Постановка вариационных задач

Такой подход был предложен Никольским [1]. В его работе предлагается постановка вариационной задачи для функций на контрольном контуре, состоящем из двух характеристик уравнений газовой динамики разных семейств. В этом случае функционал, выражающий сопротивление тела и некоторые дополнительные условия, выписывается явно. После определения функций на контрольном контуре остается решить задачу Гурса с известными функциями на характеристиках. Никольский [1] решил вариационную задачу об оптимальной форме тела вращения на основе линеаризованных уравнений газовой динамики, однако, основная идея этой работы применима и к точным уравнениям. [c.45]

Замечания. Метод расчета оптимальных сопел может быть использован и для того случая, когда звуковая линия Оа не прямолинейна (рис. 3.36). Однако рассмотренная здесь постановка вариационной задачи приемлема лишь в том случае, когда по крайней мере часть контура ad задается. Здесь й является начальной точкой характеристики второго семейства Ой, ограничивающей область влияния трансзвукового течения. [c.137]

Для постановки вариационной задачи об отыскании тела с максимальным сопротивлением необходимо, помимо функционала (7.2) и условия (7.3), привлечь дифференциальные уравнения газовой динамики, соотнощения на допустимых разрывах и граничные условия задачи. Такая полная задача здесь не рассматривается. [c.169]

В связи с этим вводится в некотором смысле обобщенная постановка вариационной задачи, оказывающейся всегда разрешимой. Разумеется, в случае разрешимости исходной задачи решения обобщенной и исходной задач совпадают. Введем в рассмотрение энергетическое пространство На и функционал и, f). С учетом неравенства Коши — Буняковского (11.6) и неравенства (11.8) получаем [c.138]

Решение задач теплопроводности может быть получено еще одним численным методом — метод ом конечных элементов. Математической основой метода конечных элементов является вариационное исчисление. В отличие от метода конечных разностей, в котором исходные дифференциальные уравнения непосредственно используются для построения разностной схемы, в методе конечных элементов дифференциальное уравнение теплопроводности и соответствующие граничные условия используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается численно. [c.246]

При выводе (2.3) допускалось, что в распределениях параметров на /°/ возможен разрыв в точке d. Параметрам слева (справа) от d приписан индекс минус ( плюс ), а через Аф обозначено возможное приращение ф точки разрыва. Поскольку скачки уплотнения при I < tf запрещены постановкой вариационной задачи, то разрывы параметров на /°/ могут вызываться лишь фокусировкой в d одноименных характеристик. Если точек разрыва несколько, то в (2.3) предполагается суммирование по всем ним. [c.316]

Воспользуемся гиббсовским определением энтропии для постановки вариационных задач статистической динамики механических систем. [c.40]

Постановка вариационных задач статистической динамики позволяет создать ряд эффективных приближенных методов исследования случайных колебаний нелинейных систем. Основное направление — разработка прямых методов, сводящих вариационную задачу к задаче на экстремум функций нескольких переменных. [c.57]

Отсюда следует тождественность постановки вариационных задач на основе полных ц частных функционалов. [c.32]

Изопериметрическая постановка вариационных задач [c.192]

В чем преимущество изопериметрической постановки вариационных задач МСС по сравнению с постановками, использующими вариационные принципы Ж.Лагранжа или А.Кастилиано [c.195]

Таким образом, постановка вариационных задач заключается в записи функционала и определении условий для нахождения его экстремума. Определение экстремалей функционала из дифференциальных уравнений типа Л.Эйлера-Ж.Лагранжа с соответствующими гранич- [c.280]

Правильность формы фронта излома наводит на мысль о возможности постановки вариационных задач, один из вариантов которых предложен в следующем пункте. [c.189]

Указанное несоответствие с физикой сверхзвукового течения требует новой постановки вариационной задачи с дополнительным требованием, чтобы давление на контуре тела было везде неотрицательное. Ниже дается обш ий метод решения этой задачи для плоского и осесимметричного течения газа. [c.373]

Несмотря на то, что оптимальность такого тела в строгой постановке вариационной задачи о стационарном обтекании притупленного тела не доказана, их сопротивление заметно мень- [c.241]

Однако постановку вариационной задачи можно упростить. В самом деле, если в качестве дополнительного условия, вносящего однозначность в определение величин А и ф, принять соотношение div еА = О, тогда уравнения электродинамики в квазистационарном приближении запишутся в виде [c.439]

Опишем постановку вариационной задачи на примере предельного случая — непрерывного сброса бесконечно малых секций двигателя [c.276]

В работе А. Н. Крайко (1964) постановка вариационных задач обобщена на равновесные и неравновесные течения газа с произвольными термодинамическими свойствами. В этой же работе Крайко ввел в рассмотрение разрывные множители Лагранжа, установил, что линиями разрыва для них могут быть только характеристики уравнений газодинамики, и вывел условия для разрывов. А. Н. Крайко (1964) и В. М. Борисов (1965) в работе о системе тел с минимальным волновым сопротивлением привели примеры задач, в которых возникают разрывные множители Лагранжа. [c.180]

Одновременно с постановкой вариационных задач о нахождении внешних обводов тела, обеспечивающих минимальное сопротивление, получили развитие исследования по определению формы сопел, дающих наибольшую тягу при некоторых заданных ограничениях. По постановке-и по методам обе эти группы задач близки между собой. [c.204]

Принцип сложности предназначен для того, чтобы уже при самой постановке вариационных задач, возникающих при проектировании технических систем, на основе конструирования функционалов или шкал сложности формулировать их в такой форме, чтобы они удовлетворяли требованиям не только математической, но и технической корректности, т. е. обеспечивали компромисс между качеством и сложностью решения (реализации). [c.35]

Этот результат, являющийся следствием нулевого и второй части П начала термодинамики, приводит к постановке вариационной задачи [c.174]

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

Именно такой подход будет использован здесь для решения вариационных задач газовой динамики в точной постановке. [c.65]

Величины Аз и А4 являются постоянными, а Аг(у) и Х у) — переменными множителями Лагранжа. При постановке частных вариационных задач некоторые из условий задачи 1 могут не использоваться. Например, в задаче о плоском профиле может не задаваться подъемная сила (. В этом случае в сумме (2.20) достаточно положить равным нулю соответствующий множитель Лагранжа. [c.71]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Совершенно иной подход к постановке вариационных задач газовой динамики предложил в 1950 г. Никольский [1]. Решая вариационную задачу для осесиммефичных течений в линейной постановке, Никольский вводит конфольный контур из характеристик первого и второго семейств, проходящих, соответственно, через переднюю и заднюю точки искомого контура. При этом характеристика первого семейства полностью известна, а вариационная задача ставится для функций на характеристике второго семейства. Сама вариационная задача оказывается одномерной, а исследуемый функционал относится к хорошо изученному типу. После определения искомых функций на характеристике второго семейства течение около искомого контура находится решением задачи Гурса. Искомый контур является линией тока найденного течения. Таким образом, подход Никольского избавляет от необходимости предварительного решения задачи обтекания произвольного контура и приводит лишь к необходимости решения конкретной задачи Гурса. [c.65]

Во всех рассмотренных до сих пор осесимметричных потоках азимутальная составляющая вектора скорости отсутствовала. Это являлось отраничением в постановке вариационных задач, но отказ от ограничений может только улучшить решение. Обратимся к закрученным осесимметричным течениям и покажем на простейшем примере, что закрутка потока действительно может увеличить силу тяги сопла при прочих равных условиях. При этом азимутальная составляющая скорости не будет рассматриваться как свободная функция, она просто будет задаваться. [c.143]

Другая вариационная постановка задачи кручения бруса базируется на принципе минимума потенциальной энергия системы (см. гл. V, 5). В этом случае приходим к функционалу /7, уравнением Эйлера—Остроградского которого является уравнение Лапласа (7.54) для функции кручения ф (оно получено из уравнений равновесия Ламе), естественными граничными условиями — граничные условия (7.55) для функции ф. Читателю, желаю1Цему ознакомиться с такой постановкой вариационной задачи кручения, можно рекомендовать книгу [35]. [c.179]

Очевидно, указанные выше условия не определяют однозначно распределения скорости и, соответственно, формы обтекаемого тела. Принципиально возможна постановка вариационной задачи нахождения формы обтекаемого тела с наименьшими потерями кинетической энергии потока, вызванными трением , которые определяются путем расчета пограничного слоя, однако строгое исследование этой задачи в общей постановке затруднительно ввиду сложности связи между формой тела и потерями трекия. [c.418]

Обычно при постановке вариационных задач о минимизации функциалов задаются граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции. Например, требуется нанти минимум функционала [c.116]

При численной реализации изопериметрической постановки вариационных задач на ЭВМ могут возникнуть трудности с определением стратегии поиска экстремума вспомогательного функционала (2.1.55), так как характер экстремума (максимум или минимум) последнего не всегда совпадает с типом экстремума целевого функционала Int. В таком случае удобно применять один из проекционных методов, например В.Рища (п. П2.4), и использовать один или несколько коэффициентов разложения экстремалей целевого функционала по координатным функциям для безусловного выполнения ограничений, накладываемых на экстремали целевого функционала. Тогда численная реализация на ЭВМ решаемой задачи сведется к поиску экстремума целевого функционала с учетом всех ограничений. [c.193]

В чем состоит суть изопернметрической постановки вариационных задач МСС [c.195]

Б.В.Кучеряеву принадлежит более 170 печатных работ в области механики пластически деформируемых металлов, большая часть которых посвящена математическим моделям процессов ОМД. В его трудах разработаны теоретические основы механики пластически деформируемых композитных сред, предложена изопериметрическая постановка вариационных задач теории пластичности, используется суперпозиция гармонических течений, получен ряд формул в кинематике и статике сплошных сред, имеюпщх важное фундаментальное и прикладное значение. [c.319]

В эти же годы в газовой динамике начали изучать вариационные задачи, в которых были свои трудности. Так, например, для определения тел с минимальным сопротивлением необходимо предварительно решить более сложную задачу об обтекании тела, получить формулу для сопротивления тела, минимальное значение которого и должно быть найдено. Эту трудность преодолел А. А. Никольский в 1950 г. он сформулировал вариационную задачу для функций на некотором контуре, состоящем из характеристик уравнений газовой динамики. Это — линейная задача. Точная постановка вариационной задачи дана в 50-х годах (Г. Гудерлей, Е. Хантцше, Ю. Д. Шмыглевский и др.) 1 [c.329]

После этих предварительных замечаний перейдем к постановке вариационной задачи. Пусть в некотором объеме V (рис, 7.1) содержатся электромагнитное поле, токи и заряды, характеризуе- [c.434]

В самой общей постановке вариационная задача сопряженной термоупругости для неоднородного и анизотропного тела сформулирована в работе [17а]. Начальные условия заданы для перемещений, скоростей перемещений и температуры, граничные условия носят смешанный характер и заданы на различных частях поверхности тела для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока. При помощи операции свертки со специальными функциями в уравнениях сопряженной термоупру-гости исключены производные по времени, и вариационные принципы сформулированы для произвольного момента времени. Сформулированы общий вариационный принцип, эквивалентный [c.240]

Качественное влияние магнитогидродинамических эффектов на течение электропроводного газа в канале МГД-устройства было исследовано на основе гидравлического одномерного) приближения. Исследования в этом направлении, начатые работой Э. Л. Реслера и В. Р. Сирса J. Aeronaut. Sei., 1958, 25 4, 235—245), весьма многочисленны и содержат результаты расчетов массы конкретных частных примеров. С принципиальной стороны расчет отдельных примеров на базе гидравлической теории не представляет труда, так как сводится к решению задачи Коши или Б крайнем случае к двухточечной краевой задаче для системы обыкновен ных дифференциальных уравнений. С другой стороны, получение выводов общего характера из этой массы примеров весьма затруднительно. Гораздо больший интерес представляет решение различных вариационных задач на основе гидравлического приближения с целью определения оптимальных в определенном смысле режимов течения. Четкая постановка вариационной задачи в связи с течением в канале МГД-генератора дана [c.445]

Метод конечных элементов для описания сплошных сред впервые был применен в середине 50-х годов XX столетия и с тех пор завоевал известность исключительно полезного инженерного метода. Он широко применяется в гидродинамике, теории поля, при расчете сложных напряженных состояний и в других областях. О распространенности метода конечных элементов можно судить, например, по работе Норри и де Ври [9], в которой приведено более 7 тыс. ссылок, содержащих указания на его применение в различных областях науки и техники. Хотя метод конечных элементов применяется для решения тех же задач, что и метод конечных разностей, основаны они на разных идеях. В методе конечных разностей проводится разностная аппроксимация производных, входящих в дифференциальные уравнения. Математическая основа метода конечных элементов — вариационное исчисление. Дифференциальное уравнение, описывающее задачу, и соответствующие граничные условия используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается непосредственно. С этой точки зрения метод конечных элементов представляет собой неявное применение метода Ритца на отдельных отрезках. В методе конечных элементов физическая задача заменяется кусочно-гладкой моделью. В этом смысле метод конечных элементов позволяет инженеру использовать свое интуитивное понимание задачи. Чтобы изложить метод конечных элементов во всех подробностях, пришлось бы написать специальный учебник. Здесь мы ограничимся изложением лишь основ этого метода, практическое значение которого трудно переоценить. Более подробное описание метода конечных элементов можно найти в работах Кука [21 и Зенкевича и Чен- [c.125]

Публикации в Мемуарах Парижской академии за 1706, 1718 гг. Работа 1706 г. ( Решение задачи. .. об изопериметрических ) посвягцена решению задачи (1697) Я. Бернулли и является примером классической постановки вариационной задачи. Родился 27 июля 1667 г., умер 1 января 1748 г. [c.157]

Заканчивая вводную часть, посвященную напоминанию необходимых нам в дальнейшем сведений из макроскопической теории (см. более полно том 1) заметим, что термодинамические потенциалы по отношению к равновесным состояниям системы обладают характерными экстремальными свойствами, вытекающими из 2-й, неравновесной части II начала и 0-го начала термодинамики. Именно, если, к примеру, зафиксированы параметры V, — изолированная система, то равновесное значение энтропии 5 = 3( , V, Н) соответствует ее максимальному значению для данной системы с этими фиксированными параметрами. Если заданы переменные в,У,М), в,У,р) или в,p,N) — системы в термостате, выделенные непроницательными для частиц неподвижными стенками, воображаемыми стенками, то равновесным значениям соответственно V, N), С1(0, V, р) или С в, р, М) соответствуют минимальные величины этих термодинамических потенциалов. Таким образом, любые вариации параметров первоначально равновесной системы, не нарушающие условия заданности величин (< , V, ), приводят к уменьшению энтропии, при фиксированных величинах (0, V, ЛГ), (0, V, ц) или в, p,N) — к увеличению свободной энергии, потенциала омега или потенциала Гиббса. Поэтому при постановке вариационных задач, выявляющих условия равновесия и устойчивости состояний термодинамической системы, вариации соответствующих потенциалов производятся по тем параметрам системы, которые при указанных выше фиксированных условиях могут принимать неравновесные значения. Это могут быть, например величины плотности, температуры и т. д. в отдельных частях системы, количества веществ в разных фазах, химический состав системы и т.д., включая искусственные или воображаемые перегородки внутри системы и т. п. [c.12]

Рассмотрим постановку вариационной задачи в расширенном конфи17рационном пространстве л + 1, точками которого являются наборы (q, t). Пусть кривая уо = (q, t) qeR ,te [ib, il, q = q(0 . где q(/) является решением уравнений Лафанжа второго рода [c.147]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...