Разностная схема консервативная

Разностная схема, составленная таким образом, что закон сохранения выполняется для каждой элементарной ячейки и не нарушается в результате суммирования по всем ячейкам, т. е. выполняется и для всей области исследования, называется консервативной. Такие схемы могут быть с успехом применены для уравнений с негладкими и разрывными коэффициентами, при выборе произвольных сеток и т. д. Использование консервативных схем, как правило, приводит к повышению точности решения. [c.63]

Рассмотрим пример [25], когда нарушение консервативности при построении разностной схемы обусловлено появлением членов, величина вклада которых в общий баланс определяется не физическими законами, а дискретизацией задачи. Это обычно приводит к решению, не соответствующему точному (т. е. разностная схема получается расходящейся). Рассмотрим одномерное стационарное уравнение теплопроводности [c.249]

В случае введения консервативной разностной схемы возможность возникновения дополнительных членов в уравнениях исключается и любая консервативная разностная схема для рассмотренной задачи сходится. [c.250]

Тогда из (7.64) можно получить следующую консервативную разностную схему [c.252]

Вычислительный цикл закончен. Заметим, что использование уравнения для полной энергии обеспечивает, в частности, консервативность разностной схемы. Рассмотренный вариант схемы имеет первый порядок точности. [c.195]

Разностные схемы, при которых получаются численные решения, удовлетворяющие закону сохранения энергии, называются консервативными. [c.85]

Разобранный пример показывает, что консервативность схемы не обеспечить без принятия специальных мер. Поэтому в настоящее время в большинстве случаев разностные уравнения получают не из аппроксимации операторов дифференциального уравнения, а из непосредственной аппроксимации самих соотношений теплового баланса, записанных для элементарных объемов. При этом для тепловых потоков на границах используются выражения, обеспечивающие выполнение условий согласования. Этот способ построения консервативных разностных схем называется интегро-интерполяционным методом или методом баланса. [c.87]

Рассмотрим построение консервативной разностной схемы в случае нестационарного уравнения для стержня с боковым теплообменом [c.91]

Система уравнений (3.51) для внутренних точек п = 2,. .., N —1 и уравнений типа (3.52) для граничных точек представляет собой консервативную неявную схему численного решения задачи (3.49), (3.2). Если просуммировать все уравнения разностной схемы для п , то получим сеточный аналог закона сохранения энер- [c.94]

Свойство монотонности. Кроме условия наличия свойства консервативности к разностной схеме можно предъявить еще одно разумное требование, выполнение которого обычно проверяют на практике. Чтобы его сформулировать, запишем разностное уравнение (3.51) для внутреннего элементарного объема с центром в точке Хп В виде [c.94]

Изложим, следуя [9], метод исследования локальной консервативности разностных схем для уравнений механики сплошной среды. При этом предполагается, что у читателя уже есть некоторые навыки и опыт построения и применения разностных методов для математического моделирования волновых процессов в твердых телах. [c.229]

Определение 7.1. Консервативностью называется свойство разностной схемы сохранять без изменения какую-либо функцию ИЛИ комбинацию функций, входящих в уравнения (7.71)—(7.82). [c.229]

Следствие 7.2. Разностная схема, содержащая уравнение сохранения массы (7.71) в дивергентном виде, М-консервативна при [c.230]

Определение 7.3. п-е дифференциальное приближение-разностной схемы является -консервативным, если в уравнении производства энтропии (7.106) будет Ваи — О для всех А -Ь / п. [c.232]

Анализа-консервативности некоторых разностных схем [c.233]

Проанализируем вначале свойства -консервативности разностных схем с независимыми (01, 0)2, ыз. Пусть искомые величины [c.233]

Особый интерес представляют полностью консервативные разностные схемы, предложенные в [6]. Рассмотрим однопараметрическое семейство разностных схем [c.236]

Учитывая произвольность вариаций, в качестве которых можно рассмотреть поле истинных скоростей в момент времени t, из уравнения (4.2.11) следует закон сохранения механической мощности, т. е. для дискретной системы выполняется аналог теоремы о скорости изменения кинетической энергии [167]. Построенная таким образом дискретная механическая система является энергетически согласованной. Рассматривая ее как некоторую конечно-разностную схему с введением естественной дискретизации по времени, получим полностью консервативную разностную схему. [c.90]

Нестационарное течение в камере сгорания и в сопле находится численным интегрированием по распад ной, монотонной, консервативной разностной схеме второго порядка аппроксимации уравнений одномерной нестационарной газовой динамики с выделяемыми явно главными разрывами - детонационной волной и контактными разрывами, разделяющими зоны продуктов сгорания богатой и бедной смесей. Процедуры выделения опираются на заранее рассчитываемые детонационные адиабаты и на запоминаемые в процессе [c.105]

Таким образом разностная схема здесь аналогична схеме 3 из 1.2. Эта схема для данной задачи оказалась предпочтительнее полностью консервативной схемы, поскольку опа дает более гладкие решения, а сохранение энергии здесь не так принципиально как в волновых задачах. [c.177]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости к разностным схемам, предъявляется ряд других не обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, называются консервативньши. С этой целью разностные уравнения строятся на основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему нетрудно сделать консервативной. [c.272]

Разностные схемы должны отражать основные законы сохранения сплошной среды, и, по существу, должны быть разностными аналогами основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие указанными свойствами, называются консервативными. Интегроинтерполяционный метод построения консервативных разностных схем был предложен А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским. Было показано, что для широкого круга задач консервативность схемы является необходимым условием ее сходимости. [c.249]

Для построения консервативной схемы можно использовать интегроинтерполяционный метод [25] (или метод элементарных балансов), существо которого состоит в том, что разностная схема строится на основе интегральных законов сохранения. В результате получается разностный аналог закона сохранения для ячейки сетки. В качестве примера рассмотрим построение консервативной схемы для стационарного уравнения теплопроводности (или диффузии) [c.251]

Свойство консервативности разностной схемы. Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем, связанные с наличием временной переменной и соответствующего дифференциального оператора. Однако проблемы возникают и при выборе вида аппроксимации пространственного дифференциального оператора. В предыдущем параграфе этот оператор аппроксимировался самым простейшим образом — производные в дифференциальном уравнении и граничных условиях заменялись конечными разностями. Но оказывается, что такой подход не всегда приводит к успеху. Для более сложных задач, описываемых нелинейными уравнениями и уравнениями с переменными коэффициентами, замена производных конечными разностями может привести к схемам, которые будут иметь большую логрешность, либо вообще окажутся непригодными для счета. [c.84]

Самым простым способом получения консервативных схем является метод баланса, основанный на применении дивергентных форм физических законов к ячейкам сетки. Рассмотрим его на примере разностной схемы для расчета потенциального поля. Потенциальные поля описывают стационарный процесс теп.топроводности, электрическое поле рабочего конденсатора при диэлектрическом нагреве и т. д. т Запишем выражение для потока вектора [c.131]

Предназначен для решения тепловых задач. ТЕКОН представляет собой модульную систему программ со специализированным языком. Обеспечивает решение задач параболического и эллиптического типов. В общем случае ТЕКОН может быть одним из блоков некоторого более общего вычислительного процесса. Названные задачи решаются в произвольных пространственных областях ступенчатого типа,заданных в локально-ортогональных координатах, описываемых с помощью коэффицпентов Ламе. При переходе от исходной системы уравнений к конечно-разностной аппроксимации используется интегро-интерполяционный метод построения разностных схем [79]. Рассматривается класс неявных консервативных разностных представлений. Алгоритмы, реализующие процедуры вычислений по соответствующим схемам, содерл<ат итерационные процессы по нелинейности, сводящиеся к решению систем линейных алгебраических уравнений на каждом шаге. В рассматриваемом ТЕКОНом клас- [c.178]

Анализ работ, посвященных изучению свойств разностных законов сохранения, указывает на незавершенность теории априорного исследования консервативности схем и противоречивость оценок. Так, например, большинство авторов для уравнения энергии считает предпочтительней дивергентную форму, а для уравнения сохранения массы — недивергентную (плотность равна массе, деленной на объем). В этих условиях конструктивные предложения, позволяющие из всех возможных разностных схем выбирать в некотором смысле наилучшие, имеют большое зн ение для практических работ по математическому моделированию процессов в твердых телах. [c.217]

В литературе описаны различные по своим свойствам методы численного интегрирования уравнений механики сплошной среды [14—20]. Как правило, свойства разностных схем проверяются теоретическим исследованием аппроксимации и устойчиврсти и подтверждаются сопоставлением результатов математического и физического экспериментов. Вопросы изучения консервативности, и тем более локальной консервативности, как правило, обсуждаются мало. [c.229]

Среди функций, входящих в уравнения (7.71)—(7.82), только S = onst вдоль линии тока в области упругой деформации. Кроме того, вдоль линии тока должна сохраняться массовая координата М. Поэтому ограничимся рассмотрением свойств разностных схем сохранять точно или приближенно М ж S вдоль линии тока (М- и -консервативность). Поскольку эти свойства проявляются на каждой линии тока, они являются локальными свойствами консервативности. [c.229]

Рассмотрим, с какой точностью выполняется закон сохранения энтропии в разностных схемах с дивергентным и недивергентыым уравнением энергии. Следуя [7—9], ограничимся уравнениями идеальной среды. С одной стороны, такое ограничение упрощает исследование и делает более ясными результаты. С другой — законы сохранейия для идеальной среды являются ядром системы законов сохранения для любых физических процессов в сплошной среде, и, следовательно, их достоинства и недостатки переносятся на неидеальные среды. Кроме того, анализ -консервативности проведен для адиабатического случая, чтобы в чистом виде выделить производство энтропии, определяемое разностной схемой. Иными словами,,исследование -консервативности ограничивается предпо- [c.233]

Отсюда следует, что все полностью консервативные схемы термодинамически нормальны. Однако схемы с о 0.5 сильно диссипативны. Требование слабой диссипативности приводит к дальнейшему сужению множества схем с уравнениями (7.113). Среди этих схем слабо диссипативной является единственная разностная схема с а = 0.5. [c.236]

Проведенное рассмотрение М- и, 5-консервативности в 4 и 5, позволяет утверждать, что эти свойства не связаны с дивергентной или недивергентной формой разностных уравнений. Чтобы определить диссипативные свойства разностной схемы, нужно построить для нее уравнения производства массы и энтропии. Анализ диссипативных свойств схем показывает, что среди схем с дивергентным уравнением энергии есть термодинамически аномальные. Полностью консервативные разностные схемы и большинство схем с недивергентным уравнением энергии термодинамически нормальны, и среди них есть как сильно, тик и слабо диссипативные. [c.236]

Эта же задача была рассмотрена Е. П. Колпаком методом сеток. Использовалась консервативная разностная схема второго порядка аппроксимации. Полученная при этом система нелинейных алгебраических уравнений решалась методом простой итерации. Отвечаюш,ие сеткам 20x20 и 30x30 значения прогибов и напряжений практически совпали вплоть до прогибов порядка длины стороны квадрата. [c.224]

Важным требованием црп численном моделпровапнп негладких или ударно-волновых динамических процессов является выполнение дискретных аналогов интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии и термодинамического неравенства (второго закона термодинамики) [20, 161, 192], в частности построение разностных схем, аппроксимирующих дивергентные формы дифференциальных уравнений в частных производных [74, 75]. Эти требования входят в понятие консервативности разностных схем и полной консервативности [46, 47, 101, 162], при которой для копечио-разпостпой или дискретной системы также выполняются определенные эквивалентные преобразования, аналогичные дифференциальным преобразованиям системы уравнений в частных производных. [c.27]

Достаточно универсальным подходом получения полностью консервативных плп энергетически согласованных разностных схем и дискретных моделей являются вариационно-разностный метод [162, 173], а также дискретно-вариационный [30, 88, 90, 93], обобщающий вариационно-разностный метод для класса дискретных механических систем. Структура ДВМ в определенной степени сходна с МКЭ. Главное в ДВМ — это сочетание дискретных, энергетических и вариационных иредстав.лений при моделировании процессов деформирования сред. [c.27]

Построение дивергентных, консервативных разностных схем [45, 97, 161, 175, 192], аппроксимирующих на разностной сетке законы сохранения полностью консервативных схем [46, 47, 162, 173] схем, обладающих свойством локальной консервативности [101, 197]. Для этого этапа характерно моделирование сред и элементов конструкций дискретными ячейками, широкое использование лагранжевых сеток [11—17, 51, 52, 56, 82, 86, 175—179], эйлерово-лагранжевых [21, 61, 186] и сеток переменной структуры на основе построения ячеек Дирихле [117, 132]. [c.85]

Стационарное течение вырабатывается установлением по времени с помощью раснадной, монотонной, консервативной разностной схемы второго порядка по координатам и первого по времени. Эта схема является развитием известной схемы первого порядка [5]. Второй порядок аппроксимации по пространственным переменным достигается в ней применением процедуры реконструкции , основанной на принципе минимальных значений производных или приращений [6-9]. В задаче о распаде разрыва, важном элементе схемы, почти всюду использовалось идентичное для нормального и фиктивного газа акустическое приближение. Исключение - ситуации с попаданием границы ячейки в центрированную волну. Нри их возникновении, аналогично [c.251]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...