Параксиальных лучей уравнение

Предположим, что оба компонента бесконечно тонкие, и напишем для иих уравнение масштаба н условия устранения сферической аберрации, комы, астигматизма и обеих хроматических аберраций. В качестве внешних параметров примем а,, — угол между первым вспомогательным параксиальным лучом и осью в среде, отделяющей оба компонента, —и — высоту пересечения того же луча со вторым компонентом. Кроме того, как всегда, положим, что = 0 приняв hi = 1, находим уравнение масштаба в таком виде auj= 1. Расстояние d между компонентами определяется по формуле [c.224]

Для параксиальных лучей (т. е. для лучей, составляющих очень малые углы с осью z) можно заменить d/ds на d/dz. В случае линзоподобной среды, описываемой выражением (2.1.4), уравнение для [c.41]

Уравнение параксиальных лучей [c.184]

Подстановка этих соотношений в (4.21) при опускании малой величины г 2 дает уравнение параксиальных лучей для релятивистских траекторий в аксиально-симметричных электростатических и магнитных полях [c.185]

Уравнение параксиальных лучей (4.31) все еще остается не линейным дифференциальным уравнением. Оно становится ли нейным только при С=0, т. е. если траектория пересекает ось либо если как азимутальная компонента скорости, так и маг нитная индукция обращаются в нуль в одной и той же точке (Существует также и третья возможность приравнивая С к нулю, можно рассчитать значение ао, при котором уравнение параксиальных лучей становится линейным. Однако практическое значение этого случая весьма ограниченно.) [c.186]

Указанные ограничения являются очень серьезными. Поскольку нам хотелось бы получить общие важные заключения на основе уравнения параксиальных лучей, попытаемся линеаризовать его при любом значении С. [c.186]

Подставляя эти выражения в (4.31), окончательно получаем уравнение параксиальных лучей для комплексной переменной в виде [c.187]

Такая форма уравнения параксиальных лучей имеет еще одно явное преимущество уравнение не содержит второй производной электростатического потенциала. В разд. 3.3.5.1 мы видели, что высшие производные могут быть определены численно лишь с ограниченной точностью. [c.189]

Уравнение параксиальных лучей, записанное в форме [c.190]

Из приведенного обсуждения становится ясно, что наибольший интерес представляет определение асимптотических кардинальных элементов, введенных на рис. 44 и 45. В (4.55), для построения общего решения уравнения параксиальных лучей были использованы два частных решения. Теперь, вместо того чтобы, как раньше, считать г (г) лучом, пересекающим дважды ось, положим, что соответствует лучу, приходя- [c.201]

Наиболее важное казалось бы свойство, а именно используется ли линза для электронов или для ионов, в действительности не вызывает трудностей при рассмотрении. Действительно, различие между ними состоит только в различном отношении заряда к массе. Как известно, уравнение параксиальных лучей (4.40) содержит эту величину только для магнитных линз или быстрых частиц. В нерелятивистском случае траектория в электростатических линзах остается одной и той же для любых частиц. Поэтому для фокусировки ионов следует использовать электростатические линзы. Единственное в этом случае различие между положительно заряженными и отрицательно заряженными частицами состоит в том, что знаки всех электродных потенциалов должны быть обращены, если требуется фокусировать частицы другого знака. [c.210]

Из этого соотношения становится ясным сам смысл приближения тонкой линзы. Мы получили выражение для переменной величины а г), используя для той же величины постоянное значение в правой части уравнения. Это типичный пример метода последовательных приближений. В ходе этой процедуры, предположив сначала, что а (г) не изменяется внутри линзы, и интегрируя (4.50) дважды, получаем лучшее приближение для функции а г). Подставляя это приближение в правую часть (4.119), можно снова провести вычисления и получить следующее приближение и т. д. Эта процедура обычно очень быстро сходится, но она не имеет большого практического значения, так как существуют вполне доступные и очень точные численные методы решения уравнения параксиальных лучей (см. гл. 6). В указанном выше смысле (4.117) и (4.118) можно рассматривать как первые шаги вычислений фокусных расстояний методом последовательных приближений [16]. [c.223]

Если заданы параметры толстой линзы (/2, ё и отношения потенциала), соответствующая двухлинзовая модель может быть рассчитана с помощью (4.135) — (4.137). Ее практический смысл, однако, невелик, так как, если известны кардинальные элементы толстой линзы, мы не нуждаемся в упрощенной модели. Наоборот, можно разделить поле линзы на отдельные узкие области и, рассматривая их как тонкие линзы, вычислить характеристики толстой линзы, как комбинированной линзы, построенной из этих тонких линз [36]. Однако удобнее и гораздо точнее прямые расчеты свойств толстой линзы, основанные на решении уравнения параксиальных лучей. [c.230]

Скошенные лучи. Если поля нет ( =0), в (4.141) появляется сингулярность следовательно, мы должны рассмотреть этот случай отдельно. Конечно, если отсутствует азимутальная компонента начальной скорости, то С=0, и так как в этом случае потенциал постоянен, уравнение параксиальных лучей (4.31) сводится к г"=0 с элементарным решением [c.234]

Соотношения (4.144) и (4.145) иллюстрируют редко замечаемое свойство уравнения параксиальных лучей. В случае скошенных лучей (лучей с ненулевыми компонентами начальной скорости в азимутальном направлении) Сфд даже в отсутствие магнитного поля и, более того, даже в отсутствие ка-кого-либо поля вообще. Вследствие этого прямолинейная траектория не может быть описана линейными членами в меридиональной плоскости. Как мы уже знаем, величина г а в этом случае постоянна (см. (4.27)), но это не означает, что г либо а — линейная функция z. (С помощью преобразования к декартовым координатам через (1.9) легко убедиться, что траектория прямолинейна.) Можно заключить, что использование цилиндрической системы координат не является лучшим способом описания скошенных лучей даже в случае аксиально-симметричных полей. [c.234]

Естественно, для сильных линз (4.162) не справедливо. При больших токах оптическая сила не может быть квадратичной функцией тока, иначе можно было бы увеличивать 1//, просто повышая ток. В случае сильной линзы мы вынуждены определять фокусное расстояние интегрированием уравнения параксиальных лучей (4.31) с магнитной индукцией из (3.255). [c.240]

В данной главе были рассмотрены основные свойства аксиально-симметричных полей, формирующих изображения. Мы начали главу теоремой Буша (4.9), которая определяет азимутальную компоненту скорости заряженной частицы в аксиально-симметричном поле. Затем мы вывели основное траекторное уравнение (4.21) и перешли к гауссовской диоптрике, записав уравнение параксиальных лучей (4.31). Это уравнение можно упростить, написав его в комплексном виде (4.40) или (4.50). Затем была доказана способность аксиально-симметричных полей формировать изображения. Мы ввели кардинальные элементы и выяснили отличия действительных параметров линзы от асимптотических. Наиболее важными соотношениями являются уравнение изображения (4.58), формула Гельмгольца— Лагранжа (4.65) и (4.76), формулы увеличения (4.77) и [c.246]

Действие аксиально-симметричных электронных и ионных линз описывается параксиальной теорией (теорией первого порядка). Однако на практике траектории всегда имеют конечные смещения г и конечные наклоны г относительно оси. Даже если они невелики, пренебрежение в разложении в ряд членами высших порядков, необходимое для вывода уравнения параксиальных лучей, приводит к ошибке. Следовательно, параксиальная теория всегда неточна. В действительности изображением точечного объекта будет не одна определенная точка, а размытое пятно, образованное пересечением различных лучей с разными наклонами в разных точках изображения. Эти лучи пересекают гауссову (параксиальную) плоскость изображения в различных точках, поэтому изображение — не точка, а пятно конечных размеров, которое может иметь даже неправильную форму. Это явление называется геометрической аберрацией. Пример такого эффекта был рассмотрен в разд. [c.247]

Так как уравнение параксиальных лучей (4.40) является линейным дифференциальным уравнением, оно может быть заменено двумя идентичными уравнениями одно — для вещественной части X и другое — для мнимой части У. Докажем теперь, что уравнения Эйлера (5.4), содержащие функцию действительно дают эти два уравнения. Подставляя (5.20) в (5.19), получаем следующее окончательное выражение для [c.253]

Рассмотрим два линейно-независимых решения уравнения параксиальных лучей g(г) и к (г), удовлетворяющих следующим условиям (рис. 62) [c.257]

Рис. 62. Два решения уравнения параксиальных лучей.

Мы могли бы рассчитать геометрические аберрации множеством различных способов. Уже упоминался альтернативный метод траекторий. Кроме того, выбор решений g (г) и h(z) уравнения параксиальных лучей с начальными условиями (5.42) был произвольным. В литературе встречаются и иные пары решений, используемые при вычислениях аберраций. Вместо пары решений, заданных их смещениями и наклонами в плоскости объекта, можно использовать пару решений, определенных их смещениями в двух плоскостях [16], или одно решение, определенное смещением и наклоном в плоскости предмета, и другое решение, определенное смещениями в двух плоскостях [142]. Вторая плоскость обычно определяется апертурой, используемой для ограничения луча, как, например, в электронном микроскопе, где изменение апертуры используется для устранения некоторых геометрических аберраций. В результате могут получаться различные наборы коэффициентов. Однако любая пара [c.261]

Очевидно также, что структура приведенных выше аберрационных коэффициентов такова, что при рассмотрении сингулярных случаев нулевого и бесконечного увеличений (главные лучи) необходима особая тщательность. Эти случаи будут подробно проанализированы в частном случае сферической аберрации. В связи с этой проблемой хотелось бы отметить тот факт, что в уравнениях (5.65) и (5.66) аберрации записаны как функции начальных значений Хо, Хо, У о и У о, так как Х(г) и У г) были выражены в (5.43) и (5.44) через эти величины. Однако как было упомянуто выше, возможны любые другие способы выбора пары решений уравнения параксиальных лучей. Если определять решения в плоскости изображения, то это равносильно направлению движения от изображения к предмету. Тогда аберрации возникнут в плоскости предмета и будут функциями начальных значений в плоскости изображения. Соответственно будем иметь другой, хотя и аналогичный, набор аберрационных коэффициентов ( обратные коэффициенты в отличие от представленных здесь прямых коэффициентов). [c.263]

Фактический вид функции I зависит от линзы. Можно связать эту функцию с упрощенным решением уравнения параксиальных лучей и выразить ее как комбинацию различных полевых интегралов и фокусного расстояния. Это легко может быть сделано для магнитных линз [150], но такая же методика возможна и для электростатических линз. В итоге зависимость коэффициента аберрации от фокусного расстояния может оказаться более сложной, чем это следует из уравнения (5.290). [c.325]

Как известно, асимптотические свойства первого порядка электронных и ионных линз определяются кардинальными элементами. Для их определения достаточно знать два главных луча (разд. 4.6.1), т. е. проинтегрировать уравнение для параксиальных лучей (4.40) или (4.50) для заданного распределения поля и начальных условий. Хотя уравнение (4.40) непосредственно определяет траекторию, для численных расчетов уравнение (4.50) обычно более предпочтительно, так как оно не содержит вторую производную потенциала (см. разд. 3.3.5.1). Заметим, что, если коэффициенты в уравнениях для определения действительных лучей малы, начальные условия для получения общего решения уравнения для параксиальных лучей могут быть заданы произвольно, несмотря на то что уравнение справедливо только для малых смещений и углов. [c.355]

Существует несколько общих методов отыскания классов функций, которые делают возможным решение уравнения <ля параксиальных лучей в квадратурах [182—184]. Практически они применяются для электростатических иммерсионных линз с монотонным распределением потенциала и для коротких магнитных линз. [c.356]

Траектории частиц в общем случае полностью определяются системой дифференциальных уравнений второго порядка (2.76) и (2.77). В аксиально-симметричных полях траектории определяются уравнениями (4.12) и (4.21). Так как теория фокусировки базируется на параксиальных лучах, нас в основном интересуют решения уравнений для параксиальных лучей (4.40) или (4.50). После определения траектории в меридиональной плоскости ее вращение определяется уравнением (4.32), которое является определенным интегралом. [c.357]

Объект и его изображение обычно расположены вне поля, следовательно, для расчетов (исключая диафрагмы и катодные линзы) могут быть использованы асимптотические свойства оптических систем. Будем предполагать, что скорости не достигают релятивистских значений и что отсутствуют любые азимутальные составляющие скоростей. Тогда траектории всегда пересекают оптическую ось и могут быть рассмотрены в меридиональной плоскости гг. В этом случае можно использовать уравнение главных траекторий (4.23). Тогда уравнение параксиальных лучей (4.40) примет вид [c.375]

Траектория заряженной частицы внутри каждого интервала представляет собой параболический сегмент. Эти сегменты определяются уравнением (4.141). Наклон траектории дается уравнением (4.140). Если существуют интервалы, на которых потенциал постоянен, то траектория на них будет прямолинейна и описывается уравнением (4.142). Естественно, мы должны потребовать непрерывности как г (г), так и r z) на концах каждого интервала. Этого легко добиться для r(z), но невозможно для r z). Причиной являются разрывы первой производной потенциала в этих точках. Следовательно, вторая производная потенциала (которая считается равной нулю внутри каждого интервала) принимает бесконечно большие значения на концах отрезков в случае, если считать переходную область 2az между двумя интервалами бесконечно узкой. К счастью, та же причина, которая приводит к бесконечно большому росту второй производной, ограничивает ее действие, но ведет к скачку Аг в наклоне траектории. Можно вычислить этот скачок, проводя интегрирование уравнения параксиальных лучей (7.1) по области перехода в окрестности конца отрезка Zh. [c.377]

Уравнение параксиальных лучей (7.1) может быть строго решено для распределения потенциала (7.8) на каждом интервале [201]. Рассматривая для простоты положительный потенциал, вводя новую переменную [c.379]

Параксиальных лучей уравнение 185 Первеаис 63, 335 Петцваля коэффициент 286 Пирса пушка 611 Планарные поля 70, 149 Погрешность абсолютная 141 [c.632]

Соотношение (71.3) позволяет найти длину 2= 81, если задано 1 = 8, т. е. позволяет отыскать положение точки Ь по заданному . При выводе его мы, кроме закона преломления, пользовались еще допущением, что луч А принадлежит к параксиальному пучку. Следовательно, соотношение справедливо для любого луча параксиального пучка. Из формулы (71.3) видно, что Па при заданных параметрах задачи щ, п . Я) зависит только от а . Таким образом, все лучи параксиального гомоцентрического пучка, выходящего из Ь, пересекают ось в одной и той же точке которая является, следовательно, стигматическим изображением источника Ь. Итак, гомоцентрический пучок при преломлении на сферической поверхности остается гомоцентрическим, если он удовлетворяет условию параксиальности. Основное уравнение (71.3) охватывает все случаи преломления лучей на сферической поверхности. Пользуясь установленным выше правилом знаков, мы можем разобрать случай выпуклой (Я > 0) или вогнутой ( < 0) поверхности. [c.281]

Рис. 12.13. К выводу уравнения Лагранжа — Гельмгольца для параксиальных лучей ухПх sin Uj = sin

В очень слабых линзах расстояние между границами линзы мало по сравнению с обоими фокусными расстояниями. Тогда можно считать линзу тонкой в том смысле, что ее поле заключено в сравнительно узкой области. В этом случае направление траектории лишь слегка изменяется внутри линзы, и ее действие может быть аппроксимировано более или менее резким излтенением наклона траектории в том месте, где расположена тонкая линза. Это грубое приближение позволит несколько глубже рассмотреть общие свойства линз без необходимости решать уравнение параксиальных лучей. [c.221]

Даже для такого простого распределения поля нельзя найти решение уравнения параксиальных лучей в замкнутом виде. Здесь мы не будем решать уравнение численно, а вместо этого используем более простой и наглядный подход. Как мы увиднм в разд. 8.3.1, простейшей моделью магнитной линзы является прямоугольная модель, в которой действие линзы аппроксимируется действием однородного поля в слое заданной конечной толщины эффективная длина), резко спадающего до нуля на границах слоя. Конечно, мы знаем, что такого поля не может быть, но для грубой оценки параметров толстой линзы такая тривиальная модель оказывается вполне подходящей. [c.240]

Применим теперь решение уравнения параксиальных лучей (4.150), полученное для однородного магнитного поля, к прямоугольной модели. Будем рассматривать случай С = 0 (теперь это возможно, поскольку поле ограничено в пространстве), когда исчезает мнимая часть решения. Подставляя ko = k, Го =--= 0 и Zo = —Leiil2, получаем решение для главного луча гг(2 ), входящего в линзу из пространства объектов параллельно оси, в виде [c.241]

При следующем интегрировании используем вначале U dz = = d(U" ), затем вновь проинтегрируем по чз1стям, используя U "dz = d U") и тот факт, что h(z) является решением уравнения параксиальных лучей (4.40) и, следовательно, [c.272]

Метод Нумерова. Продемонстрируем очень простой специальный многошаговый метод [198], который может быть использован для решения уравнения параксиальных лучей в виде (4.50). Начнем с уравнения (3.386). В принятой системе обозначений имеем [c.364]

Приведенные выше решения в простом специальном случае с = 0 имеют особенности, но тем не менее решение уравнения параксиальных лучей может быть получено без особых трудностей. Если ЪкфЬ (область однородного поля), из уравнений (4.141) и (4.140) имеем [c.380]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...