Канонические координаты

В качестве еще одной иллюстрации рассмотрим бесконечно малое каноническое преобразование, соответствующее повороту системы в целом на угол dQ. Физический смысл производящей функции этого преобразования, очевидно, не зависит от выбора канонических координат, и поэтому мы будем пользоваться декартовыми координатами точек системы. Кроме тог( , не уменьшая общности, можно считать, что рассматриваемый поворот совершается вокруг оси z. Тогда координаты каждой точки будут изменяться так, как будто система остается в покое, а координатные оси поворачиваются на угол — dQ. Поэтому с точностью до величин первого порядка относительно dQ мы будем иметь следующие выражения для новых координат [c.289]

Этот результат следует, конечно, и непосредственно из равенства (8.69). Если в качестве одной из канонических координат взять угол, характеризующий поворот системы в целом, то соответствующий канонический импульс будет, как мы знаем, составляющей кинетического момента вдоль оси вращения (см. 2.6). Таким образом, равенство (8.72) является частным случаем равенства (8.69). [c.290]

Говоря о применении канонических преобразований к решению задач механики, мы указывали на два метода. Один из них относится к тому случаю, когда гамильтониан системы остается постоянным. В этом случае существует такое преобразование, при котором новые канонические координаты являются циклическими, и тогда интегрирование новых уравнений движения становится тривиальным. Другой метод состоит в отыскании такого канонического преобразования, которое осуществляет переход от координат q t) и импульсов p t) к начальным координатам q to) и начальным импульсам p to). Уравнения преобразования, связывающие старые и новые канонические переменные, будут при этом иметь вид [c.301]

Уравнение (9.3), определяющее функцию S, было получено нами с помощью канонического преобразования, осуществляющего переход от канонических координат q, р) к постоянным (а, Р). Покажите, что верно и обратное, т. е. если S qi,ai,t) есть любой полный интеграл уравнения (9.3), то определяемые равенствами (9.6) и (9.7) переменные (qi, pi) будут каноническими и, следовательно, будут удовлетворять уравнениям Гамильтона. [c.343]

Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей. Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сущности, мы только тогда умеем квантовать систему, когда можем говорить о ней на языке механики. Поэтому, если мы хотим построить квантовую теорию электромагнитного или какого-либо другого поля, то сначала нужно получить его описание на языке механики. Основу для такого описания дают методы Лагранжа и Гамильтона, изложенные в этой главе, [c.399]

Qi, Pi преобразованные канонические координаты и импульсы, [c.409]

To, что замкнутая форма Q локально точна в канонических координатах видно непосредственно. В самом деле, [c.252]

Теперь нам надо увериться в том, что канонические координаты существуют всегда. Мы сделаем это в два этапа. [c.253]

ТЕОРЕМА ДАРБУ. В окрестности каждой точки канонического многообразия суш,ествуют канонические координаты. [c.255]

Возьмем в качестве первых п канонических координат функции Pi = Fi z), а еще п функции Q построим по теореме о пополнении. Тогда [c.266]

Теорема. В сделанных предположениях в окрестности L существуют канонические координаты рг, а mod 2л такие, что [c.266]

Доказательство. По теореме о пополнении существуют канонические координаты Р, Рп, Qu Qn такие, что (19.8) [c.267]

Показать, что в окрестности неособой связной компактной компоненты уровня F = q существуют канонические координаты [c.271]

Допустим, что решение уравнения Гамильтона — Якоби для нашей системы найдено и что аир, возникаюш,ие в результате решения, — новые канонические координаты. [c.166]

Цифровое моделирование и реализация синтезированного адаптивного управления ПД в канонических координатах требуют формирования производных до пятого порядка от программного и реального перемещения каретки дСр (О, х ( ). Учитывая высокую точность датчиков положения (0,2 мкм), эти производные можно формировать численно. При этом отпадает необходимость в сложных и ненадежных каналах обратной связи через сигналы тахо-генератора и ток якоря, используемых в системе сервоуправления КИР УИМ-28. В общем случае для восстановления канонического вектора состояний х (t) по сигналам от датчиков можно воспользоваться теорией и известными схемами наблюдателей [19, 31, 58], обеспечивающими асимптотическую идентификацию вектора состояний. [c.300]

КАНОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ГРУППЫ 225 [c.225]

Канонические координаты группы [c.225]

Таким образом, роль канонических координат группы играет логарифм собственной функции ее оператора и п — I независимых инвариантов. [c.227]

Доказательство. Укажем алгоритм понижения порядка. Группа, порождаемая оператором С/, предполагается известной в такой степени, что известны ее канонические координаты [c.230]

Последний коммутатор сводится к дифференцированию компонент оператора Л по г. Равенство нулю означает при этом, что в канонических координатах группы V оператор А (а следовательно, и дифференциальная система, соответствующая ему) от переменной г не зависит. [c.231]

Разыскиваем канонические координаты группы 17 [c.231]

Заметим, что приведенный способ понижения порядка требует знания канонических координат группы симметрий. Однако есть случаи, когда для этого достаточно лишь знания оператора группы. Например, это возможно, когда размерность системы равна двум. Рассмотрим этот случай. Пусть имеем систему [c.232]

Доказательство. Выполним переход к каноническим координатам группы 11 д г. Тогда О = д/дг и условие расширенной симметрии приобретает вид [c.235]

Но полученное означает, что в канонических координатах группы и рассматриваемая система приобретает вид [c.235]

Для понижения порядка системы достаточно перейти от переменных, в которых она записана, к переменным, являющимся каноническими координатами ее группы симметрий (х, у, г) -> (р, д, г) [c.236]

Эта система представляет собой полную запись условий, которым должны удовлетворять канонические координаты, однако при практических вычислениях выписывать два нижних уравнения не [c.236]

В этом примере видно, в чем состоит отличие случая, когда [А, и] = О, от случая, когда [А, и] = ЛЛ. В первом случае при переходе к каноническим координатам система теряет зависимость от одной из переменных, во втором — зависимость от одной из переменных присутствует лишь в виде общего скалярного множителя при всей правой части (в этом примере е ), что не мешает понижению порядка [c.237]

Для понижения размерности в системе следует выполнить замену переменных (г, ь, (т) —у (х, у, г), где х, у, г представляют собой канонические координаты группы симметрий, т.е. функции, удовлетворяющие условиям С/х = 1, С/у = О, С/г = 0. То есть функции [c.255]

Переход к каноническим координатам группы подобия х, у) —у —у(а,р) а = х у, р = пу позволяет получить [c.260]

Пусть N — пространство положений натуральной системы, XI,..., Хп — локальные координаты на Л , а у I,..., — импульсы. Координаты х,у являются каноническими на Т М, и в этих переменных симплектическая структура П имеет стандартный вид П = с1у А х,. Рассмотрим дополнительно некоторую замкнутую 2-форму на Л Г = Гу х)(1х Л (формой гироскопических сил. Сумма двух форм П-ьГ определяет новую симплектическую структуру на пространстве кокасательного расслоения многообразия N. Если Я — некоторая функция на Т М, то пара (П -Ь Г, Я) задает некоторую гамильтонову систему с гамильтонианом Я эту систему назовем системой с гироскопическими силами. Ясно, что наличие гироскопических сил не изменяет полной энергии Я. К форме П -Ь Г можно применить теорему Дарбу и представить ее в каноническом виде. Для этого, пользуясь замкнутостью формы Г, запишем локально Г = Г, Г = Гк х)(1хк. Тогда в переменных х,у имеем П -Ь Г = 2<1у Л (1х -Ь 2 Л Х = (1 у -Ь Г ) Л Х . Следовательно, переменные х, у, определяемые равенствами = х , У к — Ук + Рк х, ..., х ) 1 к п) будут каноническими координатами для новой симплектической структуры. В новых переменных уравнения Гамильтона имеют канонический вид с функцией Гамильтона Я(х, г/ - Г) = Н х,у). [c.24]

Это уравнение, конечно, гамильтоново канонические координаты суть X mod 2тг, р = , а функция Гамильтона имеет вид [c.43]

Пусть F —> R — первый интеграл гамильтоновой системы i = V[j z). Оказывается, если dF zo) ф О, то ъ некоторой окрестности точки Zq М существуют такие канонические координаты xi,...,x ,yi,...,y , что F x,y) = 2/1 ). Это утверждение — гамильтонов вариант теоремы о выпрямлении фазовых траекторий (доказательство можно найти, например, в [157]). [c.63]

Рассмотрим более подробно случай, когда собственные числа Л1,..., Л вещественны и отличны от нуля. Тогда равновесие, очевидно, неустойчиво. Не ограничивая общности, можно считать, что все числа Л положительны. Будем предполагать, что среди них нет равных. Тогда в подходящих канонических координатах х,у функция Гамильтона приводится к виду [c.130]

Канонические координаты х mod 2тг и у являются переменными действие — угол невозмущенной системы с гамильтонианом Яо. Следуя Пуанкаре, мы рассмотрим задачи о существовании для этой системы дополнительных интегралов и нетривиальных полей симметрий в виде рядов по степеням малого параметра е. Здесь существенное значение имеет классическая схема теории возмущений, изложенная в 10 гл. II. Оказывается, интегрируемости гамильтоновой системы препятствует разрушение большого числа резонансных инвариантных торов невозмущенной задачи при малых значениях s 0. [c.177]

Нетрадиционно освещается ряд тем кинематика, общие теоремы динамики, вывод уравнений Лагранжа, уравнение Гамильтона — Якоби. Часть материала выходит за рамки университетского курса элементы теории линейных и квадратичных по скоростям интегралов, применение вариационных принципов, новое доказательство теоремы Дарбу о канонических координатах. В книгу включены задачи, иллюстрирующие и дополняющие теоретический материал, даны методические указания к ним. [c.2]

В свою очередь лиувилиан свободных частиц оказывается суммой членов, каждый из которых действует на канонические координаты отдельной частицы [c.69]

Гамильтон (1834 г.) и Якобй (1837 г.) разработали общий Mt> тод интегрирования уравнений динамики, основанный на введении специальных канонических координат. [c.10]

Отметим, что если мы допускаем произвольные канонические замены переменных в фазовом пространстве, то тогда любая- вполне интегрируемая гамильтонова система решается разделением переменных для этого достаточно перейти к переменным действие— угол. В такой общей постановке задача о существовании разделенных канонических координат по существу эквивалентна задаче о наличии полного набора инволютивных интегралов. [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...