Координаты обобщенные (лагранжевы)

Совокупность обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени называют лагранжевыми переменными некоторой системы, а совокупность для этой же системы обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени —ее гамильтоновыми переменными. Задания движения системы в лагранжевых и гамильтоновых переменных эквивалентны в том смысле, что всегда существует взаимно однозначный переход от одной системы переменных к другой. [c.261]

Напомним (определение 4.7.1), что лагранжевыми координатами системы материальных точек называется минимальный набор переменных величин, конкретное задание значений которых однозначно определяет совместное с геометрическими (конечными) связями положение всех точек системы. Число лагранжевых координат есть число степеней свободы системы, а выбор таких координат зависит от структуры геометрических связей. Пусть <71,..., < п — лагранже-вы координаты, — обобщенные скорости. Тогда радиусы- [c.523]

Но в соответствии с принципом детерминированности Ньютона ( 3.3) обобщенные силы могут зависеть лишь от лагранжевых координат, обобщенных скоростей и времени [c.554]

Известно, что исследуемый механизм образует простой замкнутый контур или простую замкнутую кинематическую цепь с одной степенью свободы или, иначе говоря, его движение определяется одной обобщенной лагранжевой координатой, за которую, как и обычно, выберем угол поворота кривошипа ф = ф(/), являющийся заданной функцией параметра времени t. [c.157]

В качестве обобщенных лагранжевых координатах выбираются следующие углы 0i — угол поворота вокруг оси 0 х 02 — С Е. А. Гребенников [c.81]

I е [ 0, 1], и считая массу еще одной обобщенной (лагранжевой) координатой, полное количество движения точки Q t) определялось по формуле [c.153]

Выберем в качестве обобщенных лагранжевых координат да- ортогональные декартовы координаты х , сг = 1,2,3. Найдем затем функцию так, чтобы выполнялось равенство (сравните с формулой (8.34)) [c.259]

Выберем в качестве обобщенных (лагранжевых) координат, определяющих положение точки в пространстве, координаты реактивного вектора К = К2, Из) - По теореме 6.1 об изменении эффективной энергии Те точки переменной массы можем записать уравнение (8.55) с использованием массы М у,1) (8.13) [c.262]

Уравнения (4) нельзя представить в конечном виде, так как неголономные связи налагают ограничения на скорости, но не на положения точек системы. По этой причине неголономные системы невозможно описать независимыми параметрами, вариации которых были бы также независимы, как это имеет место для описания голономных систем в обобщенных лагранжевых координатах. Следовательно, число уравнений равновесия неголономной системы всегда меньше числа обобщенных координат, т.е. положение равновесия не является изолированным. [c.37]

Первая особенность критической системы — невозможность выбора обобщенных лагранжевых координат на многообразии 8 ) (естественно, что в окрестности точки О невозможен выбор даже локальных координат). [c.324]

Примем величины г, ф, Я, за обобщенные лагранжевы координаты и введем соответствующие им обобщенные импульсы формулами ) [c.378]

Пусть механическая система, имеющая к степеней свободы, движется в потенциальном поле с силовой функцией I]. Тогда ее движения описываются к обобщенными (лагранжевыми) координатами 91, 92, , и уравнения Лагранжа второго рода [9] [c.307]

Лагранжева формулировка уравнений движения полезна для описания континуальных консервативных систем в той же мере, что и для систем сосредоточенных масс, в особенности для уравнений движения в криволинейных координатах. Для системы частиц с п степенями свободы уравнения Лагранжа представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых время является независимой переменной. Функция Лагранжа в общем случае зависит от п обобщенных координат и от их производных по времени (обобщенных скоростей). Для континуальной консервативной системы, частным случаем которой является упругое тело, уравнения Лагранжа представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных по времени и по трем пространственным координатам в большинстве случаев все три уравнения независимы. Функция Лагранжа в них зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей и от производных от обобщенных координат по пространственным переменным. Конкретная форма уравнений зависит от системы координат, к которой отнесены пространственные производные. Простейшая форма имеет место в том случае, когда применяется декартова система координат [c.87]

В правых частях уравнений (20) стоят функции только гамильтоновых переменных. Поэтому система уравнений (20) замкнута относительно этих переменных и представляет собой систему 2п дифференциальных уравнений первого порядка, которые полностью определяют изменение во времени координат q и обобщенных импульсов р, если заданы начальные условия, т. е. значения координат и импульсов в момент = 0. Если заданы начальные значения лагранжевых переменных, то, используя формулы (9), можно подсчитать начальные значения обобщенных импульсов, получить таким образом начальные данные для уравнений (20), и, проинтегрировав эту систему уравнений, полностью определить движение в гамильтоновых переменных. Зная, как изменяются во времени координаты и обобщенные импульсы, можно затем, если это необходимо, по формулам (12) подсчитать, как изменяются во времени скорости q. [c.263]

Полученная система уравнений движения носит название системы уравнений Лагранжа второго рода. В дальнейшем будет показано, что к такой форме приводятся дифференциальные уравнения для лагранжевых координат произвольной голономной системы материальных точек. В случае движения абсолютно твердого тела первые три обобщенные силы имеют смысл проекций суммарной силы на оси абсолютного репера, а последние три — моментов сил относительно осей е, , е ,, соответственно. [c.453]

Выполнить указанное в уравнениях Лагранжа частное и полное дифференцирование. При этом дифференцирование по обобщенным скоростям и лагранжевым координатам производится так, как будто они независимые переменные. [c.541]

Устойчивость движения означает, что если в начальный момент времени отклонения фазовых переменных (координат и скоростей) от нулевых значений были малыми, то они останутся малыми и в любой другой момент. С целью получения более подробной информации о структуре движения введем допустимые пределы изменения лагранжевых координат и обобщенных скоростей [c.571]

Так как малыми предполагаются не только лагранжевы координаты, но и обобщенные скорости, а кинетическая энергия в рассматриваемом случае есть квадратичная форма от обобщенных скоростей, то члены первого и более высоких порядков в разложении коэффициентов aij не следует учитывать. В кинетической энергии они будут иметь порядок не ниже третьего. Окончательно получаем, что приближенно кинетическая энергия может быть представлена квадратичной формой [c.572]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

На примере циклических координа.т мы видели (см. 8.4), что успех интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, в значительной мере зависит от удачного выбора лагранжевых координат. При переходе от одних лагранжевых координат к другим будут по определенному закону изменяться и обобщенные импульсы, так что в новых фазовых переменных уравнения движения вновь примут вид канонических уравнений Гамильтона. Произвольные преобразования фазовых координат таким свойством, вообще говоря, обладать не будут. Интегральный инвариант Пуанкаре (определение 9.5,1) позволяет, подходя с единых позиций как к преобразованию лагранжевых координат, так и обобщенных импульсов, выделить специальный класс преобразований фазовых переменных, не нарушающих структуру канонических уравнений движения. [c.680]

Теорема 9.7.2. Предположим, что преобразование координат непрерывно дифференцируемо, и каждой системе лагранжевых координат соответствуют обобщенные импульсы [c.682]

Переход от одних лагранжевых координат к другим называется обобщенным точечным преобразованием. [c.682]

Голономные системы в лагранжевых (обобщенных) координатах. — Если голономная система имеет к степеней свободы, то Зл координат точек системы выражаются через к независимых параметров, частные значения которых определяют положение системы. В этом случае можно предполагать, что Зл координат точек системы выражены явно через к указанных параметров .. , и время ( посредством [c.215]

TO увидим, что система сил должна считаться известной, когда каждый из векторов Fi задан в функции от обобщенных координат от обобщенных скоростей [которые называются скоростями системы по лагранжевым координатам (гл. VI, п. 10)] и, возможно, от времени. [c.266]

Поэтому для соответствующей элементарной работы системы из сил Fi, выраженных через обобщенные координаты лагранжевы скорости (т- I, гл. VI, п. 10) и время, мы получим выражение [c.224]

Интегралы этого типа можно называть интегралами обобщенных кинетических моментов или интегралами обобщенных количеств движения отметим еще, что только это указанное обстоятельство совпадает с результатом, полученным в п. 45 гл. V для лагранжевых систем, когда имеются игнорируемые координаты. Действительно, если функция q q f) лагранжевой системы не зависит от одной координаты q , то от этой координаты не будут также зависеть обобщенные импульсы [c.245]

Теорема Нетер гласит, что всякому непрерывному преобразованию координат, обращающему в нуль вариацию действия, при котором задан также закон преобразования функций поля, соответствует определенный инвариант, т. е. сохраняющаяся комбинация функций поля и их производных ). Так, инвариантности лагранжевой функции относительно смещения начала отсчета в пространстве (однородности пространства) соответствует закон сохранения количества движения инвариантности лагранжевой функции относительно смещения начала отсчета времени (однородности времени) соответствует закон сохранения энергии инвариантности относительно пространственных поворотов (изотропности пространства) соответствует закон сохранения момента количества движения. Инвариантность относительно преобразований Лоренца ), т. е. вращений в плоскостях (х,/), (у,/), (2,0, приводит к обобщенному закону сохранения движения центра тяжести. Таким образом, в четырехмерном пространстве времени имеем всего десять фундаментальных законов сохранения. [c.863]

Р) Голономные системы. Для голономной системы можно принять за N наименьшее возможное число обобщенных координат. Тогда члены с множителями исчезают из уравнений (46.15) и лагранжевы уравнения движения для голономной системы имеют следующий вид [c.124]

Приведение энергий к нормальной форме. Нормальные моды и частоты. Вырождение. Рассмотрим динамическую систему с iV обобщенными координатами ) q и лагранжевой функцией [c.357]

L - лагранжев радиус-вектор с компонентами U - лагранжевыми (материальными) координатами частицы т в начальный t = н момент времени Е - эйлеров радиус-вектор с компонентами Ei - эйлеровыми (пространственными) координатами материальной частицы т, находящейся в произвольный момент времени t в простраиственной точке я радиусы-векторы точек малой окрестности материальной частицы т в начальный fo и произвольный t моменты времени соответственно X - общее обозначение координат (обобщенные координаты) [c.10]

Вычислить кинетическую энергию Т системы как функцию лагранжевых координат qi, обобщенных скоростей д,-, времени I. Чтобы найти Т, полезно использовать теоремы кинематики о структуре поля скоростей, а также теоремы Кёнига. Удобно бывает вычислить [c.540]

Если в какой-то момент времени лагранжевы координаты равны их значениям в положении равновесия, а обобщенные скорости отсутствуют, то и в любой другой момент времени лагранжевы координаты будут в силу уравнений движения оставаться постоянными. Не уменьщая общности, можно принять, что в положении равновесия все лагранжевы координаты обращаются в нуль [c.569]

Этот случай может иметь место и без того, чтобы суще-ствоврла силовая функция в собственном смысле (как она введена для декартовых координат), но когда он встречается, можно сказать, в обобщенном смысле, что существует силовая функция в лагранжевых координатах. [c.311]

Это последнее уравнение представляет собой линейную зависимость (неоднородную, если связь зависит от времени) между производными д,,, т. е. так называемыми скоростями системы в отношении лагранжевых координат. Вообще, можно сказать, что каждая голономная связь налагает па систему также связь подвижности. Это замечание ведет к новому обобщению, которое имеет не только теоретическое оначенпе, но и реализуется на практике, как мы это увидим ниже (рубр. 12). Обобщение это заключается в том, что можно вводить также связи подвижности, непосредственно выражаемые уравнениями типа [c.280]

Для этой цели удобно интерпретировать п лагранжевых параметров q как обобщенные координаты точек абстрактного пространства п измерений Г пространство конфигураций). Траекториями системы в этом пространстве называются те кривые, уравнения которых получаются путем исключения t из уравнений qh = 4hiA< )> [c.337]

Эти п скалярных количеств которые надо считать заданными вместе с активными импульсами и со связями, соответствуют составляющим обыкновенных обобщенных сил по отдельным лагранжевым координатам qj и потому могут быть названы лагранжевыми состав еляющими импульсов обобщенными импульсами). [c.508]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...