Приближение самосогласованного поля

Подставляя (7.67) в (7.65), получим с учетом (7.69) кинетическое уравнение для электронов плазмы в приближении самосогласованного поля — кинетическое уравнение Власова [c.129]

Приближение самосогласованного поля не учитывает корреляцию между частицами кристалла, но является основным в статистической теории кристаллического состояния. Его дальнейшее улучшение мы находим в корреляционной теории кристалла . [c.288]

Остаточное взаимодействие приводит к возникновению парных корреляций между нуклонами. Поясним теперь сделанное в конце предыдущего пункта замечание, почему, несмотря на эти корреляции, приближение самосогласованного поля применимо к ядру даже при больших остаточных взаимодействиях. Допустим на минуту, что остаточное взаимодействие в ядре выключено . Тогда нуклоны строго расположатся по оболочечным состояниям, причем в силу принципа Паули в каждом заполненном состоянии сможет находиться лишь один нуклон. Теперь включим остаточное взаимодействие. Оно, конечно, будет стремиться изменить состояния нуклонов. Но, чтобы изменить состояние нуклона, надо его выбить в одно из свободных состояний. А для этого нуклонам, находящимся на внутренних оболочках, нужны большие энергии возбуждения — до десятков МэВ. Поэтому даже довольно интенсивное остаточное взаимодействие может выбивать нуклон из внутренней оболочки редко и лишь на короткие промежутки времени. В результате структура внутренних заполненных оболочек в среднем слабо искажается остаточными взаимодействиями, что и обеспечивает применимость концепции независимого движения нуклонов в ядре. Только на нуклоны последней (верхней) оболочки остаточное взаимодействие может влиять заметным образом. [c.105]

Пороги протекания существенно зависят от типа задач П. т., но критич. индексы одинаковы для разл, задач я определяются лишь размерностью пространства d (универсальность). Представления, заимствованные из теории фазовых переходов 2-го рода, позволяют получить соотношения, связывающие различные критич. индексы. Приближение самосогласованного поля применимо к задачам П. т. при d > 6. В этом приближении критич. индексы не зависят от d = 1, v = Vg. [c.162]

В 89 мы рассматривали кинетическое уравнение для плазмы в приближении самосогласованного поля без учета столкновений между частицами. В этом параграфе мы перейдем к рассмотрению эффектов, вызванных столкновениями между частицами, и в результате преобразования интеграла столкновений в уравнении Больцмана мы получим кинетическое уравнение для плазмы (Ландау [44]). [c.515]

В параграфе 4.1 первого тома эта задача решалась с помощью кинетического уравпепия Власова, т. е. в рамках приближения самосогласованного поля. [c.33]

Этим же уравнением описывается движение частицы, входящей в состав классической среды, в приближении самосогласованного поля, в котором величины Е и В включают наряду с полями внешних источников, также средние поля остальных частиц среды. [c.235]

Сумма состояний для системы атомов двух сортов в приближении самосогласованного поля, выражаемого формулой (4.11), имеет вид [c.111]

Следующее приближение для е(кш) носит целый ряд названий (приближение хаотических фаз, приближение независимых пар, приближение самосогласованного поля, нестационарное приближение Хартри—Фока и т. д.). Названий имеется почти столько же, сколько есть способов вывести окончательный результат. Мы будем пользоваться термином приближение хаотических фаз (RPA). Обсудим сначала конечный результат, а затем кратко наметим один из многих возможных способов его вывода. Расчет в рамках RPA дает [c.184]

Рассмотрим простейший случай. Ограничимся приближением самосогласованного поля. Тогда в результате редукции из [c.177]

В этой книге в качестве принципиальной основы для понимания взаимодействия между электронами взято приближение самосогласованного поля. Метод псевдопотенциалов используется как принципиальная основа для понимания взаимодействия между электронами и ионами, которое, собственно говоря, и создает твердое тело. При рассмотрении кооперативных эффектов сосредоточено внимание как на параметре порядка, так и на его микроскопической сущности. Я старался выделить физические принципы, а не математические методы, за исключением, правда, тех случаев, когда методы эти оказываются полезными для понимания и анализа свойств твердых тел. Ударение делалось на современных проблемах и новейших принципах, однако изложены и традиционные основы, на которых покоится новейшая теория. [c.8]

ПРИБЛИЖЕНИЕ САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ [c.84]

Говоря об электронных состояниях, мы неявно предполагали, что можно рассматривать поведение некоторого индивидуального электрона, который движется в поле данного потенциала. Но такой подход является по необходимости приближенным, поскольку всегда имеется много электронов и они взаимодействуют друг с другом. Волновая функция системы зависит от координат всех присутствующих электронов, а благодаря взаимодействию между ними переменные в уравнении Шредингера не разделяются. Если бы мы смогли аппроксимировать взаимодействие данного электрона со всеми другими с помощью некоторого потенциала, зависящего лишь от координат данного электрона, то только в этом случае оказалось бы возможным представить гамильтониан в виде суммы членов, каждый из которых является функцией координат одного электрона, и только тогда можно было бы разделить переменные в уравнении и рассматривать электроны независимо. Такая аппроксимация называется приближением самосогласованного поля. Расчет должен быть самосогласованным, поскольку необходимо знать сами состояния, чтобы вычислить потенциал взаимодействия, который в свою очередь должен быть известен при определении состояний электрона. [c.84]

Почти все теории твердого тела основываются на таком приближении самосогласованного поля. В гл. IV, когда будет введено вторичное квантование, мы непосредственно получим то же самое приближение Хартри — Фока, о котором мы сейчас будем говорить. Мы увидим также, рассматривая кооперативные явления, каким образом с помощью самосогласованного поля можно описать более сложные взаимодействия, ответственные за магнетизм и сверхпроводимость. [c.84]

Очень важно, что энергетические зоны могут быть определены для реальной системы в любом случае. Мы всегда можем на основании трансляционной симметрии сконструировать многоэлектронные состояния, отвечающие хорошо определенным волновым векторам. Основное состояние, например, будет соответствовать к = 0. Мы можем определить зонную энергию как изменение энергии при перенесении электрона из бесконечности в систему из N электронов, первоначально находившуюся в основном состоянии. Такое изменение энергии можно выразить как функцию волнового вектора, характеризующего состояние системы из 4- 1 электрона, в результате чего мы получим энергетические зоны, непосредственно наблюдаемые экспериментально. Такие зоны называются зонами квазичастиц. Мы будем говорить о них в следующей главе в связи с теорией ферми-жидкости. Расчеты в приближении самосогласованного поля — это просто попытки получить приближенные зоны квазичастиц. [c.91]

Явный успех расчетов в приближении самосогласованного поля для переходных металлов создает впечатление, что наше интуитивное представление о сходстве между потенциалами в твердом теле и свободном атоме оказывается неверным. Это очень интересный вопрос. В хроме, который имеет конфигурацию свободного атома Зс( 45 , в металлическом состоянии появились бы зоны, связанные как с так и с -состояниями, и эти зоны были бы только частично заполнены. Такое описание, по-видимому, согласуется с наблюдаемыми оптическими переходами в этом металле, хотя, как мы уже говорили, чтобы описать переходы в свободном атоме, нам пришлось бы для нахождения соответствующих правильных разностей энергий заново рассчитывать волновые функции и отвечающие им энергии в конечном состоянии. Став на точку зрения, прямо противоположную нашей интуиции, можно было бы предположить — и это было бы самым простым выходом из положения,— что в свободном атоме также возможно частичное заполнение уровней. Такая [c.94]

При анализе состояния изоляторов возникает еще одна трудность. Она проявляется при использовании приближения самосогласованного поля, представляющего собой основу для нахождения энергетических зон. Эго приближение может стать совершенно неприменимым, когда энергетические зоны достаточно узкие и соответствую [c.181]

Наш анализ резонансных состояний основывался на приближении самосогласованного поля. Можно, однако, и в отношении этих состояний поставить вопрос о переходе Мотта. Построим из резонансных состояний пакет таким образом, чтобы получить настоящую локализованную волновую функцию, и совершим соответствующее преобразование зонных состояний так, чтобы сделать их ортогональными этой функции. Тогда на их основе можно построить многоэлектронные волновые функции и поставить вопрос о том, какой из этих многоэлектронных функций отвечает наименьшее среднее значение электрон-электронного взаимодействия. Для очень узкого резонанса может оказаться, что наименьшей энергией обладает локализованное состояние. Таким образом мы придем к настоящему локализованному состоянию с энергией, близкой к энергии свободного атома, хотя она и лежит в середине зоны проводимости. Можно полагать, что такого рода ситуация годится для описания /-состояний в редких землях, но не подходит для -состояний переходных металлов группы железа. Даже тогда, когда формируются локализованные магнитные моменты (этим мы займемся в 7 гл. V), такие состояния следует рассматривать как резонансные. [c.218]

Это же можно сделать в более общем виде, используя уравнения Максвелла. Однако в большинстве задач будет достаточно уравнения Пуассона. Мы просто будем выполнять расчеты в низшем порядке по отношению скорости ((о/д) к скорости света. Для всех приложений, которые мы захотим рассмотреть, этого окажется достаточно. Таким образом, в рамках приближения самосогласованного поля полный потенциал, действующий на электроны, имеет амплитуду [c.315]

Без операторов такого вида не обойтись при строгом вычислении электрон-электронного взаимодействия, однако в рамках приближения самосогласованного поля, которое мы используем, достаточно и одноэлектронных операторов. [c.327]

Возвращаясь снова к точному выражению для которое можно было бы использовать, будь оно известно, мы видим, что для определения диэлектрической проницаемости системы есть два пути. Вероятно, простейший из них состоял бы в том, чтобы искать такую функцию е д), для которой величина (9) оказалась бы полным потенциалом, включающим эффективный потенциал обмена и корреляция именно этот потенциал должен был бы видеть электрон в приближении самосогласованного поля. После несложных преобразований получаем, что эта диэлектрическая проницаемость должна иметь вид [c.350]

Фиг. 147. Зависимость спонтанной намагниченности от температуры, следующая из приближения самосогласованного поля.

Без учета гибридизации операторы равны либо нулю, либо единице, и задача по существу сводится к задаче о невзаимодействующих частицах. При учете гибридизации слагаемое, отвечающее кулоновскому взаимодействию, делает проблему существенно многочастичной. Ее, однако, можно решить в приближении самосогласованного поля. При рассмотрении состояния со спином вверх оператор п в кулоновском слагаемом мы заменяем его средним значением. Это приближение совершенно аналогично используемой при вычислениях зонной структуры замене кулоновского взаимодействия потенциалом, отвечающим средней плотности заряда всех других электронов. Тогда гамильтониан (5.36) для состояний со спином вверх принимает форму [c.542]

Фиг. 151. Зависимость < й > от (/ +>, получаемая в приближении самосогласованного поля [7].

Чтобы вычислить свойства нашей системы, нужно иметь лишь метод вычисления самого параметра <В(г)>, т. е. нам необходимо найти уравнение для этого параметра, представляющее собой некий аналог уравнения Шредингера для обычной волновой функции. Мы получим такое уравнение для простых систем, а затем обратимся к более сложным методам, основывающимся на приближении самосогласованного поля. [c.579]

Приведем некЮторые основные теоретические результаты об упорядочении мартенситных фаз, полученные Хачатуряном и Шаталовым [36, 18] ). С учетом энергии деформационного взаимодействия в приближении самосогласованного поля было найдено выражение для свобод-йой энергии Р мартенситного кристалла как функции степени ц дальнего порядка (15,2), Эта формула имеет вид [c.188]

Т. о., кинетич. ур НИЛ и ур-ння Максвелла образуют связанную систему ур-ний, определяющих все неравновесные явления Б плазме. Такой подход наз. приближением самосогласованного поля. При этом столкновения между электронами учитываются не явно, а лишь через создаваемое ими самосогласованное поле (см. Нинетические уравнения для плазмы). При учёте столкновений электронов возникает кинетич. ур-ние, в к ром эфф. сечение столкновений очень медленно убывает с ростом прицельного расстояния, становятся существенными столкновения с малой передачей импульса, в интеграле столкновений появляется логарифмич. расходимость. Учёт эффектов экранирования позволяет избежать этой трудности. [c.355]

Приближение, использованное для получения решений (8.9) и (8.10) уравнения (8.6), является радикальным. Третий член в уравнении (8.7) описывает взаимное электростатическое отталкивание электронов н оказывает значительное влияние на электронные энергии и волновые функции. Поэтому движения электронов уже не считаются независимыми друг от друга, как это было бы при описании их функцией ф в уравнении (8.9) в действительности эти движения коррелированы друг с другом. Несмотря па приближенный характер, собственные функции Фе очень полезны для классификации собственных функций Яе по типам симметрии и для их описания. При учете усредненного эффекта отталкивания остальных электронов путем соответствующей добавки к Н описание электронных собственных функций в виде произведения молекулярных орбиталей сохраняется, но при этом достигается лучшее приближение к точному решению. Этот усовершенствованный метод называется приближением самосогласованного поля (ССП), а усовершенствованный однозлектронный гамильтониан обозначается символом [см. например, уравнение (9.99) в книге [41]]. Второй член в уравнении (8.7) также связан со взаимодействием движения электронов, по вклад этого члена корреляции в кинетическую энергию зависит от масс ядер и имеет тот же порядок величины, что и члены, которыми пренебрегают в приближении Борна —Оп-пенгейыера. Поэтому во всех случаях, когда не требуются особо точные расчеты, этим членом можно пренебречь. [c.187]

Система уравнений (26.1) —(26.8), полутавшая название уравнений самосогласованного поля, легла в основу больпюго числа работ по теории колебаний и устойчивости плазмы. Продуктивность приближения самосогласованного поля впервые была показана А. А. Власовым [1]. Ниже мы рассмотрим несколько простейших задач кинетической теории плазмы без столкновений, основываясь на уравнениях самосогласованного поля ). [c.104]

Получаемое решение носит название приближения самосогласованного поля без учета обмена (или приближения Хартри) волновые функции электронов являются самосогласованными, если после вычисления с этими функциями всех Vсогласно равенствам (111,13) и решения уравнений (111,4) вновь получатся те же самые функции. Получаемые при этом энергии е представляют собой ионизационные потенциалы молекулы, соответствующие удалению электрона с индексом i с орбитали il . [c.307]

Интересно сравнить одну из гибридных орбиталей (1П,18), например о]) , с орбиталью о] 2р ). На фиг. 119, а и 119, б показаны контурные диаграммы для функций ф 2ра) и г] , полученные нри использовании слейтеровских орбиталей [см. равенства (1П,6)]. При этом следует отметить, что в слейтеровском приближении пренебрегают узловыми точками радиальной части функции о (28). Фиг. 119, в представляет контурную диаграмму функции о) , полученную с функциями о]) (2з) и г ) (2р) более высокого приближения — приближения самосогласованного поля (Моффит и Коулсон [868]). Очевидно, что независимо от приближения волновая функция 0(31 концентрируется вдоль направления к вершине а в гораздо большей степени, чем функция о з (2ра), распределение которой одинаково по обе стороны от плоскости, проходяш,ей через ядро атома углерода С перпендикулярно оси С — а (фиг. 119, а). [c.312]

Особый интерес представляет двухэлектронный оператор, отвечающий электрон-электронному взаимодействию (в приближении самосогласованного поля он заменяется одноэлектронным потенциалом). Полный гамильтониан нашей системы слагается из кинетической энергии электронов, электрон-ионного взаимодействия (обе эти величины описываются одноэлектронными операторами) и электрон-электронного взаимодействия, представляющего собой двухэлектронный оператор. Можно поставить вопрос какая многоэлек- [c.182]

В изоляторах и полупроводниках появляется еще одно усложнение, вытекающее из того, что приближение самосогласованного поля перестает работать. Это усложнение приводит к хорошо знакомому явлению. Когда электрон забрасывается в зону проводимости, в валентной зоне остается незанятое состояние. Как мы выяснили при изучении зонной структуры полупроводников, эта дырка в валентной зоне заряжена положительно. Таким образом, возбужденный электрон движется в поле положительно заряженной дырки. Если для описания кристалла годятся блоховские состояния, то мы можем представлять себе электрон и дырку вращающимися друг относительно друга, как в позитронии или атоме водорода. Такая связанная пара называется экситоном. Это сугубо многочастичный эффект, который не может появиться в приближении самосогласованного поля, где предполагается, что каждый электрон видит средний потенциал, обладающий трансляционной периодичностью решетки. [c.184]

Рассмотрим простейший случай — кристалл инертного газа. Заполненные состояния атома инертного газа п и образовании кристалла не претерпевают серьезных искажений. В этом случае, как мы уже показывали выше, связь кристалла обусловлена не перекрытием, а простым взаимодействием Ван-дер-Ваальса. (Между прочим, самэ это взаимодействие представляет собой эффект сугубо многоэлектронный и потому приближением самосогласованного поля не описываемый.) Следовательно, основное состояние кристалла инертного газа можно представлять себе как заполнение индивидуальными электронами атомных орбиталей индивидуальных атомов инертного газа. Возбужденному состоянию системы отвечает переход электрона в возбужденное состояние отдельного атома, например переход на 35-орбиталь атома неона. Такое возбуждение нельзя описывать с помощью одноэлектронной волновой функции, так как важно учесть, что в возбужденном атоме электрон в 2р-состоянии отсутствует. Для простоты мы представили многоэлектронную волновую функцию в виде произведения волновых функций, хотя для получения должным образом антисимметризо-ванной линейной комбинации таких произведений потребовалось бы очень небольшое обобщение. Состояние, отвечающее одному электрону, возбужденному на /-м атоме неона, можно представить [c.185]

Исходя из соотношений (3.45) и (3.46), мы очень легко можем вычислить отклик электронного газа на приложенный потенциал в приближении самосогласованного поля. Мы следуем здесь процедуре, впервые предложенной Эренрайхом и Коэном 112]. Рассмотрим бесконечно удаленный отрицательный момент времени, когда электронный газ имеет равновесную конфигурацию. Приложим к системе потенциал, изменяющийся в пространствен времени как е (ft- -ш )+ <, и вычислим матрицу плотности в момент времени / = 0. С помощью этой матрицы плотности мы затем рассчитаем плотность электронов, которая непосредственно даст нам функцию X (q, ), определяющую диэлектрическую проницаемость. [c.329]

Мы, однако, не получим аналога теоремы Купмэнса, который позволил бы нам понять, что означают индивидуальные одноэлектронные собственные энергии. Таким образом, смысл расчета зонной структуры, основанного на приближении самосогласованного поля, для обмена далеко не ясен, и в этом месте возможны недоразумения. Недавно были выполнены расчеты зонной структуры с использованием потенциала, который получается из (3.80) и (3.81). Этот потенциал называется обменным потенциалом Кона — Шэма. Значительно раньше Слэтер [171 предложил обменный потенциал, который больше полученного здесь в 2/3 раза. В рамках формализма функции плотности отклика, которую мы здесь получили, подход Слэтера должен давать неточное распределение плотности однако, когда вычисляется полная энергия каким-либо другим методом, в выражении (3.77) следует брать Eq, определяемое по формуле [c.348]

Данный нами анализ оптических свойств с самого начала базировался на приближении самосогласованного поля. Мы заметили, однако, что прямое использование формулы Кубо — Гринвуда с моделью невзаимодействующих электронов ведет к ошибке (даже если включить статическое экранирование псевдопотеициала).Если вычислять вместо этого отклик системы в присутствии трех возмущений (света, неэкранированного псевдопотеициала и электрон-электронного взаимодействия), то мы придем к замене статической диэлектрической проницаемости диэлектрической проницаемостью, зависящей от частоты. Если говорить на языке процессов, происходящих во время поглощения (или на языке теории возмущений), то более точные вычисления соответствуют учету вкладов от процессов, в которых, например, электрон поглощает фотон, сталкивается со вторым электроном, рассеивается решеткой и снова сталкивается со вторым электроном. Обескураживает, что этот более сложный процесс, который соответствует высшему порядку теории возмущений, ведет тем не менее к поправкам псевдопотеициала того же порядка, что и для невзаимодействующих электронов. Б этом случае э< х])ект оказывается малым, но нельзя быть уверенным, что дело будет обстоять так же и для всех других возможных процессов. Эта проблема была недавно частично решена, по крайней мере для мягких рентгеновских спектров, работами Нозьера и др. 133, 34). Хотя они основаны на технике теории многих тел, которую мы здесь не обсуждаем, центральные результаты можно понять и иа основе развитых в этой книге представлений. Более обширная дискуссия с точки зрения, подобной нащей, была дана Фриделем [36]. [c.388]

Имеется взаимно однозначное соответствие между состояниями системы с взаимодействием и системы без взаимодействия. Волновые функции, отвечающие состояниям последней, представляют собой, конечно, плоские волны, о чем уже шла речь в связи с приближением самосогласованного поля. Системе с взаимодействием отвечают так называемые квстчастичные состояния. Существует, в частности, низколежащее квазичастичное состояние, соответствующее каждому из низколежащих возбуждений идеального ферми-газа. [c.395]

При записи взаимодействия между электронами в форме (4.35) введение приближения самосогласованного поля сводится к замене члена с четырьмя полевыми операторами на член с двумя полевыми операторами. Для этого вместо двух других операторов в выражении (4.35) берется их среднее значение. Например, среднее значение (1 ) (г )1 ) (г )> произведения операторов (г ) (г ) по многоэлектронному состоянию отлично от нуля, и в действи тельности оно равно среднему значению электронной плотности в точке г. Напомним, что среднее значени ё получается посредством исключения операторов рождения и уничтожения после разложения операторов и я по формулам (4.32). Это среднее значение, конечно, зависит от координат. Таким образом, в гамильтониан самосогласованного поля включается член вида [c.455]

НОЙ комбинации (4.31) содержатся члены с различными занченнями числа частиц, то среднее значение оператора 1 з (г ) 1 ) (г) может и не обращаться в нуль. Прн обсуждении сверхпроводимости мы увидим, что в сверхпроводящем основном состоянии число частиц обычно не определено и поэтому среднее значение рассматриваемого произведения операторов по этому состоянию не равно нулю. Таким образом, прн использовании приближения самосогласованного поля в теории сверхпроводимости появляется дополнительный микроскопический параметр <1 з (г)1 з (г)), который играет примерно такую же роль, какую играет электронная плотность в приближении Хартри. В нормальных (т. е. не сверхпроводящих) твердых телах в приближении самосогласованного поля имеются лищь прямые и обменные члены, полученные выще. [c.456]

В данном формализме переход к приближению самосогласованного поля свелся к замене членов взаимодействия, содержащих четыре полевых оператора, на некоторые усредненные члены, содержащие лищь два оператора. Такая замена существенна для определения и вычисления энергетических зон, а также для описания кооперативных явлений. [c.456]

Сумма энергий электронных состояний не равняется, конечно, полной энергии системы. Мы, в частности, должны еще добавить энергию прялюго кулоновского взаимодействия между ионами. Кроме того, пользуясь приближением самосогласованного поля, мы учитываем взаимодействие между электронами дважды (этот вопрос уже обсуждался в 3 гл. И). Поэтому необходилю вычесть из нашего результата соответствующую кулоновскую энергию, которая состоит из энергии невозмущенного состояния в нулевом порядке и энергии экранирующего поля. [c.482]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...