Неявные схемы

При решении задач для капель обычно определяющими являются условия устойчивости (5.5.46), которые приводят к очень мелкому шагу по времени Аг. В этом случае целесообразно использование неявных схем типа [c.278]

В соответствии с замечаниями в конце 5 расчеты проводились по неявной схеме первого порядка точности для системы капля воды в водяном паре . Теплофизические данные см. (5.1.17), [c.314]

В отличие от явных неявные разностные схемы являются безусловно устойчивыми, т. е. устойчивыми при произвольном соотношении шагов по времени и пространственным переменным. В этой связи при использовании неявных схем есть возможность проводить расчеты при больших значениях шага Ат. В этом преимущество неявных схем. Следует в то же время иметь в виду, что чрезмерное увеличение шага Ат приводит к существенному возрастанию погрешностей аппроксимации, поэтому фактором, ограничивающим размеры шага Ат при использовании неявных схем, является требуемая точность вычислений. [c.65]

Из (3.4) известно поэтому соотношение (3.8) позволяет непосредственно определить Ит для всех т, затем и, и т. д. Неявные схемы приводят к системам линейных алгебраических уравнений относительно значений т иа верхнем слое. Вопросы, связанные с решением таких систем, рассмотрены далее. [c.78]

Применяя неявные схемы, мы получаем для определения значений искомой сеточной функции на верхнем временном слое систему алгебраических уравнений. Если схема линейная, то эта система также линейная и для ее решения можно использовать стандартные вычислительные методы линейной алгебры. Однако число арифметических действий, необходимое для решения линейной алгебраической системы общего вида, имеющей порядок N, быстро возрастает с увеличением N (пропорционально Л ). Для одномерных сеточных краевых задач число N мо- [c.92]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Неявные схемы. Скорость изменения во времени газодинамических параметров определяется, вообще говоря, скоростью распространения звуковых волн. Поэтому допустимая величина шага по времени, которая находится из условия устойчивости [c.99]

Для общей квазилинейной системы (3.66) неявная схема прямоугольник , имеющая второй порядок аппроксимации, записывается следующим образом (см. п. 3 3.2, пример 6) [c.100]

Представляет интерес другая неявная схема, для которой не важно расположение характеристик. Для общей квазилинейной системы (3.66) в варианте, имеющем первый порядок аппроксимации относительно т, схема записывается так [c.105]

В случае неявной схемы (5.25) для модуля перехода имеем выражение [c.134]

Одним из самых распространенных методов решения неявных систем типа (6,21) является метод прогонки. Несмотря на то что неявные разностные уравнения типа (6.21) решаются сложнее, чем явные уравнения типа (6,14), они имеют преимущество перед явными уравнениями. В отличие, от явных схем, которые являются устойчивыми при выполнении условий (6.17), неявные схемы являются абсолютно устойчивыми, т. е. вычислительные ошибки в этих схемах не возрастают при любом соотношении шагов по времени и пространству. Это позволяет выбирать шаг Ат большим, чем в явных схемах, и соответственно уменьшать общее время счета всей задачи. Более подробно с изложенными вопросами можно ознакомиться в специальной литературе [69]. [c.96]

Методы дробных шагов (методы расщепления). Для численного решения многомерных уравнений нестационарной теплопроводности разработана группа методов, позволяющих использовать преимущества неявных схем, называемых методами дробных шагов или методами расщепления [96]. [c.96]

Сравнивая уравнение (23.22) с (23.15), можно заметить, что они различаются аппроксимацией д Т/дх . В явной схеме (23.15) эта производная заменяется конечной разностью в момент Т ,= АДТ, а в неявной схеме (23.22) в момент Т +1 = (/г+1) Дт. Уравнение типа (23.22) решается труднее, чем (23.15), так как в него входят неизвестные температуры в трех точках (i— I, k+ 1), (i, k Н- 1), (i + l.fe+l). Поэтому нужно в этом случае решать сразу всю систему разностных уравнений типа (23.22) для всех точек сетки. [c.244]

Экономичность определяется общим числом арифметических операций, необходимых для решения разностной задачи с заданной степенью точности. Считают, что разностная схема экономичная, если число арифметических операций на каждом 50 шаге по времени пропорционально числу узлов сетки N. Явная схема в этом смысле экономична, но устойчива лишь при жестком ограничении шага по времени [соотношения (23.20), (23.21)]. Неявная схема абсолютно устойчивая, но для дву-и трехмерных задач не является экономичной, так как при решении системы алгебраических уравнений общего вида необходимо совершить число операции, пропорциональное N . [c.245]

IV. Программа численного решения нестационарной одномерной задачи теплопроводности по неявной схеме [c.466]

Программа составлена на алгоритмическом языке ФОРТРАН-IV и предназначена для численного решения нестационарной одномерной задачи теплопроводности методом конечных разностей по неявной схеме (см. пример 23.6), Решение системы линейных алгебраических уравнений вида [c.466]

При Дт>0,3 с явная схема неустойчива 1191 и, следовательно, для решения уравнений с большим шагом по времени необходимо использовать неявную схему. [c.195]

Неявная схема получается, если в правых частях уравнений для внутренних и граничных узлов все температуры отнести к последующему моменту времени, т, е. снабдить значками крышка . [c.33]

Метод переменных направлений позволяет сократить объем вычислений по неявной схеме, сохраняя свойство абсолютной устойчивости. Ниже приводится реализация этого метода для областей прямоугольной формы без внутренних источников теплоты. [c.34]

Неявная схема переменных направлений является абсолютно устойчивой. Однако прогонка по границе при задании условий 3-го рода и при Вр >1 может стать источником осцилляций и существенных погрешностей на, первых шагах по времени. В программе (см. п. 5.3.1) эта трудность обходится путем представления оператора, описывающего теплообмен на границе, всегда в неявной форме, хотя это и снижает порядок аппроксимации вследствие появляющейся несимметричности схемы. [c.36]

Кроме явных существуют неявные схемы, в которых значение искомой функции на новом временном слое находится в результате решения уравнения, включающего это значение и значения для предыдущих моментов времени. Неявную схему Эйлера можно получить, если использовать разложение в ряд Тейлора в точке Tj+, Ti лг 7 / + — Т (Xj+,) Ат. Тогда придем к схеме [c.29]

Проведем сопоставление явной и неявной схем Эйлера. С точки зрения объема вычислений для одного шага явная схема имеет преимущество. Только в случае, когда функция / (т, Т) линейна относительно Т, т. е. / (т) а (т)Т + Ь (т), вычисления по неявной схеме не сложней, чем по явной, поскольку тогда уравнение (1.34) разрешается относительно [c.29]

Рассмотрим теперь вопрос о погрешностях численных решений, получаемых по явной и неявной схемам Эйлера. Для этого введем понятия аппроксимации и устойчивости. [c.29]

В этом случае говорят, что разностная схема (1.33) имеет первый порядок аппроксимации. Нетрудно убедиться, что неявная схема Эйлера (1.34) также имеет первый порядок аппроксимации. [c.30]

Разностное решение W, найденное по неявной схеме (1.41), монотонно убывает с увеличением /, и погрешность е/ Г/—остается ограниченной при любом шаге Дт. [c.31]

Таким образом, неявная схема Эйлера устойчива при любых значениях Дт, или безусловно устойчива. Явная схема устойчива лишь при выполнении ограничения на значение шага (1.42), или условно устойчива. При попытках проводить расчеты с шагами Дт, превышающими предельно допустимые из условия устойчивости значения, происходит раскачка ( разболтка ) разностного решения, приводящая к абсурдным числовым результатам или даже к машинному останову из-за переполнения разрядной сетки. [c.31]

Таким образом, запись какой-либо схемы для системы обыкновенных дифференциальных уравнений не вызывает дополнительных затруднений. Сложности могут возникнуть при ее численной реализации. Они обусловлены двумя обстоятельствами. Первое связано с необходимостью при применении неявных схем решения на каждом шаге систем алгебраических уравнений. Этот вопрос рассматривается в 1.6 на примере неявной схемы Эйлера для системы уравнений теплового баланса. [c.39]

Решение по схеме Эйлера. Сначала остановимся на программе решения задачи (1.63), (1.64) по неявной схеме Эйлера, которая имеет вид [c.43]

Отличие неявных схем для одного линейного уравнения и для системы уравнений состоит в том, что разностная схема (1.35) разрешалась в явном виде относительно ы + , а в данном случае мы имеем систему Nj линейных алгебраических уравнений для определения N,r значений сеточной функции == + , u f,. .., и + . [c.43]

А - МАССИВ ДЛЯ ХРАНЕНИЯ ВЕРХНЕЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ ЧАСТИ СИММЕТРИЧНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ НЕЯВНОЙ СХЕМЫ ЭЙЛЕРА. ДЛИНА МАССИВА РАВНА NI (NI+l)/2 B(NI) - ВЕКТОР-СТОЛБЕЦ СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ [c.46]

Главная трудность, возникающая при использовании неявных схем, заключается в решении уравнений относительно величин на верхнем по времен1[ слое п+ 1. [c.101]

Условие устойчивости (5.29) является весьма жестким оно, как правило, не соответствует естественным требованиям точности. В случае двух (и более) пространственных переменных применение неявных схем вызывает большие трудности, связанные с решением системы уравнений на верхнем слое. Это обстоятельство послужило одним из стимулов развития группы родственных между собой eтoдoБ (метода переменных направлений, метода дробных шагов, метода расщепления и др.). [c.135]

Сравнивая уравнение (6.21) с (6.14), можно заметить, что они различаются аппроксимацией d Tldx . В явной схеме (6.14) эта производная заменяется конечной разностью в момент Тк = кАт, а в неявной схеме (6.21) в момент x +i =(/< +1) Ат. Уравнение ти па (6.21) решается труднее, чем (6.14), так как в него входят неиз)зестные температуры в трех точках (i—1,к+1), (i, /с+1), (i + l,/ +l). Поэтому нужно в этом случае решать сразу всю систему разностных уравнений типа (6.21) для всех точек сетки. [c.96]

Видно, что при Дт= 0,5 с чнсленныс решения по обеим схемам практически совпадают с точным решением. Для явной схемы при Дт = 2,5 с > Атдо результат решения теряет физический смысл. Неявная схема даже при Дт = 4 с дает для центра пластины решение, отличающееся от точного меиее чем на 5 %. [c.245]

Для решения сложных дву- н трехмерных нестационарных задач теплопроводности разработаны экономичные конечно-разностные схемы, сочетающие лучшие свойства явной и неявной схем, а именно обладающие абсолютной устойчивостью (как неявная ехема) и требующие на каждом шаге по времени выполнения числа арифметических операций, пропорционального числу узлов разностной сетки (как явная схема). Это достигается за счет замены решения [c.245]

Интегрирование этого нелинейного дифференциального уравнения проводится по яростейшей неявной схеме Эйлера, т. е. [c.237]

Схемы вида (1.49) явные. Однако несложно получить и неявные схемы. Для этого следует использовать полином, проходящий не только через известные точки и, . .., но и через неизвест- [c.34]

Таким образом расчет по неявной схеме Эйлера сводится к решению на каждом шаге по времени системы линейных уравнении (1.66), которое может быть выполнено с помощью какой-либо стандартной подпрограммы. В рассматриваемой задаче матрица А является симметричной, так как согласно (1.67) a,j- = aji = —оТТ, и поэтому используется подпрограмма GELS (см. 1.3). [c.44]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...