Бесконечно малые преобразования

Обобщённый импульс в аналитической динамике выражается через функцию Лагранжа или через кинетическую энергию. 2. Каждому бесконечно малому преобразованию, вызывающему изменение лагранжиана, соответствует постоянная движения стационарной механической системы в потенциальном поле сил. [c.97]

Уравнение (4.87) показывает, что матрица бесконечно малого преобразования имеет вид 1 е, т. е. описывает почти тождественное преобразование, отличающееся от него лишь бесконечно малым оператором. [c.144]

Если А —1 - 8 есть матрица бесконечно малого преобразования, то обратная ей матрица будет равна [c.144]

Понятие бесконечно малого преобразования можно сделать более наглядным, если рассмотреть специальный случай такого преобразования — бесконечно малое вращение вокруг оси г. Для конечного вращения вокруг этой оси матрица преобразования имеет вид [см. (4.43)] [c.145]

Приращения, которые получают составляющие вектора при бесконечно малом преобразовании, определяются матричным уравнением [c.146]

Из того факта, что бесконечно малое ортогональное преобразование можно записать в форме (4.94), вытекает также доказательство теоремы Эйлера, не зависящее от доказательства, изложенного ранее. Действительно, любое конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить с помощью последовательных бесконечно малых перемещений. Но так как бесконечно малое преобразование является вращением, то и конечное преобразование также будет вращением. [c.151]

Эта книга в течение долгого времени являлась классическим введением в математические методы теоретической физики. В главе 1, озаглавленной Алгебра линейных преобразований и квадратичных форм очень хорошо и ясно изложен вопрос о собственных значениях матрицы линейных преобразований, а также многие другие относящиеся сюда вопросы. В Приложении к главе 1 кратко рассмотрены бесконечно малые преобразования. [c.161]

Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции u q, р) в результате такого преобразования. Здесь необходимо объяснить, что мы понимаем под словом изменение функции. Раньше, когда мы преобразовывали величину u q, р) к новым переменным, мы вместо q а р подставляли в и выражения q(Q, Р) и p(Q, Р). Таким путем мы получали зависимость и от новых переменных. При этом функциональная зависимость и от Q а Р оказывается в общем случае не такой, как зависимость и от q к р. Однако численное значение и, соответствующее данному состоянию системы, при этом не изменяется, так как u q, р) есть функция точек фазового пространства и ее значения, конечно, не зависят от вида координат, которыми мы задаем эти точки. Теперь же мы будем рассматривать изменение функции и и в другом смысле этого слова. Мы будем понимать под ним численное изменение величины и в результате замены аргумента <7 на Q и аргумента р на Р. Функциональная зависимость и от старых и новых переменных будет при этом одной и той же, но точка фазового пространства, в которой мы вычисляем и, будет при этом изменяться. Рассмотрим, например, бесконечно малое преобразование (8.65). В этом случае мы, подставляя в функцию u(q, р) переменные Q и Я вместо q и р, переходим от значения [c.287]

Для того чтобы показать это, вернемся к развитой ранее теории бесконечно малых преобразований (см. гл. VII, п. 7). Будем считать S-функцию Якоби производящей функцией бесконечной последовательности непрерывно изменя- [c.300]

Бесконечно малые преобразования Лоренца. Выбор а = = 1 приводит к тождественному преобразованию. Выбрав а очень близким к единице, получим бесконечно малое преобразование , соответствующее бесконечно малому повороту осей. Любой конечный поворот может рассматриваться как последовательность бесконечно малых поворотов. [c.355]

С. Ли ввел групповые представления в теорию канонических преобразований, уделив особое внимание группе бесконечно малых преобразований. [c.393]

Бесконечно малые преобразования прикосновения [c.100]

Первоначально производящей функцией была названа функция Р, но в случае бесконечно малого преобразования прикосновения обычно это наименование присваивается функции <5. Таким образом, уравнения (7.56 ) определяют бесконечно малые изменения сопряженных переменных, которые порождаются произвольной производящей функцией О. [c.101]

Полученную формулу можно истолковать в том смысле, что бесконечно малое преобразование, порожденное функцией Н, соответствует действительному движению системы. То же самое рассуждение применимо и в том случае, когда X отождествляется с любой сопряженной переменной р . Однако нужно проявить осторожность при рассмотрении общего случая, так как, согласно равенству (8.2 ), [c.115]

Общий смысл формулы (8.28) таков если речь идет о любых динамических переменных величинах, явно не зависящих от i, то движение системы эквивалентно некоторой последовательности бесконечно малых преобразований прикосновения, порожденных функцией Гамильтона. [c.116]

Эти последние соображения возвращают нас к рассуждениям, проведенным в гл. V, где рассматривалась связь между симметрией и интегралами движения. Введение аргументации, основанной на свойствах скобок Пуассона, позволило расширить область применения этих соображений и включить в нее все интегралы движения, а не только интегралы количества движения, как это имело место ранее. Теперь показано, что функция Гамильтона является инвариантом (а следовательно, система симметрична) относительно любого бесконечно малого преобразования, порожденного некоторым интегралом движения. Обратное утверждение также верно, и оно дает возможность находить интегралы движения при внимательном рассмотрении любой симметрии, которая обнаруживается в функции Гамильтона. [c.116]

Из общего постулата относительности вытекают определенные свойства функции О, которые мы теперь и выведем. С этой целью произведем бесконечно малое преобразование координат, полагая [c.601]

Пусть теперь интеграл I будет инвариантом по отношению к , следовательно, будет удовлетворяться соотношение (I). В частности, тогда I будет также инвариантом по отношению к содержащемуся в бесконечно малому преобразованию [c.615]

Таким образом, если вместо бесконечно малого преобразования Л и написать вариацию [c.615]

Итак, д линейно независимых комбинаций лагранжевых выражений переходят в дивергенции линейная независимость следует из того, что согласно равенству (9) из условий бп = 0, х = 0 вытекало бы, что Аи = 0, Ах=0, и поэтому между бесконечно малыми преобразованиями существовала бы зависимость. Но по условию она не имеет места ни для какого значения параметра, ибо иначе группа вновь получаемая посредством интегрирования из бесконечно малых преобразований, зависела бы от меньшего, чем д, числа существенных параметров. Другая же возможность 6и = О, 01у (/ Ах) = О была исключена. Эти заключения сохраняют еще силу также и в предельном случае бесконечно большого числа параметров. [c.616]

Соотношение (12) обращается в О = О для тривиального случая, который может представиться только, если Ах, Ли зависят также от производных от а, т. е. когда ОЩ1-Ах) =0, би=0 эти бесконечно малые преобразования, стало быть, всегда отщепляются от групп при формулировании теорем нужно учитывать только число остальных параметров или произвольных функций. Вопрос о том, образуют ли остальные бесконечно малые преобразования все еще группу, остается открытым. [c.616]

Из этого обращения следует еще, что фактически мы имеем право брать Ах и Аи линейными относительно параметров. В самом деле, если бы Аи и Ах были формами высших степеней относительно е, то вследствие линейной независимости произведений степеней е соответствующие соотношения (13) получились бы в большем числе, а из них после обращения вытекает инвариантность интеграла I по отношению к группе, бесконечно малые преобразования которой содержат параметры линейно. Если эта труп- [c.618]

Так как лагранжевы выражения дивергенции тождественно исчезают, то обращение показывает еще следующее если I допускает группу е, то каждый интеграл, который отличается от I только на интеграл по границе, т. е. интеграл от дивергенции, также допускает группу е с теми же самыми группу, бесконечно малые преобразования которой, вообще говоря, будут содержать производные от и. Так, например, в соответствии с вышеприведенным примером [c.619]

Так как из бесконечно малого преобразования Ах = рх получается каждое преобразование л = у + (у) с произвольным g (у), то можно, в частности, установить такую зависимость р (х) от t, чтобы получилась одночленная группа [c.622]

Как в 3, из обращения следует, что, помимо интеграла I, каждый интеграл, разнящийся от него на интеграл / от дивергенции, также допускает бесконечную группу с теми же да, причем, однако, Лх и Ла, вообще говоря, будут содержать производные от и. Такой интеграл I Эйнштейн ввел в общую теорию относительности, чтобы получить более простое выражение законов знергии я указываю бесконечно малые преобразования, которые допускает этот интеграл /, примыкая в обозначениях ко второй статье Клейна. Интеграл [c.623]

Отсюда следуют бесконечно малые преобразования, допускаемые интегралом I [c.623]

Эти бесконечно малые преобразования зависят, следовательно, от первой и второй производных и содержат производные р вместе с их первыми производными. [c.623]

Но при бесконечно малом преобразовани.1 канонических переменных произвольная функция Р канонических переменных получает приращение 126) [c.388]

Эти соотношения в пределе при Д О переходят в канонические уравнения Гамильтона. Следовательно, канонические уравнения Гамильтона для механических систем, стесненных голоном-ными связями и находящихся под действием сил с силовой функцией, говорят о том, что движение есть непрерывная во времени последовательность канонических бесконечно малых преобразований переменных д, ps. [c.232]

Теперь можно показать, что при бесконечно малых преобразованиях последова гельность операций не существенна, т. е. что эти преобразования коммутативны. Пусть 1 -Ь 81 и 1 + 2 суть два бесконечно малых преобразования. Тогда произведение (1 + l) (1 + 62) будет равно [c.144]

Из формулы (4.94) видно, что влиянию рассматриваемого бесконечно малого преобразования не подвергаются лишь те векторы, которые параллельны d i. Однако Известно, что векторы, не изменяющиеся при вращении, должны быть направлены вдоль оси этого вращения, следовательно, эта ось направлена так же, как dQ. Что касается величины вектора dQ, то ее легко найти с помощью матрицы е в случае, когда ось г совпадает с осью вращения. Сравнивая формулы (4.90) и (4.91), мы видим, что величина вектора будет в этом случае равна углу поворота с ф. Но так как величина вектора (или псевдо-оектора) инвариантна относительно ортогональных преобразо- [c.150]

Отсюда следует, что интеграл уравнений движения О (для которого [Н, О] = 0) порождает бесконечно малое преобразование, относительно которого Н является инвариантом. В том частном случае, когда 0 = Рз = сопз1, рассматриваемое преобразование является бесконечно малым переносом вдоль оси л . Это можно видеть, используя формулы (7.56 ), которые дают [c.116]

Это — искомые зависимости между выражениями Лагранжа и их производными при инвариантности интеграла I относительно Ооов линейная независимость обнаруживается так же, как и выше, ибо обращение приводит обратно к равенству (12), а от бесконечно малых преобразований можно делать заключение обратно к конечным, как это будет подробнее развито в 4. Поэтому для (йоов уже среди бесконечно малых преобразований всегда появляются Q произвольных преобразований. Из уравнений (15) и (16) следует еще [c.617]

В связи с примером, приводимым Ли ( Основания , 7), укажем еще довольно общий случай, в котором можно добраться до явных формул, в которые входят производные от произвольных функций порядка не выше а стало быть, в этом случае обращение получается полное. Это — такие группы бесконечно малых преобразований, которым соответствует грзшпа всех преобразований х и вытекающих из них преобразований и, т. е, такие [c.621]

Отсюда, в частности, следует, что группа , полученная из бесконечно малых преобразований АхкЛи некоторой группы в, опять приводит к группе е, ибо не содержит никаких отличных от 1х, Ли, зависящих от произвольных функций бесконечно малых преобразований, и не может содержать также независимых от них, но зависящих от параметров преобразований, так как иначе это была бы смешанная группа. Но бесконечно малые преобразования, как показано выше, определяют собой конечные преобразования. [c.621]

Чтобы применить это к выведенным соотношениям дивергенций и к зависимостям, нужно сначала доказать, что 6и, выведенное из Аи, Лх, действительно будет удовлетворять законам преобразования для ди, коль скоро только параметры или соответственно произвольные функции в 6v будут определены так, чтобы они соответствовали подобной группе бесконечно малых преобразований относительно у, V. Если обозначить через 2, — преобразование, которое переводит х и и в у и через — бесконечно малое преобразование, преобразующее х я и в самих себя, то подобное ему преобразование дается формулой [c.625]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...