Распределения функция двухчастичная

Определим сначала в соответствии с разд. 17.5 начальное условие для этого уравнения. Воспользуемся при этом следующими простыми соображениями. Одночастичная функция распределения и двухчастичная корреляционная функция могут быть разделены следующим образом [с учетом условий (18.2.9) и (18.5.4)] [c.236]

Аналогично трехчастичная функция распределения з(Чь Ча, Чз) при удалении на бесконечность одной из частиц стремится к двухчастичной функции распределения оставшихся двух частиц. Основываясь на этом, Дж. Кирквуд предложил аппроксимацию [c.289]

Таким образом, для вычисления флуктуаций величин аддитивного типа необходимо знать одночастичную i(q) и двухчастичную 2(qi, q2) функции распределения. [c.296]

Иерархия функций распределения. Кроме А-частич-ной ции распределения и>,. определяемой ф-лой (1), можно ввести ф-цни более низкого порядка, получающиеся из ш интегрированием по части переменных. Так, интегрируя по координатам и импульсам всех частиц, кроме одной, получаем одночастичную ф-цию ш (г,р,1), по переменным всех частиц, кроме двух, — двухчастичную ф-цию (rJ ,p ,r2,p2,i) и т. д. в состоянии равновесия, согласно ф-ле (5), зависимость ю от импульсов очевидна и достаточно рассматривать лишь координатные зависимости, т. е. ф-цию / (г), к-рая сводится для однородного тела в отсутствие внеш. поля к постоянной, / ( 2)1 / Чг1,Г2,га) и т, д. Все эти ф-ции стремятся при больших значениях аргументов к постоянным, к-рые можно выбрать равными 1. Существует цепочка ур-ний , связывающих ф-ции порядка I и I - - 1 (см. Боголюбова уравнения). Напр., для частиц, взаимодействие к-рых описывается парной потенциальной энергией и(г), дифференцируя ф-лу (5) по гц и интегрируя по всем переменным, кроме в. г , получаем ур-ние [c.668]

Следует заметить, что предположение о том, что число столкновений пропорционально произведению // или /основано на допущении об отсутствии корреляций между скоростями молекул и фактически не вполне верно. В более строгой теории произведение // или // должно заменяться так называемой парной (двухчастичной) функцией распределения (см. следующий параграф). [c.469]

В дальнейшем мы покажем, что и такие важные для газодинамики величины, как тензор вязких сил, поток тепла и др., выражаются через одночастичные функции распределения. Двухчастичная функция распределения имеет особо важное значение для равновесного состояния системы. В равновесном состоянии она описывает корреляции между положениями частиц, имеющие, как мы видели в 81, важное значение в теории флуктуаций и в теории фазовых переходов. [c.479]

То tхарактеристики состояния газа на этом этапе достаточно знания одночастичной функции распределения. Как мы видели, однако, в задаче к 86, для решения некоторых более тонких вопросов, например, для нахождения уравнения состояния, надо знать и двухчастичную функцию состояния. [c.482]

Рассмотрим сначала классическую систему взаимодействую-пщх точечных частиц такого же вида, как и в гл. 6. Как мы знаем из общего рассмотрения, проведенного в гл. 3, основной интерес представляют одночастичная функция распределения Д (xi) и двухчастичная функция распределения (Xi, х . Учитывая определение (3.1.12) и вид (4.3.26) канонической функции распределения и используя выражения (6.1.2) — (6.1.5) (где положим 1 = 1), находим [c.255]

Точно таким же образом находим двухчастичную функцию распределения [c.256]

Мы видим, что в равновесной системе зависимость функций распределения от импульсов тривиальна. Интерес представляет лишь конфигурационная двухчастичная функция распределения 2 (qi, qa)- В однородной жидкой или газовой фазе эта функция зависит только от относительного расстояния между частицами. Удобнее поэтому ввести несколько иную функцию, отличающуюся от 2 нормировкой [c.256]

Традиционный метод обрыва цепочки основан на использовании знаменитого суперпозиционного приближения Кирквуда (1935 г.). Оно состоит в том, что трехчастичную конфигурационную функцию распределения выражают через двухчастичную [c.273]

Эта разительно контрастирует с одночастичной компонентой обобщенного уравнения Лиувилля в нем скорость изменения Д зависит от значения двухчастичной функции /2, которая в свою очередь зависит от/зИ т. д. Таким образом, мы видим, что посредством больцмановской гипотезы молекулярного хаоса бесконечная цепочка уравнений для функций распределения обрывается и остается единственное уравнение для /х ). Таким образом, уравнение Больцмана является замкнутым уравнением для функции Д. Этим же свойством обладает и уравнение Фоккера — Планка [c.33]

Подставляя двухчастичную функцию распределения (3.1.25) в (3.1.20), получаем кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения в первом приближении по параметру плотности пг [c.169]

Групповое разложение интеграла столкновений. В этом разделе нашей задачей будет вывод поправок по плотности к уравнению Больцмана путем последовательного разложения двухчастичной функции распределения по степеням параметра п = пгд. Точнее говоря, мы намерены получить эту функцию в виде функционального ряда [c.174]

Необходимо отметить, что аналитическая зависимость двухчастичной функции распределения от плотности в виде (3.1.45) — всего лишь гипотеза. Детальный анализ асимптотических рядов (3.1.45), проведенный в 1960-х годах, показал, что конечные вклады в интеграл столкновений дают лишь функционал (xi,x2 /i( )), который определяется выражением (3.1.25), и функционал В то время как [c.175]

При выводе группового разложения двухчастичной функции распределения мы воспользуемся методом, развитым Коэном [69] (см. также [25]). Введем набор вспомогательных функций Ug x , t) = Us x ,... l< s < N, симметричных относительно перестановок фазовых переменных и удовлетворяющих следующим условиям [c.175]

Это равенство, совместно с формулой (3.1.50) для s = позволяет, в принципе, выразить все приведенные функции распределения f t) через вспомогательную функцию Ui x t). Далее основная идея состоит в том, чтобы обратить функционал записать функцию как функционал Ui[x fi t)) и тем самым получить двухчастичную функцию распределения в виде функционального ряда (3.1.45). [c.177]

Для того, чтобы записать двухчастичную функцию распределения Д в форме функционала от Д, остается исключить Ui x,t) из уравнений (3.1.63) и (3.1.64). Для нескольких первых членов можно воспользоваться методом последовательных приближений [c.178]

Отброшенные члены имеют не менее чем третий порядок по степеням одночастичной функции распределения. Подстановка функции в (3.1.64) дает разложение двухчастичной функции распределения [c.178]

Первый член в разложении (3.1.66) есть не что иное как нулевое приближение, полученное в предыдущем разделе [см. (3.1.25], а второй член представляет собой поправку к /2 первого порядка по плотности. Члены более высокого порядка группового разложения двухчастичной функции распределения получаются тем же способом из уравнений (3.1.63) и (3.1.64), что приводит к ряду (3.1.45) со следующими выражениями для функционалов [c.179]

Подстановка группового разложения (3.1.45) двухчастичной функции распределения в первое уравнение цепочки (3.1.20) приводит к замкнутому кинетическому уравнению [c.179]

Теперь, исходя из уравнений (3.1.16) для приведенных функций распределения, мы можем вывести цепочку уравнений для корреляционных функций д . Первое уравнение этой цепочки совпадает с уравнением (3.1.20) для = Д. Выражая с помощью (3.2.1) двухчастичную функцию распределения через /1 и 2 получим [c.182]

Чтобы вывести уравнение для парной корреляционной функции 2, продифференцируем по времени соотношение 2 = /2 /i/i- Производные по времени от /2 и Д можно исключить с помощью уравнений (3.2.4) и (3.1.21). После этого остается с помощью формул (3.2.1) выразить двухчастичные и трехчастичные функции распределения через корреляционные функции. В результате всех этих преобразований получим уравнение [c.182]

Предположим, что потенциал взаимодействия Ф12 = ti — Г2 ) имеет конечный эффективный радиус действия Гд и что одночастичные функции распределения мало изменяются за время двухчастичного столкновения. Тогда с помощью подстановки Д(ж , — г) exp(zrL )/i(x , ) можно перейти к марковскому приближению. Нетрудно проверить, что в этом приближении уравнение (3.2.42) совпадает с обобщенным кинетическим уравнением Больцмана (3.1.29). [c.197]

С формальной точки зрения наличие долгоживущих корреляций свидетельствует о том, что в системе есть динамические переменные, которые медленно меняются со временем. Следовательно, они должны быть включены в набор базисных переменных, описывающих макроскопическое состояние. Прежде всего, такими переменными являются локально сохраняющиеся величины. В этой связи отметим особую роль закона сохранения энергии. В отличие от других локально сохраняющихся величин — плотностей массы и импульса — плотность энергии невозможно точно выразить через одночастичную функцию распределения, поскольку средняя потенциальная энергия выражается через двухчастичную функцию распределения. В системах с большой плотностью вклад потенциальной энергии в полную энергию системы нельзя считать малым по сравнению с кинетической энергией. Следовательно, нужно рассматривать плотность полной энергии Я (г) как независимую базисную переменную. [c.208]

Аналогично формуле (45.1) можно ввести двухчастичные, трехчастичные или, более общие, -частичные функции распределения [c.181]

При этом мы учли определения одночастичной и двухчастичной функции распределения согласно формулам (45.1) и (45,4), а также тот факт, что функция /)дг является симметричной функцией координат фазового пространства частиц одного сорта. [c.186]

Полученную цепочку уравнений для многочастичных функций можно записать в иной форме, используя корреляционные функции. Рассмотрим прежде всего уравнение (47.3). При этом мы воспользуемся функцией распределения / = (NJV) а также представим двухчастичную функцию распределения в виде (47.5) [c.188]

Этот результат является поправкой первого приближения теории возмущений к двухчастичной функции распределения, линейной по малому параметру U JnT. Заметим, что подстановка выражения (49.2) в правую часть формулы (47.8) обращает ео в нуль. Это подтверждает утверждение о том, что корреляционная функция [c.195]

Однако прежде чем переходить к изложению решений этих уравнений, следует сделать замечание общего характера. Кинетическое описание с помощью кинетического уравнения для функций распределения остественно беднее, чем описание с помощью одночастичных функций распределения и двухчастичных корреляционных функций, приближенные уравнения для которых, пе [c.192]

Рассмотрим теперь корреляционные свойства квантовых систем-Так как взаимодействия отсутствуют, можно ожидать, что корреляционная функция iPi> кгРг), определяемая выражением (3.8.7), равна нулю. Это можно проверить непосредствен-нзым вычислением. Однако мы знаем, что за счет квантовой статистики корреляции имеются даже в отсутствие взаимодействий. Эти корреляции легко вычислить, используя формализм, развитый в разд. 3.8. Двухчастичное распределение задается выражением (3.8.13), где Яг (12) = 0. Используя (3.8.10) и (7.3.13), получаем [c.268]

Однако в наши рассуждения закралось и другое, меяее очевидное предположение, и именно оно является истинным отклонением от законов механики. Переходя от формулы (И.4.12) к (И.4.13), мы утверждали, что общее число столкновений определяется числом пар молекул, скорости которых в момент времени t равны соответственно v и Vi, и приняли, что это число равно / (q, v t) х Х/ (Ч. Vi t). Однако из рассуждений разд. 3.5 мы знаем, что это утверждение, вообще говоря, не может быть верным. Число пар молекул, локализованных одновременно в двух различных фазовых точках, определяется двухчастичной функцией, распределения и (ч. v q, Vx t). Но в общем случае [c.32]

При изучении динамики больших систем естественно исходить из полученного в разд. 3.4 уравнения Лиувилля для частичных функций распределения. Однако эта форма уравнения Лиувилля пока еще не была достаточно подробно рассмотрена. Из качественного анализа, проведенного в разд. 11.5, ясно, что центральное место в теории должно занимать понятие корреляций, а не функций распределения. Мы видели, например, что двухчастичная корреляционная функция не входит явно в уравнение Больцмана, несмотря на то, что она играет существенную роль в точной цепочке уравнений ББГКИ. Следовательно, для последовательного вывода уравнения Больцмана (и других кинетических уравнений) из точных уравнений движения необходимо разработать формализм, в котором быля бы явно представлены различные корреляционные формы. [c.123]

Мы ВИДИМ, что даже в этом приближении зависимость двухчастичной функции распределения от Д оказывается немарковской. Однако учет эффектов памяти означал [c.168]

Второе допущение состоит в том, что параметр плотности п = пг много меньше единицы или, другими словами, что радиус взаимодействия много меньше среднего расстояния между частицами. Благодаря этому допущению оказалось возможным оборвать цепочку ББГКИ на уровне двухчастичной функции распределения, пренебрегая тройными столкновениями. Приближенная форма (3.1.25) двухчастичной функции распределения в теории Больцмана содержит оператор 5 оо(12), который описывает мгновенные столкновения двух частиц. Это приводит к тому, что интеграл столкновений Больцмана обеспечивает сохранение локальной кинетической энергии, в то время как в плотных системах должна сохраняться полная энергия. [c.174]

Неравновесные корреляции, связанные с сохранением энергии. Мы уже говорили в разделах 3.3.4 и 4.3.3, что закон сохранения энергии в кинетической теории требует особого внимания, поскольку, с одной стороны, энергия является интегралом движения и поэтому должна быть включена в набор базисных динамических переменных, но, с другой стороны, среднее значение энергии зависит как от одночастичной, так и от двухчастичной функции распределения. Иначе говоря, баланс энергии определяется не только эволюцией одночастичной функции распределения, но и динамикой корреляций. Напомним, что учет корреляций, связанных с сохранением энергии, является, по существу, основной идеей кинетической теории Энскога для плотных и сильно взаимодействующих систем. На первый взгляд кажется, что для слабо неидеальных газов учет неравновесных корреляций не столь важен, во всяком случае, — в борновском приближении для интеграла столкновений. В марковском режиме эта точка зрения подтверждается нашим анализом, проведенным в разделе 4.3.4. Действительно, мы видели, что интеграл столкновений (4.3.58) совпадает с интегралом столкновений Улинга-Уленбека, если пренебречь вкладом корреляций в двухчастичную матрицу плотности. Как выяснится позже, в немарковском режиме ситуация меняется и корреляции, связанные с законом сохранения энергии, дают вклад в интеграл столкновений уже в борновском приближении. Более того, мы покажем, что именно учет корреляций обеспечивает существование равновесного решения немарковского кинетического уравнения ). [c.314]

Такие многочастичные функции распределеггия содержат информацию о взаимозависимом движении частиц газа. Эффект такой взаимозависимости частиц может быть охарактеризован с помощью корреляционных функций. Например, для двухчастичной функции распределения можно записать следующее соотноигение [c.181]

Первое слагаемое правой части этой формулы представляло бы собой точную двухчастичную функцию распределения в отсутствие какого-либо взаимодействия мевду частицами. Действительно, невзаимодействующие частицы, как это очевидно из классической механики, движутся независимо друг от друга. В то же время вероятность состояния двух независимых частиц представляет собой произведение вероятностей их состояний. Отсюда уже дол->кно быть ясно, что функция guь является мерилом взаимозависимости движения частиц. Эта фу1гкция называется парной корреляционной функцией. [c.181]

Из этого уравнения ясно, что вид кинетического уравнения — уравнения для одночастичной функции — в той мере, в которой он отражает наличие взаимодействия между частицами, определяется двухчастичной функцией распределения. Поэтому, очевид-но, что для построения вывода кинетических уравнений следует изучать двухчастичные функции, для чего следует иметь уравнения, которым такие функции подчиняются. [c.187]

Для получения правой части уравнения (52.13) в определенных условиях, как мы увидим ниже, соответствующей интегралу столкновений Больцмана, воспользуемся теперь предположением о малости потенциала взаимодействия пары частиц. Это предположение позволяет вместо уравнения (52.5) использовать приближенное, отличающееся от (52.5) тем, что в слагаемых, содержащих потенциал взаимодействия, вместо двухчастичной и трехчастичной функций распределения используются их приближенные выражения/ а в которых полностью нренебрегается корреляционными эффектами, связанными с силовым взаимодействием частиц. Поэтому в основу нашего рассмотрения в этом параграфе [c.216]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...