Эйлера уравнения вариационные

Эйлера уравнения вариационные 274 [c.367]

Уравнение Эйлера этой вариационной задачи [c.198]

Легко показать, что если вариация б/ может быть произвольной, то из (9.12) для / следуют уравнение А/ = 0 внутри 2 (уравнение Эйлера в вариационном исчислении) и граничное [c.394]

Замечание. Дифференциальные уравнения (2) представляют собой необходимые и достаточные условия для того, чтобы равнялась нулю первая вариация bW, где интеграл W имеет вид (1). В вариационном исчислении уравне-Hi/я (2) называются дифференциальными уравнениями Эйлера для вариационной задачи [c.107]

Вообще уравнением Эйлера произвольной вариационной задачи называют получаемое по образцу уравнений (34.4) и (34.5) дифференциальное уравнение типа (34.6). Таким образом, можно сказать, что уравнения Лагранжа являются эйлеровыми уравнениями вариационной проблемы, заданной функцией L. [c.249]

Этот метод вывода основного дифференциального уравнения вариационного исчисления, предложенный Эйлером, не совсем строг, так как он использует двойной предельный переход в не вполне допустимой форме. Прямой вывод Лагранжа, который мы изложим ниже, свободен от этого недостатка. [c.76]

Уравнение (15.9) и есть уравнение Эйлера [рассматриваемой вариационной задачи, а равенство нулю граничного члена [c.448]

Таким образом, дифференциальное уравнение Эйлера рассматриваемой вариационной проблемы приобретает вид уравнения равновесия изогнутой балки [c.448]

Из изложенного в 15.2 очевидно, что некоторое множество проблем может быть описано при помощи требования стационарности некоторых функционалов, т. е. в вариационной форме. В каждом из таких случаев эта же проблема представима и в локальной форме — при помощи дифференциальных уравнений, являющихся уравнениями Эйлера в вариационной задаче для соответствующего функционала. [c.450]

Отсюда ясно, что операторы В и В являются формально сопряженными, т. е. В = В, вместе с тем В —это оператор, входящий в дифференциальное уравнение совместности деформаций, а В — оператор, входящий в решение уравнений равновесия. Таким образом, полученные равенства свидетельствуют о том, что условия, поставленные в начале параграфа, выполнены и дифференциальные уравнения теории упругости являются уравнениями Эйлера, соответствующими вариационным проблемам для некоторых функционалов. [c.455]

Из условия стационарности функционала П получаются дифференциальные уравнения равновесия как уравнения Эйлера — Лагранжа вариационной проблемы, из этого же условия вытекают условия равновесия на границе (см. 15.20). Уравнения равновесия для дискретных статически неопределимых систем выводятся из (15.64) в нашей книге (см. сноску ) на стр. 563). [c.487]

Разумеется, поскольку у вектора и, от которого зависит функционал /х (и) и по которому производится варьирование последнего, три составляющих, то и уравнений Эйлера в вариационной задаче для (и) тоже три (дифференциальные уравнения равновесия или три уравнения Ламе, если представлять их не в векторной форме, а в составляющих). [c.520]

Откуда получим уравнения Эйлера для вариационной задачи [c.79]

F2] б Y f ([f XJ -p [f, 1 К J) dx, dx, ds уравнения Эйлера для вариационной задачи (3.66) будут [c.91]

Вариационный принцип Гамильтона (общий случай). Общее уравнение динамики Даламбера—Эйлера является вариационным принципом механики, выраженным в дифференциальной форме. Важнейшим интегральным вариационным принципом аналитической механики является принцип Гамильтона, который может быть выведен из общего уравнения динамики. Пусть все связи, наложенные на систему, — идеальные. Уравнение (17) принимает вид [c.36]

Уравнение (3) есть уравнение Остроградского — Эйлера для вариационной задачи о стационарных значениях квадратичного функционала [c.168]

Уравнение Эйлера для вариационного уравнения (2.182) дР d дР , d ( дР [c.67]

Например, аналогично при применении принципа стационарности граничной энергии (5.3) мы избавляемся от необходимости удовлетворения граничным условиям на контуре оболочки, превратив последние в естественные уравнения Эйлера поставленной вариационной задачи. [c.76]

Решение задачи (1.3.45) хорошо известно в вариационном исчислении и нет необходимости приводить его здесь. Оно дается уравнениями Эйлера для вариационной задачи [c.48]

Составим теперь уравнения Остроградского—Эйлера для вариационной задачи б(б5Э)=0, где 61Э = 11+12. Учитывая формулу (74), найдем, что уравнения (31) и соответствующие им естественные граничные условия (35) не отличаются от тех, которые имеют место в задаче изгиба. Уравнения (32) принимают вид [c.61]

Соотношения (40) представляют собой четыре дифференциальных уравнения первого порядка относительно х, у, U, V как функций г и называются каноническими уравнениями Гамильтона. Их можно рассматривать как уравнения Эйлера для вариационного интеграла, выраженные через функцию W(U, V, X, у, г). Если подставить (37) и (39) в (1), то вариационный интеграл запишется в виде [c.669]

Обратим внимание на различие в формулах (2,25) и (2,33). Уравнения Эйлера в вариационной задаче (2,30) имеют вид [c.39]

Уравнения поля являются уравнениями Эйлера к вариационной задаче (3,28) и имеют вид [c.52]

Рассмотрим вытекающие из условия (3.38) уравнения Эйлера — Лагранжа вариационной задачи. Предположим, что плотность функции Лагранжа выражается равенством (3.40). На основании (3.38) и (3.40) находим [c.77]

Трудно переоценить роль математического анализа, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления в современной механике. Ио, кроме этого, после Лейбница в механике осталось понятие действия. Его живая сила в XIX в. была переименована в кинетическую энергию, получив при этом и ясный физический смысл, и официальный статус меры движения. Его теоретические идеи обогатили механику Галилея, Декарта, Гюйгенса, его решения задач, как правило, подтверждали результаты знаменитых современников (Гюйгенса, Ньютона, Я. и И. Бернулли, Лопиталя). Идейное наследие и методы Лейбница получили развитие в трудах его последователей — Бернулли, Вариньона, Клеро, Мопертюи, Эйлера, Даламбера и Лагранжа. [c.132]

За свою долгую жизнь И. Бернулли внес значительный вклад в развитие новой механики. Его работы вызывали живой отклик не только современников, но и ученых следующих поколений. Он сформировал начальный круг научных интересов своих сыновей Даниила и Николая, Эйлера. Даламбер считал, что знанием математики и механики он обязан И. Бернулли. Трудно дать объективную оценку заслуг И. Бернулли в механике, не обращаясь к его математическому творчеству. Специфика теоретической механики состоит в том, что математические приемы решения задач, математический аппарат механики не есть нечто внешнее для механики, а является ее составной частью. Поэтому многие работы Бернулли-математика по своей сути имеют механическую направленность. Это работы, закладывавшие основы дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления. Обширный перечень практических задач, сформулированных и решенных И. Бернулли, стал важ- [c.157]

Эйлера уравнения, вариационная теория 239—246 Эйнштейна модель кристалла 271 Экспериментальный кипящий реактор (EBWR) 408, 409 [c.485]

Обратное утверждение справедливо не всегда, а именно, не всякое дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений можно рассматривать как уравнения Эйлера в вариационной задаче для некоторого функционала. Для того, чтобы имелась такая возможность, дифференциальные операторы, входяище в дифференциальные уравнения, должны удовлетворять определенным требованиям. Эти требования сводятся к следующему. Дифференциальные операторы А и А, входящие в различные группы уравнений (каждая из которых составлена относительно своих тензоров и функций), должны быть формально сопряженными, т. е. такими, что [c.450]

Отсюда следует, что нулю должны равняться выражения в квадратных скобках. Получаемые при этом равенства суть соответственно уравнения равновесия в области и на границе. Таким образом, доказано сделанное выше утверждение — следствиями стационарности ()>ункционала (и) являются дис х )еренциальное уравнение равновесия во всем объеме тела (которые представляют собой уравнения Эйлера в вариационной проблеме для с )ункцио-нала /i(u)) и уравнения равновесия на той части поверхности тела, где заданы поверхностные силы, вытекающие из равенства нулю граничного члена (последний интеграл в (15.111)). [c.520]

Эйлер создал принципиально новые методы исследования проблем механики, разработал ее математический аппарат и с блеском применил его ко множеству трудных задач. Благодаря ему инструментом механики стали дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление. Синтетико-геометрический [c.184]

Вариационные соотношения (4.5.38) и (4.5.39) представляют слабые формулировки итерационных методов, из которых, задаваясь связью деформаций и перемещений, можно получить в качестве уравнений Эйлера уравнения в перемепгениях для различных задач. Однако значение этих соотношений заключается в том, что они ЯШ1ЯЮТСЯ основой для вывода разрешающих уравнений при различных способах дискретизации задачи, например МКЭ, а также для получения теоретических оценок сходимости методов. [c.233]

С учетом (3.76) систему уравнений Эйлера соответствующую вариационной формулировке (3.74), можно представигь в виде [c.153]

В математике Эйлер получил выдающиеся результаты по тригонометрии, алгебре, теории чисел, дифференциальному и интегральному исчислениям, теории бесконечных рядов, аналитической геометрии, дифференциальным уравнениям, вариационному исчислению и многим другим разделам этой науки. Он впервые представил тригонометрические величины в виде отношения чисел и установил соотношение е — os0- -isin0. В его книгах, ставших классическими источниками для многих поколений ученых, можно найти как первое изложение основ вариационного исчисления, так и столь занимательные сообщения, как доказательство большой теоремы Ферма при п—З и /г=4. Им была решена знаменитая задача о семи кенигсбергских мостах, проблема топологии — другой области, где он также был пионеров. [c.558]

Метод Ритца в приложении к задачам обработки давлением заключается в том, что выражения (6-39) составляющих вектора перемещения определяются не из основных дифференциальных уравнений вариационного исчисления (уравнения Эйлера — Остроградского), а задаются до некоторой степени произвольно и притом так, чтобы они удовлетворяли условию несжимаемости и основным граничным условиям данной конкретной задачи, а также чтобы 184 [c.184]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...