Базисные динамические переменные

Неравновесное макроскопическое состояние описывается набором наблюдаемых величин, которые являются средними значениями РтУ базисных динамических переменных Рт- С ПОМОЩЬЮ ЭТИХ переменных осуществляется сокращенное (огрубленное) описание эволюции системы на выбранной шкале времени. Возможность выбора различных шкал времени обусловлено существованием иерархии времен релаксации в макроскопических системах. [c.85]

Покажем теперь, что определение (2.1.23) неравновесной энтропии приводит к естественному обобщению термодинамических соотношений на неравновесные состояния. Для полноты мы рассмотрим ситуацию, когда суммирование по индексам базисных динамических переменных Рт и сопряженных параметров Fm включает интегрирование по координатам. Это имеет место, например, в тех случаях, когда динамические переменные Рт = Л (г) соответствуют плотностям физических величин ). Удобно ввести операции S/S PmY и S/SFm t) которые в случае дискретных индексов означают обычное дифференцирование, а в случае непрерывных индексов — функциональное дифференцирование. Папример, [c.87]

Таким образом, в общем случае сложный индекс ш = г,г включает дискретный индекс г, нумерующий базисные динамические переменные, и непрерывную переменную г. [c.87]

Для построения функции распределения, которая описывает локально-равновесное состояние жидкости, мы будем следовать общей схеме, изложенной в предыдущем параграфе. Введем базисные динамические переменные и сопряженные им термодинамические параметры ) [c.89]

Вообще говоря, истинная неравновесная Д/ -частичная функция распределения не является мультипликативной функцией, как (2.2.32). Тем не менее, энтропию Больцмана все равно можно определить для любой системы формулой (2.2.35), где fi x,t) находится из истинной неравновесной функции распределения с помощью операции интегрирования (2.2.23). Отметим, однако, что в таком случае выражение (2.2.35) определяет только часть неравновесной энтропии (как говорят, — некоррелированную энтропию). Чтобы учесть вклад корреляций на уровне квазиравновесного распределения, необходимо расширить набор базисных динамических переменных. Подробнее этот аспект кинетической теории обсуждается в параграфе 3.3. [c.94]

Квазиравновесный статистический оператор gq t) который соответствует описанию квантового газа с помощью одночастичной матрицы плотности, может быть получен из общего выражения (2.1.20) с учетом того, что в данном случае роль базисных динамических переменных Рт играют операторы Рц, = Таким образом, мы имеем [c.95]

Примеры использования таких наборов базисных динамических переменных можно найти в работах по кинетической теории сверхтекучести [44, 102, 145]. [c.100]

Отметим в заключение, что статистический оператор (2.2.73) можно также получить, следуя схеме, изложенной разделе 2.1.2, если выбрать проекционные операторы Р/ = /)(/ в качестве базисных динамических переменных. Легко проверить (оставляем это читателю в качестве упражнения), что сопряженными параметрами Fi t) для этих переменных являются величины Fi t) = nw t). [c.101]

Отметим, что это — точный результат для произвольного набора базисных динамических переменных средние значения которых описывают неравновесное макроскопическое состояние системы. Если все эти переменные — интегралы движения, то все кинетические коэффициенты (2.3.46) равны нулю и, следовательно, термодинамическая энтропия не изменяется со временем. Этот случай соответствует тепловому равновесию. [c.112]

Итак, мы получили марковские уравнения эволюции для наблюдаемых. Это является, конечно, результатом нашего пред положения, что базисные динамические переменные — единственные медленные переменные для рассматриваемой системы. Чтобы обосновать справедливость марковского приближения в каждом конкретном случае, нужно, вообще говоря, знать спектр времен релаксации в системе. Для некоторых классов неравновесных процессов (например, для гидродинамических процессов) марковское приближение оказывается вполне удовлетворительным, поэтому уравнения (2.3.57) и выражения (2.3.58) для кинетических коэффициентов имеют практическое значение. [c.115]

Задача состоит в том, чтобы вывести уравнение, описывающее релаксацию среднего импульса примеси (Р) Чтобы применить метод неравновесного статистического оператора, нам нужно выбрать базисные динамические переменные Рт- Из сказанного выше ясно, что такими переменными являются гамильтониан системы Я и импульс примеси Р. Так как изменениями температуры мы пренебрегаем, то квазиравновесное распределение (2.1.20) в данном случае запишется в виде [c.135]

Т. е. его вклад во временную эволюцию базисных динамических переменных можно учесть точно ). Член Н в (4.1.1) считается малым и представляет собой гамильтониан взаимодействия. Теперь, предполагая лишь, что базисные динамические переменные удовлетворяют условию (4.1.2), мы выведем для их средних значений кинетическое уравнение. [c.249]

В кинетической теории ферми- и бозе-систем базисными динамическими переменными служат операторы Р ,=а],а,. Соответствующая матрица приводится в разделе 4.1.3. [c.249]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности g lj t) = можно вывести по схеме, описанной в предыдущих разделах. Нужно лишь помнить, что в данном случае операторы Рц/ = играют роль базисных динамических переменных Рт и поэтому во всех общих формулах под индексами ш, п,... [c.254]

Чтобы вывести кинетические уравнения для пространственно однородной системы, возьмем в качестве базисных динамических переменных операторы чисел заполнения [c.264]

Это условие означает, что одночастичная матрица является одной из наблюдаемых, описывающих неравновесное состояние системы. Если не вводятся никакие дополнительные базисные динамические переменные, то Qq t) дается формулой (4.1.32). [c.267]

Таким образом, выбирая в качестве базисных динамических переменных Я(г) и /о-о-/(г,р), а затем используя общий метод построения квазиравновесных распределений, находим [c.290]

Общий вид кинетического уравнения второго порядка но взаимодействию находится из (4.1.19), если мы возьмем операторы Рц = в качестве базисных динамических переменных Рт- Таким образом мы приходим к уравнению [c.297]

Зная восприимчивости Хтп из линейных уравнений (5.1.8) можно найти параметры Fn t) как функции средних значений базисных динамических переменных. [c.341]

Мы видим, что неравновесные поправки к средним значениям базисных динамических переменных зависят от внешних полей только через параметры отклика Fn uj) поэтому фактически задача сводится к решению системы уравнений (5.1.18). Запишем ее в матричной форме [c.343]

Хотя мы получили точные уравнения для параметров отклика и точные выражения для поправок к средним значениям динамических переменных, следует отметить, что успех применения всего изложенного формализма к конкретным задачам в значительной степени зависит от удачного выбора базисным динамических переменных Р . Далее мы покажем, что все наборы базисных переменных оказываются эквивалентными, пока мы имеем дело с точными формулами линейной реакции. Однако это не так, если корреляционные функции вычисляются приближенно, скажем, методами теории возмущений. Как правило, чем меньше динамических переменных включено в базисный набор, тем выше порядок приближения, который приходится учитывать. Ситуация здесь во многом аналогична той, которая встречается в вариационном методе решения кинетического уравнения Больцмана [78]. Интересно, что для решения уравнений линейной реакции также можно сформулировать вариационный принцип, относящийся к различным наборам базисных переменных [68]. Этот вопрос обсуждается в приложении 5А. [c.344]

Предположим, что все интересующие нас операторы потоков включены в набор базисных динамических переменных Рп - Тогда средние потоки можно найти непосредственно из условий самосогласования [c.348]

Типичным примером является электропроводность в пространственно однородном электрическом поле, когда переменные Bj — проекции вектора поляризации Р. В этом случае Рщ проекции оператора тока J, причем Р = J. Впрочем, всегда можно добиться выполнения условий (5.1.50), включив Bj в набор базисных динамических переменных. [c.348]

Для исследования свойств обобщенных восприимчивостей в пределе а О удобно ввести матричные обозначения. Будем представлять базисные динамические переменные, внешние поля и параметры отклика в виде векторов-столбцов Р = .... .. , h uj) = ... hm uj)... и F uj) = ... Fm uj)... . Тогда восприимчивости образуют матрицы х ) = [ХтЛ )] и = [Хтп] Заменяя в уравнениях (5.1.18) динамические переменные Bj на базисные Рп и исключая с помощью (5.1.35) корреляционные функции с Рт получим матричное соотношение [c.352]

Замечательная особенность формул Кубо (5.1.61) - (5.1.63) состоит в том, что они внешне очень просты и имеют весьма общий характер. Как мы увидим дальше, с помощью формул Кубо удобно изучать свойства восприимчивостей и кинетических коэффициентов. Однако подход, развитый в разделе 5.1.1, обычно более удобен при решении конкретных задач, так как в нем проще использовать приближенные методы. При удачном выборе базисных динамических переменных даже весьма грубые приближения для корреляционных функций в уравнениях (5.1.36) дают хорошие результаты для восприимчивостей и кинетических коэффициентов (см., например, [68, 108, 144]). В то же время, при использовании формул Кубо всегда приходится производить частичное суммирование бесконечного ряда теории возмущения для корреляционных функций или функций Грина. [c.354]

Для вычислении тензора электропроводности с помощью метода из раздела 5.1.1 необходимо сначала выбрать базисные динамические переменные Р . Минимальный набор, дающий нетривиальные результаты для тензора электропроводности, состоит из компонент оператора тока - Ниже, для простоты, мы ограничимся рассмотрением только этого случая. [c.358]

Во многих приложениях отклик системы описывается матрицей восприимчивостей х ) = [Хтп )] ИЛИ матрицей кинетических коэффициентов С ш) = [Стп )] для некоторого набора базисных динамических переменных или потоков J [c.365]

В качестве базисных динамических переменных естественно взять операторы Ма а = x y z). Уравнение для неравновесной поправки к магнитному моменту [c.377]

Статистическое распределение (2.1.20) описывает обобщенный ансамбль Гиббса, или тазиравновесный ансамбль в котором средние значения базисных динамических переменных совпадают с истинными значениями макроскопических наблюдаемых ). Согласно условиям (1.3.127), параметры Fm t) выражаются через неравновесные значения наблюдаемых РпУ Поэтому квазиравновесное распределение является функционалом [c.86]

Наша цель состоит в том, чтобы получить явное выражение для квазиравновес-ной Д/ -частичной функции распределения, рассматривая fi x t) как наблюдаемую. В данном случае роль базисных динамических переменных Рт играют значения одночастичной фазовой плотности A i(x), причем т = х интерпретируется как непрерывный индекс. После этого замечания ясно, как использовать общую схему из раздела 2.1.2. [c.93]

Пример, рассмотренный в этом разделе, не исчерпывает все возможные квазирав-новесные распределения для квантовых газов. Обобщение на квантовые газы, состоящие из нескольких компонентов, представляет физический интерес, но оно, в сущности, тривиально. Новая ситуация возникает для сверхтекучих квантовых систем, когда средних значений (2.2.36) недостаточно и необходимо рассматривать также аномальные средние ai,ai) и а, а ) которые отличны от нуля в сверхтекучих системах. Это означает, что набор базисных динамических переменных должен включать операторы [c.100]

Метод проектирования Робертсона. По существу, основная идея метода Робертсона [139, 140] близка к идее метода неравновесного статистического оператора. Неравновесное состояние системы описывается средними значениями некоторых базисных динамических переменных и вводится соответствующее квазиравновесное распределение (2.3.3), в котором параметры F t) определяются из условий самосогласования (2.3.4). Вместо граничного условия в отдаленном прошлом, Робертсон, как и Цванциг, использует начальное условие для неравновесного распределения. Предполагается, что в некоторый момент времени истинное неравновесное распределение g t) совпадает с квазиравновесным, т. е. [c.127]

Отметим, что, в отличие от (4.2.14) и уравнений более высокого порядка, уравнение (4.2.13) для одночастичной матрицы плотности не содержит источника из-за условия самосогласования (4.2.10). Чтобы явно найти источники в остальных уравнениях цепочки, нужно задать форму квазиравновесного статистического оператора. Следуя общей идеологии метода статистических ансамблей, Qq t) можно найти из условия максимума информационной энтропии при заданных средних значениях некоторых базисных динамических переменных. Простейшее предположение состоит в том, что одночастичная матрица плотности (4.2.2) является единственной наблюдаемой, которая характеризует неравновесное состояние системы. Тогда мы возвращаемся к ква-зиравновесному статистическому оператору (4.1.32), описывающему идеальный квантовый газ. Мы пока ограничимся только этим случаем. Более общие выражения для квазиравновесных распределений будут рассмотрены в следующем параграфе. [c.268]

Переходя к кинетической теории плотных квантовых систем с сильным взаимодействием между частицами, мы должны иметь в виду, что динамику многочастичных корреляций и эволюцию одночастичной матрицы плотности теперь приходится описывать, по существу, на одной и той же шкале времени ). Если в начальном состоянии отсутствуют корреляции между частицами, то для восстановления всех долгоживущих корреляций требуется значительное время. Иначе говоря, квантовая кинетическая теория, основанная на граничном условии, которое вводится с помощью квазиравно-весного статистического оператора (4.1.32), будет существенно немарковскощ т. е. в кинетическом уравнении для одночастичной матрицы плотности важную роль будут играть эффекты памяти. Решать немарковские кинетические уравнения очень сложно. В большинстве задач эффекты памяти удается учесть только в первом приближении, т. е., фактически, для слабо неидеальных систем ). Поэтому кажется разумным попытаться сохранить марковский вид уравнений эволюции, расширив набор базисных динамических переменных. В контексте классической кинетической теории эта идея уже обсуждалась в разделе 3.3.4. Теперь мы хотим распространить ее на квантовые системы. [c.288]

Неравновесные корреляции, связанные с сохранением энергии. Мы уже говорили в разделах 3.3.4 и 4.3.3, что закон сохранения энергии в кинетической теории требует особого внимания, поскольку, с одной стороны, энергия является интегралом движения и поэтому должна быть включена в набор базисных динамических переменных, но, с другой стороны, среднее значение энергии зависит как от одночастичной, так и от двухчастичной функции распределения. Иначе говоря, баланс энергии определяется не только эволюцией одночастичной функции распределения, но и динамикой корреляций. Напомним, что учет корреляций, связанных с сохранением энергии, является, по существу, основной идеей кинетической теории Энскога для плотных и сильно взаимодействующих систем. На первый взгляд кажется, что для слабо неидеальных газов учет неравновесных корреляций не столь важен, во всяком случае, — в борновском приближении для интеграла столкновений. В марковском режиме эта точка зрения подтверждается нашим анализом, проведенным в разделе 4.3.4. Действительно, мы видели, что интеграл столкновений (4.3.58) совпадает с интегралом столкновений Улинга-Уленбека, если пренебречь вкладом корреляций в двухчастичную матрицу плотности. Как выяснится позже, в немарковском режиме ситуация меняется и корреляции, связанные с законом сохранения энергии, дают вклад в интеграл столкновений уже в борновском приближении. Более того, мы покажем, что именно учет корреляций обеспечивает существование равновесного решения немарковского кинетического уравнения ). [c.314]

Внешние ноля t) считаются настолько слабыми, что для описания отклика системы достаточно найти нонравку к среднему значению любой динамической неременной S Ay = ЛУ — А)щ в линейном нриближении но Таким образом, требуется найти статистическое распределение g t) в слабых полях. В соответствии с нашим обычным подходом, выделим сначала некоторый набор базисных динамических переменных Рп , от которых будет зависеть квазиравновесное распределение Qq t). Это позволит нам записать граничные условия для истинного неравновесного распределения ). Способ построения квазиравновесных распределений обсуждался в параграфе 2.1, поэтому мы не станем на нем подробно останавливаться. В данном случае удобно записать Qq t) в виде [c.340]

Мы не будем обсуждать здесь выбор базисных динамических переменных Рп, поскольку существует большое количество возможных возмущений и откликов, отличающихся друг от друга пространственными и временными масштабами. Нозже мы приведем несколько конкретных примеров, иллюстрирующих общий подход, которому посвящен этот раздел. [c.340]

Последнее выражение — оператор в представлении Гайзенберга с эффективным гамильтонианом И. В дальнейшем, если не оговаривается особо, мы будем считать, что сопряженные внешним полям динамические переменные В- базисные динамические переменные и динамические переменные Л, описывающие реакцию системы, коммутируют с N. [c.342]

Выражение (5.1.16) для статистического оператора содержит не только поля hj t), но и параметры отклика Fn t) сопряженные базисным динамическим переменным Р . Так как нас интересуют соотношения между неравновесными поправками к наблюдаемым 6 АУ и внешними полями, нужно исключить параметры отклика. С этой целью вычислим среднее значение АРш со статистическим оператором (5.1.16). Величины Тг АРт g t) и Тг АРт Qq t) сокращаются благодаря условиям самосогласо-вания (5.1.5) и мы приходим к системе уравнений для параметров отклика [c.342]

Сравнивая это уравнение с (5.1.11) и вспоминая выражение (5.1.3) для квазиравно-весного статистического оператора, мы видим, что фактически метод Кубо является частным случаем метода, изложенного в разделе 5.1.1. Он соответствует пустому набору базисных динамических переменных Р . [c.349]

Если все базисные динамические переменные и операторы потоков эрмитовы и обладают определенной четностью при обращения времени, т. е. [c.366]

Если необходимо учитывать эффекты нелокальности, то в качестве базисных динамических переменных обычно используются пространственные фурье-компоненты Ркга некоторых локальных динамических переменных Prn(i ). В таких случаях восприимчивости и кинетические коэффициенты зависят не только от частоты, но и от волнового вектора к [c.366]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...