Приложения вариационного исчисления

Эта фундаментальная теорема не предполагает каких-либо ограничений вида фуикции L, кроме требования ее независимости от времени t. Вместе с тем в приложениях вариационного исчисления в механике функция L обычно встречается в форме Т — V, где н Т и V — функции определенного вида Т представляет собой квадратичную форму скоростей qi [см. (1.5.16) [c.148]

ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [c.338]

Приложение прямых методов вариационного исчисления к )ешению задач изгиба мы проиллюстрируем на примере вариационного принципа Рейс-нера. Положим [c.410]

Как оказалось, в задачах сдвижении существенны лишь стационарные значения некоторых определенных интегралов. Поэтому имеется заметное различие между вариационным исчислением — ветвью чистой математики, с одной стороны, и его приложением к задачам механики—с другой. С точки зрения чистой математики задача о нахождении стационарных значений не представляет большого интереса. После установления критерия для стационарных точек идут дальше и ищут дополнительные критерии для истинных экстремумов. Для вариационных принципов механики, однако, эти последние исследования представляют интерес только при решении задач устойчивости, когда ищется дей-ЗВ [c.59]

Материал, изложенный в этом разделе, основан на ряде кратких, но существенных замечаний по этому вопросу, имеющихся в книге Куранта и Гильберта Методы математической физики (см., в частности, стр. 183—185, т. I, изд. 3-е, Гостехиздат, 1951). Связь между вариационным исчислением и граничными условиями не только интересна сама по себе, но и является чрезвычайно существенной во многих приложениях, в частности, при изучении вопросов устойчивости в теории упругости. [c.92]

Я обращаюсь теперь к случаю, важному с точки зрения приложений к механике и вариационному исчислению, а именно к случаю, когда характеристическая функция имеет вид [c.410]

Приложения к механике и вариационному исчислению [c.416]

Первая его работа, посвященная принципу наименьшего действия, также появилась на свет как развитие и приложение его математических работ по вариационному исчислению. [c.796]

Для понимания содержания книги необходимо знание обычных кур сов теоретической механики и высшей математики (основные сведения из вариационного исчисления и матричной алгебры приведены в двух небольших приложениях) и знакомство с курсами аэродинамики, теплопередачи и динамики конструкций. И, конечно, изучению курса строительной механики ракет должно предшествовать детальное н тщательное изучение сопротивления материалов. [c.5]

При заданных свойствах тела и внешних нагрузках полная потенциальная энергия Э зависит от конкретного вида функций и, V, w и их производных. Величины, значения которых определяются выбором одной или нескольких функций, носят название функционалов. Свойства функционалов изучаются в разделе математики, называемом вариационным исчислением (см. Приложение I). [c.23]

Вариационное исчисление имеет обширную область приложений в математической физике благодаря тому, что физическая система часто ведет себя таким образом, что некоторый функционал, зависящий от ее поведения, принимает стационарное значение. Иначе говоря, уравнения, описывающие физические явления, часто являются условиями стационарности некоторой вариационной задачи. Типичным примером является принцип Ферма в оптике. Он состоит в том, что луч света между двумя точками проходит по пути, который Требует наименьшего времени. Отсюда непосредственно следует вывод, что в любой однородной среде свет распространяется по прямой. [c.15]

Для Л. Эйлера основной интерес представляла чистая математика, но, находясь на службе у правительства России, он иногда должен был заниматься также вопросами техники баллистикой, водяными турбинами, теорией кораблей и т. п. Вместе с Даниилом Бернулли он начал исследовать колебания стержней и дал полное решение задачи для случая призматического стержня с различными граничными условиями. В связи с развитием новой отрасли математики — вариационного исчисления — Л. Эйлер начал интересоваться кривыми прогибов тонких упругих полос и в приложении к своей книге дает полное решение этой задачи. Яков Бернулли [c.652]

В 1744 г. Эйлер дал вывод уравнений упругой кривой , применив вариационное исчисление, которое он изложил в книге Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума и минимума В обширном приложении к этому сочинению, носящем название Об упругих кривых , Эйлер вывел уравнение упругой кривой из условия минимальности некоторой величины, которую он, вслед за Даниилом Бернулли называет но- [c.166]

Удобная для приложений компактная формулировка принципа максимума вызвала к нему большой интерес. В частности, возник вопрос о том, как соотношения, характеризующие этот принцип, трактуются в привычных для механиков понятиях вариационного исчисления. Кроме того, вообще ощущалась потребность подвести теоретический итог результатам приложения классических методов вариационного исчисления к задачам об управлении и изложить эти методы в форме рабочих критериев, приспособленных для этих задач. Такая работа была выполнена, результатом чего явилась серия публикаций, относящаяся главным образом к началу шестидесятых годов. При этом задачи об оптимальном управлении трактовались как вариационные задачи на условный экстремум, причем уравнения движения рассматривались как дифференциальные связи, наложенные на координаты системы. Было выяснено, как классические подходы позволяют [c.189]

Если речь идет о линейных системах (16.1) и область U и функция Ф в (16.2) обладают подходящими свойствами выпуклости (или вогнутости), то многие такие задачи о минимаксе укладываются в схемы, обсужденные в 10 (см. стр. 193—197). В нелинейных случаях, а также в некоторых линейных нерегулярных случаях приложение описанных выше способов исследования (в частности, принципа максимума или классических критериев вариационного исчисления) потребовало их усовершенствования. Весьма общий подход к выводу необходимых условий экстремума для проблем вариационного исчисления, охватывающий, в частности, широкий круг задач об оптимальном управлении, описан в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина (1963—1965). В этих работах были выведены необходимые условия минимума F (w ) для функционала F (w), заданного на элементах w из некоторого нормированного пространства ly . Допустимые значения предполагаются стесненными условием типа равенств или неравенств. При широких предположениях о геометрических свойствах этих ограничений, которые вместе с условием экстремума порождают в пространстве гг некоторые выпуклые конусы и линейные подпространства вариаций, выводятся искомые необходимые условия минимума. Эти условия сводятся к отсутствию общих точек у открытых частей упомянутых конусов и подпространств. Формулировка этого геометрического факта в терминах линейных функционалов и составляет содержание [c.213]

Так как численные методы вариационного исчисления чрезвычайно сложны для большинства практических приложений, необходимо рассмотреть другие подходы. Первое предложение основывалось на методах динамического программирования [268, 337]. [c.520]

Книга предназначена для научных работников, специализирующихся в области механики деформируемого твердого тела и реологии, математиков, интересующихся приложениями современных методов неклассического вариационного исчисления к задачам механики и оптимизации, специалистов по вычислительным методам, а также для преподавателей университетов и технических вузов, аспирантов и студентов старших курсов. [c.2]

Сформулированная выше общая конструкция выделения единственного решения далеко не всегда элементарна при ее приложении к исследованию конкретных задач. В этом можно убедиться на примере задачи о растяжении конечной полосы, в которой возникает новый тип задач вариационного исчисления. [c.132]

Таким образом, методы вариационного исчисления в приложении к задачам строительной механики позволяют, минуя обычный прием составления дифференциальных уравнений из условия равновесия бесконечно малого элемента, получить их чисто формальным путем. [c.158]

Здесь знак интеграла обозначает суммирование по всем непрерывным кривым г ( ) длины Ь, соединяющим начало координат с точкой К. Точным смыслом символа 3) [г (х)] как меры относительных весов различных альтернативных траекторий, равно как и условием общей их нормировки, мы здесь можем не интересоваться. Для всех практических приложений достаточно знать лишь одно равенство (7.96) получается из (7.93), когда все шаги очень малы по сравнению с общей длиной цепочки. Выражения такого вида часто встречаются в той области функционального анализа, которая по традиции называется вариационным исчислением. [c.325]

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ [c.153]

Вариационное исчисление и его приложение 155 [c.155]

Для философски искушенного ума различие между действительным и виртуальным перемещениями кажется совершенно очевидным и не нуждается в дальнейших пояснениях. Но современный студент — это что угодно, но только не философский ум.Для него это различие совсем не очевидно, более того, чтобы постичь смысл понятия виртуальное перемещение , ему приходится в течение дол[ ого времени оперировать с ним, применяя его к ряду знакомых ситуаций. Поэтому автор счел наилучшим введением в приложения вариационного исчисления самостоятельный вывод студентом ряда известных результатов векторной механики из принципа виртуальных перемещений. Попутно студент замечает, что ранее не связанные и более или менее аксиоматически введенные свойства сил и моментов оказываются вь[текающими из одного всеобъемлющего принципа. У него возникает интерес, побуждающий двигаться дальше, за пределы статики. Здесь в его поле зрения попадает принцип Да-ламбера, показывающий, что тот же самый принцип виртуальных перемещений может служить для получения уравнений движения в сколь угодно сложной динамической задаче. [c.12]

Ампер (Ampere) Андре Мари (1Y75-1836) — французский физик и математик, один из основоположников теории электромагнетизма. Получил домашнее образование, с 1805 г. — профессор Политехнической школы, а с 1824 г. — Высшей нормальной школы в Париже, Открыл (1820 г.) правило механического взаимодействия токов (закон Ампера), построил первую теорию электромагнетизма. Работы по теории дифференциальных уравнений с частными производными (уравнения Ампера — Моижа), по теории вероятностей, по приложениям вариационного исчисления к задачам анализа и механики. Занимался классификацией наук, предложил названия кинематика и кибернетика . [c.143]

Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики определить Зп прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени , включающих, следовательно, 6п начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, п других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти п масс через т , т ,..., т и их Зп прямоугольных координат — через Xi,y ,Zi,. .., х , у , и, следовательно, 3 компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени — через х , У , . .. [c.284]

Миеле A. Методы вариационного исчисления в прикладной аэродинамике и механике полета. — В кн. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета/Под ред. Дж. Лейтмана Пер. с англ. — М. Наука, [c.530]

Метод Ритца в приложении к задачам обработки давлением заключается в том, что выражения (6-39) составляющих вектора перемещения определяются не из основных дифференциальных уравнений вариационного исчисления (уравнения Эйлера — Остроградского), а задаются до некоторой степени произвольно и притом так, чтобы они удовлетворяли условию несжимаемости и основным граничным условиям данной конкретной задачи, а также чтобы 184 [c.184]

В опубликованных за последние 20 лет статьях по динамике полета аэропланов и ракет методы вариационного исчисления нашли широкую область приложений- При помощи вариационного исчисления мы выявляем такие классы движений, при реализации которых некоторые интегральные характеристики будут наилучшими (например, время полета до цели — минимально дальность полета при заданном запасе топлива — максимальна). Более того, в ряде нелинейных динамических задач методы вариационного исчисления позволяют получить простые аналитические зависимости ( опорные решения), так как для оптимальных режимов полета уравнения движения интегрируются в конечном виде. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач допускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и играют в задачах динамики ракет и самолетов роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики [25]. [c.15]

Кротов В Ф, Некоторые новые методы вариационного исчисления и их приложение к чинамике полета Докторская диссертация, МАИ им Орджоникидзе, М, 1963 [c.391]

Выше было уже отмечено, что в сороковых и пятидесятых годах специалисты, работавшие в области приложений, столкнулись с большим числом серьезных проблем оптимального управления. Большинство этих зада решалось методами классического вариационного исчисления, которые по ходу дела приспосабливались к этим задачам. В этот период ощущалось отсутствие общего критерия оптимальности, широкого по содержанию, строго обоснованного и удобного по форме для задач управления. Постановка общей задачи об оптимальном управлении при условии минимума времени Т переходного процесса, о которой шла речь в предыдущем параграфе, вызвала серьезный интерес у математиков. Результатом этого интереса явилась математическая теория оптимальных процессов, разработанная в 1956—1960 годах Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко и подытоженная этими авторами в их известной монографии Математическая теория оптимальных процессов (1961). Эта фундаментальная теория базируется на принципе максимума, указывающем необходимые условия оптимальности для основного круга проблем программного управления. Принцип максимума учел по существу типичные особенности этих проблем, удовлетворив насущные запросы теории управления. [c.187]

Основные вопросы, связанные с приложением формализмов классического вариационного исчисления к задачам об оптимальном управлении системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями были разобр 1ны в работах А. И. Лурье и в большой серии работ В. А. Троицкого (1961—1965). [c.191]

Обнаруженные во всех этих теориях факты потенциально имеют широчайший круг приложений, но, поскольку они были открыты лишь недавно, и изложены лишь в специальной литературе, их применение сдерживается пока относительной труднодоступно-стью математических текстов для прикладников. Я надеюсь, что настоящая книга позволит овладеть зтими достижениями не только математикам, но и механикам, физикам и всем другим потребителям теории динамических систем, симплектической геометрии и вариационного исчисления. [c.8]

Другие применения формулы настоящего раздела находят в теории лежандровых особенностей, то есть особенностей волновых фронтов, преобразований Лежандра, огибающих и выпуклых оболочек (см. добавление 4, стр. 333). Теории лагранжевых и лежандровых особенностей имеют очевидные приложения не только в геометрической оптике и теории асимптотик осциллирующих интегралов, го и в вариационном исчислении, в теории раз- [c.421]

Чтобы найти кривые, для которых интеграл имсег стациопариое значение, необходимо в об1дгм случае нрименить методы вариационного исчисления, описанные б приложении 1. Там показано, что координаты таких кривых удовлетворяют дифференциальным уравнениям Эйлера (см. (7) приложения 1). В нашем случае это просто уравнения лучей (3.2-2), что доказано в н. 11 приложения I. [c.133]

На классификации критических точек функций основаны многие другие классификации в геометрии, физи>ке, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении и других областях анализа. В этой главе описаны некоторые из таких приложений геометрические (особенности гауссовых отображений, эквидистант, эволют, эвольвент, многообразий центров кривизны, гиперповерхностей, проективно двойственных гладким, подэр и первообразных), оптические (каустики и волновые фронты, их перестройки, бикаустики), в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (бифуркации градиентных систем, т. е. теория катастроф Тома) и теории [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...