнений 0.27), (2.28) при постоянных ("замороженных") ae,ois и (и воспользоваться им при вычислении среднего в правых частях уравнений (226). Воспользовавшись к тому же малостью параметра р., ограничимся решением уравнений быстрых движений (2.27) и (2.28) при р. = О, а уравнений медленных движений (2.26) - с точностью до членов, содфжащих ц. Как будет ясно из дальнейшего, указанных приближений окажется достаточно для получения всех изложенных выше результатов, установленных методом Пуанкаре - [c.79]

Выражение Vp/q(a) в уравнении медленного движения (1.5) является вибрационным моментом, соответствующим режиму типа piq. Как отмечалось, в рамках используемого метода для достаточно точного определения этого момента можно решить уравнение быстрого движения (1.6) приближенно, считая к тому же медленную переменную а фиксщ)ован-ной ("замороженной"). С этой целью запишем уравнение (1.6) в виде [c.125]

Решая уравнение быстрых движений (4.4), будш полагать, как и в 8.2, что сила сопротивления F мала по сравнению с силой m 2 и ею в первом приближении можно пренебречь. Тогда периодическим решением уравнения (4.4), удовлетворяющим условию O.2), будет [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...