Преобразование Гамильтона

Примечание. Для того чтобы выполнить преобразование Гамильтона, нужно было предположить, что уравнения (2) разрешимы относительно q , 2, 9д. Такое разрешение всегда возможно. Возьмем, например, случай, когда равенства, определяющие значения новых переменных, не содержат явно времени. Тогда Т б щет однородной функцией второго порядка, т. е, квадратичной формой относительно и определитель из коэффициен- [c.470]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Заметим, что производящая функция S зависящего от времени канонического преобразования есть нечто более общее, чем W-функция Гамильтона, потому что зависящее от времени каноническое преобразование переводит произвольную точку Qj, Р,- фазового пространства в движущуюся точку р , в то время как преобразование Гамильтона переводит начальное положение q , р. движущейся частицы жидкости в какое-то более позднее положение qр [c.259]

Рассмотрим какую-либо задачу механики, к которой применимо изложенное в предыдущей статье преобразование Гамильтона. Пусть имеются дифференциальные уравнения этой [c.566]

Классическое преобразование Гамильтона, которое мы будем здесь рассматривать, является только частным применением этого способа и состоит в том, что за вспомогательные неизвестные принимают переменные [c.239]

Это и есть, по существу, преобразование Гамильтона системы (1). Остается еще установить одно особенно важное обстоятельство, заключающееся в том, что правые части уравнений (1 ), (2 ) можно выразить посредством одной единственной функции от р, q, t, называемой функцией Гамильтона i) или характеристической функцией, так что система первого порядка (1 ), (2 ) с формальной точки зрения будет столь же простой, как и первоначальная лагранжева система, зависящая от одной только функции 2 ). Функция Гамиль- [c.240]

Смешанные уравнения Рауса. Эти уравнения получаются из уравнений Лагранжа, если выполнить только частично преобразование Гамильтона ( 1). [c.364]

Когда мы приступали к решению задачи, Н , Н , Яа, были функциями р и но уже после первого преобразования Гамильтона — Якоби, благодаря которому были введены переменные Шо и Уо и одновременно решалась невозмуш,енная задача, мы получаем [c.192]

Если вместо обобщенных скоростей ввести новые переменные, то система уравнений Лагранжа будет представлять собой систему уравнений, разрешенную относительно производных от этих новых переменных. Гамильтон обнаружил преобразования, которые делают функцию Лагранжа линейной относительно скоростей при одновременном удвоении числа переменных. Благодаря этому преобразованию задачи механики могут быть сведены к каноническим дифференциальным уравнениям. В основе преобразования Гамильтона лежит идея общих преобразований французского математика Лежандра (1752—1833). [c.446]

Если подставить теперь (6.98) в (6.95), то для преобразованного гамильтониана найдем [c.86]

Для преобразования гамильтониана (38.1) к новым операторам введем вначале вспомогательный оператор Я (а, р) = е5( .ь)Я(а, b)e-s(a.b). [c.274]

Двухатомные молекулы. Для этого класса молекул с помощью метода КП найдена формула для преобразованного гамильтониана [2] [c.176]

Формула для преобразованного гамильтониана имеет вид [1] [c.37]

Рекуррентное соотношение Я - - Я для массивов САВ, соответствующее к-шу контактному преобразованию гамильтониана молекулы (п> к >0), имеет вид [c.69]

Для получения преобразованного гамильтониана первого порядка можно, как и в 2.3, усреднить по переменной 02 [ср. (2.3.17)], что дает [c.124]

Преобразование Гамильтона. Положим L = 7 + t/, [c.356]

Это соотношение называют законом Дюлонга и Пти. При высоких телшературах этот закон довольно хорошо выполняется для многих твердых тел. Однако при низких температурах теплоемкость падает до нуля. Это расхождение теории и опыта было разрешено лишь квантовой механикой. Построение нормальных мод системы можно рассматривать как каноническое преобразование гамильтониана системы взаимодействующих атомов. Поэтому мы можем непосредственно применить законы квантовой механики к получающейся в результате этого преобразования системе гармонических осцилляторов. Некоторую данную моду с классической частотой ш можно возбудить лишь с помощью целого числа квантов Ьш энергии колебаний. Энергия какой-либо конкретной моды колебаний поэтому имеет вид [c.423]

И, таким образом, из (4.21) — (4.23) получаем рекуррентные соотношения для вычисления преобразованного гамильтониана [c.199]

Эти соотношения и дадут формулы, необходимые для построения преобразованного гамильтониана в методе Хори. Перепишем соотношение (6.16) в виде [c.203]

Выпишем первые члены разложения преобразованного гамильтониана [c.204]

Таким образом, долгопериодическая часть преобразованного) гамильтониана (4.1) содержит независимую переменную т явно.. Частоты соответствующих тригонометрических функций равны oi — (О5, 2 ( oj — щ), (Ol 3(02 и (Ol + 3(02 — 2(0j и представляют собой малые величины. Чтобы из гамильтониана (4.1) исключить независимую переменную, введем новые переменные Pi, определяемые формулами [c.259]

Предварительное преобразование гамильтониана. Для [c.281]

Хотя соображения теории подобия (см. 5.12) позволяют высказать ряд утверждений о критических индексах [7], все же нельзя считать совершенно надежно установленным, что переход в данном случае абсолютно резкий [8]. Не может ли получиться так, что вмороженная в систему неупорядоченность приводит к сглаживанию фазового перехода по спиновой переменной Наиболее убедительный довод против этого дает формальное преобразование гамильтониана (12.1) к значительно более сложному виду, но ун<е обладаюш,ему трансляционной инвариантностью решетки [9]. Его исследование с помош,ью метода группы перенормировки с хорошей точностью показывает, что никаких новых особенностей в поведении системы не возникает. [c.543]

Упрощенный вывод колебательных частот и потенциала взаимодействия, Как указывалось в п. 36, при вычислении потертциала взаимодействия п колебательных частот необходимо учитывать дииженпе электронов, которое стремится экранировать ионы. В последующем мы покажем, как это можно сделать при помощи соответствующего канонического преобразования гамильтониана. Физический смысл задачи в значительной степени может быть затемнен формализмом этого метода, поэтому мы вначале приведем упрощенное приближенное рассмотрение задачи. [c.760]

Интегрирование по частям интеграла (2.15.3) преобразует первый член подинтегрального выражения в —иу. Теперь мы имеем обычную лагранжеву задачу с переменными I/ и и, которая может быть преобразована в гамильтонову форму, что даст две пары канонических уравнений для четырех переменных у, и, pi, р , они заменяют собой одно первоначальное дифференциальное уравнение четвертого порядка для у. Показать эквивалентность канонической системы и первоначального дифференциального уравнения. Очевидно, что этот метод перехода от вторых производных к первым производным применим при любом количестве переменных. В общем случае при наличии производных m-ro порядка следует начать с выших производных, сводя их к производным т — 1)-го порядка затем процесс повторяется до тех пор, пока в подинтегральном выражении останутся одни лишь первые производные. Это и означает, что под-интегральное выражение приведено при помощи преобразования Гамильтона к каноническому виду. [c.200]

В IV отделе Динамики Лагранж указал чрезвычайно интересный вид, какой получают уравнения динамици, если вместо координат различных точек подставить любую систему переменных. В настоящей Статье мы вернемся к составлению этих уравнений. Затем мы укашем чрезвычайно удачное преобразование, которому подверг их Гамильтон (Hamilton) и из которого можно вывести ряд свойств их интегралов, подходящих ко всем тем проблемам, при которых применяется преобразование Гамильтона. [c.549]

Каноническое преобразование от pnqKjnw является преобразованием Гамильтона — Якоби поскольку преобразуемый гамильтониан был функцией только а и поскольку J не содержит р, преобразованный гамильтониан Н будет функцией только от J. Пусть S q, J) будет функцией Гамильтона — Якоби, порождающей это преобразование, так что [c.167]

Интегрирование в (6.215) ведется по qi, но координата / — единственная из всех координат q , которая входит в интеграл правой части (6.215), поскольку уравнение Гамильтона — Якоби допускает разделение переменных. Поэтому Ji будут функциями только а и не будут содержать Pft. Это означает, что преобразование от р и q,, к Ji и wi будет преобразованием Гамильтона —Якоби, приводящим к преобразованному гамильтониану R, который будет функцией только J/. Допустим, что это преобразование Гамильтона — Якоби порождается функцией Гамильтона-Якоби S. Из того, что исходное уравненне Гамильтона—Якоби допускало разделение переменных, и из того, что Ji зависят лишь от а, следует, что S можно записать в виде [c.169]

S с одновременпым нахождением нового преобразованного гамильтониана. Необходимые при этом вычисления облегчаются, если следовать идее А. П. Маркеева [172] и написать основное [c.219]

Пример 116. Рассмотрим преобразование Гамильтона для свободно материальной точки, движущейся по инерции в плоскости, положение которо определяется полярными координатами г и . Живая сила точки, записанна5 в полярных координатах, имеет вид [c.450]

Уравнения движения можно записать в каноническом виде. Преобразования Гамильтона здесь лринимают вид [c.496]

Тогда формулу для искомой асимптотики к-го порядка преобразованного гамильтониана можно записать следующим образом [c.312]

Преобразование гамильтониана к более простой форме называют нормализацией. Нормальные формы в окрестности особых точек подробно исследовал Дж. Бирхгоф [16, 227]. Произведем линейное КП х, р х, р , диагонализирующее форму ктпРтХп- Выберем производящую функцию в виде [c.334]

Для выполнения экспоненциальных преобразований гамильтониана операторы Я, Яо, У, Г, 5,. . . удобно рассматривать, следуя 48], как элементы линейного пространства операторов Это позволяет считать некоторые действия, производимые над операторами как линейные и нелинейные преобразования в пространстве Такие преобразования называют супероператорами, т. е. операторами, действующими на операторы. [c.34]

Pi = iaj — 42ai, —00 < СГ/< 00, Gj = af для основной непрерывной серии) и. /Г((Т, I) связано с преобразованием гамильтониана к самосопряженному относительно стандартного скалярного произведения в пространстве рассматриваемого представления виду, отвечающему физическому гамильтониану модели. Именно благодаря их наличию последний имеет правильный спектр. Состояния рассеяния реализуются в асимптотической области (a(t)-i- xD) положительной камеры Вейля (все а(т)>0), так как в ней отсутствует взаимодействие между частицами системы. [c.231]

Аналогичный метод используется для преобразования гамильтониана в в случае решетки с полиатомным базисом. Мы приведем здесь только окончательный результат. [c.373]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...