Вариационный Скорость

В примере, который мы рассматриваем сейчас, ошибка по перемещению действительно составляет O(h ). Одно из возможных доказательств —забыть о вариационном происхождении уравнений KQ = F метода конечных элементов и вычислить из них ошибку отсечения как из разностных уравнений (на границе х = п это уже сделано). Применяя принцип максимума, мь1 действительно получаем поточечную оценку e (x) I = О (/г ), которая оптимальна. Но этот подход не полностью удовлетворителен, так как распространение его на нерегулярные конечные элементы в задачах с двумя переменными вызывает огромные трудности. Поэтому важно найти соображения, позволяющие установить вариационно скорость сходимости ошибки по перемещению е Последующий прием приводит к успеху пусть г — решение исходной вариационной задачи на Же, в которой ошибка = z=u — u выбрана в качестве правой части. Приравняем нулю первую вариацию [c.64]

Пример 62. Задача о брахистохроне. В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу материальная точка, имеющая начальную скорость, равную нулю, движется под действием силы тяжести по некоторой кривой, соединяющей две заданные точки. Найти такую кривую, при движении по которой время движения будет наименьшим. Эта задача получи-л а название задачи о брахистохроне н положила начало вариационному исчислению. [c.235]

Таким образом, нахождение оптимальной формы армированной колонны, возводимой со случайной скоростью, сведено к опреде-нию функции 2 (а ), являющейся решением следующей вариационной задачи [c.168]

Для исследования гармонических упругих волн в композиционной среде Кон с соавторами [37] использовали методы, основанные на теории Флоке и Блоха. Этот подход весьма подробно рассмотрен также в статье Ли [40]. Основная идея всех этих работ состоит в применении вариационных принципов в интегральной форме к отдельной ячейке композита. Эти вариационные принципы дают способ определения фазовых скоростей и распределения напряжений в волнах Флоке, распространяющихся в композиционной среде без изменения формы при переходе от ячейки к ячейке. Различные авторы использовали как принцип минимума потенциальной энергии деформации, так и принцип максимума дополнительной работы. [c.382]

Главным образом, в этой последней форме Ы8 = 5d соотношение (33.9а) играло плодотворную, хотя и несколько мистическую роль в старом вариационном исчислении времен Эйлера. Мы видим, что соотношение (33.9а) является лишь видоизменением довольно тривиального соотношении (33.5) между производной по времени от виртуального перемещения и виртуальным изменением скорости, если ввести дополнительное предположение о том что время не варьируется и что виртуальное перемещение непрерывно. [c.245]

Эйлерова производная этого выражения приводит прямо к релятивистскому импульсу G в форме (2.19), а, следовательно, также и к закону зависимости массы электрона от его скорости. Вообще говоря, нахождение функции Лагранжа L, приводящей через посредство вариационного принципа к заданным дифференциальным законам, является (в особенности вне пределов механики) трудной задачей, для решения которой не существует общих правил. Для указанного выше случая движения электрона в магнитном поле эта задача была весьма простым способом разрешена Лармором и Шварцшильдом. В этом случае разложение L на кинетическую и потенциальную части по схеме L = Т — V, вообще говоря, уже невозможно. [c.277]

Константы интегрирования Лд, и Вд, выбираются в соответствии с граничными условиями. Наша вариационная задача требует варьирования при фиксированных граничных значениях. Следовательно, координаты заданы при t = ti и t =ti. Это и есть 2п граничных условий, которым можно удовлетворить соответствующим выбором констант В/,. Однако природа задач механики такова, что обычно вместо граничных условий задаются начальные условия. Наличие 2п констант интегрирования позволяет задать произвольным образом все начальные значения координат и скоростей. [c.85]

Эта фундаментальная теорема не предполагает каких-либо ограничений вида фуикции L, кроме требования ее независимости от времени t. Вместе с тем в приложениях вариационного исчисления в механике функция L обычно встречается в форме Т — V, где н Т и V — функции определенного вида Т представляет собой квадратичную форму скоростей qi [см. (1.5.16) [c.148]

Путем решения уравнения (а) относительно qn и подстановки в (Р) циклическая скорость исключается из L. Новая функция Лагранжа уже не зависит от циклической переменной и первоначальная вариационная задача с п степенями свободы сводится к новой вариационной задаче с п — 1 степенями свободы. [c.154]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Преобразование Лежандра в применении к функции Лагранжа. Функция Лагранжа L, появляющаяся в вариационной задаче, зависит в общем случае от п позиционных координат qi, п скоростей qi и времени t [c.193]

Эйлер (1707—1783). Эйлер внес очень существенный вклад в развитие теоретической механики. При изучении вращения твердого тела он впервые использовал кинематические переменные, введя в качестве вспомогательных переменных три компоненты угловой скорости. Замечательны его пионерские работы в области вариационной механики. Эйлер начал систематическое изучение вариационных задач иногда называемых изопериметрическими . Эти задачи на максимум-минимум привлекали к себе внимание лучших умов — таких, как Ньютон.. Лейбниц. Яков и Иоганн [c.389]

Связь аналитической механики и современной физики. Два великих достижения современной физики теория относительности и квантовая механика — теснейшим образом связаны с аналитической механикой. Теория относительности Эйнштейна революционизировала все области физики. Было показано, что ньютонова механика справедлива лишь приближенно для скоростей, малых по сравнению со скоростью света. Однако аналитический метод, основанный на использовании принципа наименьшего действия, остался неизменным. Модифицирована была лишь функция Лагранжа получение же дифференциальных уравнений движения из принципа минимума осталось. Действительно, полная независимость вариационного принципа от какой-либо специальной системы отсчета делала его особенно ценным для построения уравнений, удовлетворяющих принципу общей относительности. Этот принцип требует, чтобы основные уравнения природы оставались инвариантными при произвольных преобразованиях координат. [c.394]

Это означает, что мы выразим половину Т, относительной живой силы системы как функцию скоростей ц любых отметок относительного положения и затем, взяв вариацию Т относительно р, заменим эти вариации вариациями самих отметок положения вычтем начальное значение результата из конечного и сложим вариации конечной и начальной функций <р, и Ф,, которые входят в уравнения условий д>, = О, Ф, = О (соединяющие конечные и начальные отметки относительного положения), соответственно помноженные на неопределенные множители А,, Л, наконец, приравняем полный результат величине б V, —t дН,, где Н, является независимой от времени величиной в уравнении (50) относительной живой силы, а V, является относительным действием, вариацию которого мы хотим найти. Нет необходимости останавливаться здесь на демонстрации этого нового правила (У ), которое легко можно вывести либо на основе уже изложенных принципов, либо исходя из закона живой силы, при помощи вариационного исчисления в сочетании с дифференциальными уравнениями второго порядка относительного движения. [c.197]

Наконец, в 7 вместо скоростей вводятся количества движения, что дает новую форму вариационной задачи, а также, наряду с уже известными измененными представлениями сил, дает другой закон взаимности прямого и обратного движений. [c.435]

От этого порока — неизбежности специальных механических координат — можно освободиться, если сформулировать вариационный принцип как интегральный принцип, отнеся его с самого начала к конечному интервалу времени. В таком случае действительное движение отличается от всех возможных движений тем свойством, что для любой из его допустимых вариаций определенный интеграл по времени исчезает. В важнейших случаях это условие может быть сформулировано и так, что для действительного движения определенный интеграл по времени, определяемый как количество действия или действие движения, меньше, чем для всякого другого движения, связанного наложенными условиями. При этом действие одной-единственной материальной точки, по Лейбницу, равно интегралу по времени от кинетической энергии или, что является тем же самым, равно инте гралу от скорости по пути. [c.582]

Применяя принцип, сформулированный им в 1834—1835 гг., Гамильтон исходил из допущения, что система может быть и несвободна, но кинетическая энергия является однородной функцией второго порядка от обобщенных скоростей. Таким образом, он неявно предполагал стационарность связей. М. В. Остроградский получил тот же принцип в 1848 г., не налагая этих ограничений, а рассмотрев связанную с ним вариационную проблему в более общем виде ). Поэтому рассматриваемый принцип получил название принципа Гамильтона—Остроградского. [c.829]

Один И8 концов однородной гибкой цепи длиной I прикреплен к вертикальному стержню, вращающемуся с постоянной угловой скоростью О. Если пренебречь влиянием силы тяжести, то можно считать, что цепь описывает круг в горизонтальной плоскости. Используя вариационный принцип Гамильтона, получить волновое уравнение для малых поперечных колебаний найти частоту основной (фундаментальной) моды колебаний. [c.219]

Сформулированные выше вариационные задачи (поиск управления, минимизирующего (1)) отвечают идеализированной по-становке задачи управления манипулятором, в которой не учтены ограничения на величины относительных перемещений звеньев манипулятора, а также на величины соответствующих скоростей и ускорений. Учет этих ограничений приводит к необходимости использовать принцип максимума Л. С. Понтрягина или метод динамического программирования, требующие большого объема вычислений. [c.28]

Рассмотрение вопроса о направленном движении трещин необходимо основывать на вариационном принципе, но прежде всего необходимо выявить механизм энергоснабжения трещин, так как в нашем случае скорость роста трещин меньше скорости распространения возмущения. Вероятно, источниками энергоснабжения, обеспечивающими рост магистральных трещин при импульсной нагрузке, являются энергия деформации, накопленная в объеме при движении в нем волн сжатия, а также различного типа отраженные волны и волны релаксации напряжений, связанных с наличием неоднородности в образце. Концентрация напряжений вблизи неоднородностей, а затем и образование системы микротрещин являются основными источниками волн релаксации, т.е. наибольший приток энергии для своего развития трещина получает от близлежащих областей локальных возмущений. [c.139]

Пусть имеем флютбет (О, I) со шпунтами, длины которых 1 ,. . 1р (см. рис. 1) глубина проницаемого слоя h. Вариационные теоремы позволяют получить ряд качественных заключений относительно характера изменения основных элементов движения расхода, выходной скорости (вдоль границы нижнего бьефа) и давления на флютбет, при изменении размеров элементов сооружения. [c.304]

Истинные методы конечных элементов отличаются от подходов, в которых рассматривается разбиение масс, главным образом тем, что при разбиении конструкции жесткости элементов определяются посредством классических способов статических исследований самих элементов, а не в процессе идентификации конструкции [1.40—1.46]. На рис. 1.12, а показано несколько обычно используемых типов элементов. Каждый элемент определяется с помощью 6, 8, 16 или 20 точек или узлов, в которых задаются условия совместности для перемещений и нагрузок. Исходными переменными являются пространственные перемещения в этих узлах уравнения движения обычно записываются с помощью того или иного вариационного подхода. Энергия деформаций, вычисляемая для каждого элемента, выражается через все узловые перемещения каждому узлу приписывают некоторую массу, и кинетическую энергию выражают через узловые скорости. Поскольку разбивка на элементы производится с учетом геометрии конструкции, отпадает необходимость в процедуре задания жесткостей, а соответствующие члены уравнений вычисляются из непосредственного рассмотрения геометрии каждого элемента. Для адекватного представления сложной конструкции необходимо большое число узлов, поэтому главными вопросами в методе конечных элементов являются [c.38]

Изменение скорости воздушного потока характеризуется методами вариационной статистики [c.100]

Изгиб и устойчивость пологих сферических оболочек, ползучесть материала которых описана нелинейными соотношениями, рассмотрен в работе [76]. Теории ползучести сформулированы с использованием законов течения и старения. Исследования проводятся на основе вариационных уравнений, учитывающих геометрическую нелинейность, в которых варьированию, кроме напряжений и перемещений (или их скоростей), подлежат также их интенсивности. Соотношения ползучести для оболочки упрощаются за счет осреднения интенсивностей деформаций и напряжений по толщине. При исследовании устойчивости применяется следующий подход. Полагается, что под действием внешнего давления в процессе ползучести оболочка изменят свою форму и вы- [c.9]

Вариационное уравнение равновесия [69] для скоростей изменения пространственного напряженно-деформированного состояния с учетом нелинейных геометрических соотношений имеет вид [c.20]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Отсутствие азимутальной составляющей вектора скорости в рассмотренных вариационных задачах при осевой симметрии является ограничением, которое может, например, снизить силу тяти оптимального сопла. В работах [19, 20] на примере присутствия потенциальной закрутки потока вокруг оси симметрии выведены необходимые условия экстремума и продемонстрировано увеличение силы тяги. Дальнейшие исследования в этом направлении проведены Гудерлеем, Табаком, Брей-тером и Бхутани [21]. Систематическое сравнение оптимальных сопел этого типа выполнено Тилляевой [22]. [c.47]

Во всех рассмотренных до сих пор осесимметричных потоках азимутальная составляющая вектора скорости отсутствовала. Это являлось отраничением в постановке вариационных задач, но отказ от ограничений может только улучшить решение. Обратимся к закрученным осесимметричным течениям и покажем на простейшем примере, что закрутка потока действительно может увеличить силу тяги сопла при прочих равных условиях. При этом азимутальная составляющая скорости не будет рассматриваться как свободная функция, она просто будет задаваться. [c.143]

Для решения более сложных задач широкое применение находят вариационные методы, сущность которых заключается в том, что система уравнений равновесия, условий шастичности и граничных условий заменяется эквивалентным ей принципом возможных перемещений. Использование данного метода возможно лишь при наличии данных (экспериментальных, численных и т.п ) о скоростях деформаций в различных точках исследуемой конструкции, необходимых для нахождения функции распределения скоростей деформации по сечению, отвечающему минимальному значению энергии деформации. Изложенный метод, с связи с этим, по с ти своей является приближенным, гюскольк минимизирующие функции подбираются эмпирически. [c.99]

Для профилирования контура сверхзвуковой части сопла воспользуемся приближенным методом, основанным на решении вариационной задачи нахождения контура сопла, соответствующега наибольшей тяге при заданных его длине с, а также давлениях в камере сгорания и в окружающей среде (ро/Рн) [Ю1- соответствии с этим методом закрнтическая часть аппроксимируется параболой Я (рис. 4.1.3) и дугой окружности с радиусом г = 0,45 г. Будем варьировать длиной д, рассчитывая такое ее значение, при котором сумма весов сопла Од и топлива 0 была бы минимальной. С этой целью удобнее задаваться числом Маха на срезе сопла (или соответствующей относительной скоростью А.Д = и)д/а ). [c.307]

Построение системы линейных уравнений. Следующим этапом метода конечных элементов является получение системы уравнений для нахождения неизвестных функций в узлах. Данному дифференциальному уравнению с граничными условиями ставят в соответствие некоторый функционал, минимум которого достигается в том случае, когда удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение. ]"1ными словами, вариационным уравнением Эйлера для данного функционала является исходное уравнение. Например, нахождение решения уравнения Лапласа для потенциала скорости d2ip d2 f дх2 ду2 [c.202]

Этот принцип содержится в работах У. Гамильтона, опубликованных в 1834—1835 гг. (см. сборник Вариационные принципы механики , М., 1959, стр. 239). При этом Гамильтон предполагал, что исходная система склерономна (он исходил из представления кинетической энергии Г в виде квадратичной формы от обобщенных скоростей). Для общего с.1учая нестационарных связей этот принцип был сформулирован и обоснован М. В. Остроградским в 1848 г. (там же, стр. 770—771, 829). В связи с этим данный принцип иногда называют принципом Гамильтона—Остроградского. [c.105]

Дифференциальные уравнения движения выражают некоторую зависимость, связывающую между собоИ момент времени t, положение системы, скорости. и ускорения ее точек в этот момент. Если эта зависимость выполняется в каждой точке некоторого пути, то этот путь является прямым. Вариационный же принцип характеризует весь прямой путь в целом. Он формулирует экстремальное (стационарное) свойство некоторого функционала, выделяющее прямой путь среди других кинематически возможных путей. Вариационные принципы имеют более обозримую и компактную форму и часто используются в качестве фундамента для новых (неклассических) областей механики. [c.107]

Резюме. При аналитическом подходе существенной величиной в механике является не сила, а работа, совершаемая действующими силами на произвольном бесконечно малом перемещении. Вариационные методы дают особенно полезные результаты в случае сил, определяемых одной скалярной величиной, силовой функцией У. Такие силы можно назвать моноген-ными . Если силовая функция не зависит от времени, мы получаем класс сил, называемых консервативными , поскольку они удовлетворяют закону сохранения энергии. В распространенном случае, когда силовая функция не зависит ни от времени, ни от скоростей, эта функция, взятая с обратным знаком, может быть интерпретирована как потенциальная энергия сила при этом является градиентом потенциальной энергии, взятым с обратным знаком. Силы, не имеющие силовой функции, тоже могут быть охарактеризованы работой, совершенной на бесконечно малом перемещении, но к ним не применима общая процедура нахождения минимума, характерная для аналитической механики. [c.53]

К этому же периоду относится и создание знаменитой Мёсап1дие Analytique , перевод первого тома которой здесь дается. Исходя из основного принципа возможных скоростей, которому Лагранж дал новое доказательство, и пользуясь разработанными им же вариационными методами, Лагранж строит здесь впервые полную систему аналитической механики. В этом классическом труде сосредоточено такое количество фундаментальных идей и блестящих методов, до такой предельной ясности доведено изложение основных законов механики, что и до сих пор эта книга не потеряла своей свежести и может быть использована как классический трактат по аналитической механике. Здесь впервые появляется идея обобщенных координат лагранжев метод рассмотрения жидкости, как материальной системы, характеризуемой большой Подвижностью частиц, уничтожил различие между механикой жидкости и механикой твердого тела, так что общие принципы механики могли быть распространены на гидростатику и гидродинамику. Механика у Лагранжа стала общей наукой [c.584]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Нетрадиционно освещается ряд тем кинематика, общие теоремы динамики, вывод уравнений Лагранжа, уравнение Гамильтона — Якоби. Часть материала выходит за рамки университетского курса элементы теории линейных и квадратичных по скоростям интегралов, применение вариационных принципов, новое доказательство теоремы Дарбу о канонических координатах. В книгу включены задачи, иллюстрирующие и дополняющие теоретический материал, даны методические указания к ним. [c.2]

С. К. Канауна и А. И. Чудновского. Авторы используют вариационный принцип, согласно которому из всех возможных изменений функции р(ф, А, /), удовлетворяющих уравнению баланса энергии, реальному процессу разрушения соответствуют такие изменения, которые обеспечивают максимум скорости порождения энтропии внутри системы. [c.597]

В этой глаие мы начнем с рассмотрения связей, наложенных на систему мы покажем, что связи можно ввести как предельный случай обычной потенциальной энергии. Затем обсуждается принцип Д Аламбера и на его основе выводятся уравнения Лагранжа первого рода, которые используются в нескольких простых примерах. Выводится вариационный принцип Гамильтона, с помощью которого получаются уравнения Лагранжа второго рода, после того как вводятся обобщенные координаты. После этого рассматриваются циклические координаты, функция Рауса и скрытые массы. Далее кратко обсуждаются неголоном-ные и неинтегрируемые связи и потенциалы, зависящие от скорости специально рассмотрен случай движения заряженной частицы в электромагнитном поле. В конце главы обсуждается связь между бесконечно малыми преобразованиями координат и законами сохранения. [c.38]

Анализируя различные подходы к решению геометрически и физически нелинейных задач теории оболочек, выбираем вариационный подход. При построении вариационного уравнения термоползучести используем допущения технической теории гибких оболочек, успещ-но применяемой в расчетах упругих пологих оболочек, и физические соотношения в форме связи тензоров скоростей изменения деформаций и напряжений с учетом ползучести материала. Вариационное уравнение смешанного типа, в котором независимому варьированию подвергаются скорости изменения прогиба и функции усилий в срединной поверхности, позволяет использовать для описания реологических свойств материала хорошо обоснованные теории ползучести типа течения и упрочнения. Задачи мгновенного деформирования решаем методом последовательных нагружений, а задачи ползучести — методом шагов по времени. [c.13]

Устойчивость оболочек при ползучести исследуем на каждом шаге по времени с использованием двух критериев потери устойчивости. Первый связан с интенсивным ростом скорости изменения прогиба оболочки в период времени, близкий к критическому. Удовлетворение его проверяется на основе решения вариационного уравнения термоползучести (уравнение основного состояния). Второй критерий связан с мгновенной бифуркацией форм равновесия оболочки при ползучести в критический момент времени. Удовлетворение его проверяется на основе анализа вариационного уравнения устойчивости технической теории гибких оболочек, содержащего функции основного состояния. Независимому варьированию подвергаются малые добавки прогиба и функции усилий, связанные с переходом оболочки в соседнее равновесное состояние. Эти критерии являются результатом обобщения критериев потери устойчивости при мгновенном деформировании на случай ползучести. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...