Форма бифуркации

При изменении Я различные линейные серии остаются отличными друг от друга, пока дискриминант А квадратичной формы (2) не исчезает, т. е. пока не исчезает ни один из главных коэфициентов устойчивости. Если же в то время, когда пробегается некоторая линейная серия, дискриминант А при некотором частном значении А исчезает и меняет знак, то соответствующая конфигурация оказывается формою бифуркации , т. е. эта конфигурация представляет точку пересечения рассматриваемой линейной серии с другой. Может даже случиться, что при некотором значении А две линейные серии совпадают, а после этого становятся мнимыми. Если рассматриваемая конфигурация не принадлежит ни к какой другой линейной серии, то мы имеем так называемую предельную форму равновесия, и можно показать, что А в обеих сериях вблизи от точки соединения имеет различные знаки. Особенно важным оказывается тот случай, когда две серии соединяются и после этого делаются мнимыми, в то время как третья серия непрерывно переходит через эту общую точку. [c.897]

Дальнейшее исследование устойчивости эллипсоида Маклорена завело бы нас слишком далеко. Пуанкаре показал, что в этом случае равновесие обладает вековой устойчивостью относительно всякого рода возмущений, пока е лежит ниже названного выше предела. Это устанавливается тем, что для эллипсоида вращения с меньшим эксцентриситетом не существует формы бифуркации. [c.902]

Пуанкаре исследовал далее коэфициенты устойчивости рядов эллипсоидов Маклорена и Якоби при помощи функций Ламе, чтобы выяснить, какие члены представляют формы бифуркации. Он нашел, что существует бесконечно много форм такого рода, а следовательно, и бесконечно много других линейных серий фигур равновесия. В каждом случае оказывается возможным указать форму членов новой серии в окрестности точки бифуркации. Исследование этого вопроса было продолжено Дарвином ) и самим Пуанкаре в более поздней работе ). [c.902]

Формы — Бифуркация (разветвление) 8 [c.561]

Сфероиды Маклорена за первой формой бифуркации [c.162]

Целью данной главы является нахождение форм бифуркации на последовательности Якоби. С практической точки зрения главное здесь то, что первый коэффициент устойчивости, который обращается в нуль, соответствует определённой гармонике третьего порядка. [c.164]

Применяя статический метод Эйлера, мы рассматриваем лишь совокупность форм равновесия в малой окрестности точки бифуркации. Этим полностью исключаются из анализа устойчивости возможные формы движения. [c.318]

Для стержней и пластин (рис. 15.1, 15.2) после бифуркации при нагрузке р наблюдается неединственность решения задачи и резкое возрастание прогибов, которое, как правило, приводит либо к разрушению, либо к недопустимо большим деформациям. Такое поведение стержней и пластин предопределило успех бифуркационной теории Эйлера. У оболочек (рис. 15.3) после бифуркации при нагрузке р наблюдается резкое падение сжимающей нагрузки при одновременном росте перемещений. Оболочки весьма чувствительны к начальным несовершенствам формы и поэтому при анализе их поведения основное значение имеет максимальная нагрузка Рт, которую она выдерживает перед наступлением катастрофического выпучивания. Для определения же максимальной нагрузки необходимо решать нелинейную задачу о выпучивании оболочки с учетом начальных прогибов fo (рис. 15.3) либо других начальных несовершенств. [c.321]

Рассуждения о поведении сжатого стержня под действием возрастающей нагрузки рекомендуем вести так, как это изложено в учебниках [12 пли 22]. В итоге рассуждений надо обеспечить у учащихся четкое представление о том, что при критическом значении нагрузки происходит раздвоение (бифуркация) форм равновесия мож но, следуя проф. В. В. Болотину, сказать, [c.189]

Имеется вторая возможность. Пусть ф О, и маятник, следовательно, отклонен от вертикали. Тогда условие равновесия выполняется при Р=с11, и вблизи исходного состояния равновесия обнаруживается второе состояние равновесия, сколь угодно близкое к первому. Силу, соответствующую этой, как говорят, бифуркации форм равновесия, мы принимаем за критическую. [c.417]

Таким образом, каждой точке кривой соответствует определенное положение равновесия. Линеаризуя уравнение, мы, естественно, не можем охватить всего многообразия форм равновесия. При малом значении ф мы получаем только ту часть графика, которая непосредственно примыкает к оси ординат. Мы смотрим на эту картину как бы через узкую щель — через чуть приоткрытую дверь — и видим только ось ординат и часть кривой, проходящей через точку бифуркации Л. Но в пределах малых значений ф эта кривая представляется нам как горизонтальная прямая, и определить угол ф при силе Р=сН мы не можем. Перемещение оказывается неопределенным, угол ф может быть любой малой величиной. При силе, большей с/1, упрощенное линеаризованное уравнение дает нам только форму равновесия, соответствующую точкам, расположенным на оси ординат, т. е. тривиальную форму равновесия. [c.419]

В обзоре систематически используется связь теории бифуркаций с теорией особенностей. Решение многих, в основном, локальных, проблем теории бифуркаций состоит в том, чтобы предъявить и исследовать так называемое главное семейство — своего рода топологическую нормальную форму для семейств исследуемого класса. Теория особенностей позволяет угадать и частично исследовать главные семейства. Она описывает также бифуркации положений равновесия, особенности медленной поверхности, медленные движения в теории релаксационных колебаний и т. д. [c.10]

А. Пуанкаре в своей диссертации, в работах по теории равновесия вращающейся жидкости и по небесной механике заложил неформальные основы теории бифуркаций, включая, например, теорию нереальных деформаций и технику нормальных форм. Формальные основы теории бифуркаций заложены А. А. Андроновым и его учениками [1]—[9], исходившими в своих исследованиях из прикладных задач. В частности, ими подробно изучена бифуркация рождения цикла при потере устойчивости положением равновесия, по недоразумению называемая зачастую бифуркацией Хопфа. К сожалению, ранние работы А. А. Андронова [1], [4], [5], [6] недостаточно широко известны на Западе. [c.207]

Представленная в табличной форме (табл. 5.4), ЕКД характеризует поведение сплавов не только в условиях проведения испытаний, которые являются лабораторными с заданными (тестовыми) условиями опыта. Она является характеристикой свойства материала сопротивляться внешней циклической нагрузке при многообразии условий внешнего воздействия, поскольку реализация одного и того же кинетического процесса между двумя соседними точками бифуркации характеризуется одинаковыми величинами КИН при достижении одинаковых величин скорости роста усталостной трещины. Корректное определение величины эквивалентного КИН для условий многофакторного воздействия приводит к представленной выше в табличной форме ЕКД. Вместе с тем сама ЕКД может быть использована в качестве эталона, к которому могут быть приведены получаемые в испытаниях кинетические кривые. В случае постоянного влияния параметра воздействия [c.253]

Здесь / — перемещение, характерное для новой формы равновесия, возникающей в точке бифуркации ). [c.304]

Условие (18.11) свидетельствует о том, что касательная к новой ветви кривой Р — /, возникающей в точке бифуркации, горизонтальна (рис., 18.17). Этим определяется наличие форм равновесия, смежных с первоначальной формой. Критической является та нагрузка Р , при которой первоначальная форма равновесия становится нейтральной. [c.304]

Условие (18.11)з свидетельствует о том, что при />0 Р > Р т. е. для развития новой формы равновесия требуется увеличение нагрузки (рис. 18.17,6) этим и определяется то, что новая форма закритического равновесия устойчива. Иными словами, в критической точке, совпадающей с точкой бифуркации. [c.304]

Возможные упрощения аппарата, используемого при анализе устойчивости системы. В разделе 2 для установления формы равновесия, возникающей в точке бифуркации, использовалось нелинейное уравнение (18.4), позволившее находить равновесные положения нагрузки и при больших перемещениях. Однако не это составляет основную цель расчета на устойчивость классического типа, вследствие чего допустимо и целесообразно внести упрощения. [c.305]

Рис. 18,18. Различные виды кривых Р —f а) случай с устойчивыми формами равновесия, возникающими в точке бифуркации б) картина, линеаризованная по отношению к изображенным на рис. а и а а) случай с неустойчивыми смежными формами равновесия, возникающими в точке бифуркации.

Рассматривается линеаризованное уравнение, составленное применительно к новой форме равновесия, отличной от первоначальной формы, приобретаемой системой при нагрузке, соответствующей точке бифуркации (она же критическая точка). [c.308]

Возможные формы равновесия системы. Точки бифуркации. Воспользуемся приведенной в предыдущем разделе схемой анализа устойчивости применительно к системе с двумя степенями свободы (рис. 18.20). Это позволит нам продолжить исследование классического типа потери устойчивости как явления. [c.308]

Формы равновесия, возникающие во второй точке бифуркации Вг, неустойчивы, поскольку наличие неположительных корней характеристического уравнения приводит к тому, что общее решение дифференциальных уравнений (относительно Дф1 и Дф2) выражается через гиперболические функции (аналогично тому, как это показано в таблице 18.2) и с течением времени происходит неограниченный рост Дф1 и Дфг. [c.325]

Полученный здесь вывод справедлив и для систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для систем с бесконечным числом степеней свободы, а именно критическая точка совпадает с первой точкой бифуркации. При значениях нагрузки ниже соответствующей этой точке первоначальная форма равновесия системы устойчива. [c.325]

Эта форма равновесия становится безразличной в критической точке (в первой точке бифуркации) и неустойчивой на всем протяжении оси параметра нагрузки выше первой точки бифуркации. Возникающие в первой точке бифуркации новые формы равновесия устойчивы. Формы же равновесия, возникающие во всех остальных точках бифуркации, неустойчивы. Точки бифуркации могут быть найдены как из нелинейных уравнений, так и из линеаризованных уравнений равновесия системы в отклоненном от первоначальной формы положении. [c.325]

Метод Эйлера применим к анализу таких типов потери устойчивости, т. е. таких явлений, которые характеризуются наличием возможности перехода от одной формы равновесия к другой, бесконечно близкой к ней, при фиксированной нагрузке (т. е. равенство нулю производной Р/й/ при некотором значении Р, где Р — сила, а [ — характерный параметр деформации системы). В то же время этот метод не может быть применен в тех случаях, когда потеря устойчивости формы равновесия состоит в переходе не к другой форме равновесия, а к колебательному движению. Остановимся на вопросе о применимости метода Эйлера в случае, если потеря устойчивости принадлежит типу перехода к новой устойчивой форме равновесия, но посредством скачка. Можно отметить два характерных варианта. Водном из них этот переход происходит в точке бифуркации, до которой (Р < Р ) зависимость Р — / линейна. В другом — переход происходит в предельной точке, до которой (Р < Р,) зависимость Р—[ нелинейна. В первом случае метод Эйлера позволяет найти Р, во втором же — этот метод неприменим. [c.372]

Важнейшим стимулом для развития нелинейной теории упругих оболочек явилось систематическое расхождение между результатами линейной теории и опытными данными. Для многих типов оболочек и условий нагружения опытные критические усилия оказываются значительно ниже, чем значения, вычисленные согласно линейной теории. Явление потери устойчивости нередко происходит по типу прощелкивания , хлопка , т. е. сопровождается скачкообразным нарастанием деформаций с заметным изменением формы срединной поверхности. При этом наблюдаемая картина послекритической деформации обычно существенно отличается от формы бифуркации, которую предсказывает линейная теория. [c.342]

Анализ выпучивания и устойчивости идеальных упругих и неупругих систем не является общим при решении вопроса об устойчивости конструкций и их элементов, поскольку последние обладают различного рода несовершенствами. Неустойчивость реальных конструкций и их элементов с несовершенствами наступает в предельных точках или точках бифуркации Пуанкаре точно так же, как и для идеальных систем с устойчивым послебифуркационным поведением, В связи с этим все начальные несовершенства формы и приложения нагрузок принимаются за возмущающие факторы с наложенными на них ограничениями, и об устойчивости исходного процесса нагружения идеальной системы судят по пребыванию системы с возмущенной формой в окрестности основного процесса. Следовательно, на процесс выпучивания системы с начальными несовершенствами, так же как на послебифуркационный процесс выпучивания идеальной системы, следует смотреть как на возмущенный процесс, с помощью которого исследуются устойчивость конструкции, которую стремятся всегда создавать как совершенную. Этот докритический процесс завершается потерей устойчивости в предельной точке (точке бифуркации Пуанкаре) и послекритиче-ским выпучиванием. [c.322]

Результаты, полученные в предыдущем параграфе, еще не дают ответа на вопрос об устойчивости в строгом смысле слова, как это было сформулировано в 4.1. Вместо этого мы по существу ввели бифуркационный критерий устойчивости. Вели представить себе процесс нагружения стержня продольной силой как процесс, описываемый кривой (Зависимости некоторого прогиба от сжимающей силы, то на этой кривой получаются разветвления в некоторых точках, называемых иритичесними или точками бифуркации. Так, на рис. 4.4.1 схематически изображен график saBiH HMO TH прогиба, например прогиба б в середине стержня, от сжимающей силы Р пока Р < Р это отрезок оси ординат, 6 = 0. При Р> Р стержень может либо оставаться прямым, либо иоириниться в соответствии с двумя возможными формами равновесия возникает бифуркация, одному и тому же значению силы Р соответствуют два возможных прогиба (точии А -а В). Вопрос о том, какая форма равновесия, прямолинейная [c.121]

В noi TanoBKe Шенли вопрос об устойчивости сводится к вопросу о бифуркации, т. е. разветвлении форм движения. Пока сила меньше чем Ро, при увеличении силы наблюдается одна-едпнст-веиная форма движения стержня, а именно его равномерное сжатие. При Р > Ра возможны две формы движения либо равномерное сжатие, либо непрерывное выпучивание при этом каждому значению силы Р > Ро соответствует вполне определенное значение прогиба. Действительно, хотя при выводе фо рмулы (4.10.1) мы воспроизводили тот же ход рассуждения, который привел нас к формуле Эйлера для упругого состояния стержня, на самом деле малое приращение сжимающей силы делает возможным лишь малые искривления стержня, не сопровождающиеся разгрузкой. При появленпп частичной разгрузки сопротивление изгибу возрастает, поэтому равновесие возможно не при любом значении прогиба, а при вполне определенном его значении. [c.139]

Отметим также, что для нелокальной теории бифуркаций оказываются особенно полезными конечногладкие нормальные формы локальных семейств дифференциальных уравнений. Эти нормальные формы значительно упрощают отыскание и исследование бифуркаций, а также обоснование и исследование полученных результатов. С другой стороны, нелокальная теория бифуркаций позволяет выделить задачи теории нормальных форм, важные для приложений. На наш взгляд, связь между теорией нормальных форм и нелокальной теорией бифуркаций в настоящее время используется недостаточно. [c.10]

Полное описание бифуркаций получено только для первого из этих классов. Для ростков двух других классов аналогичное описание, по-видимому, невозможно. Теория нормальных форм дает в качестве упрощенной модели для исследования деформаций рЬстков этих классов вспомогательные локальные семейства эквивариантных векторных полей на плоскости. Переход от вспомогательных семейств к исходным также небезобиден. Исследование вспомогательных семейств — трудная задача из-за бифуркаций предельных циклов. [c.26]

Пятый параграф посвящен конечногладкой теории. В нем исследуются нормальные формы локальных семейств векторных полей и диффеоморфизмов, к которым семейства могут быть приведены конечногладкой заменой координат в фазовом пространстве. Эти нормальные формы полезны для теории нелокальных бифуркаций и релаксационных колебаний. [c.42]

Другими словами, мы ограничиваемся исследованием бифуркаций в факторсистеме упрощенной нормальной формы семейства уравнений в окрестности цикла. Истолкование результатов в терминах исходной системы требует дополнительной работы, так как даже топологически бифуркации в исходной системе и в упрощенной нормальной форме не всегда одинаковы (см. например, п. 3.5). Начнем с построения вспомогательных семейств векторных полей на плоскости, сдвиг вдоль которых приближает преобразование монодромни циклов в случае сильного резонанса. [c.56]

Для отыскания и того и другого вместо нелинейного уравнения достаточно иметь линейное (линеаризованное), полученное путем упрощения нелинейного в связи с малостью перемещений (малостью возмушрчий исходной (первоначальной) формы равновесия). Действительно, если вместо всей закритической ветви, возникшей в точке бифуркации (рис. 18.18, а), рассмотреть лишь участок, соответствующий малым значениям / (в нашем случае ф) (рис. 18.18,6), то вследствие малости / нелинейное уравнение можно заменить соответствующим линейным ). Так, например, нелинейное уравнение (18.4) [c.305]

Однако имеется отличие, состоящее в гом, что новая форма равновесия, возникающая в точке бифуркации, не является смежной с первоначальной формой и от первоначальной формы равновесия к новой форме система приходит посредством скачка. Это так называемая потеря устойчивости с прощел-киванием. О ней кратко говорилось выше и говорится подробно в 18.4. Здесь, однако, отметим, что зависимость между р и ф в закритическом состоянии характеризуется графиком, показанным на рис. 18.18, в. [c.305]

Линии 1 и 2 — это ветви диаграммы, возникающие в точках бифуркации соответственно и В2, им отвечают возможные формы равновесия системы с изломами в шарнирах В и С. Линия / — равновесие формы, изображенной на рис. 18.21, а линия 2 — равновесие формы, изобралсенной на рис 18.21,6. [c.311]

Вопрос о характере равновесия вертикального положения системе при р = 1 и р = 3 рассмотрим, анализируя формы равновесия, возникающие в точках би(] уркации и В2. Однако уже сейчас ясно, что точка бифуркации В одновременно является и критической точкой, т. е. из двух точек бифуркации критической является точка, соответствующая наименьшему собственному числу. [c.322]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...